一元二次方程高中教案

一元二次方程的解法導學案。

班級姓名學號
學習目標
1、了解形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接開平方法
2、會用直接開平方法解一元二次方程
學習重點：會用直接開平方法解一元二次方程
學習難點：理解直接開平方法與平方根的定義的關系
教學過程
一、情境引入：
1.我們曾學習過平方根的意義及其性質，現在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質?
如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。記作x=，即x=或x=。
如：9的平方根是±3，的平方根是
平方根有下列性質：
(1)一個正數有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數的；
(2)零的平方根是零；
(3)負數沒有平方根。
2如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
二、探究學習：
1．嘗試：
（1）根據平方根的意義，x是4的平方根，∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）為：x1=2，x2=－2
（2）移項，得x2=2
根據平方根的意義，x就是2的平方根，∴x=
即此一元二次方程的解（或根）為：x1=，x2=
2．概括總結．
什么叫直接開平方法？
像解x2=4，x2-2=0這樣，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。
說明：運用“直接開平方法”解一元二次方程的過程，就是把方程化為形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根據平方根的意義求解
3.概念鞏固：
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接開平方法求解，且有兩個實數根，則m、n必須滿足的條件是（）
A.n=0B.m、n異號C.n是m的整數倍D.m、n同號
4.典型例題：
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移向，得x2=1.21（2）移向，得4x2=1
∵x是1.21的平方根兩邊都除以4，得x2=
∴x=±1.1∵x是的平方根
即x1=1.1，x2=-1.1∴x=
即x1=，x2=
例2解下列方程：
⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0
⑶12（3－2x）2－3=0
分析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解；第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可。
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1=
即x1=-1+，x2=-1-
（2）移項，得（x-1）2=4
∵x-1是4的平方根
∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
(3)移項，得12（3-2x）2=3
兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25
∵3-2x是0.25的平方根
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1=，x2=
例3解方程(2x－1)2=(x－2)2
分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同樣可以用直接開平方法求解
解：2x-1=
即2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
5.探究：（1）能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？
如果一個一元二次方程具有（x＋h）2=k（k≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解。
（2）用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數的一個完全平方式，右邊是非負數的形式，然后用平方根的概念求解
(3)任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明
6.鞏固練習：
（1）下列解方程的過程中，正確的是（）
①x2=-2,解方程，得x=±
②(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
③4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,x1=;x2=
④(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4
（2）解下列方程：
①x2=16②x2-0.81=0③9x2=4④y2-144=0
（3）解下列方程：
①（x-1）2=4②（x+2）2=3
③（x-4）2-25=0④（2x+3）2-5=0
⑤（2x-1）2=（3-x）2
（4）一個球的表面積是100cm2，求這個球的半徑。（球的表面積s=4R2，其中R是球半徑）
三、歸納總結：
1、不等關系在日常生活中普遍存在.
2、用不等號表示不等關系的式子叫做不等式.
3、列不等式表示不等關系.

4.2一元二次方程的解法（1）
【課后作業(yè)】
班級姓名學號
1、用直接開平方法解方程（x＋h）2=k，方程必須滿足的條件是（）
A．k≥oB．h≥oC．hk＞oD．k＜o
2、方程（1-x）2=2的根是（）
A.-1、3B.1、-3C.1-、1+D.-1、+1

3、解下例方程

（1）36－x2＝0；(2)4x2=9（3）3x2－＝0(4)(2x+1)2-3=0

(5)81(x-2)2=16；(6)(2x－1)2=(x－2)2(7)=0(a≥0)(8)(ax+c)2=d(a≠0,d≥0)
4.便民商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤為3025元，這兩個月利潤的平均月增長的百分率是多少？
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一元二次方程導學案

第1課時一元二次方程
一、學習目標1．理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，會把一個一元二次方程化為一般形式；
3．會判斷一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項；
4．理解一元二次方程根的概念．
二、知識回顧1．多項式3x2y-2x-1是三次二項式，其中最高次項是3x2y，二次項系數為0，一次項系數為-2，常數項是-1．
2．含有未知數的等式叫方程，我們學過的方程類型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．
三、新知講解1．一元二次方程的概念
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
概念解讀：（1）等號兩邊都是整式；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2．三個條件缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次項，a是二次項系數；
bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．
概念解讀：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要組成部分.如果明確了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隱含了a≠0這個條件；
（2）二次項系數、一次項系數和常數項都是在一般形式下定義的，各項的系數包括它前面的符號．
3．一元二次方程的根的概念
使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．
概念解讀：（1）一元二次方程可能無解，但是有解就一定有兩個解；（2）可用代入法檢驗一個數是否是一元二次方程的解．
四、典例探究

