高中拋物線(xiàn)教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽拋物線(xiàn)講座。

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽拋物線(xiàn)講座
一般地說(shuō)來(lái)，我們稱(chēng)函數(shù)(、、為常數(shù)，)為的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相關(guān)的知識(shí)有：
1．、、的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的大致位置；
2．拋物線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、開(kāi)口大小僅與相關(guān)，拋物線(xiàn)在頂點(diǎn)(，)處取得最值；
3．拋物線(xiàn)的解析式有下列三種形式：
①一般式：；
②頂點(diǎn)式：；
③交點(diǎn)式：，這里、是方程的兩個(gè)實(shí)根．
確定拋物線(xiàn)的解析式一般要兩個(gè)或三個(gè)獨(dú)立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線(xiàn)的解析式是解與拋物線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．
注：對(duì)稱(chēng)是一種數(shù)學(xué)美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對(duì)稱(chēng)關(guān)系，以便從整體上把握問(wèn)題，由拋物線(xiàn)捕捉對(duì)稱(chēng)信息的方式有：
(1)從拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等獲得對(duì)稱(chēng)信息；
(2)從拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程與拋物線(xiàn)被軸所截得的弦長(zhǎng)獲得對(duì)稱(chēng)信息．
【例題求解】
【例1】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的取值范圍是．
思路點(diǎn)撥由圖象知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，一4)，可求出，值，先求出時(shí)，對(duì)應(yīng)的值．

【例2】已知拋物線(xiàn)(0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1，0)，且滿(mǎn)足．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
思路點(diǎn)撥由條件大致確定拋物線(xiàn)的位置，進(jìn)而判定、、的符號(hào)；由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)得等式或不等式；運(yùn)用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．

【例3】如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線(xiàn)狀，MN＝4分米，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線(xiàn)上，問(wèn)這樣截下的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8分米?
思路點(diǎn)撥恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，易得出M、N及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線(xiàn)的解析式，設(shè)A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線(xiàn)解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．

注：把一個(gè)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要觀(guān)察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法，同一問(wèn)題有不同的建模方式，通過(guò)分析比較可獲得簡(jiǎn)解．
【例4】二次函數(shù)的圖象與軸交于A、兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與軸交于C點(diǎn)，且∠ACB＝90°．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)計(jì)兩種方案：作一條與軸不重合，與△ABC兩邊相交的直線(xiàn)，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的，寫(xiě)出所截得的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)(注：設(shè)計(jì)的方案不必證明)．

思路點(diǎn)撥(1)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過(guò)特殊點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計(jì)方案．

注：解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【例5】已知函數(shù)，其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求何值時(shí)，函數(shù)值最?。?br> 思路點(diǎn)撥將函數(shù)解析式通過(guò)變形得配方式，其對(duì)稱(chēng)軸為，因，，故函數(shù)的最小值只可能在取，，時(shí)達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類(lèi)討論．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，若拋物線(xiàn)與四條直線(xiàn)、、、所圍成的正方形有公共點(diǎn)，則的取值范圍是．
2．拋物線(xiàn)與軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為1，△ABC的面積為1，則的值為．
3．如圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；(2)若點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)上位于軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為．
4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線(xiàn)的特征寫(xiě)出如下含有、、三個(gè)字母的式子①，②，③，④，0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是(把你認(rèn)為正確的都填上)．
5．已知，點(diǎn)(，)，(，)，(，)都在函數(shù)的圖象上，則()
A．B．C．D．

6．把拋物線(xiàn)的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則有()
A．，B．，C．，c＝3D．，
7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)(，)所在的直角坐標(biāo)系是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

8．周長(zhǎng)是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(zhǎng)(m)的函數(shù)圖象大致是()

9．閱讀下面的文字后，回答問(wèn)題：
“已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，)，B(1，-2)，求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)．
題目中的橫線(xiàn)部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字．
(1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫(xiě)出求解過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由．
(2)請(qǐng)你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線(xiàn)上，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整．
10．如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．
(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的解析式；
(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少?

11．如圖，拋物線(xiàn)和直線(xiàn)()與軸、y軸都相交于A、B兩點(diǎn)，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸相交于C點(diǎn)，且∠ABC＝90°，求拋物線(xiàn)的解析式．

