小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔助圓輔導(dǎo)教學(xué)案。

教案課件是每個(gè)老師工作中上課需要準(zhǔn)備的東西，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計(jì)劃，才能促進(jìn)我們的工作進(jìn)一步發(fā)展！你們知道多少范文適合教案課件？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔助圓輔導(dǎo)教學(xué)案”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

【例題求解】

【例1】如圖，直線(xiàn)AB和AC與⊙O分別相切于B、C，P為圓上一點(diǎn)，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為．

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

思路點(diǎn)撥連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系，證明△PDF∽△PFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵．

注：圓具有豐富的性質(zhì)：

(1)圓的對(duì)稱(chēng)性；

(2)等圓或同圓中不同名稱(chēng)量的轉(zhuǎn)化；

(3)與圓相關(guān)的角；

(4)圓中比例線(xiàn)段．

適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時(shí)在圖中并不需畫(huà)出圓，可謂“圖中無(wú)圓，心中有圓”．

【例2】如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點(diǎn)P，且PB=4，PD=3，則ADDC等于()

A．6B．7C．12D．16

(“TI”杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

思路點(diǎn)撥作出以P點(diǎn)為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件．

注：到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法．

【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點(diǎn)共圓．

思路點(diǎn)撥先作出△ABC的外心O，連PO、OQ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明角相等．

【例4】如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線(xiàn)，AD⊥PO于D．求證：．

思路點(diǎn)撥因所證比例線(xiàn)段不是對(duì)應(yīng)邊，故不能通過(guò)判定△PBD與△PCD相似證明．PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對(duì)相似三角形，以此達(dá)到證明的目的．

注：四點(diǎn)共圓既是一類(lèi)問(wèn)題，又是平面幾何中一個(gè)重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因?yàn)椋乘狞c(diǎn)共圓，不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)．用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)．

【例5】如圖，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，連結(jié)HG，求證：HG平分∠BHF．

思路點(diǎn)撥經(jīng)計(jì)算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆為等腰直角三角形，只需證∠GHB=∠GHF=22.5°．

由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四點(diǎn)共圓，運(yùn)用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點(diǎn)證明．

注：許多直線(xiàn)形問(wèn)題借助輔助圓，常能降低問(wèn)題的難度，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解、巧解或新解．

學(xué)力訓(xùn)練

1．如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，則PB的長(zhǎng)為．

(北京市競(jìng)賽題)

2．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)Pl、P2，…P100，記（i=1，2，…100），則=．

3．設(shè)△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點(diǎn)重合，則由點(diǎn)A、B、C、D、E、F、H中某四點(diǎn)可以確定的圓共有()

A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)

(2000年太原市競(jìng)賽題)

4．如圖，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，則∠ACB是∠BAC的()

A．倍B．是倍C．D．

5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，滿(mǎn)足條件的∠BPC=90°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()

A．0B．1C．21D．不小于3的整數(shù)

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

6．如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，S△ABC=18，S△DEC=2，則COSC等于()

A．3B．C．D．

7．如圖；已知H是△ABC三條高的交點(diǎn)，連結(jié)DF，DE，EF，求證：H是△DEF的內(nèi)心．

8．如圖，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分線(xiàn)，且TD⊥AB，TE⊥AC．

求證：(1)∠AHD=∠AHE；(2)(陜西省競(jìng)賽題)

9．如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求證：∠BAC=∠CAD=∠DAK，

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

10．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA和PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，PO與AB交于點(diǎn)M，過(guò)M任作⊙O的弦CD．求證：∠CPO=∠DPO．

11．如圖，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PS、PT是⊙O的兩條切線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的割線(xiàn)PAB，交⊙OA、B兩點(diǎn)，與ST交于點(diǎn)C．求證：

(國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)

相關(guān)知識(shí)

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽直線(xiàn)與圓專(zhuān)題輔導(dǎo)講座

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，規(guī)劃教案課件的時(shí)刻悄悄來(lái)臨了。將教案課件的工作計(jì)劃制定好，新的工作才會(huì)如魚(yú)得水！你們會(huì)寫(xiě)一段適合教案課件的范文嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽直線(xiàn)與圓專(zhuān)題輔導(dǎo)講座”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

注：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱(chēng)“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點(diǎn)．

【例題求解】

【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，若EA=1，ED=2，則BC的長(zhǎng)為．

思路點(diǎn)撥從C點(diǎn)看，可用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，從E點(diǎn)看，可用切割線(xiàn)定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．

注：連結(jié)圓心與切點(diǎn)是一條常用的輔助線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用．

【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是()

A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°

(山西省中考題)

思路點(diǎn)撥略

【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線(xiàn)．

問(wèn)：(1)若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)

【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)．

(1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段PC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(廣州市中考題)