1．根據定義判斷一個方程是否是一元二次方程
【例1】（2015浠水縣校級模擬）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2+2x﹣y=3B．C．（3x2﹣1）2﹣3=0D．x2﹣8=x
總結：一元二次方程必須滿足四個條件：
是整式方程；
含有一個未知數；
未知數的最高次數是2；
二次項系數不為0.
練1（2015科左中旗校級一模）關于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求當a=時，方程是一元二次方程；當a=時，方程是一元一次方程．

2．把一元二次方程化成一般形式（寫出其二次項系數、一次項系數和常數項）
【例2】（2014秋忠縣校級期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次項系數是，一次項系數是，常數項是．
總結：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）
（1）特別要注意a≠0的條件；
（2）在一般形式中，ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項，其中a，b，c分別叫二次項系數、一次項系數和常數項．
練2將方程x(x-1)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項系數、一次項系數和常數．

練3（2014東西湖區(qū)校級模擬）將一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次項系數是4，則一次項系數和常數項分別是（）
A．5，81B．5，﹣81C．﹣5，81D．5x，﹣81

3．根據一元二次方程的根求參數
【例3】（2015臨淄區(qū)校級模擬）若0是關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，則m的值為（）
A．1B．0C．1或2D．2
總結：
使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能無解，但是有解就一定有兩個解.
可用代入法檢驗一個數是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一個解，將這個解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母參數.
若二次項系數含有字母參數，求出的字母參數值要保證二次項系數不為0.這一步容易被忽略，謹記.
練4（2014綿陽模擬）若關于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，則a=．
練5（2015綿陽）關于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一個根為2，則n2+n﹣2=．
五、課后小測一、選擇題
1．（2015春莒縣期中）下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）
A．ax2+bx+c=0B．x+y=2C．x2+3y﹣5=0D．x2﹣1=0
2．（2014泗縣校級模擬）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的個數是（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．（2014秋沈丘縣校級期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是關于x的一元二次方程，則（）
A．a≠0B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
4．（2015石河子校級模擬）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（）
A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，2
5．（2015石河子校級模擬）關于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一個根是1，則m的值是（）
A．0B．﹣C．D．0或，
6．（2014祁陽縣校級模擬）已知x=3是關于方程3x2+2ax﹣3a=0的一個根，則關于y的方程y2﹣12=a的解是（）
A．B．﹣
C．±D．以上答案都不對
7．（2014秋南昌期末）關于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一個根為（）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
二、填空題
8．（2015東西湖區(qū)校級模擬）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．
9．（2014秋西昌市校級期中）方程2x2﹣1=的二次項系數是，一次項系數是，常數項是．
10．（2015廈門校級質檢）若m是方程x2﹣2x=2的一個根，則2m2﹣4m+2010的值是．
三、解答題
11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
（1）5x2=3x；
（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；
（3）（7x﹣1）2﹣3=0；
（4）（﹣1）（+1）=0；
（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．

12．（2015春亳州校級期中）已知關于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數項為0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．

13．（2015春嵊州市校級月考）已知，下列關于x的一元二次方程
（1）x2﹣1=0（2）x2+x﹣2=0（3）x2+2x﹣3=0…（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜測方程（n）的根．
（2）請指出上述幾個方程的根有什么共同特點，寫出一條即可．