12．拋物線(xiàn)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直角三角形，則．
13．如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB的面積等于．
14．已知二次函數(shù)，一次函數(shù)．若它們的圖象對(duì)于任意的實(shí)數(shù)是都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為．
15．如圖，拋物線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是()
A．b=0B．S△ADC＝c2C．a(chǎn)c＝一1D．a(chǎn)+c＝0
16．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)…求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．
根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是()
A．過(guò)點(diǎn)(3，0)B．頂點(diǎn)是(2，一2)
C．在軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2D．與軸的交點(diǎn)是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數(shù)()的圖象上兩時(shí)，二次函數(shù)的值是()
A．B．C．2002D．5
18．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)1000噸，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：噸)與費(fèi)用(單位：萬(wàn)元)之間函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(單位：噸)與銷(xiāo)售單價(jià)(單位：萬(wàn)元／噸)之間函數(shù)的圖象是線(xiàn)段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售完，問(wèn)年產(chǎn)量是多少?lài)崟r(shí)，所獲毛利潤(rùn)最大?(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額一費(fèi)用)．
19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)：x＝m(m1)與軸交于點(diǎn)D．
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在直線(xiàn)x＝m(m1)上有一點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；
(3)在(2)成立的條件下，試問(wèn)：拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

20．已知二次函數(shù)及實(shí)數(shù)，求
(1)函數(shù)在一2x≤a的最小值；
(2)函數(shù)在a≤x≤a+2的最小值．
21．如圖，在直角坐標(biāo)：O中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4，)，且在軸上截得的線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為6．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在軸上求作一點(diǎn)P(不寫(xiě)作法)使PA+PC最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在軸的上方的拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

22．某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3(a≠0)，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線(xiàn)上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3上．
(1)請(qǐng)你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)所在直線(xiàn)的解析式；
(2)問(wèn)題(1)中的直線(xiàn)上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，你能找出它來(lái)嗎?并說(shuō)明理由；
(3)在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般——特殊—一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將你的猜想表述出來(lái)嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案

相關(guān)知識(shí)

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《拋物線(xiàn)形問(wèn)題》教案

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，到寫(xiě)教案課件的時(shí)候了。我們制定教案課件工作計(jì)劃，才能更好地安排接下來(lái)的工作！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？下面是小編精心為您整理的“九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《拋物線(xiàn)形問(wèn)題》教案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《拋物線(xiàn)形問(wèn)題》教案

教

學(xué)

目

標(biāo)

知識(shí)技能

1.能根據(jù)具體的問(wèn)題情境建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)求解，并根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性．

2．學(xué)會(huì)從多個(gè)角度思考問(wèn)題，逐步提高解決問(wèn)題的能力．

數(shù)學(xué)思考

1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究，體會(huì)建模的數(shù)學(xué)思想．

2．經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想．

問(wèn)題解決

通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)、解答，使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法，獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)．

情感態(tài)度

1.通過(guò)小組合作交流，提高合作意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神．

2．通過(guò)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

教學(xué)

重點(diǎn)

探究應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的方法.

教學(xué)

難點(diǎn)

如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型．

授課

類(lèi)型

新授課

課時(shí)

1

教具

多媒體

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)

步驟

師生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖

回顧

1.二次函數(shù)常見(jiàn)的表達(dá)式有哪幾種？

2.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，選擇不同表達(dá)式的條件是什么？

3.二次函數(shù)的應(yīng)用通常有哪些類(lèi)型？

在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上提出新的問(wèn)題，能為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)主動(dòng)思考、探索的氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

活動(dòng)

一：

創(chuàng)設(shè)

情境

導(dǎo)入

新課

問(wèn)題1：某涵洞是拋物線(xiàn)形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測(cè)得水面寬1．6m，涵洞頂點(diǎn)O到水面的距離為2．4m，在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi)，涵洞所在的拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式是什么？

二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝

根據(jù)問(wèn)題中的圖形為拋物線(xiàn)，由此可知本題應(yīng)該運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解答．

通過(guò)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

活動(dòng)

二：

實(shí)踐

探究

交流

新知

問(wèn)題2

一個(gè)涵洞成拋物線(xiàn)形，它的截面如圖,現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m．這時(shí)，離開(kāi)水面1.5m處，涵洞寬ED是多少？是否會(huì)超過(guò)1m？

二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝

學(xué)生合作解決問(wèn)題

活動(dòng)

二：

實(shí)踐

探究

交流

新知

2.歸納總結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)：

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

根據(jù)題意找出題目中的點(diǎn)的坐標(biāo)；

求出拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

直接利用圖象解決實(shí)際問(wèn)題．

2.通過(guò)總結(jié)拋物線(xiàn)類(lèi)型的實(shí)際問(wèn)題的解題步驟，使學(xué)生明確問(wèn)題的解答方法，思路清晰，明確了方向.

