小學三年級數(shù)學教案

九年級數(shù)學競賽圓冪定理教案。

【例題求解】
【例1】如圖，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于A、B兩點，且與直徑CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB=．
(成都市中考題)
思路點撥綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長．

注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學習是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個階段：
(1)平行線分線段對應成比例；
(2)相似三角形對應邊成比例；
(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；
(4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來．

【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長為()
A．3B．4C．D．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
思路點撥連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創(chuàng)設條件．

注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數(shù)化獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關鍵．

【例3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過A點的直線，∠PAC=∠B．
(1)求證：PA是⊙O的切線；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長和∠ECB的正切值．
(北京市海淀區(qū)中考題)
思路點撥直徑、切線對應著與圓相關的豐富知識．(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問中的比例式，把相應線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關系，建立x或k的方程．

【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE
(四川省競賽題)
思路點撥由切割線定理得EG2=EFEP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP，這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉化為線段等積式的證明．

注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉化問題的橋梁．
需要注意的是，圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中．
【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長．
(成都市中考題)
思路點撥解決本例的基礎是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質定理及角與線段的轉化方法．對于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對于(2)，從△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．

注：當直線形與圓結合時就產(chǎn)生錯綜復雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關綜合題的關鍵，分析圖形可從以下方面入手：
(1)多視點觀察圖形．如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理．
(2)多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形．
(3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系．

學力訓練
1．如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長為．
(紹興市中考題)
2．如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是⊙O的切線，D為切點，過點B作⊙O的切線交CD于點F，若AB=CD=2，則CE=．
(天津市中考題)

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為()
A．6．4B．3．2C．3．6D．8
(蘇州市中考題)

5．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA、PB的長分別為方程的兩根，則此圓的直徑為()
A．B．C．D．
(昆明市中考題)

6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結論：①CH2=AHBH；②AD＝AC：③AD2=DFDP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
(福州市中考題)
7．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AD⊥BC于點D．
(1)若∠B=30°，問AB與AP是否相等?請說明理由；
(2)求證：PDPO=PCPB；
(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長．
(紹興市中考題)
8．如圖，已知PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B、C，PD⊥AB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連CE并延長交⊙O于點F，連AF．
(1)求證：△PBD∽△PEC；
(2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半徑的長．
(北京市崇文區(qū)中考題)
9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關于x的方程(其中為實數(shù))的兩根．
(1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求∠A的度數(shù)．
(山西省中考題)

10．如圖，△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC=．
(山東省臨沂市中考題)

11．如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD=．
12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(2)，則PH=()
A．B．C．D．
13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長為()
A．B．C．D．1
14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B
E交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC．
(太原市競賽題)
15．已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點，連結AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點，連結OF．
(1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關系，并證明你的結論；
(3)求BH:HC(四川省中考題)
16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的長．
(國家理科實驗班招生試題)
JaB88.cOm

17．如圖，⊙O的直徑的長是關于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B、C是直線PBC與⊙O的交點，若PA、PB、PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA+PB+PC的值．(全國初中數(shù)學競賽題)

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九年級數(shù)學競賽輔助圓輔導教學案

教案課件是每個老師工作中上課需要準備的東西，是認真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計劃，才能促進我們的工作進一步發(fā)展！你們知道多少范文適合教案課件？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學競賽輔助圓輔導教學案”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

【例題求解】

【例1】如圖，直線AB和AC與⊙O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為．

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)

思路點撥連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關系，證明△PDF∽△PFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關鍵．

注：圓具有豐富的性質：

(1)圓的對稱性；

(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉化；

(3)與圓相關的角；

(4)圓中比例線段．

適當發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復雜性，有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”．

【例2】如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則ADDC等于()

A．6B．7C．12D．16

(“TI”杯全國初中數(shù)學競賽題)

思路點撥作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應用創(chuàng)設了條件．

注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法．

【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點共圓．

思路點撥先作出△ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉化為證明角相等．

【例4】如圖，P是⊙O外一點，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，AD⊥PO于D．求證：．

思路點撥因所證比例線段不是對應邊，故不能通過判定△PBD與△PCD相似證明．PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到證明的目的．

注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉移，而且可直接運．用圓的性質為解題服務．

【例5】如圖，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G為△ABC內(nèi)的一點，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，連結HG，求證：HG平分∠BHF．

思路點撥經(jīng)計算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆為等腰直角三角形，只需證∠GHB=∠GHF=22.5°．

由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉化靈活的特點證明．

注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解．

學力訓練

1．如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，則PB的長為．

(北京市競賽題)

2．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點Pl、P2，…P100，記（i=1，2，…100），則=．

3．設△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有()

A．3個B．4個C．5個D．6個

(2000年太原市競賽題)

4．如圖，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，則∠ACB是∠BAC的()

A．倍B．是倍C．D．

5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點P在線段AD上，滿足條件的∠BPC=90°的點P的個數(shù)為()

A．0B．1C．21D．不小于3的整數(shù)

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)

6．如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，S△ABC=18，S△DEC=2，則COSC等于()

