小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

九年級數(shù)學(xué)競賽轉(zhuǎn)化靈活的圓中角講座。

【例題求解】
【例1】如圖，直線AB與⊙O相交于A，B再點，點O在AB上，點C在⊙O上，且∠AOC＝40°，點E是直線AB上一個動點(與點O不重合)，直線EC交⊙O于另一點D，則使DE=DO的點正共有個．
思路點撥在直線AB上使DE=DO的動點E與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?
分點E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點在⊙O外)三種情況考慮，通過角度的計算，確定E點位置、存在的個數(shù)．

注：弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法．
【例2】如圖，已知△ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點，經(jīng)過點A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點E、F、M，對于如下五個結(jié)論：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()
A．2個B．3個C．4個D．5個
思路點撥充分運用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗證．
注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇．
【例3】如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面積．
思路點撥由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點，這是解本例的關(guān)鍵．

【例4】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結(jié)AC，過點C作直線CD⊥AB于D(ADDB)，點E是AB上任意一點(點D、B除外)，直線CE交⊙O于點F，連結(jié)AF與直線CD交于點G．
(1)求證：AC2=AG×AF；
(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立．請畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由．
思路點撥(1)作出圓中常用輔助線證明△ACG∽△AFC；
（2）判斷上述結(jié)論在E點運動的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵．

注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件．
【例5】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線AD、BE、CF相交于一點Q，設(shè)AD與CF的交點為P．
求證：（1）；(2)．
思路點撥解本例的關(guān)鍵在于運用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形．
(1)證明△QDE∽△ACF；(2)易證，通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明．
注：有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點，就能運用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點共圓的主要方法有：
(1)利用圓的定義判定；
(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為．
2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的一點，則∠1+∠2=．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點，延長AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，則EF的長為．
4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，設(shè)⊙O的半徑為，AB的長為，用的代數(shù)式表示，=．
5．如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()
A．120°B．136°C．144°D．150°
6．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，則∠BOC等于()
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點，AB=，BC=2，則∠D的度數(shù)為()
A．60°B．120°C．135°D．150°
8．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，點P是弧AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F．給出下列四個結(jié)論：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
9．如圖，已知B正是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．
(1)求證：ACBC=BECD；
(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長．

10．如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB，F(xiàn)C．
(1)求證：FB=FC；
(2)求證：FB2=FAFD；
(3)若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長．
11．如圖，B、C是線段AD的兩個三等分點，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(B、C點除外)，則tan∠APBtan∠CPD=．
12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，則四邊形ABCD的面積為．
13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，則BC=．
14．如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點，∠B=40°，則∠A等于()
A．60°B．50°C．80°D．70°
15．如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，則⊙O的面積為()
A．25πB．16πC．15πD．13π
(2001年紹興市競賽題)

16．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過A、D兩點的圓與AB、AC分別相交于點E、F，弦EF與AD相交于點G，則圖中與△GDE相似的三角形的個數(shù)為()
A．5B．4C．3D．2
17．如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積．
18．如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點，且有∠BAE=∠DAC．
求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+ADBC＝ACBD．

19．如圖，已知P是⊙O直徑AB延長線上的一點，直線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF⊥AB于點H，CF交AB于點E．
(1)求證：PAPB=POPE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長．
20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(點D不與點A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于點E，交AC于點F．
(1)求∠B的度數(shù)；
(2)求CE的長；
(3)求證：DA、DC的長是方程的兩個實數(shù)根．
參考答案

延伸閱讀

九年級數(shù)學(xué)競賽圓與圓輔導(dǎo)教案

教案課件是每個老師工作中上課需要準(zhǔn)備的東西，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計劃，才能促進(jìn)我們的工作進(jìn)一步發(fā)展！你們知道多少范文適合教案課件？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學(xué)競賽圓與圓輔導(dǎo)教案”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

【例題求解】

【例1】如圖，⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點A，⊙Ol經(jīng)過圓心O2，作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點D，EF為過點A的公切線，若O2D=，那么∠BAF=度．

(重慶市中考題)

思路點撥直徑、公切線、O2的特殊位置等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過A點，先求出∠DO2A的度數(shù)．

注：(1)兩圓相切或相交時，公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線，它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通．同時，又是生成圓冪定理的重要因素．