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)P能作為直角頂點(diǎn)，建立一個(gè)研究的模型——以CQ為直徑的圓與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)就是符合要求的點(diǎn)P，從直線(xiàn)與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．

注：判定一直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)是平面幾何中一種常見(jiàn)問(wèn)題，判定的基本方法有：

(1)從直線(xiàn)與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)入手；

(2)利用角證明，即證明半徑和直線(xiàn)垂直；

(3)運(yùn)用線(xiàn)段證明，即證明圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑．

一個(gè)圓的問(wèn)題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線(xiàn)方式，進(jìn)而可得不同的證法，對(duì)于分層次設(shè)問(wèn)的問(wèn)題，需整體考慮；

【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，︵AC是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作︵AC所在圓的切線(xiàn)，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．

（1）當(dāng)∠DEF=45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)；

（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

（3）將△DEF沿直線(xiàn)EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由．

(上海市中考題)

思路點(diǎn)撥圖中有多條⊙B的切線(xiàn)，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得多對(duì)等長(zhǎng)線(xiàn)段，這是解(1)、(2)問(wèn)的基礎(chǔ)，對(duì)于(3)，由(2)求出的值，確定E點(diǎn)位置，這是解題的關(guān)鍵．

注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識(shí)，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互

助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能．

學(xué)力訓(xùn)練

1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長(zhǎng)為．(河北省中考題)

2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)，則

∠ACB=．

3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線(xiàn)，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．(重慶市中考題)

4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿(mǎn)足的條件是．

(武漢市中考題)

5．、表示直線(xiàn)，給出下列四個(gè)論斷：①∥；②切⊙O于點(diǎn)A；③切⊙O于點(diǎn)B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

1B．2C．3D．4

(江蘇鎮(zhèn)江市中考題)

6．如圖，圓心O在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上，⊙O過(guò)B點(diǎn)且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()

A．B．C．D．

(廣西玉林市中考題)

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BCDC，若腰DC上有一點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)()

A．不存在B．只有一個(gè)C．只有兩個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)

(大連市中考題)

8．如圖，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線(xiàn)與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列結(jié)論：①CH=CP；②AD=DB；③AP＝BH；④DH為圓的切線(xiàn)，其中一定成立的是()

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(武漢市中考題)

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，

(1)求弦AC、AB的長(zhǎng)；

(2)若P為CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，試確定P點(diǎn)的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論．

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PEPO．

(1)求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；

(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；

(3)求sin∠PCA的值．(長(zhǎng)沙市中考題)

11．(1)如圖a，已知直線(xiàn)AB過(guò)圓心O，交⊙O于A、B，直線(xiàn)AF交⊙O于F(不與B重合)，直線(xiàn)交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②ACAD=AEAF．

(2)在問(wèn)題(1)中，當(dāng)直線(xiàn)向上平行移動(dòng)與⊙O相切時(shí)，其他條件不變．

①請(qǐng)你在圖b中畫(huà)出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)Da標(biāo)記字母；

②問(wèn)題(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立?如果成立，請(qǐng)給出證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(遼寧省中考題)

12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AM上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)M重合)，點(diǎn)Q在半圓O上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ=PO，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C．

(1)當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．

(2)當(dāng)QP⊥AB時(shí)，△QCP的形狀是三角形．

(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜想當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AM上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)，△QCP一定是三角形．(吉林省中考題)

14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，若AB=3，ED=2，則BC的長(zhǎng)為()

A．2B．3C．3．5D．4

15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，A、B切點(diǎn)，直線(xiàn)OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結(jié)論：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)

16．如圖，已知△ABC，過(guò)點(diǎn)A作外接圓的切線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，，點(diǎn)D在AC上，且，延長(zhǎng)PD交AB于點(diǎn)E，則的值為()

A．B．C．D．

(太原市競(jìng)賽題)

17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過(guò)點(diǎn)A的半圓的切線(xiàn)．在AB上任取一點(diǎn)C(點(diǎn)C與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線(xiàn)CD交AP于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．連結(jié)BD，交CE于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)(如圖1)，求證：CF＝EF；

(2)當(dāng)點(diǎn)C不是AB的中點(diǎn)時(shí)(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論．(蘇州市中考題)

18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點(diǎn)D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點(diǎn)E．

(1)求證：△ADE∽△ABC；

(2)設(shè)⊙D與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)CF=2時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

(3)設(shè)CD=，試給出一個(gè)值，使⊙D與BC沒(méi)有公共點(diǎn)，并說(shuō)明你給出的值符合的要求．

(浙江省中考題)

19．如圖，PA、PB與⊙O切于A、B兩點(diǎn)，PC是任意一條割線(xiàn)，且交⊙O于點(diǎn)E、C，交AB于點(diǎn)D．求證：

(天津市選拔賽試題)