活動(dòng)

三：

開(kāi)放

訓(xùn)練

體現(xiàn)

應(yīng)用

問(wèn)題3，圖中是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在L時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時(shí)，水面寬度增加了多少？

二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和興趣，讓學(xué)生切實(shí)感受到數(shù)學(xué)就在身邊的親切感．讓學(xué)生學(xué)會(huì)將獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類(lèi)比遷移，并讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的建模思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

活動(dòng)三：應(yīng)用新知，解決問(wèn)題

問(wèn)題4：某工廠(chǎng)大門(mén)是一拋物線(xiàn)形的水泥建筑物,大門(mén)底部寬AB=4m,頂部C離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有載滿(mǎn)貨物的汽車(chē)欲通過(guò)大門(mén),貨物頂部距地面2.7m,裝貨寬度為2.4m.這輛汽車(chē)能否順利通過(guò)大門(mén)?若能,請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明;若不能,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝

二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝練習(xí)：有一拋物線(xiàn)拱橋，已知水位在AB位置時(shí)，水面的寬度是二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝m，水位上升4m就達(dá)到警戒線(xiàn)CD，這時(shí)水面寬是二次函數(shù)的應(yīng)用--拋物線(xiàn)形問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)楊光輝米．若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.5m速度上升，求水過(guò)警戒線(xiàn)后幾小時(shí)淹到拱橋頂端M處．

通過(guò)拋物線(xiàn)與常見(jiàn)生活情景相聯(lián)系的題目的展示，拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.

活動(dòng)

四：

課堂

總結(jié)

反思

【課堂總結(jié)】

1．課堂總結(jié)：

(1)談一談你在本節(jié)課中有哪些收獲，有哪些進(jìn)步．

(2)學(xué)完本節(jié)課后，你還存在哪些困惑？

2．布置作業(yè)：

教材P42的習(xí)題21.4.第4、5題

小結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)置能夠讓學(xué)生養(yǎng)成自主歸納課堂重點(diǎn)的習(xí)慣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

結(jié)識(shí)拋物線(xiàn)導(dǎo)學(xué)案

2.2結(jié)識(shí)拋物線(xiàn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．能夠作出函數(shù)y=x2的圖象，通過(guò)對(duì)圖像的觀(guān)察得出二次函數(shù)性質(zhì)。

2．猜想并能作出y=-x2的圖象，能比較它與y=x2的圖象的異同

知識(shí)回顧：

1．一次函數(shù)的表達(dá)式為圖象為

2、反比例函數(shù)的表達(dá)式為圖象為

3、二次函數(shù)的表達(dá)式為猜想一下它的圖象是什么形狀呢？

回顧一下，我們是怎樣研究一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的？作圖象的三步驟：、___、。

新知探究：

4、作二次函數(shù)的圖象

(1)列表：

(2)描點(diǎn)：(右圖)

(3)連線(xiàn)：（右圖）

用光滑的曲線(xiàn)連接各點(diǎn)

5、觀(guān)察二次函數(shù)的圖象，回答下列問(wèn)題：

(1)你能描述圖象的形狀嗎？它像。

(2)圖象與軸交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是。

(3)當(dāng)＜0時(shí)，的值隨著的增大而，

當(dāng)＞0時(shí)，的值隨著的增大而。

(4)當(dāng)取值時(shí)，的值最小，最小值是。

(5)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？它的對(duì)稱(chēng)軸

是

6、小結(jié)歸納：二次函數(shù)的圖象是一條，它的開(kāi)口向，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的，它是圖象的最點(diǎn)。

x－3－2－10123

y＝-x2

7、請(qǐng)?jiān)谧筮叺闹苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)二次函數(shù)y＝－x2的圖象,比較這兩個(gè)函數(shù)的圖象，你能發(fā)現(xiàn)什么？

8、歸納總結(jié)，思維提升

1、函數(shù)與y＝-的圖象的比較．

不同點(diǎn)：（1）開(kāi)口方向，開(kāi)口，y＝-開(kāi)口．

（2）．函數(shù)值隨自變量增大的變化趨勢(shì)不同。

（3）．有最低點(diǎn)，y＝-有最高點(diǎn)．在中y有值，即x=0時(shí)．y最小＝0，在y＝-中y有值．即當(dāng)x＝0時(shí)，y最大＝0．

相同點(diǎn)：（1）．圖象都是．

（2）．圖象都與x軸交于點(diǎn)()．

（3）．圖象都關(guān)于對(duì)稱(chēng)．

聯(lián)系：它們的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．

9、完成下表

拋物線(xiàn)y=x

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱(chēng)軸

位置

開(kāi)口方向

增減性

最值

鞏固練習(xí)

10、填空：

（1）拋物線(xiàn)y＝3x2的對(duì)稱(chēng)軸是_______________，頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________，當(dāng)x_________時(shí)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)都在x軸的上方；

（2）拋物線(xiàn)y＝－x2的開(kāi)口向________，除了它的頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)都在x軸的_________方，它的頂點(diǎn)是圖象的最___________點(diǎn)．

（3）二次函數(shù)的圖象開(kāi)口，當(dāng)＞0時(shí)，隨的增大而；當(dāng)＜0時(shí)，隨的增大而；當(dāng)＝0時(shí)，函數(shù)有最值是。

11.拋物線(xiàn)不具有的性質(zhì)是（）

A．開(kāi)口向下；B．對(duì)稱(chēng)軸是軸；

C．當(dāng)＞0時(shí)，隨的增大而減??；D．函數(shù)有最小值

12、拋物線(xiàn)共有的性質(zhì)是（）

A．開(kāi)口方向相同B．開(kāi)口大小相同

C．當(dāng)＞0時(shí)，隨的增大而增大D．對(duì)稱(chēng)軸相在函數(shù)

13、已知點(diǎn)A（－2，），B（4，）在二次函數(shù)的圖象上，則.

