小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

九年級數(shù)學(xué)競賽坐標(biāo)平面上的直線講座。

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學(xué)競賽坐標(biāo)平面上的直線講座”，相信能對大家有所幫助。

一般地，若(，是常數(shù)，)，則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式6中的系數(shù)符號，決定圖象的大致位置及單調(diào)性(隨的變化情況)．如圖所示：

一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個二元一次方程；任意一個關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如()的函數(shù)形式．坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．

【例題求解】

【例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為，過A、P兩點的直線為，且BP⊥AP，則=．

思路點撥解題的關(guān)鍵是求出P點坐標(biāo)，只需運用幾何知識建立OP的等式即可．

【例2】設(shè)直線(為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為()

A．1B．C．D．

思路點撥求出直線與軸、軸交點坐標(biāo)，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示．

【例3】某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機進行空中加油．在加油過程中，設(shè)運輸飛機的油箱余油量為Q1噸，加油飛機的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為分鐘，Q1、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)加油飛機的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機需多少分鐘?

(2)求加油過程中，運輸飛機的余油量Q1(噸)與時間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)運輸飛機加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由．

思路點撥對于(3)，解題的關(guān)鍵是先求出運輸飛機每小時耗油量．

注：（1）當(dāng)自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．

（2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)．

【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點P(，)，且△ABP的面積與△AABC的面積相等，求的值．

思路點撥利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差．

注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面積來表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系．

【例5】在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象．

思路點撥先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線及其中的字母的取值范圍進行分類討論，的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀．

注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對值函數(shù)．去掉絕對值符號，把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對值的一般思路．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤≤-2，則這個函數(shù)的解析式為．

2．已知，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第象限．

3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，其中超過150人時，要繳納公安消防保險費50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題：

(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0≤150時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150x≤200時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(3)當(dāng)售票數(shù)為時，不賠不賺；當(dāng)售票數(shù)滿足時，放影廳要賠本；若放影廳要獲得最大利潤200元，此時售票數(shù)應(yīng)為

(4)當(dāng)售票數(shù)滿足時，此時利潤比＝150時多．

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點，過P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)BP=，EF=，則能反映與之間關(guān)系的圖象是()

5．下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是()

6．小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了()

A．32元B．36元C．38元D．44元

7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量(微克)隨時間(小時)的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后．

(1)分別求出≤2和≥2時與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長?

8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系O中，使AB在軸的正半軸上，A點的坐標(biāo)是(1，0)

(1)經(jīng)過C點的直線與軸交于點E，求四邊形AECD的面積；

(2)若直線經(jīng)過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標(biāo)系中畫出直線．(2001年湖北省荊州市中考題)

9．如圖，已知點A與B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，2)

(1)求直線AB的解析式．

(2)過點C(2，0)的直線(與軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標(biāo)．

10．如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△POQ沿PQ翻折，點O落在R處，則點R的坐標(biāo)是．

11．在直角坐標(biāo)系O中，軸上的動點M（，0）到定點P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標(biāo)為．

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為(15，6)，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．

13．如果—條直線經(jīng)過不同的三點A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線經(jīng)過()象限．

A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四

14．一個一次函數(shù)的圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為A、B，并且過點(一l，—25)，則在線段AB(包括端點A、B)上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點有（）

A．4個B．5個C．6個D．7個

15．點A(一4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出()

A．1個B．2個C．3個D．4個

16．有—個附有進、出水管的容器，每單位時間進、出的水量都是一定的，設(shè)從某時刻開始5分鐘內(nèi)只進不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進水又出水，得到時間(分)與水量(升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進水，求這時(即≥20)y與之間的函數(shù)關(guān)系式．

17．如圖，△AOB為正三角形，點B坐標(biāo)為(2，0)，過點C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式．

18．在直角坐標(biāo)系中，有四個點A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求的值．

19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過試驗得到下列數(shù)據(jù)：

通過電流強度（單位A）11.71.92.12.4

氧化鐵回收率（%）7579888778

如圖建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示通過的電流強度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率．

（1）將試驗所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點表示（注：該圖中坐標(biāo)軸的交點代表點（1，70）；

（2）用線段將題（1）所畫的點從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫出該函數(shù)在1.7≤x≤2.4時的表達(dá)式；

（3）利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）．

20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動點P(x，0)在OB上移動(03)，過點P作直線與軸垂直．

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)△OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象；

(4)當(dāng)為何值時，直線平分△OBC的面積?