20．如圖，⊙Oˊ與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心Oˊ的坐標(biāo)是(1，一1)，半徑是，

(1)求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)的解析式；

(3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)是否垂直?若垂直，請(qǐng)寫(xiě)出

證明過(guò)程；若不垂直，試說(shuō)明理由．

21．當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀(guān)賞最理想?如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距離地面a米，最低處點(diǎn)Q距離地面b米，觀(guān)賞者的眼睛點(diǎn)E距離地面m米，當(dāng)過(guò)P、Q、E三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線(xiàn)相切于點(diǎn)E時(shí)，視角∠PEQ最大，站在此處觀(guān)賞最理想．

(1)設(shè)點(diǎn)E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6時(shí)，求：

(a)點(diǎn)E和墻壁距離x米；(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度)．

(常州市中考題)

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽圓冪定理教案

【例題求解】
【例1】如圖，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且與直徑CT交于點(diǎn)D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB=．
(成都市中考題)
思路點(diǎn)撥綜合運(yùn)用圓冪定理、勾股定理求PB長(zhǎng)．

注：比例線(xiàn)段是幾何之中一個(gè)重要問(wèn)題，比例線(xiàn)段的學(xué)習(xí)是一個(gè)由一般到特殊、不斷深化的過(guò)程，大致經(jīng)歷了四個(gè)階段：
(1)平行線(xiàn)分線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例；
(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；
(3)直角三角形中的比例線(xiàn)段可以用積的形式簡(jiǎn)捷地表示出來(lái)；
(4)圓中的比例線(xiàn)段通過(guò)圓冪定理明快地反映出來(lái)．

【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長(zhǎng)為()
A．3B．4C．D．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
思路點(diǎn)撥連AC，CE，由條件可得許多等線(xiàn)段，為切割線(xiàn)定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件．

注：圓中線(xiàn)段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí)，通過(guò)代數(shù)化獲解，加強(qiáng)對(duì)圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線(xiàn)段計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵．

【例3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)，∠PAC=∠B．
(1)求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長(zhǎng)和∠ECB的正切值．
(北京市海淀區(qū)中考題)
思路點(diǎn)撥直徑、切線(xiàn)對(duì)應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識(shí)．(1)問(wèn)的證明為切割線(xiàn)定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問(wèn)中的比例式，把相應(yīng)線(xiàn)段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程．

【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、E，EG是過(guò)B、F、P三點(diǎn)圓的切線(xiàn)，G為切點(diǎn)，求證：EG=DE
(四川省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥由切割線(xiàn)定理得EG2=EFEP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP，這樣通過(guò)圓冪定理把線(xiàn)段相等問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段等積式的證明．

注：圓中的許多問(wèn)題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問(wèn)題的難度，而圓中線(xiàn)段等積式是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的橋梁．
需要注意的是，圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計(jì)算及比例線(xiàn)段的證明，可拓展到平面幾何各種類(lèi)型的問(wèn)題中．
【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長(zhǎng)．
(成都市中考題)
思路點(diǎn)撥解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線(xiàn)的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化方法．對(duì)于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對(duì)于(2)，從△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．

注：當(dāng)直線(xiàn)形與圓結(jié)合時(shí)就產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手：
(1)多視點(diǎn)觀(guān)察圖形．如本例從D點(diǎn)看可用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，從F點(diǎn)看可用切割線(xiàn)定理．
(2)多元素分析圖形．圖中有沒(méi)有特殊點(diǎn)、特殊線(xiàn)、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形．
(3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系．

學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，PT是⊙O的切線(xiàn)，T為切點(diǎn)，PB是⊙O的割線(xiàn)，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，交弦CD于點(diǎn)M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長(zhǎng)為．
(紹興市中考題)
2．如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線(xiàn)，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，CD是⊙O的切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)交CD于點(diǎn)F，若AB=CD=2，則CE=．
(天津市中考題)

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP的長(zhǎng)為()
A．6．4B．3．2C．3．6D．8
(蘇州市中考題)

5．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點(diǎn)，已知PA、PB的長(zhǎng)分別為方程的兩根，則此圓的直徑為()
A．B．C．D．
(昆明市中考題)

6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PD與AB交于點(diǎn)F，給出下列四個(gè)結(jié)論：①CH2=AHBH；②AD＝AC：③AD2=DFDP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個(gè)數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
(福州市中考題)
7．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A，AD⊥BC于點(diǎn)D．
(1)若∠B=30°，問(wèn)AB與AP是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)求證：PDPO=PCPB；
(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長(zhǎng)．
(紹興市中考題)
8．如圖，已知PA切⊙O于點(diǎn)A，割線(xiàn)PBC交⊙O于點(diǎn)B、C，PD⊥AB于點(diǎn)D，PD、AO的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，連CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連AF．
(1)求證：△PBD∽△PEC；
(2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半徑的長(zhǎng)．
(北京市崇文區(qū)中考題)
9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程(其中為實(shí)數(shù))的兩根．
(1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求∠A的度數(shù)．
(山西省中考題)