A．3B．C．D．

7．如圖；已知H是△ABC三條高的交點，連結DF，DE，EF，求證：H是△DEF的內(nèi)心．

8．如圖，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TD⊥AB，TE⊥AC．

求證：(1)∠AHD=∠AHE；(2)(陜西省競賽題)

9．如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求證：∠BAC=∠CAD=∠DAK，

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)

10．如圖，P是⊙O外一點，PA和PB是⊙O的切線，A，B為切點，PO與AB交于點M，過M任作⊙O的弦CD．求證：∠CPO=∠DPO．

11．如圖，已知點P是⊙O外一點，PS、PT是⊙O的兩條切線，過點P作⊙O的割線PAB，交⊙OA、B兩點，與ST交于點C．求證：

(國家理科實驗班招生試題)

九年級數(shù)學競賽直線與圓專題輔導講座

每個老師不可缺少的課件是教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。將教案課件的工作計劃制定好，新的工作才會如魚得水！你們會寫一段適合教案課件的范文嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學競賽直線與圓專題輔導講座”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

注：點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點．

【例題求解】

【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長為．

思路點撥從C點看，可用切線長定理，從E點看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．

注：連結圓心與切點是一條常用的輔助線，利用切線的性質可構造出直角三角形，在圓的證明與計算中有廣泛的應用．

【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點P是圓上異于B、C的一個動點，則∠BPC的度數(shù)是()

A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°

(山西省中考題)

思路點撥略

【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結論：DE是⊙O的切線．

問：(1)若點O在AB上向點B移動，以O為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結論是否還成立?請說明理由；

(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)

【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合)．

(1)當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段PC的長；

(2)當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．(廣州市中考題)

思路點撥對于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點，建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．

注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題，判定的基本方法有：

(1)從直線與圓交點個數(shù)入手；

(2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直；

(3)運用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．

一個圓的問題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進而可得不同的證法，對于分層次設問的問題，需整體考慮；

【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，︵AC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作︵AC所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點．

（1）當∠DEF=45°時，求證點G為線段EF的中點；

（2）設AE=x，F(xiàn)C=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當EF=時，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由．

(上海市中考題)

思路點撥圖中有多條⊙B的切線，由切線長定理可得多對等長線段，這是解(1)、(2)問的基礎，對于(3)，由(2)求出的值，確定E點位置，這是解題的關鍵．

注：本例將幾何圖形置于直角坐標系中，綜合了圓的有關性質、相似三角形的判定與性質、切線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等豐富的知識，并結合了待定系數(shù)法、數(shù)形互

助等思想方法，具有較強的選拔功能．

學力訓練

1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O于M點，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長為．(河北省中考題)

2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點C是⊙O上異于A、B的任意一點，則

∠ACB=．

3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．(重慶市中考題)

4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過點D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是．

(武漢市中考題)

5．、表示直線，給出下列四個論斷：①∥；②切⊙O于點A；③切⊙O于點B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結論，可以構造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個數(shù)為()

1B．2C．3D．4

(江蘇鎮(zhèn)江市中考題)

6．如圖，圓心O在邊長為的正方形ABCD的對角線BD上，⊙O過B點且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()

A．B．C．D．

(廣西玉林市中考題)

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BCDC，若腰DC上有一點P，使AP⊥BP，則這樣的點()

A．不存在B．只有一個C．只有兩個D．有無數(shù)個

(大連市中考題)

8．如圖，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列結論：①CH=CP；②AD=DB；③AP＝BH；④DH為圓的切線，其中一定成立的是()

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(武漢市中考題)

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，

(1)求弦AC、AB的長；

(2)若P為CB的延長線上一點，試確定P點的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結論．

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PEPO．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；

(3)求sin∠PCA的值．(長沙市中考題)

11．(1)如圖a，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②ACAD=AEAF．

(2)在問題(1)中，當直線向上平行移動與⊙O相切時，其他條件不變．

①請你在圖b中畫出變化后的圖形，并對照圖a標記字母；

②問題(1)中的兩個結論是否成立?如果成立，請給出證明；如不成立，請說明理由．

(遼寧省中考題)

12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．

(1)當∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．

(2)當QP⊥AB時，△QCP的形狀是三角形．

(3)由(1)、(2)得出的結論，請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是三角形．(吉林省中考題)

14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長為()

A．2B．3C．3．5D．4

15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B切點，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結論：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正確結論的個數(shù)有()

A．3個B．2個C．1個D．0個

16．如圖，已知△ABC，過點A作外接圓的切線交BC的延長線于點P，，點D在AC上，且，延長PD交AB于點E，則的值為()

A．B．C．D．

(太原市競賽題)

17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過點A的半圓的切線．在AB上任取一點C(點C與A、B不重合)，過點C作半圓的切線CD交AP于點D；過點C作CE⊥AB，垂足為E．連結BD，交CE于點F．

(1)當點C為AB的中點時(如圖1)，求證：CF＝EF；

(2)當點C不是AB的中點時(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關系是否保持不變，并證明你的結論．(蘇州市中考題)

