小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)的教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽明快簡(jiǎn)捷—構(gòu)造方程的妙用講座。

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識(shí)與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是：

1．利用根的定義構(gòu)造

當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)闯墒顷P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程的兩根．

2．利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造

若問(wèn)題中有形如，的關(guān)系式時(shí)，則、可看作方程的兩實(shí)根．

3．確定主元構(gòu)造

對(duì)于含有多個(gè)變?cè)牡仁剑梢詫⒌仁秸頌殛P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程．

成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃?、廣泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡(jiǎn)捷、出奇制勝的效果．

注：許多數(shù)學(xué)問(wèn)題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以已知條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問(wèn)題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問(wèn)題在新的形式下獲得簡(jiǎn)解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法．

【例題求解】

【例1】已知、是正整數(shù)，并且，，則．

思路點(diǎn)撥，變形題設(shè)條件，可視、為某個(gè)一元二次方程兩根，這樣問(wèn)題可從整體上獲得簡(jiǎn)解．

【例2】若，且有及，則的值是()

A．B．C．D．

思路點(diǎn)撥第二個(gè)方程可變形為，這樣兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入手．

【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，且，求的取值范圍．

思路點(diǎn)撥由兩個(gè)等式可求出、的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間．

【例4】已知實(shí)數(shù)、、滿足，．

(1)求、、中最大者的最小值；

(2)求的最小值．

思路點(diǎn)撥不妨設(shè)a≥b，a≥c，由條件得，．構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過(guò)△≥0探求的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解(2)．

注：構(gòu)造一元二次方程，在問(wèn)題有解的前提下，運(yùn)用判別式△≥0，建立含參數(shù)的不等式，

縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用．

【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù)．(2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

思路點(diǎn)撥設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為，，則有，將此方程整理成關(guān)于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定(或)的取值范圍．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是，則的取值范圍是．

2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的兩個(gè)根，則m的值是．

3．已知、滿足，，則=．

4．已知，，，則的值為()

A．2B．-2C．-1D．0

5．已知梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為()

A．21B．25C．26D．36

6．如圖，菱形A6CD的邊長(zhǎng)是5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO、BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則m的值為()

A．一3B．5C．5或一3n一5或3

7．已知，，其中、為實(shí)數(shù)，求的值．

8．已知和是正整數(shù)，并且滿足條件，，求的值．

9．已知，，其中m、n為實(shí)數(shù)，則＝．

10．如果、、為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式與，那么的取值范圍是．

11．已知，則=，=．；

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長(zhǎng)為根的一元二次方程是．

13．已知、、均為實(shí)數(shù)，且，，求的最小值．

14．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，求的取值范圍．

15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且．

(1)求∠B的度數(shù)；

(2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線與BC相交于點(diǎn)F，當(dāng)，求作以CF、DF的長(zhǎng)為根的一元二次方程．

16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值，那么當(dāng)與△BDE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，存在直線DE，有幾條?

參考答案

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九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽坐標(biāo)平面上的直線講座

每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫(xiě)好教案課件工作計(jì)劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會(huì)寫(xiě)一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽坐標(biāo)平面上的直線講座”，相信能對(duì)大家有所幫助。

一般地，若(，是常數(shù)，)，則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式6中的系數(shù)符號(hào)，決定圖象的大致位置及單調(diào)性(隨的變化情況)．如圖所示：

一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個(gè)一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個(gè)二元一次方程；任意一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如()的函數(shù)形式．坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．

【例題求解】

【例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，若過(guò)B、P兩點(diǎn)的直線為，過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線為，且BP⊥AP，則=．

思路點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)坐標(biāo)，只需運(yùn)用幾何知識(shí)建立OP的等式即可．

【例2】設(shè)直線(為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為()

A．1B．C．D．

思路點(diǎn)撥求出直線與軸、軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示．

【例3】某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過(guò)程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為分鐘，Q1、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：

(1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需多少分鐘?

(2)求加油過(guò)程中，運(yùn)輸飛機(jī)的余油量Q1(噸)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時(shí)到達(dá)目的地，油料是否夠用?說(shuō)明理由．

思路點(diǎn)撥對(duì)于(3)，解題的關(guān)鍵是先求出運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量．

注：（1）當(dāng)自變量受限制時(shí)，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點(diǎn)，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時(shí)，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．

（2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)時(shí)，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點(diǎn)坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)．

【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(，)，且△ABP的面積與△AABC的面積相等，求的值．

思路點(diǎn)撥利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差．

注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問(wèn)題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面積來(lái)表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系．

【例5】在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點(diǎn)的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出它們的圖象．

思路點(diǎn)撥先畫(huà)出符合題意的圖形，然后對(duì)不確定折線及其中的字母的取值范圍進(jìn)行分類討論，的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀．

注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對(duì)值符號(hào)在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù)．去掉絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對(duì)值的一般思路．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤≤-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式為．