10．如圖，△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E，與AC相切于點(diǎn)D，已知AD=2，AE=1，那么BC=．
(山東省臨沂市中考題)

11．如圖，已知A、B、C、D在同一個(gè)圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線(xiàn)段BE、ED為正整數(shù)，則BD=．
12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(2)，則PH=()
A．B．C．D．
13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長(zhǎng)為()
A．B．C．D．1
14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B
E交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC．
(太原市競(jìng)賽題)
15．已知：如圖，ABCD為正方形，以D點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點(diǎn)，連結(jié)AC、AP、CP，并延長(zhǎng)CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點(diǎn)，連結(jié)OF．
(1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線(xiàn)段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)求BH:HC(四川省中考題)
16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，PEC是一條割線(xiàn)，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE=2，CD=1，求DE的長(zhǎng)．
(國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)

17．如圖，⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PA和割線(xiàn)PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B、C是直線(xiàn)PBC與⊙O的交點(diǎn)，若PA、PB、PC的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求PA+PB+PC的值．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽方程與函數(shù)輔導(dǎo)教案

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。對(duì)教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，接下來(lái)的工作才會(huì)更順利！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽方程與函數(shù)輔導(dǎo)教案”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。

【例題求解】
【例1】若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．
思路點(diǎn)撥可以利用絕對(duì)值知識(shí)討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，依此確定m的取值范圍．
【例2】設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且1，那么取值范圍是()
A．B．C．D．
思路點(diǎn)撥因根的表達(dá)式復(fù)雜，故把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，即求對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)滿(mǎn)足1的的值，注意判別式的隱含制約．

【例3】已知拋物線(xiàn)()與軸交于兩點(diǎn)A(，0)，B(，0)(≠)．
(1)求的取值范圍，并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè)；
(2)若拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)C，且OA+OB＝OC一2，求的值．
思路點(diǎn)撥、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，于是二次函數(shù)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問(wèn)題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點(diǎn)．

【例4】拋物線(xiàn)與軸的正半軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)，并且點(diǎn)B在A的右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍．
(1)求這條拋物線(xiàn)的解析式；
(2)判斷△OBC與△OCA是否相似，并說(shuō)明理由．
思路點(diǎn)撥綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，可判定對(duì)應(yīng)方程根的符號(hào)特征、兩實(shí)根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵．對(duì)于(1)，建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對(duì)于(2)依m(xù)的值分類(lèi)討論．

【例5】已知拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M(，)位于軸下方．
(1)求證：此拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)；
(2)設(shè)此拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，且，求證：．
思路點(diǎn)撥對(duì)于(1)，即要證；對(duì)于(2)，即要證．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是．
2．已知拋物線(xiàn)與軸交于A(，0)，B(，0)兩點(diǎn)，且，則．
3．已知二次函數(shù)y=kx2+(2k－1)x—1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1x2)，則對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)x=－2時(shí)，y=l；②當(dāng)xx2，時(shí)，yO；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2；④x1－l，x2－l；⑤x2－x1=，其中所有正確的結(jié)論是(只需填寫(xiě)序號(hào))．
4．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段OA與OB的長(zhǎng)的比為1：4，則＝()．
A．8B．一4C．1lD．一4或11

5．已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸相交于A(x1,0)、B(x2，0)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，則b與c的關(guān)系式是()
A．b2－4c+1=0B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0D．b2－4c－4=0
6．已知方程有一個(gè)負(fù)根而且沒(méi)有正根，那么的取值范圍是()
A．-1B．＝1C．≥1D．非上述答案
7．已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系？
（2）如果線(xiàn)段OC的長(zhǎng)度是線(xiàn)段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)；
（3）在（2）的條件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．

8．已知：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(一1，4)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與軸分別交于B(x1,0)、C(x2，0)兩點(diǎn)(其中且)，且．
(1)求此拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)設(shè)此拋物線(xiàn)與軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，若△MBO的面積為△DOC面積的倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
9．已知拋物線(xiàn)交x軸于A（，0）、B（，0），交y軸于C點(diǎn)，且＜0＜，.
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在著拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P，使∠APB為銳角，若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
10．設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則=.
11．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是．
12．已知、為拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，則的值為．
13．是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒(méi)有，試述理由．
14．設(shè)拋物線(xiàn)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)求的值．
15．已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于的方程的一整數(shù)根，求的值．
16．已知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上且不過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，一2)，與軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且滿(mǎn)足關(guān)系式．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)求△ABC的面積．

17．設(shè)是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（，0）、B（，0）．
(1)求證：；
(2)若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過(guò)，求P的最大值．
(