小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)講座。

數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個(gè)時(shí)期：以自然數(shù)、分?jǐn)?shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符號(hào)體系形成的常量數(shù)學(xué)時(shí)期；以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學(xué)時(shí)期；以集合論為標(biāo)志的現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期．
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動(dòng)態(tài)和它們的相互制約性．
函數(shù)的基本知識(shí)有：與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法．
在坐標(biāo)平面內(nèi)，由點(diǎn)的坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式．點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，函數(shù)解析式是解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，所以，求點(diǎn)的坐標(biāo)、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題．
【例題求解】
【例1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B(2，-3)，點(diǎn)P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為．(河南省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AB，因題設(shè)中未指明△APB的哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分別就∠A、∠B、∠C為直角來(lái)討論，設(shè)點(diǎn)P(0，x)，運(yùn)用幾何知識(shí)建立x的方程．

注：點(diǎn)的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本方法有：
(1)利用幾何計(jì)算求；
(2)通過(guò)解析式求；
(3)解由解析式聯(lián)立的方程組求．
【例2】如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽．水槽中水面上升高度與注水時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，大致是下列圖象中的()
思路點(diǎn)撥向燒杯注水需要時(shí)間，并且水槽中水面上升高．

注：實(shí)際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過(guò)圖象直觀地表現(xiàn)出來(lái)，如心電圖、，股市行情走勢(shì)圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢(shì)等有關(guān)信息中獲得啟示．
【例3】南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷售，共有飛機(jī)、火車、汽車三種運(yùn)輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運(yùn)輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示：
運(yùn)輸工具途中速度(千米／時(shí))途中費(fèi)用(元／千米)裝卸費(fèi)用(元)裝卸時(shí)間(小時(shí))
飛機(jī)2001610002
火車100420004
汽車50810002
若這批水果在運(yùn)輸(包括裝卸)過(guò)程中的損耗為200元/小時(shí)，記A、B兩市間的距離為x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機(jī)、火車、汽車運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用(包括損耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式，才使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最小?
(湖北省黃岡市中考題)
思路點(diǎn)撥每種運(yùn)輸工具總支出費(fèi)用＝途中所需費(fèi)用(含裝卸費(fèi)用)+損耗費(fèi)用；總支出費(fèi)用隨距離變化而變化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過(guò)討論選擇最佳運(yùn)輸方式．
【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，8)．
(1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系；
(2)寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為P．問(wèn)：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對(duì)稱，如果存在，寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(江蘇省常州市中考題)

思路點(diǎn)撥(1)關(guān)鍵是探求點(diǎn)A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點(diǎn)，只須判斷∠COy與∠CAD的大??；(2)利用解直角三角形求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)軸上存在點(diǎn)F(0，y)，則P與F只可能關(guān)于直線DC對(duì)稱．

注：建立函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上都是根據(jù)具體的實(shí)際問(wèn)題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型．
【例5】如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的右側(cè)作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．
(1)當(dāng)AP＝3cm時(shí)，求的值；
(2)設(shè)AP=cm時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)y=2cm2，試確定點(diǎn)P的位置．(2001年天津市中考題)
思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，由于點(diǎn)P的位置不同，y與x之間存在不同的函數(shù)關(guān)系，故需分類討論；對(duì)于(3)，由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值．

注：確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式，首先是借助幾何知識(shí)與方法把相應(yīng)線段用自變量表示，再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式，需要注意的是：
(1)當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論；
(2)確定自變量的幾何意義，常用到運(yùn)動(dòng)變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法．

學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請(qǐng)寫出這些直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
(貴州省中考題)
2．在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo))．(廣西桂林市中考題)

3．根據(jù)指令(S≥0，0°A180°)，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先原地逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度A，再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離S．現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對(duì)x軸的正方向，(1)若給機(jī)器人下了一個(gè)指令，則機(jī)器人應(yīng)移動(dòng)到點(diǎn)；(2)請(qǐng)你給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)(一5，5)．
(浙江省杭州市中考題)
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸的夾角為60°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2，0)，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)AB＝，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為()
A．B．C．D．
(年南昌市中考題)