(2)涉及兩圓位置關(guān)系的計算題，常作半徑、連心線，結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形，將分散的條件集中，通過解直角三角形求解．

【例2】如圖，⊙Ol與⊙O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則⊙Ol與⊙O2的半徑之比為()

A．2：5B．1：2C．1：3D．2：3

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

思路點撥添加輔助線，要探求兩半徑之間的關(guān)系，必須求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度數(shù)，為此需尋求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關(guān)系．

【例3】如圖，已知⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，P是⊙Ol上一點，PB的延長線交⊙O2于點C，PA交⊙O2于點D，CD的延長線交⊙Ol于點N．

(1)過點A作AE∥CN交⊙Oll于點E，求證：PA=PE；

(2)連結(jié)PN，若PB=4，BC=2，求PN的長．

(重慶市中考題)

思路點撥(1)連AB，充分運用與圓相關(guān)的角，證明∠PAE=∠PEA；(2)PBPC=PDPA，探尋PN、PD、PA對應(yīng)三角形的聯(lián)系．

【例4】如圖，兩個同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點D，連結(jié)OD并延長交大圓于點E，連結(jié)BE交AC于點F，已知AC=，大、小兩圓半徑差為2．

(1)求大圓半徑長；

(2)求線段BF的長；

(3)求證：EC與過B、F、C三點的圓相切．

(宜賓市中考題)

思路點撥(1)設(shè)大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2，建立R的方程；(2)證明△EBC∽△ECF；(3)過B、F、C三點的圓的圓心O′，必在BF上，連OˊC，證明∠O′CE=90°．

注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識．作出圓中基本輔助線、運用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵．

【例5】如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點B，半圓O1與半圓O2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為，面積之和為．

(1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式；

(2)求函數(shù)的最小值．

(太原市競賽題)

思路點撥設(shè)兩圓半徑分別為R、r，對于(1)，，通過變形把R2+r2用“=R+r”的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；對于(2)，因=R+r，故是在約束條件下求的最小值，解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍．

注：如圖，半徑分別為r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點，則：

(1)AB=2；

(2)∠ACB=∠OlMO2=90°；

(3)PC2=PAPB；

(4)sinP=；

(5)設(shè)C到AB的距離為d，則．

學(xué)力訓(xùn)練

1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點，且⊙Ol經(jīng)過點O2，若∠AOlB=90°，則∠AO2B的度數(shù)是．

2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在圓C內(nèi)，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍．

(2003年上海市中考題)

3．如圖；⊙Ol、⊙O2相交于點A、B，現(xiàn)給出4個命題：

(1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點C，AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點D，則AB2=BCBD；

(2)連結(jié)AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm；

(3)若CA是⊙Ol的直徑，DA是⊙O2的一條非直徑的弦，且點D、B不重合，則C、B、D三點不在同一條直線上，

(4)若過點A作⊙Ol的切線交⊙O2于點D，直線DB交⊙Ol于點C，直線CA交⊙O2于點E，連結(jié)DE，則DE2=DBDC，則正確命題的序號是(寫出所有正確命題的序號)．

(廈門市中考題)

4．如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點M，設(shè)⊙Ol的半徑為，AM的長為，則與的函數(shù)關(guān)系是，自變量的取值范圍是．

(昆明市中考題)

5．如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點到地面的距離是()

A．2B．C．D．

6．如圖，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B兩點，且點Ol在⊙O2上，過A作⊙Oll的切線AC交BOl的延長線于點P，交⊙O2于點C，BP交⊙Ol于點D，若PD=1，PA=，則AC的長為()

A．B．C．D．

(武漢市中考題)

7．如圖，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PBPC=OlAO2A．

上述結(jié)論，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A．1B．2C．3D．4

(郴州市中考題)

8．兩圓的半徑分別是和r(Rr)，圓心距為d，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是()

A．一定內(nèi)切B．一定外切C．相交D．內(nèi)切或外切

(連云港市中考題)

9．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，過點P的直線交⊙Ol于點D，交⊙O2于點E，DA與⊙O2相切，切點為C．

（1）求證：PC平分∠APD；

(2)求證：PDPA=PC2+ACDC；

(3)若PE=3，PA=6，求PC的長．

10．如圖，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切線，切點為B、C，連結(jié)BA并延長交⊙Ol于D，過D點作CB的平行線交⊙O2于E、F，求證：(1)CD是⊙Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