14．關于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次項的系數，一次項的系數與常數項的和為多少．

典例探究答案：
【例1】【解析】根據一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．
由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解：A、方程含有兩個未知數，故選項錯誤；
B、不是整式方程，故選項錯誤；
C、含未知數的項的最高次數是4，故選項錯誤；
D、符合一元二次方程的定義，故選項正確．
故選：D．
點評：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．
練1．【解析】根據一元二次方程和一元一次方程的定義進行解答．
解：依題意得，a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
即當a=﹣1時，方程是一元二次方程．
當a2+1=0或a﹣1=0即a=1時，方程是一元一次方程．
故答案是：﹣1；1．
點評：本題考查了一元二次方程和一元一次方程的定義．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
【例2】【解析】將方程整理為一般形式，找出二次項系數，一次項系數，以及常數項即可．
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次項系數是5，一次項系數是8，常數項是﹣2．
故答案為：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2
點評：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在解題過程中容易忽視的地方．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
練2．【解析】將一元二次方程化為一般形式，主要包括幾個步驟：去括號、移項、合并同類項．
去括號，得x2-x=5x－10.
移項、合并同類項，
得x2-6x＋10=0．
其中二次項系數是1，一次項系數為-6，常數項為10．
練3．【解析】根據一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件，其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項，可得答案．
解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式為4x2+5x﹣81=0，
二次項系數，一次項系數，常數項分別為4，5，﹣81，
故選：B．
點評：本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
【例3】【解析】把方程的一個根0直接代入方程即可求出m的值．
解：∵0是關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，
∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故選：D．
點評：本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是直接把方程的一根代入方程，此題比較簡單，易于掌握．
練4．【解析】將一根0代入方程，再依據一元二次方程的二次項系數不為零，問題可求．
解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0，即a=±1；
∵a+1≠0，∴a≠﹣1；
∴a=1．
練5．【解析】先根據一元二次方程的解的定義得到4n﹣2n2﹣2=0，兩邊除以2n得n+=2，再利用完全平方公式變形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整體代入的方法計算．
解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案為：26．
點評：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了代數式的變形能力．

課后小測答案：
一、選擇題
1．【解析】根據一元二次方程的定義進行判斷．
解：A、當a=0時，該方程不是關于x的一元二次方程，故本選項錯誤；
B、該方程中含有2個未知數，且未知數的最高次數是1，它屬于二元一次方程，故本選項錯誤；
C、該方程中含有2個未知數，且未知數的最高次數是2，它屬于二元二次方程，故本選項錯誤；
D、符合一元二次方程的定義，故本選項正確．
故選：D．
點評：本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
2．【解析】直接根據一元二次方程的定義可得到在所給的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．
解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．
故選：B．
點評：本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫一元二次方程．
3．【解析】本題根據一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個條件：
（1）未知數的最高次數是2；
（2）二次項系數不為0．
解：根據一元二次方程的定義中二次項系數不為0得，a﹣3≠0，a≠3．故選：B．
點評：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．當a=0時，上面的方程就不是一元二次方程了，當b=0或c=0時，上面的方程在a≠0的條件下，仍是一元二次方程，只不過是不完全的一元二次方程．
4．【解析】a、b、c分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項系數、一次項系數、常數項．
解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分別是1、﹣3、10；
故選A．
點評：本題考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．