5．一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸爸才開始出發(fā)．圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時(shí)間(分鐘的關(guān)系)(從爸爸開始登山時(shí)計(jì)時(shí))，根據(jù)圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()
A．爸爸登山時(shí)，小軍已走了50米
B．爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面
C．小軍比爸爸晚到山頂
D．爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快
(江蘇省淮安市中考題)
6．若函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，則的取值范圍是()
A．mlB．m=1C．mlD．m≤1
7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、點(diǎn)B(0，3)，若有一個(gè)直角三角形與Rt△ABO全等，且它們有一條公共邊，請(qǐng)寫出這個(gè)直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)(不必寫出計(jì)算過(guò)程)．
(常州市中考題)
8．如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問(wèn)題：
（1）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為，請(qǐng)寫出與(表示第個(gè)圖形)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)的值；
(3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問(wèn)題(2)中，共需花多少元錢購(gòu)買瓷磚?
(4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明為什么?
(吉林省中考題)
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD，它的4個(gè)頂點(diǎn)為A(10，0)，B(0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內(nèi)及邊界上共有個(gè)整點(diǎn)(即縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))．(上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

10．如圖，已知邊長(zhǎng)為l的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)在第一象限內(nèi)，OA與軸的夾角為30°，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是．
11．如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(1，0)，而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且每分鐘移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么在1989分鐘后這個(gè)粒子所處位置為．
(美國(guó)高中數(shù)學(xué)考試題)
12．在直角坐標(biāo)系中，已知A(1，1)，在軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(2001年湖北賽區(qū)選拔賽題)

13．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(l，)，這里、是有理數(shù)，PA、PB分別是點(diǎn)P到軸和軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為，則P點(diǎn)可能出現(xiàn)的象限有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(江蘇省競(jìng)賽題)
14．甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(ViV2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；關(guān)于甲乙二人從A地到達(dá)B地的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象及關(guān)系，有圖中4個(gè)不同的圖示分析．其中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示路程，其中正確的圖示分析為()
A．圖(1)B．圖(1)或圖(2)C．圖(3)D．圖(4)
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題)

15．依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)．《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月工資、薪金收入不超過(guò)800元，不需交稅；超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)交稅，且根據(jù)超過(guò)部分的多少按不同的稅率交稅，詳細(xì)的稅率如下表：
級(jí)別全月應(yīng)納稅所得額稅率(％)
1不超過(guò)500元部分5
2超過(guò)500元至2000元部分10
3超過(guò)2000元至5000元部分15
……
(1)某公民2002年10月的總收人為1350元，問(wèn)他應(yīng)交稅款多少元?
(2)設(shè)表示每月收入(單位：元)，表示應(yīng)交稅款(單位：元)，當(dāng)1300x≤2800時(shí)，請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(3)某企業(yè)高級(jí)職員2002年11月應(yīng)交稅款55元，問(wèn)該月他的總收入是多少元?
(四川省競(jìng)賽題)
16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB上任意一點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，過(guò)D作AB垂線與△ABC的直角邊相交于E，設(shè)AD=，△ADE的面積為，當(dāng)點(diǎn)D在AB上移動(dòng)時(shí)，求關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式．

精選閱讀

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽走進(jìn)追問(wèn)求根公式講座

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美．
降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，直接求解可能給解題帶來(lái)許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸?lái)代換，從而使問(wèn)題易于解決．解題時(shí)常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足的整數(shù)n有個(gè)．

思路點(diǎn)撥從指數(shù)運(yùn)算律、±1的特征人手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程．

【例2】設(shè)、是二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路點(diǎn)撥求出、的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如，．

【例3】解關(guān)于的方程．
思路點(diǎn)撥因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論．

【例4】設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和．
思路點(diǎn)撥通過(guò)討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解．

