小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案
發(fā)表時間：2021-01-25初三數(shù)學(xué)方案設(shè)計與決策專題總復(fù)習(xí)。
專題六方案設(shè)計與決策方案設(shè)計與決策在中考中是常見題型．涉及代數(shù)方面的有方程(組)、不等式(組)和函數(shù)兩類；涉及幾何方面的有測量、包裝等．
考向一利用方程(組)或不等式(組)進行方案設(shè)計
生活中許多實際問題需借助方程(組)或不等式(組)的求解，不僅如此還需要對方程(組)或不等式(組)的解，進行有針對性的分析作出方案設(shè)計與決策．
【例1】(2011湖南永州)某學(xué)校為開展“陽光體育”活動，計劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8∶3∶2，且其單價和為130元．
(1)請問籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價分別是多少元？
(2)若要求購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(副)，羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，且購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副，請問有幾種購買方案？
分析：(1)已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8∶3∶2，且其單價和為130元．可以設(shè)它們的單價分別為8x,3x,2x元，列一元一次方程來解決；(2)根據(jù)購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(副)，羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍與籃球的關(guān)系，再根據(jù)購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副和不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍這兩個不等關(guān)系列不等式組，求出籃球數(shù)量的范圍，從而制定出方案．
解：(1)因為籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8∶3∶2，所以，可以依次設(shè)它們的單價分別為8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.
所以，籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價分別為80元、30元和20元．
(2)設(shè)購買籃球的數(shù)量為y個，則購買羽毛球拍的數(shù)量為4y副，購買乒乓球拍的數(shù)量為(80－y－4y)副，根據(jù)題意，得80y＋30×4y＋20(80－y－4y)≤3000，80－y－4y≤15，①②
由不等式①，得y≤14，由不等式②，得y≥13.
于是，不等式組的解集為13≤y≤14，
因為y取整數(shù)，所以y只能取13或14.
因此，一共有兩個方案：
方案一，當(dāng)y＝13時，籃球購買13個，羽毛球拍購買52副，乒乓球拍購買15副；
方案二，當(dāng)y＝14時，籃球購買14個，羽毛球拍購買56副，乒乓球拍購買10副．
方法歸納本類型題目主要特點有：(1)當(dāng)利用不等關(guān)系來確定取值范圍時，要結(jié)合不等式的取值范圍來討論；
(2)當(dāng)利用方程來確定取值范圍時，往往利用解的整數(shù)性來解答．
需要說明的是利用方程(組)或不等式(組)進行方案設(shè)計常?？山柚淮魏瘮?shù)的性質(zhì)進行決策．
考向二利用二次函數(shù)進行方案設(shè)計
在商業(yè)活動或生產(chǎn)活動過程中常常遇到最優(yōu)化問題．解決此類問題一般可借助二次函數(shù)以及二次函數(shù)的最大(小)值進行最優(yōu)方案的選擇或設(shè)計．
【例2】(2011江津)在“五個重慶”建設(shè)中，為了提高市民的宜居環(huán)境，某區(qū)規(guī)劃修建一個文化廣場(平面圖形如圖所示)，其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB，BC，CD，DA邊為直徑向外作半圓，若整個廣場的周長為628米，設(shè)矩形的邊長AB＝y(tǒng)米，BC＝x米．(注：取π＝3.14)
(1)試用含x的代數(shù)式表示y.
(2)現(xiàn)計劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等，平均每平方米造價為428元，在四個半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖，平均每平方米造價為400元；
①設(shè)該工程的總造價為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
②若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計方案，若不能，請說明理由．
③若該工程在政府投入1千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長不超過AB長的三分之二，且建設(shè)廣場恰好用完所有資金，問：能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計方案，若不能，請說明理由．
分析：(1)根據(jù)圓周長列出關(guān)于x，y的等式；(2)①根據(jù)三個區(qū)域的面積和價格標(biāo)準(zhǔn)，列出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②比較二次函數(shù)的最小值與1千萬的大小，給出判斷；③根據(jù)“建設(shè)剛好把政府投入的1千萬與企業(yè)募捐資金64.82萬元剛好用完”列出相應(yīng)的一元二次方程，解出方程的根，根據(jù)長寬的要求進行取舍．
解：(1)由題意得πy＋πx＝628.
∵π＝3.14，∴3.14y＋3.14x＝628.
∴x＋y＝200.則y＝200－x.
(2)①w＝428xy＋400πy22＋400πx22＝428x(200－x)＋400×3.14×(200－x)24＋400×3.14×x24＝200x2－40000x＋12560000.
②僅靠政府投入的1千萬元不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)，其理由如下：
由①知w＝200(x－100)2＋1.056×107＞107，
所以不能．
③由題意，得x≤23y，即x≤23(200－x)，解得x≤80.
∴0≤x≤80.
又根據(jù)題意，得w＝200(x－100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.
整理，得(x－100)2＝441，解得x1＝79，x2＝121(不合題意，舍去)．
∴只能取x＝79，則y＝200－79＝121.