14、不畫(huà)圖象，說(shuō)出拋物線(xiàn)y＝－4x2和y＝x2的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開(kāi)口方向

課后反饋

1．函數(shù)y=x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．若點(diǎn)（a，4）在其圖象上，則a的值是．

2、若點(diǎn)A（2，m）在拋物線(xiàn)y=-x2上，則點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，它是否也在拋物線(xiàn)y=x2上。

3、關(guān)于函數(shù)y=x2圖像的說(shuō)法：①圖像是一條拋物線(xiàn)；②開(kāi)口向上；③是軸對(duì)稱(chēng)圖形；④過(guò)原點(diǎn)；⑤對(duì)稱(chēng)軸是y軸；⑥y隨x增大而增大；正確的有（）

A、3個(gè)B、4個(gè)C、5個(gè)D、6個(gè)

4、關(guān)于拋物線(xiàn)y=x2和y=-x2，下面說(shuō)法不正確的是（）

A、頂點(diǎn)相同B、對(duì)稱(chēng)軸相同C、開(kāi)口方向不相同D、都有最小值

5、直線(xiàn)y=-x+1與拋物線(xiàn)y=x2有（）

A、1個(gè)交點(diǎn)B、2個(gè)交點(diǎn)C、3個(gè)交點(diǎn)D、沒(méi)有交點(diǎn)

6、拋物線(xiàn)y=x2的對(duì)稱(chēng)軸為（）

Ax軸By軸C直線(xiàn)y=xD以上都不對(duì)

7、設(shè)邊長(zhǎng)為xcm的正方形的面積為ycm2，y是x的二次函數(shù)，該函數(shù)的圖象是下列各圖形中（）

8、點(diǎn)(-2，y1)、(-1，y2)在拋物線(xiàn)y=-x2上則y1_____y2.

9、請(qǐng)作出的函數(shù)圖像，并表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值以及增減性。

10.已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，－4），

求（1）函數(shù)的關(guān)系式；（2）＝4時(shí)的函數(shù)值(3)＝－8時(shí)的的值。

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽走進(jìn)追問(wèn)求根公式講座

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美．
降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，直接求解可能給解題帶來(lái)許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸?lái)代換，從而使問(wèn)題易于解決．解題時(shí)常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿(mǎn)足的整數(shù)n有個(gè)．

思路點(diǎn)撥從指數(shù)運(yùn)算律、±1的特征人手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程．

【例2】設(shè)、是二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路點(diǎn)撥求出、的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如，．

【例3】解關(guān)于的方程．
思路點(diǎn)撥因不知曉原方程的類(lèi)型，故需分及兩種情況討論．

【例4】設(shè)方程，求滿(mǎn)足該方程的所有根之和．
思路點(diǎn)撥通過(guò)討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解．

【例5】已知實(shí)數(shù)、、、互不相等，且，試求的值．
思路點(diǎn)撥運(yùn)用連等式，通過(guò)迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常見(jiàn)的變形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多項(xiàng)式代換；
(2)把方程（）變形為，代換后降次；
(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去．
解合字母系數(shù)方程時(shí)，在未指明方程類(lèi)型時(shí)，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對(duì)值方程需脫去絕對(duì)值符號(hào)，并用到絕對(duì)值一些性質(zhì)，如．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知、是實(shí)數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為．
2．已知，那么代數(shù)式的值是．

3．若，，則的值為．

4．若兩個(gè)方程和只有一個(gè)公共根，則()
A．B．C．D．
5．當(dāng)分式有意義時(shí)，的取值范圍是()
A．B．C．D．且
6．方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列關(guān)于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代數(shù)式的值．

9．是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根?如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：解公共根問(wèn)題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡(jiǎn)單形式表示時(shí)，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時(shí)，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過(guò)消去二次項(xiàng)尋找解題突破口．
10．若，則＝．
11．已知、是有理數(shù)，方程有一個(gè)根是，則的值為．
12．已知是方程的一個(gè)正根。則代數(shù)式的值為．
13．對(duì)于方程，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為3個(gè)，則m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然數(shù)滿(mǎn)足，這樣的的個(gè)數(shù)是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是負(fù)實(shí)數(shù)，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無(wú)理數(shù)．

參考答案