【例5】已知實(shí)數(shù)、、、互不相等，且，試求的值．
思路點(diǎn)撥運(yùn)用連等式，通過(guò)迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常見的變形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多項(xiàng)式代換；
(2)把方程（）變形為，代換后降次；
(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去．
解合字母系數(shù)方程時(shí)，在未指明方程類型時(shí)，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對(duì)值方程需脫去絕對(duì)值符號(hào)，并用到絕對(duì)值一些性質(zhì)，如．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知、是實(shí)數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為．
2．已知，那么代數(shù)式的值是．

3．若，，則的值為．

4．若兩個(gè)方程和只有一個(gè)公共根，則()
A．B．C．D．
5．當(dāng)分式有意義時(shí)，的取值范圍是()
A．B．C．D．且
6．方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列關(guān)于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代數(shù)式的值．

9．是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根?如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：解公共根問(wèn)題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡(jiǎn)單形式表示時(shí)，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時(shí)，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過(guò)消去二次項(xiàng)尋找解題突破口．
10．若，則＝．
11．已知、是有理數(shù)，方程有一個(gè)根是，則的值為．
12．已知是方程的一個(gè)正根。則代數(shù)式的值為．
13．對(duì)于方程，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為3個(gè)，則m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然數(shù)滿足，這樣的的個(gè)數(shù)是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是負(fù)實(shí)數(shù)，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無(wú)理數(shù)．

參考答案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽坐標(biāo)平面上的直線講座

每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計(jì)劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會(huì)寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽坐標(biāo)平面上的直線講座”，相信能對(duì)大家有所幫助。

一般地，若(，是常數(shù)，)，則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式6中的系數(shù)符號(hào)，決定圖象的大致位置及單調(diào)性(隨的變化情況)．如圖所示：

一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個(gè)一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個(gè)二元一次方程；任意一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如()的函數(shù)形式．坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．

【例題求解】

【例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，若過(guò)B、P兩點(diǎn)的直線為，過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線為，且BP⊥AP，則=．

思路點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)坐標(biāo)，只需運(yùn)用幾何知識(shí)建立OP的等式即可．

【例2】設(shè)直線(為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為()

A．1B．C．D．

思路點(diǎn)撥求出直線與軸、軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示．

【例3】某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過(guò)程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為分鐘，Q1、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：

(1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需多少分鐘?

(2)求加油過(guò)程中，運(yùn)輸飛機(jī)的余油量Q1(噸)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時(shí)到達(dá)目的地，油料是否夠用?說(shuō)明理由．

思路點(diǎn)撥對(duì)于(3)，解題的關(guān)鍵是先求出運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量．

注：（1）當(dāng)自變量受限制時(shí)，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點(diǎn)，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時(shí)，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．

（2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)時(shí)，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點(diǎn)坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)．

【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(，)，且△ABP的面積與△AABC的面積相等，求的值．

思路點(diǎn)撥利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差．

注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問(wèn)題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面積來(lái)表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系．

【例5】在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點(diǎn)的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象．

思路點(diǎn)撥先畫出符合題意的圖形，然后對(duì)不確定折線及其中的字母的取值范圍進(jìn)行分類討論，的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀．

注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對(duì)值符號(hào)在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù)．去掉絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對(duì)值的一般思路．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤≤-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式為．

2．已知，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)第象限．

3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，其中超過(guò)150人時(shí)，要繳納公安消防保險(xiǎn)費(fèi)50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0≤150時(shí)，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150x≤200時(shí)，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(3)當(dāng)售票數(shù)為時(shí)，不賠不賺；當(dāng)售票數(shù)滿足時(shí)，放影廳要賠本；若放影廳要獲得最大利潤(rùn)200元，此時(shí)售票數(shù)應(yīng)為

(4)當(dāng)售票數(shù)滿足時(shí)，此時(shí)利潤(rùn)比＝150時(shí)多．

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點(diǎn)，過(guò)P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BP=，EF=，則能反映與之間關(guān)系的圖象是()

5．下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是()

6．小李以每千克0.8元的價(jià)格從批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干千克西瓜到市場(chǎng)去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價(jià)0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了()

A．32元B．36元C．38元D．44元

7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時(shí)時(shí)血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時(shí)時(shí)血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量(微克)隨時(shí)間(小時(shí))的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后．

(1)分別求出≤2和≥2時(shí)與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時(shí)在治療疾病時(shí)是有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間是多長(zhǎng)?