參考答案

延伸閱讀

九年級數(shù)學(xué)競賽直線與圓專題輔導(dǎo)講座

每個老師不可缺少的課件是教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。將教案課件的工作計劃制定好，新的工作才會如魚得水！你們會寫一段適合教案課件的范文嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學(xué)競賽直線與圓專題輔導(dǎo)講座”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

注：點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點．

【例題求解】

【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長為．

思路點撥從C點看，可用切線長定理，從E點看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．

注：連結(jié)圓心與切點是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用．

【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點P是圓上異于B、C的一個動點，則∠BPC的度數(shù)是()

A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°

(山西省中考題)

思路點撥略

【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．

問：(1)若點O在AB上向點B移動，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請說明理由；

(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)

【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合)．

(1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段PC的長；

(2)當(dāng)PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．(廣州市中考題)

思路點撥對于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點，建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．

注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題，判定的基本方法有：

(1)從直線與圓交點個數(shù)入手；

(2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直；

(3)運用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．

一個圓的問題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進而可得不同的證法，對于分層次設(shè)問的問題，需整體考慮；

【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，︵AC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作︵AC所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點．

（1）當(dāng)∠DEF=45°時，求證點G為線段EF的中點；

（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．

(上海市中考題)

思路點撥圖中有多條⊙B的切線，由切線長定理可得多對等長線段，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)，對于(3)，由(2)求出的值，確定E點位置，這是解題的關(guān)鍵．

注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互

助等思想方法，具有較強的選拔功能．

學(xué)力訓(xùn)練

1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O于M點，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長為．(河北省中考題)

2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點C是⊙O上異于A、B的任意一點，則

∠ACB=．

3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．(重慶市中考題)

4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過點D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是．

(武漢市中考題)

5．、表示直線，給出下列四個論斷：①∥；②切⊙O于點A；③切⊙O于點B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個數(shù)為()

1B．2C．3D．4

(江蘇鎮(zhèn)江市中考題)

6．如圖，圓心O在邊長為的正方形ABCD的對角線BD上，⊙O過B點且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()

A．B．C．D．

(廣西玉林市中考題)

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BCDC，若腰DC上有一點P，使AP⊥BP，則這樣的點()

A．不存在B．只有一個C．只有兩個D．有無數(shù)個

(大連市中考題)

8．如圖，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列結(jié)論：①CH=CP；②AD=DB；③AP＝BH；④DH為圓的切線，其中一定成立的是()

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(武漢市中考題)

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，

(1)求弦AC、AB的長；

(2)若P為CB的延長線上一點，試確定P點的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論．

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PEPO．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；

(3)求sin∠PCA的值．(長沙市中考題)

11．(1)如圖a，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②ACAD=AEAF．

(2)在問題(1)中，當(dāng)直線向上平行移動與⊙O相切時，其他條件不變．

①請你在圖b中畫出變化后的圖形，并對照圖a標(biāo)記字母；

②問題(1)中的兩個結(jié)論是否成立?如果成立，請給出證明；如不成立，請說明理由．

(遼寧省中考題)

12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．

(1)當(dāng)∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．

(2)當(dāng)QP⊥AB時，△QCP的形狀是三角形．

(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請進一步猜想當(dāng)點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是三角形．(吉林省中考題)

14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長為()

A．2B．3C．3．5D．4

15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B切點，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結(jié)論：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正確結(jié)論的個數(shù)有()

A．3個B．2個C．1個D．0個

16．如圖，已知△ABC，過點A作外接圓的切線交BC的延長線于點P，，點D在AC上，且，延長PD交AB于點E，則的值為()

A．B．C．D．

(太原市競賽題)

17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過點A的半圓的切線．在AB上任取一點C(點C與A、B不重合)，過點C作半圓的切線CD交AP于點D；過點C作CE⊥AB，垂足為E．連結(jié)BD，交CE于點F．

(1)當(dāng)點C為AB的中點時(如圖1)，求證：CF＝EF；

(2)當(dāng)點C不是AB的中點時(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論．(蘇州市中考題)