2．已知，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)第象限．

3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，其中超過(guò)150人時(shí)，要繳納公安消防保險(xiǎn)費(fèi)50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0≤150時(shí)，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150x≤200時(shí)，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(3)當(dāng)售票數(shù)為時(shí)，不賠不賺；當(dāng)售票數(shù)滿足時(shí)，放影廳要賠本；若放影廳要獲得最大利潤(rùn)200元，此時(shí)售票數(shù)應(yīng)為

(4)當(dāng)售票數(shù)滿足時(shí)，此時(shí)利潤(rùn)比＝150時(shí)多．

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點(diǎn)，過(guò)P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BP=，EF=，則能反映與之間關(guān)系的圖象是()

5．下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是()

6．小李以每千克0.8元的價(jià)格從批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干千克西瓜到市場(chǎng)去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價(jià)0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了()

A．32元B．36元C．38元D．44元

7．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)了一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時(shí)時(shí)血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時(shí)時(shí)血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量(微克)隨時(shí)間(小時(shí))的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后．

(1)分別求出≤2和≥2時(shí)與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時(shí)在治療疾病時(shí)是有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間是多長(zhǎng)?

8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系O中，使AB在軸的正半軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)

(1)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)E，求四邊形AECD的面積；

(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出直線．(2001年湖北省荊州市中考題)

9．如圖，已知點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，2)

(1)求直線AB的解析式．

(2)過(guò)點(diǎn)C(2，0)的直線(與軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點(diǎn)P，若截得的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

10．如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，把△POQ沿PQ翻折，點(diǎn)O落在R處，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是．

11．在直角坐標(biāo)系O中，軸上的動(dòng)點(diǎn)M（，0）到定點(diǎn)P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15，6)，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．

13．如果—條直線經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線經(jīng)過(guò)()象限．

A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四

14．一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線平行，與軸、軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過(guò)點(diǎn)(一l，—25)，則在線段AB(包括端點(diǎn)A、B)上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點(diǎn)有（）

A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)

15．點(diǎn)A(一4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫(huà)出()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

16．有—個(gè)附有進(jìn)、出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)、出的水量都是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開(kāi)始5分鐘內(nèi)只進(jìn)不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時(shí)間(分)與水量(升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進(jìn)水，求這時(shí)(即≥20)y與之間的函數(shù)關(guān)系式．

17．如圖，△AOB為正三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，0)，過(guò)點(diǎn)C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式．

18．在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求的值．

19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會(huì)污染大氣，某裝置可通過(guò)回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過(guò)的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過(guò)試驗(yàn)得到下列數(shù)據(jù)：

通過(guò)電流強(qiáng)度（單位A）11.71.92.12.4

氧化鐵回收率（%）7579888778

如圖建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示通過(guò)的電流強(qiáng)度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率．

（1）將試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點(diǎn)表示（注：該圖中坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代表點(diǎn)（1，70）；

（2）用線段將題（1）所畫(huà)的點(diǎn)從左到右順次連接，若用此圖象來(lái)模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過(guò)電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫(xiě)出該函數(shù)在1.7≤x≤2.4時(shí)的表達(dá)式；

（3）利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時(shí)，該裝置通過(guò)的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）．

20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動(dòng)點(diǎn)P(x，0)在OB上移動(dòng)(03)，過(guò)點(diǎn)P作直線與軸垂直．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)△OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫(xiě)出S與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出(2)中的函數(shù)的圖象；

(4)當(dāng)為何值時(shí)，直線平分△OBC的面積?

參考答案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽從創(chuàng)新構(gòu)造入手專題教案

【例題求解】
【例1】設(shè)、、、都為實(shí)數(shù)，，滿足，求證：．
思路點(diǎn)撥可以從展開(kāi)已知等式、按比例性質(zhì)變形已知等式等角度嘗試．仔細(xì)觀察已知等式特點(diǎn)，、可看作方程的兩根，則，通過(guò)構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻．

注：一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；利用具體問(wèn)題的特殊性，給所解決的問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)框架，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等．
【例2】求代數(shù)式的最小值．
思路點(diǎn)撥用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值．
，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在軸上求一點(diǎn)C(1，0)，使它到兩點(diǎn)A(一1，1)和B(2，3)的距離和(CA+CB)最小，利用對(duì)稱性可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．這樣，通過(guò)構(gòu)造圖形而使問(wèn)題獲解．

【例3】已知、為整數(shù)，方程的兩根都大于且小于0，求和的值．
思路點(diǎn)撥利用求根公式，解不等式組求出、的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難．由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，令，從討論拋物線與軸交點(diǎn)在與0之間所滿足的約束條件入手．
【例4】如圖，在矩形ABCD中，AD=，AB=，問(wèn)：能否在Ab邊上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成三個(gè)彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點(diǎn)有幾個(gè)?若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由．
思路點(diǎn)撥假設(shè)在AB邊上存在點(diǎn)E，使Rt△ADE∽R(shí)t△BEC∽R(shí)t△ECD，又設(shè)AE=，則，即，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程是否有實(shí)根，在一定條件下有幾個(gè)實(shí)根的研究，通過(guò)構(gòu)造方程解決問(wèn)題．