(四川省中考題)

11．如圖，已知A是⊙Ol、⊙O2的一個交點，點M是OlO2的中點，過點A的直線BC垂直于MA，分別交⊙Ol、⊙O2于B、C．

(1)求證：AB=AC；

(2)若OlA切⊙O2于點A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2；

(3)在(2)的條件下，若dld2=1，設(shè)⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2=R2r2．

(山西省中考題)

12．已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為．

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

13．如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為．

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

14．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，⊙O2的弦AB經(jīng)過⊙Ol的圓心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為()

A．2：7B．2：5C．2：3D．1：3

15．如圖，⊙Ol與⊙O2相交，P是⊙Ol上的一點，過P點作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是()

A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，4

(安徽省中考題)

16．如圖，相等兩圓交于A、B兩點，過B任作一直線交兩圓于M、N，過M、N各引所在圓的切線相交于C，則四邊形AMCN有下面關(guān)系成立()

A．有內(nèi)切圓無外接圓B有外接圓無內(nèi)切圓

C．既有內(nèi)切圓，也有外接圓D．以上情況都不對

(太原市競賽題)

17．已知：如圖，⊙O與相交于A，B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙PP于點D，E，過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F．

（1）求證：BC是⊙P的切線；

(2)若CD=2，CB=，求EF的長；

(3)若k=PE：CE，是否存在實數(shù)k，使△PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請說明理由．

(青島市中考題)

18．如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長為2，⊙B的半徑長為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點，PC切⊙A于點C，PD切⊙B于點D．

(1)若PC=PD，求PB的長；

(2)試問線段AB上是否存在一點P，使PC2+PD2=4？，如果存在，問這樣的P點有幾個?并求出PB的值；如果不存在，說明理由；

(3)當(dāng)點F在線段AB上運動到某處，使PC⊥PD時，就有△APC∽△PBD．

請問：除上述情況外，當(dāng)點P在線段AB上運動到何處(說明PB的長為多少，或PC、PD具有何種關(guān)系)時，這兩個三角形仍相似；并判斷此時直線CP與OB的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論．(浙江省嘉興市中考題)

19．如圖，D、E是△ABC邊BC上的兩點，F(xiàn)是BA延長線上一點，∠DAE=∠CAF．

(1)判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若△ABD的外接圓半徑是△AEC的外接圓半徑的2倍，BC=6，AB=4，求BE的長．

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

20．問題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面．

操作：方案一：在圖甲中，設(shè)計一個使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求，畫示意圖)．

方案二；在圖乙中，設(shè)計一個使圓柱兩個底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求：畫示意圖)；，

探究：(1)求方案一中圓錐底面的半徑；

(2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑；

(3)設(shè)方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個底面的圓心為O1、O2，圓錐底面的圓心為O3，試判斷以O(shè)1、O2、O3、O為頂點的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明．

(大連市中考題)

九年級數(shù)學(xué)競賽拋物線講座

九年級數(shù)學(xué)競賽拋物線講座
一般地說來，我們稱函數(shù)(、、為常數(shù)，)為的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線，與拋物線相關(guān)的知識有：
1．、、的符號決定拋物線的大致位置；
2．拋物線關(guān)于對稱，拋物線開口方向、開口大小僅與相關(guān)，拋物線在頂點(，)處取得最值；
3．拋物線的解析式有下列三種形式：
①一般式：；
②頂點式：；
③交點式：，這里、是方程的兩個實根．
確定拋物線的解析式一般要兩個或三個獨立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線的解析式是解與拋物線相關(guān)問題的關(guān)鍵．
注：對稱是一種數(shù)學(xué)美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對稱圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對稱關(guān)系，以便從整體上把握問題，由拋物線捕捉對稱信息的方式有：
(1)從拋物線上兩點的縱坐標(biāo)相等獲得對稱信息；
(2)從拋物線的對稱軸方程與拋物線被軸所截得的弦長獲得對稱信息．
【例題求解】
【例1】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，對應(yīng)的取值范圍是．
思路點撥由圖象知拋物線頂點坐標(biāo)為(一1，一4)，可求出，值，先求出時，對應(yīng)的值．

【例2】已知拋物線(0)經(jīng)過點(一1，0)，且滿足．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)有()
A．1個B．2個C．3個D．4個
思路點撥由條件大致確定拋物線的位置，進(jìn)而判定、、的符號；由特殊點的坐標(biāo)得等式或不等式；運用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．