18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點E．

(1)求證：△ADE∽△ABC；

(2)設(shè)⊙D與BC交于點F，當(dāng)CF=2時，求CD的長；

(3)設(shè)CD=，試給出一個值，使⊙D與BC沒有公共點，并說明你給出的值符合的要求．

(浙江省中考題)

19．如圖，PA、PB與⊙O切于A、B兩點，PC是任意一條割線，且交⊙O于點E、C，交AB于點D．求證：

(天津市選拔賽試題)

20．如圖，⊙Oˊ與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，圓心Oˊ的坐標(biāo)是(1，一1)，半徑是，

(1)求A、B、C、D四點的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過點D的切線的解析式；

(3)問過點A的切線與過點D的切線是否垂直?若垂直，請寫出

證明過程；若不垂直，試說明理由．

21．當(dāng)你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想?如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點P距離地面a米，最低處點Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點E距離地面m米，當(dāng)過P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想．

(1)設(shè)點E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6時，求：

(a)點E和墻壁距離x米；(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度)．

(常州市中考題)

九年級數(shù)學(xué)競賽拋物線講座

九年級數(shù)學(xué)競賽拋物線講座
一般地說來，我們稱函數(shù)(、、為常數(shù)，)為的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線，與拋物線相關(guān)的知識有：
1．、、的符號決定拋物線的大致位置；
2．拋物線關(guān)于對稱，拋物線開口方向、開口大小僅與相關(guān)，拋物線在頂點(，)處取得最值；
3．拋物線的解析式有下列三種形式：
①一般式：；
②頂點式：；
③交點式：，這里、是方程的兩個實根．
確定拋物線的解析式一般要兩個或三個獨立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線的解析式是解與拋物線相關(guān)問題的關(guān)鍵．
注：對稱是一種數(shù)學(xué)美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對稱圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對稱關(guān)系，以便從整體上把握問題，由拋物線捕捉對稱信息的方式有：
(1)從拋物線上兩點的縱坐標(biāo)相等獲得對稱信息；
(2)從拋物線的對稱軸方程與拋物線被軸所截得的弦長獲得對稱信息．
【例題求解】
【例1】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，對應(yīng)的取值范圍是．
思路點撥由圖象知拋物線頂點坐標(biāo)為(一1，一4)，可求出，值，先求出時，對應(yīng)的值．

【例2】已知拋物線(0)經(jīng)過點(一1，0)，且滿足．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)有()
A．1個B．2個C．3個D．4個
思路點撥由條件大致確定拋物線的位置，進而判定、、的符號；由特殊點的坐標(biāo)得等式或不等式；運用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．

【例3】如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN＝4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米?
思路點撥恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，易得出M、N及拋物線頂點坐標(biāo)，從而求出拋物線的解析式，設(shè)A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．

注：把一個生產(chǎn)、生活中的實際問題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學(xué)問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解．
【例4】二次函數(shù)的圖象與軸交于A、兩點(點A在點B左邊)，與軸交于C點，且∠ACB＝90°．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)計兩種方案：作一條與軸不重合，與△ABC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的，寫出所截得的三角形三個頂點的坐標(biāo)(注：設(shè)計的方案不必證明)．

思路點撥(1)A、B、C三點坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過特殊點，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計方案．

注：解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點的坐標(biāo)，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【例5】已知函數(shù)，其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求何值時，函數(shù)值最小．
思路點撥將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對稱軸為，因，，故函數(shù)的最小值只可能在取，，時達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，若拋物線與四條直線、、、所圍成的正方形有公共點，則的取值范圍是．
2．拋物線與軸的正半軸交于A，B兩點，與軸交于C點，且線段AB的長為1，△ABC的面積為1，則的值為．
3．如圖，拋物線的對稱軸是直線，它與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點A、C的坐標(biāo)分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為；(2)若點P為此拋物線上位于軸上方的一個動點，則△ABP面積的最大值為．
4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有、、三個字母的式子①，②，③，④，0，其中正確結(jié)論的序號是(把你認(rèn)為正確的都填上)．
5．已知，點(，)，(，)，(，)都在函數(shù)的圖象上，則()
A．B．C．D．

6．把拋物線的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為，則有()
A．，B．，C．，c＝3D．，
7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(，)所在的直角坐標(biāo)系是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

8．周長是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(m)的函數(shù)圖象大致是()

9．閱讀下面的文字后，回答問題：
“已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0，)，B(1，-2)，求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．
題目中的橫線部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字．
(1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫出求解過程；若不能，說明理由．
(2)請你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補充完整．
10．如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．
(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；
(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少?