【例5】試證：世界上任何6個(gè)人，總有3人彼此認(rèn)識(shí)或者彼此不認(rèn)識(shí)．
思路點(diǎn)撥構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點(diǎn)”，把2個(gè)人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段．比如2個(gè)人彼此認(rèn)識(shí)就把連接2個(gè)人的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段染成紅色；2個(gè)人彼此不認(rèn)識(shí)，就把相應(yīng)的線段染成藍(lán)色，這樣，有3個(gè)人彼此認(rèn)識(shí)就是存在一個(gè)3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個(gè)3邊都是藍(lán)色的三角形，這樣本題就化作：
已知有6個(gè)點(diǎn)，任何3點(diǎn)不共線，每2點(diǎn)之間用線段連結(jié)起來(lái)，并染上紅色或藍(lán)色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形．

注：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺少時(shí)難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在：
(1)幾何問(wèn)題代數(shù)化；
(2)利用圖形圖表解代數(shù)問(wèn)題；
(3)構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解．
利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進(jìn)行計(jì)算或證明．
特別地，證明幾何存在性的問(wèn)題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達(dá)定理，討論幾何圖形位置的可能性．
有些問(wèn)題可通過(guò)改變形式或換個(gè)說(shuō)法，構(gòu)造等價(jià)命題或輔助命題，使問(wèn)題清晰且易于把握．
對(duì)于存在性問(wèn)題，可根據(jù)問(wèn)題要求構(gòu)造出一個(gè)滿足條件的結(jié)論對(duì)象，即所謂的存在性問(wèn)題的“構(gòu)造性證明”．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．若關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
2．已知、、、是四個(gè)不同的有理數(shù)，且，，那么的值是．
3．代數(shù)式的最小值為．
4．A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個(gè)隊(duì)已經(jīng)分別比賽了5、4、3、2、1場(chǎng)，則還未與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是．
5．若實(shí)數(shù)、滿足，且，則的取值范圍是．
6．設(shè)實(shí)數(shù)分別、分別滿足，，并且，求的值．
7．已知實(shí)數(shù)、、滿足，求證：．
8．寫(xiě)出10個(gè)不同的自然數(shù)，使得它們中的每個(gè)是這10個(gè)數(shù)和的一個(gè)約數(shù)，并說(shuō)明寫(xiě)出的10個(gè)自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由．
9．求所有的實(shí)數(shù)，使得．
10．若是不全為零且絕對(duì)值都小于106的整數(shù)．求證：．
11．已知關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．
12．設(shè)0，求證．
13．從自然數(shù)l，2，3，…354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差為177．
14．已知、、、、是滿足，的實(shí)數(shù)，試確定的最大值．

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽走進(jìn)追問(wèn)求根公式講座

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美．
降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，直接求解可能給解題帶來(lái)許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸?lái)代換，從而使問(wèn)題易于解決．解題時(shí)常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足的整數(shù)n有個(gè)．

思路點(diǎn)撥從指數(shù)運(yùn)算律、±1的特征人手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程．

【例2】設(shè)、是二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路點(diǎn)撥求出、的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如，．

【例3】解關(guān)于的方程．
思路點(diǎn)撥因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論．

【例4】設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和．
思路點(diǎn)撥通過(guò)討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解．

【例5】已知實(shí)數(shù)、、、互不相等，且，試求的值．
思路點(diǎn)撥運(yùn)用連等式，通過(guò)迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常見(jiàn)的變形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多項(xiàng)式代換；
(2)把方程（）變形為，代換后降次；
(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去．
解合字母系數(shù)方程時(shí)，在未指明方程類型時(shí)，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對(duì)值方程需脫去絕對(duì)值符號(hào)，并用到絕對(duì)值一些性質(zhì)，如．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知、是實(shí)數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為．
2．已知，那么代數(shù)式的值是．

3．若，，則的值為．

4．若兩個(gè)方程和只有一個(gè)公共根，則()
A．B．C．D．
5．當(dāng)分式有意義時(shí)，的取值范圍是()
A．B．C．D．且
6．方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列關(guān)于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代數(shù)式的值．

9．是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根?如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：解公共根問(wèn)題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡(jiǎn)單形式表示時(shí)，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時(shí)，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過(guò)消去二次項(xiàng)尋找解題突破口．
10．若，則＝．
11．已知、是有理數(shù)，方程有一個(gè)根是，則的值為．
12．已知是方程的一個(gè)正根。則代數(shù)式的值為．
13．對(duì)于方程，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為3個(gè)，則m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然數(shù)滿足，這樣的的個(gè)數(shù)是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是負(fù)實(shí)數(shù)，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無(wú)理數(shù)．

參考答案