【例3】如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN＝4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米?
思路點撥恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，易得出M、N及拋物線頂點坐標(biāo)，從而求出拋物線的解析式，設(shè)A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．

注：把一個生產(chǎn)、生活中的實際問題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學(xué)問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解．
【例4】二次函數(shù)的圖象與軸交于A、兩點(點A在點B左邊)，與軸交于C點，且∠ACB＝90°．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)計兩種方案：作一條與軸不重合，與△ABC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的，寫出所截得的三角形三個頂點的坐標(biāo)(注：設(shè)計的方案不必證明)．

思路點撥(1)A、B、C三點坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過特殊點，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計方案．

注：解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【例5】已知函數(shù)，其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求何值時，函數(shù)值最?。?br> 思路點撥將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對稱軸為，因，，故函數(shù)的最小值只可能在取，，時達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，若拋物線與四條直線、、、所圍成的正方形有公共點，則的取值范圍是．
2．拋物線與軸的正半軸交于A，B兩點，與軸交于C點，且線段AB的長為1，△ABC的面積為1，則的值為．
3．如圖，拋物線的對稱軸是直線，它與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點A、C的坐標(biāo)分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為；(2)若點P為此拋物線上位于軸上方的一個動點，則△ABP面積的最大值為．
4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有、、三個字母的式子①，②，③，④，0，其中正確結(jié)論的序號是(把你認(rèn)為正確的都填上)．
5．已知，點(，)，(，)，(，)都在函數(shù)的圖象上，則()
A．B．C．D．

6．把拋物線的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為，則有()
A．，B．，C．，c＝3D．，
7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(，)所在的直角坐標(biāo)系是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

8．周長是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(m)的函數(shù)圖象大致是()

9．閱讀下面的文字后，回答問題：
“已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0，)，B(1，-2)，求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．
題目中的橫線部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字．
(1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫出求解過程；若不能，說明理由．
(2)請你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整．
10．如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．
(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；
(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少?

11．如圖，拋物線和直線()與軸、y軸都相交于A、B兩點，已知拋物線的對稱軸與軸相交于C點，且∠ABC＝90°，求拋物線的解析式．

12．拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，若△ABC是直角三角形，則．
13．如圖，已知直線與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，那么△OAB的面積等于．
14．已知二次函數(shù)，一次函數(shù)．若它們的圖象對于任意的實數(shù)是都只有一個公共點，則二次函數(shù)的解析式為．
15．如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是()
A．b=0B．S△ADC＝c2C．a(chǎn)c＝一1D．a(chǎn)+c＝0
16．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過點(1，0)…求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是()
A．過點(3，0)B．頂點是(2，一2)
C．在軸上截得的線段長為2D．與軸的交點是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數(shù)()的圖象上兩時，二次函數(shù)的值是()
A．B．C．2002D．5
18．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000噸，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：噸)與費用(單位：萬元)之間函數(shù)的圖象是頂點在原點的拋物線的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷售量(單位：噸)與銷售單價(單位：萬元／噸)之間函數(shù)的圖象是線段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，問年產(chǎn)量是多少噸時，所獲毛利潤最大?(毛利潤＝銷售額一費用)．
19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與軸交于點C，直線：x＝m(m1)與軸交于點D．
(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)；
(2)在直線x＝m(m1)上有一點P(點P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；
(3)在(2)成立的條件下，試問：拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．

20．已知二次函數(shù)及實數(shù)，求
(1)函數(shù)在一2x≤a的最小值；
(2)函數(shù)在a≤x≤a+2的最小值．
21．如圖，在直角坐標(biāo)：O中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C(4，)，且在軸上截得的線段AB的長為6．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在軸上求作一點P(不寫作法)使PA+PC最小，并求P點坐標(biāo)；
(3)在軸的上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似?如果存在，求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

22．某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)，當(dāng)實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù)a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點的坐標(biāo)；若把頂點的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點的坐標(biāo)，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上．
(1)請你協(xié)助探求出當(dāng)實數(shù)a變化時，拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式；
(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎?并說明理由；
(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般——特殊—一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請說明理由．

參考答案

九年級數(shù)學(xué)競賽坐標(biāo)平面上的直線講座

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學(xué)競賽坐標(biāo)平面上的直線講座”，相信能對大家有所幫助。