8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系O中，使AB在軸的正半軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)

(1)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)E，求四邊形AECD的面積；

(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標(biāo)系中畫出直線．(2001年湖北省荊州市中考題)

9．如圖，已知點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，2)

(1)求直線AB的解析式．

(2)過(guò)點(diǎn)C(2，0)的直線(與軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點(diǎn)P，若截得的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

10．如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，把△POQ沿PQ翻折，點(diǎn)O落在R處，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是．

11．在直角坐標(biāo)系O中，軸上的動(dòng)點(diǎn)M（，0）到定點(diǎn)P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15，6)，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．

13．如果—條直線經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線經(jīng)過(guò)()象限．

A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四

14．一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線平行，與軸、軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過(guò)點(diǎn)(一l，—25)，則在線段AB(包括端點(diǎn)A、B)上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點(diǎn)有（）

A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)

15．點(diǎn)A(一4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

16．有—個(gè)附有進(jìn)、出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)、出的水量都是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開始5分鐘內(nèi)只進(jìn)不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時(shí)間(分)與水量(升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進(jìn)水，求這時(shí)(即≥20)y與之間的函數(shù)關(guān)系式．

17．如圖，△AOB為正三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，0)，過(guò)點(diǎn)C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式．

18．在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求的值．

19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會(huì)污染大氣，某裝置可通過(guò)回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過(guò)的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過(guò)試驗(yàn)得到下列數(shù)據(jù)：

通過(guò)電流強(qiáng)度（單位A）11.71.92.12.4

氧化鐵回收率（%）7579888778

如圖建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示通過(guò)的電流強(qiáng)度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率．

（1）將試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點(diǎn)表示（注：該圖中坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代表點(diǎn)（1，70）；

（2）用線段將題（1）所畫的點(diǎn)從左到右順次連接，若用此圖象來(lái)模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過(guò)電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫出該函數(shù)在1.7≤x≤2.4時(shí)的表達(dá)式；

（3）利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時(shí)，該裝置通過(guò)的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）．

20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動(dòng)點(diǎn)P(x，0)在OB上移動(dòng)(03)，過(guò)點(diǎn)P作直線與軸垂直．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)△OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象；

(4)當(dāng)為何值時(shí)，直線平分△OBC的面積?

參考答案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽直線與圓專題輔導(dǎo)講座

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，規(guī)劃教案課件的時(shí)刻悄悄來(lái)臨了。將教案課件的工作計(jì)劃制定好，新的工作才會(huì)如魚得水！你們會(huì)寫一段適合教案課件的范文嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽直線與圓專題輔導(dǎo)講座”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

注：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點(diǎn)．

【例題求解】

【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長(zhǎng)為．

思路點(diǎn)撥從C點(diǎn)看，可用切線長(zhǎng)定理，從E點(diǎn)看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．

注：連結(jié)圓心與切點(diǎn)是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用．

【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是()

A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°

(山西省中考題)

思路點(diǎn)撥略

【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．

問(wèn)：(1)若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)

【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)．

(1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(廣州市中考題)

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)P能作為直角頂點(diǎn)，建立一個(gè)研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點(diǎn)就是符合要求的點(diǎn)P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．

注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問(wèn)題，判定的基本方法有：

(1)從直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)入手；

(2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直；

(3)運(yùn)用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．

一個(gè)圓的問(wèn)題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進(jìn)而可得不同的證法，對(duì)于分層次設(shè)問(wèn)的問(wèn)題，需整體考慮；

【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，︵AC是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作︵AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．

（1）當(dāng)∠DEF=45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；

（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．

(上海市中考題)