18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點E．

(1)求證：△ADE∽△ABC；

(2)設⊙D與BC交于點F，當CF=2時，求CD的長；

(3)設CD=，試給出一個值，使⊙D與BC沒有公共點，并說明你給出的值符合的要求．

(浙江省中考題)

19．如圖，PA、PB與⊙O切于A、B兩點，PC是任意一條割線，且交⊙O于點E、C，交AB于點D．求證：

(天津市選拔賽試題)

20．如圖，⊙Oˊ與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，圓心Oˊ的坐標是(1，一1)，半徑是，

(1)求A、B、C、D四點的坐標；

(2)求經(jīng)過點D的切線的解析式；

(3)問過點A的切線與過點D的切線是否垂直?若垂直，請寫出

證明過程；若不垂直，試說明理由．

21．當你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想?如圖，設墻壁上的展品最高處點P距離地面a米，最低處點Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點E距離地面m米，當過P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想．

(1)設點E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關系式；

(2)當a=2.5，b=2，m=1.6時，求：

(a)點E和墻壁距離x米；(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度)．

(常州市中考題)

九年級數(shù)學競賽轉化靈活的圓中角講座

【例題求解】
【例1】如圖，直線AB與⊙O相交于A，B再點，點O在AB上，點C在⊙O上，且∠AOC＝40°，點E是直線AB上一個動點(與點O不重合)，直線EC交⊙O于另一點D，則使DE=DO的點正共有個．
思路點撥在直線AB上使DE=DO的動點E與⊙O有怎樣的位置關系?
分點E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點在⊙O外)三種情況考慮，通過角度的計算，確定E點位置、存在的個數(shù)．

注：弧是聯(lián)系與圓有關的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關的角相互轉化的基本方法．
【例2】如圖，已知△ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點，經(jīng)過點A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點E、F、M，對于如下五個結論：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結論的個數(shù)是()
A．2個B．3個C．4個D．5個
思路點撥充分運用與圓有關的角，尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗證．
注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇．
【例3】如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面積．
思路點撥由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點，這是解本例的關鍵．

【例4】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結AC，過點C作直線CD⊥AB于D(ADDB)，點E是AB上任意一點(點D、B除外)，直線CE交⊙O于點F，連結AF與直線CD交于點G．
(1)求證：AC2=AG×AF；
(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點，上述結論是否仍然成立?若成立．請畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由．
思路點撥(1)作出圓中常用輔助線證明△ACG∽△AFC；
（2）判斷上述結論在E點運動的情況下是否成立，依題意準確畫出圖形是關鍵．

注：構造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件．
【例5】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線AD、BE、CF相交于一點Q，設AD與CF的交點為P．
求證：（1）；(2)．
思路點撥解本例的關鍵在于運用與圓相關的角，能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形．
(1)證明△QDE∽△ACF；(2)易證，通過其他三角形相似并結合(1)把非常規(guī)問題的證明轉化為常規(guī)問題的證明．
注：有些幾何問題雖然表面與圓無關，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點，就能運用圓的豐富性質為解題服務，確定四點共圓的主要方法有：
(1)利用圓的定義判定；
(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質的逆命題判定．

學歷訓練
1．一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為．
2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的一點，則∠1+∠2=．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點，延長AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，則EF的長為．
4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，設⊙O的半徑為，AB的長為，用的代數(shù)式表示，=．
5．如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()
A．120°B．136°C．144°D．150°
6．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，則∠BOC等于()
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點，AB=，BC=2，則∠D的度數(shù)為()
A．60°B．120°C．135°D．150°
8．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，點P是弧AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F．給出下列四個結論：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
9．如圖，已知B正是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．
(1)求證：ACBC=BECD；
(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長．

10．如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連結FB，F(xiàn)C．
(1)求證：FB=FC；
(2)求證：FB2=FAFD；
(3)若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長．
11．如圖，B、C是線段AD的兩個三等分點，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(B、C點除外)，則tan∠APBtan∠CPD=．
12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，則四邊形ABCD的面積為．
13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，則BC=．
14．如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點，∠B=40°，則∠A等于()
A．60°B．50°C．80°D．70°
15．如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，則⊙O的面積為()
A．25πB．16πC．15πD．13π
(2001年紹興市競賽題)

16．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過A、D兩點的圓與AB、AC分別相交于點E、F，弦EF與AD相交于點G，則圖中與△GDE相似的三角形的個數(shù)為()
A．5B．4C．3D．2
17．如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積．
18．如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點，且有∠BAE=∠DAC．
求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+ADBC＝ACBD．

19．如圖，已知P是⊙O直徑AB延長線上的一點，直線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF⊥AB于點H，CF交AB于點E．
(1)求證：PAPB=POPE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長．
20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B為銳角，且關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(點D不與點A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于點E，交AC于點F．
(1)求∠B的度數(shù)；
(2)求CE的長；
(3)求證：DA、DC的長是方程的兩個實數(shù)根．
參考答案