5．【解析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．
解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，
故選：D．
點評：本題的關鍵是把x的值代入原方程，得到一個關于待定系數的一元二次方程，然后求解．
6．【解析】由于x=3是關于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一個根，根據方程解的含義，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出關于y的方程的解．
解：∵x=3是關于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一個根，
∴3×32+2a×3﹣3a=0，
解得：a=﹣9，
則關于y的方程是y2﹣12=﹣9，
解得y=．
故選：C．
點評：本題考查一元二次方程解的含義，解題的關鍵是確定方程中待定系數的值．
7．【解析】分別把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，當k為任意值時，則對應的x的值一定為方程的解．
解：A、當x=1時，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一個根為1，所以A選項正確；
B、當x=﹣1時，k+2+k﹣2=0，所以當k=0時，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個根為﹣1，所以B選項錯誤；
C、當x=2時，4k+8﹣2k﹣2=0，所以當k=﹣3時，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個根為2，所以C選項錯誤；
D、當x=﹣2時，4k+8+2k﹣2=0，所以當k=﹣1時，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個根為﹣2，所以D選項錯誤．
故選A．
點評：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
二、填空題
8．【解析】根據一元二次方程的定義得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．
解：根據題意得m﹣2≠0，
所以m≠2．
故答案為：m≠2．
點評：本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次項系數是2，一次項系數是﹣，常數項是﹣1．
點評：要確定一次項系數和常數項，首先要把法方程化成一般形式．注意在說明二次項系數，一次項系數，常數項時，一定要帶上前面的符號
10．【解析】根據一元二次方程的解的定義得到m2﹣2m=2，再變形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整體代入的方法計算．
解：根據題意得m2﹣2m=2，
所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．
故答案為2014．
點評：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
三、解答題
11．【解析】各項方程整理后，找出二次項系數，一次項系數，以及常數項即可．
解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，
二次項系數為5，一次項系數為﹣3，常數項為0；
（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，
二次項系數為1，一次項系數為﹣1，常數項為﹣3；
（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，
二次項系數為49，一次項為﹣14，常數項為﹣2；
（4）方程整理得：x2﹣1=0，
二次項系數為，一次項系數為0，常數項為﹣1；
（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，
二次項系數為11，一次項系數為﹣4，常數項為﹣5．
點評：此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
12．【解析】（1）首先利用關于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數項為0得出m2﹣3m+2=0，進而得出即可；
（2）分別將m的值代入原式求出即可．
解：（1）∵關于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數項為0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值為1或2；
（2）當m=2時，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
當m=1時，5x=0，
解得x=0．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解法，正確解一元二次方程是解題關鍵．
13．【解析】（1）利用因式分解法分別求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根據以上3個方程的根，可猜測方程（n）的根；
（2）觀察即可得出上述幾個方程都有一個公共根是1．
解：（1）（1）x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1；
（2）x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；
（3）x2+2x﹣3=0，
（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=1；
…
猜測方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根為x1=﹣n，x2=1；
（2）上述幾個方程都有一個公共根是1．
點評：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．
14．【解析】令y=1，即可確定出方程的二次項的系數，一次項的系數與常數項的和．
解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，
則方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次項的系數，一次項的系數與常數項的和為0．
點評：此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．

一元二次方程復習導學案

老師會對課本中的主要教學內容整理到教案課件中，大家應該開始寫教案課件了。我們制定教案課件工作計劃，才能對工作更加有幫助！你們會寫多少教案課件范文呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“一元二次方程復習導學案”，僅供您在工作和學習中參考。

《一元二次方程復習》導學案

時間：12.29

1、復習一元二次方程，一元二次方程的解的概念；

2、復習4種方法解簡單的一元二次方程；

3、會建立一元二次方程的模型解決簡單的實際問題。

[學習過程]

一、回顧知識點

1、一元二次方程具有三個顯著特點，它們是①_________________；②_________________；③_________________。

2、一元二次方程的一般形式是_______________________________。

3、一元二次方程的解法有____________、____________、____________、____________。

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為△=b2-4ac。

①當△＞0時，方程有__________；②當△=0時，方程有__________；③當△＜0時，方程有__________。

5.一元二次方程的兩根為，，則兩根與方程系數之間有如下

關系：，

二鞏固練習

一、填空題：

1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④+x2=1中，是一元一次方程的是_____。

2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一個解，則m=______。

3、若關于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常項為0，則m=________。

4、關于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情況是__________。

5、寫出兩個一元二次方程，使每個方程都有一根為0，并且二次項系數都為1：________；______________。

6、三角形的每條邊的長都是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長是___________。

7、解方程5（x-）2=2(x-)最適當的方法是_____________。二、填空題：（每題3分，共24分）

8．一元二次方程的二次項系數為，一次項系數為，常數項為；

9.方程的解為

10．已知關于x一元二次方程有一個根為1，則

11．當代數式的值等于7時，代數式的值是；

12．關于實數根（注：填“有”或“沒有”）。

13．一個兩位數，個位數字比十位數字大3，個位數字的平方剛好等于這個兩位數，則這個兩

位數為；

14．已知一元二次方程的一個根為，則．

15.閱讀材料：設一元二次方程的兩根為，，則兩根與方程系數之間有如下

關系：，．根據該材料填空：已知，是方程的兩

實數根，則的值為______．

二、選擇題：（每題3分，共30分）

1、關于x的方程是一元二次方程，則（）

A、a＞0B、a≠0C、a＝0D、a≥0

2．用配方法解下列方程，其中應在左右兩邊同時加上4的是（）

A、B、C、D、

3．方程的根是（）

A、B、C、D、

4．下列方程中，關于x的一元二次方程的是（）

A、B、C、D、

5．關于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情況是()