一般地，若(，是常數(shù)，)，則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式6中的系數(shù)符號，決定圖象的大致位置及單調(diào)性(隨的變化情況)．如圖所示：

一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個二元一次方程；任意一個關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如()的函數(shù)形式．坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．

【例題求解】

【例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為，過A、P兩點的直線為，且BP⊥AP，則=．

思路點撥解題的關(guān)鍵是求出P點坐標(biāo)，只需運用幾何知識建立OP的等式即可．

【例2】設(shè)直線(為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為()

A．1B．C．D．

思路點撥求出直線與軸、軸交點坐標(biāo)，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示．

【例3】某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為分鐘，Q1、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機(jī)需多少分鐘?

(2)求加油過程中，運輸飛機(jī)的余油量Q1(噸)與時間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)運輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由．

思路點撥對于(3)，解題的關(guān)鍵是先求出運輸飛機(jī)每小時耗油量．

注：（1）當(dāng)自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．

（2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)．

【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點P(，)，且△ABP的面積與△AABC的面積相等，求的值．

思路點撥利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差．

注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面積來表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系．

【例5】在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象．

思路點撥先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線及其中的字母的取值范圍進(jìn)行分類討論，的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀．

注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對值函數(shù)．去掉絕對值符號，把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對值的一般思路．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤≤-2，則這個函數(shù)的解析式為．

2．已知，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第象限．

3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，其中超過150人時，要繳納公安消防保險費50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題：

(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0≤150時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150x≤200時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(3)當(dāng)售票數(shù)為時，不賠不賺；當(dāng)售票數(shù)滿足時，放影廳要賠本；若放影廳要獲得最大利潤200元，此時售票數(shù)應(yīng)為

(4)當(dāng)售票數(shù)滿足時，此時利潤比＝150時多．

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點，過P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)BP=，EF=，則能反映與之間關(guān)系的圖象是()

5．下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是()

6．小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進(jìn)若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了()

A．32元B．36元C．38元D．44元

7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量(微克)隨時間(小時)的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后．

(1)分別求出≤2和≥2時與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長?

8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系O中，使AB在軸的正半軸上，A點的坐標(biāo)是(1，0)

(1)經(jīng)過C點的直線與軸交于點E，求四邊形AECD的面積；

(2)若直線經(jīng)過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標(biāo)系中畫出直線．(2001年湖北省荊州市中考題)

9．如圖，已知點A與B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，2)

(1)求直線AB的解析式．

(2)過點C(2，0)的直線(與軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標(biāo)．

10．如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△POQ沿PQ翻折，點O落在R處，則點R的坐標(biāo)是．

11．在直角坐標(biāo)系O中，軸上的動點M（，0）到定點P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標(biāo)為．

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為(15，6)，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．

13．如果—條直線經(jīng)過不同的三點A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線經(jīng)過()象限．

A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四

14．一個一次函數(shù)的圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為A、B，并且過點(一l，—25)，則在線段AB(包括端點A、B)上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點有（）

A．4個B．5個C．6個D．7個

15．點A(一4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出()

A．1個B．2個C．3個D．4個

16．有—個附有進(jìn)、出水管的容器，每單位時間進(jìn)、出的水量都是一定的，設(shè)從某時刻開始5分鐘內(nèi)只進(jìn)不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時間(分)與水量(升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進(jìn)水，求這時(即≥20)y與之間的函數(shù)關(guān)系式．

17．如圖，△AOB為正三角形，點B坐標(biāo)為(2，0)，過點C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式．

18．在直角坐標(biāo)系中，有四個點A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求的值．

19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過試驗得到下列數(shù)據(jù)：

通過電流強(qiáng)度（單位A）11.71.92.12.4

氧化鐵回收率（%）7579888778

如圖建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示通過的電流強(qiáng)度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率．

（1）將試驗所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點表示（注：該圖中坐標(biāo)軸的交點代表點（1，70）；

（2）用線段將題（1）所畫的點從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫出該函數(shù)在1.7≤x≤2.4時的表達(dá)式；

（3）利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）．

20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動點P(x，0)在OB上移動(03)，過點P作直線與軸垂直．

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)△OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象；

(4)當(dāng)為何值時，直線平分△OBC的面積?

參考答案