思路點(diǎn)撥圖中有多條⊙B的切線，由切線長(zhǎng)定理可得多對(duì)等長(zhǎng)線段，這是解(1)、(2)問(wèn)的基礎(chǔ)，對(duì)于(3)，由(2)求出的值，確定E點(diǎn)位置，這是解題的關(guān)鍵．

注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識(shí)，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互

助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能．

學(xué)力訓(xùn)練

1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長(zhǎng)為．(河北省中考題)

2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)，則

∠ACB=．

3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．(重慶市中考題)

4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是．

(武漢市中考題)

5．、表示直線，給出下列四個(gè)論斷：①∥；②切⊙O于點(diǎn)A；③切⊙O于點(diǎn)B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

1B．2C．3D．4

(江蘇鎮(zhèn)江市中考題)

6．如圖，圓心O在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線BD上，⊙O過(guò)B點(diǎn)且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()

A．B．C．D．

(廣西玉林市中考題)

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BCDC，若腰DC上有一點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)()

A．不存在B．只有一個(gè)C．只有兩個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)

(大連市中考題)

8．如圖，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列結(jié)論：①CH=CP；②AD=DB；③AP＝BH；④DH為圓的切線，其中一定成立的是()

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(武漢市中考題)

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，

(1)求弦AC、AB的長(zhǎng)；

(2)若P為CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試確定P點(diǎn)的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論．

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PEPO．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；

(3)求sin∠PCA的值．(長(zhǎng)沙市中考題)

11．(1)如圖a，已知直線AB過(guò)圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②ACAD=AEAF．

(2)在問(wèn)題(1)中，當(dāng)直線向上平行移動(dòng)與⊙O相切時(shí)，其他條件不變．

①請(qǐng)你在圖b中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)Da標(biāo)記字母；

②問(wèn)題(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立?如果成立，請(qǐng)給出證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(遼寧省中考題)

12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)M重合)，點(diǎn)Q在半圓O上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ=PO，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．

(1)當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．

(2)當(dāng)QP⊥AB時(shí)，△QCP的形狀是三角形．

(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜想當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)，△QCP一定是三角形．(吉林省中考題)

14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長(zhǎng)為()

A．2B．3C．3．5D．4

15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B切點(diǎn)，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結(jié)論：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)

16．如圖，已知△ABC，過(guò)點(diǎn)A作外接圓的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，，點(diǎn)D在AC上，且，延長(zhǎng)PD交AB于點(diǎn)E，則的值為()

A．B．C．D．

(太原市競(jìng)賽題)

17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過(guò)點(diǎn)A的半圓的切線．在AB上任取一點(diǎn)C(點(diǎn)C與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線CD交AP于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．連結(jié)BD，交CE于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)(如圖1)，求證：CF＝EF；

(2)當(dāng)點(diǎn)C不是AB的中點(diǎn)時(shí)(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論．(蘇州市中考題)

18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點(diǎn)D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點(diǎn)E．

(1)求證：△ADE∽△ABC；

(2)設(shè)⊙D與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)CF=2時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

(3)設(shè)CD=，試給出一個(gè)值，使⊙D與BC沒有公共點(diǎn)，并說(shuō)明你給出的值符合的要求．

(浙江省中考題)

19．如圖，PA、PB與⊙O切于A、B兩點(diǎn)，PC是任意一條割線，且交⊙O于點(diǎn)E、C，交AB于點(diǎn)D．求證：

(天津市選拔賽試題)

20．如圖，⊙Oˊ與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心Oˊ的坐標(biāo)是(1，一1)，半徑是，

(1)求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的切線的解析式；

(3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A的切線與過(guò)點(diǎn)D的切線是否垂直?若垂直，請(qǐng)寫出

證明過(guò)程；若不垂直，試說(shuō)明理由．

21．當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀賞最理想?如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距離地面a米，最低處點(diǎn)Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)E距離地面m米，當(dāng)過(guò)P、Q、E三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想．

(1)設(shè)點(diǎn)E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6時(shí)，求：

(a)點(diǎn)E和墻壁距離x米；(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度)．

(常州市中考題)