A、有兩個不相等實數根B、沒有實數根

C、有兩個相等的實數根D、不能確定

6．已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一個解，則m的值是()

A、1B、0C、0或1D、0或-1

7．為執(zhí)行“兩免一補”政策，某地區(qū)2008年投入教育經費2500萬元，預計2010年投入3600萬元．設這兩年投入教育經費的年平均增長百分率為，則下列方程正確的是（）

Ａ、Ｂ、

Ｃ、Ｄ、

8.已知、是方程的兩個根，則代數式的值（）

A、37B、26C、13D、10

9．等腰三角形的底和腰是方程的兩個根，則這個三角形的周長是（）

A、8B、10C、8或10D、不能確定

10．一元二次方程化為一般形式為（）

A、B、C、D、

三、解答題：（共46分）

19、解方程（每題4分，共16分）

（1）（2）

22、已知a、b、c均為實數，且，求方程

的根。（8分）

23．在北京2008年第29屆奧運會前夕，某超市在銷售中發(fā)現：奧運會吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，

每件盈利40元。為了迎接奧運會，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。

經市場調查發(fā)現：如果每套降價1元，那么平均每天就可多售出2套。要想平均每天在銷售吉祥物上盈利

1200元，那么每套應降價多少？（10分）

24．美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內容，某市城區(qū)近幾來，通過拆遷舊房，植草。

栽樹，修公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加（如圖）（12分）

（1）根據圖中所提供的信息，回答下列的問題：2003年的綠地面積為______公頃，比2002年增加了________

公頃。在2001年，2002年，2003年這三年中，綠地面積增加最多的是___________年。

(2)為了滿足城市發(fā)展的需要,計劃到2005年使城區(qū)綠地總面積達到72.6公頃,試求這兩年(2003～2005年)

綠地面積的年平均增長率.

一元二次方程

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細設想教案課件了。教案課件工作計劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《一元二次方程》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第二十二章一元二次方程
教材內容
本單元教學的主要內容：
1.一元二次方程及其有關概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數的關系，運用一元二次方程分析和解決實際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學目標
1.一分析實際問題中的等量關系并求解其中未知數為背景，認識一元二次方程及其有關概念。
2.根據化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學模型作用，進一步提高在實際問題中運用方程這種重要數學工具的基本能力。
教學重點、難點
重點：
1．一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數的關系以及運用一元二次方程分析和解決實際問題。
難點：
1.一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數的關系以及靈活運用
課時安排
本章教學時約需課時，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時
22．2降次7課時
22．3實際問題與一元二次方程3課時
教學活動、習題課、小結
22.1一元二次方程
教學目的
1．使學生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式．
教學重點、難點
重點：一元二次方程的定義．
難點：一元二次方程的一般形式及其二次項系數、一次項系數和常數項的識別．
教學過程
復習提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結合上述有關方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復習，引導學生答出）
學過的幾類方程是
沒學過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關于未知數的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據此得出復習中學生未學過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時指導學生把學過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導學生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導學生認識到：任何一個一元二次方程，經過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數項；a，b分別稱為二次項系數、一次項系數．
【注意】二次項系數a是不等于0的實數(a=0時，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實數．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項系數、一次項系數及常數項．
課堂練習P271、2題
歸納總結
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關鍵是看分母中是否含有未知數；判別一元一次方程，一元二次方程的關鍵是看方程化為一般形式后，未知數的最高次數是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個整式方程，經化簡形成只含有一個未知數且未知數的最高次數是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實數，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習題22.11、2題．
達標測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個數是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.關于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項系數,一次項和常數項,下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項是,一次項是,常數項是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時
直接開平方法
教學目的
1．使學生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導學生通過特殊情況下的解方程，小結、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學重點、難點
重點：準確地求出方程的根．
難點：正確地表示方程的兩個根．
教學過程
復習過程
回憶數的開方一章中的知識，請學生回答下列問題，并說明解決問題的依據．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據是：一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數．
即一般地，如果一個數的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數有兩個，它們是互為相反數．
引入新課
我們已經學過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習：P281、2
歸納總結
1．本節(jié)主要學習了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習題22.14、6題
達標測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實數根B.方程的根是
C.當c≥0時,方程可化為:
D.當c=0時,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思