11．如圖，拋物線和直線()與軸、y軸都相交于A、B兩點，已知拋物線的對稱軸與軸相交于C點，且∠ABC＝90°，求拋物線的解析式．

12．拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，若△ABC是直角三角形，則．
13．如圖，已知直線與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，那么△OAB的面積等于．
14．已知二次函數(shù)，一次函數(shù)．若它們的圖象對于任意的實數(shù)是都只有一個公共點，則二次函數(shù)的解析式為．
15．如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是()
A．b=0B．S△ADC＝c2C．a(chǎn)c＝一1D．a(chǎn)+c＝0
16．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過點(1，0)…求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是()
A．過點(3，0)B．頂點是(2，一2)
C．在軸上截得的線段長為2D．與軸的交點是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數(shù)()的圖象上兩時，二次函數(shù)的值是()
A．B．C．2002D．5
18．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000噸，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：噸)與費用(單位：萬元)之間函數(shù)的圖象是頂點在原點的拋物線的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷售量(單位：噸)與銷售單價(單位：萬元／噸)之間函數(shù)的圖象是線段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，問年產(chǎn)量是多少噸時，所獲毛利潤最大?(毛利潤＝銷售額一費用)．
19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與軸交于點C，直線：x＝m(m1)與軸交于點D．
(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)；
(2)在直線x＝m(m1)上有一點P(點P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；
(3)在(2)成立的條件下，試問：拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．

20．已知二次函數(shù)及實數(shù)，求
(1)函數(shù)在一2x≤a的最小值；
(2)函數(shù)在a≤x≤a+2的最小值．
21．如圖，在直角坐標(biāo)：O中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C(4，)，且在軸上截得的線段AB的長為6．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在軸上求作一點P(不寫作法)使PA+PC最小，并求P點坐標(biāo)；
(3)在軸的上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似?如果存在，求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

22．某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)，當(dāng)實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù)a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點的坐標(biāo)；若把頂點的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點的坐標(biāo)，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上．
(1)請你協(xié)助探求出當(dāng)實數(shù)a變化時，拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式；
(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎?并說明理由；
(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般——特殊—一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請說明理由．

參考答案

九年級數(shù)學(xué)競賽走進追問求根公式講座

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美．
降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當(dāng)?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問題易于解決．解題時常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項式等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足的整數(shù)n有個．

思路點撥從指數(shù)運算律、±1的特征人手，將問題轉(zhuǎn)化為解方程．

【例2】設(shè)、是二次方程的兩個根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路點撥求出、的值再代入計算，則計算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如，．

【例3】解關(guān)于的方程．
思路點撥因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論．

【例4】設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和．
思路點撥通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解．

【例5】已知實數(shù)、、、互不相等，且，試求的值．
思路點撥運用連等式，通過迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常見的變形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多項式代換；
(2)把方程（）變形為，代換后降次；
(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去．
解合字母系數(shù)方程時，在未指明方程類型時，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質(zhì)，如．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知、是實數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為．
2．已知，那么代數(shù)式的值是．

3．若，，則的值為．

4．若兩個方程和只有一個公共根，則()
A．B．C．D．
5．當(dāng)分式有意義時，的取值范圍是()
A．B．C．D．且
6．方程的實根的個數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列關(guān)于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代數(shù)式的值．

9．是否存在某個實數(shù)m，使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由．
注：解公共根問題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過消去二次項尋找解題突破口．
10．若，則＝．
11．已知、是有理數(shù)，方程有一個根是，則的值為．
12．已知是方程的一個正根。則代數(shù)式的值為．
13．對于方程，如果方程實根的個數(shù)恰為3個，則m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然數(shù)滿足，這樣的的個數(shù)是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是負(fù)實數(shù)，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無理數(shù)．

參考答案