∴設(shè)計的方案是：AB長為121米，BC長為79米，再分別以各邊為直徑向外作半圓．
方法歸納利用二次函數(shù)解決方案設(shè)計問題一般地需要先建立二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法，即當(dāng)x＝－b2a時，y有最大(小)值4ac－b24a求得最值．最后要結(jié)合問題情境確定方案．注意有時確定最值時，需要考慮要在x的取值范圍內(nèi)．
考向三利用幾何知識進行方案設(shè)計與決策
利用幾何知識進行方案設(shè)計，不僅要有一定的幾何作圖能力，而且要能熟練地運用幾何的有關(guān)性質(zhì)及全等、相似、圖形變換、方程及三角函數(shù)的有關(guān)知識，并注意充分發(fā)揮分類討論、類比歸納、猜想驗證等數(shù)學(xué)思想方法的作用．
【例3】某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備作測量旗桿的數(shù)學(xué)實踐活動，來到旗桿下，發(fā)現(xiàn)旗桿AB頂端A垂下一段繩子ABC如圖1.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，原來制定的一系列測量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的繩子和一根皮尺，在不攀爬旗桿的情況下，測量相關(guān)數(shù)據(jù)，就可以計算出旗桿的高度．
圖1
(1)請你給出具體的測量方案，并寫出推算旗桿高度的過程；
(2)推測這個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的一系列測量旗桿的方案是什么？
分析：針對該問題所提供的情境知道：(1)旗桿垂直于地面；(2)旗桿AB頂端A垂下一段繩子，即繩子比旗桿長出的部分可度量．因此可聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識利用勾股定理探討具體測量方案．
解：(1)測量方案設(shè)計如下：
①測量繩子比旗桿多出的部分BC＝am；
②把繩子ABC拉緊到地面D處如圖2，測量B到D的距離BD＝bm.
圖2
推算過程：設(shè)旗桿的高度為xm，則AD是(x＋a)m.
在直角△ABD中，根據(jù)AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝b2－a22a.
(2)這個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的測量旗桿的方案可能有以下幾個：
圖3圖4
方法歸納關(guān)于物體的測量是一個實際問題，因此必須考慮實際環(huán)境，結(jié)合實際環(huán)境，充分運用所學(xué)知識制定方案，制定方案時要遵循可操作性強、簡單易行原則．第2個問題的測量方案還可有其他的，有興趣的同學(xué)可自行進一步探討．對于以上2種測量方案的相關(guān)計算方法，請同學(xué)們自己給出．
一、選擇題
1．小芳家房屋裝修時，選中了一種漂亮的正八邊形地磚．建材店老板告訴她，只用一種八邊形地磚是不能密輔地面的，便向她推薦了幾種形狀的地磚．你認(rèn)為要使地面密鋪，小芳應(yīng)選擇另一種形狀的地磚是()
2．現(xiàn)有球迷150人欲同時租用A，B，C三種型號客車去觀看世界杯足球賽，其中A，B，C三種型號客車載客量分別為50人，30人，10人，要求每輛車必須載滿，其中A型客車最多租2輛，則球迷們一次性到達賽場的租車方案有()
A．3種B．4種C．5種D．6種
二、填空題
3．某班為籌備運動會，準(zhǔn)備用365元購買兩種運動服，其中甲種運動服20元/套，乙種運動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有__________種購買方案．
4．如圖，點A1，A2，A3，A4是某市正方形道路網(wǎng)的部分交匯點，且它們都位于同一對角線上．某人從點A1出發(fā)，規(guī)定向右或向下行走，那么到達點A3的走法共有__________．
三、解答題
5．某樓盤一樓是車庫(暫不出售)，二樓至二十三樓均為商品房(對外銷售)．商品房售價方案如下：第八層售價為3000元/米2，從第八層起每上升一層，每平方米的售價增加40元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價減少20元．已知商品房每套面積均為120平方米．開發(fā)商為購買者制定了兩種購房方案：
方案一：購買者先交納首付金額(商品房總價的30%)，再辦理分期付款(即貸款)．
方案二：購買者若一次付清所有房款，則享受8%的優(yōu)惠，并免收五年物業(yè)管理費(已知每月物業(yè)管理費為a元)．
(1)請寫出每平方米售價y(元/米2)與樓層x(2≤x≤23，x是正整數(shù))之間的函數(shù)解析式．
(2)小張已籌到120000元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？
(3)有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認(rèn)為此方案還不如不免收物業(yè)管理費而直接享受9%的優(yōu)惠劃算．你認(rèn)為老王的說法一定正確嗎？請用具體數(shù)據(jù)闡明你的看法．
6．一塊洗衣肥皂長、寬、高分別是16cm,6cm,3cm.一箱肥皂30條，請你為雕牌肥皂廠設(shè)計一種符合下列要求的包裝箱，并使包裝箱所用材料最少．
(1)肥皂裝箱時，相同的面積要互相對接；
(2)包裝箱是一個長方形；
(3)裝入肥皂后不留空隙．
7．如圖，飛機沿水平方向(A，B兩點所在直線)飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離(因安全因素，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離)，請設(shè)計一個求距離MN的方案，要求：
(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；
(2)用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟．
8．知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具有特殊價值的綠色食品．在當(dāng)?shù)厥袌龀鍪蹠r，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝(上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖)．
(1)實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形(寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6)，體積為0.3立方米．
①按方案1(如圖)做一個紙箱，需要矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是多少平方米？
②小明認(rèn)為，如果從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2(如圖)的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優(yōu)，你認(rèn)為呢？請說明理由．
(2)拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”，但他感覺(1)中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半，你認(rèn)為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數(shù)圖象驗證．
紙箱示意圖紙箱展開圖(方案1)
紙箱展開圖(方案2)
備用圖形
參考答案
專題提升演練
1．B正八邊形的內(nèi)角度數(shù)為135°，正三角形一個內(nèi)角度數(shù)為60°，設(shè)密鋪時，一個接縫點周圍有m塊正八邊形，n塊正三角形，則有135m＋60n＝360，通過試根，沒有滿足條件的正整數(shù)m，n的值使方程成立，因此A選項錯誤；依次類推，分別把60°換成90°，120°，經(jīng)過試根，只有90°可以找到滿足條件的正整數(shù)m，n的值使方程成立，因此，選B.
2．B因為A型車最多租用2輛，所以有兩種情況，租用1輛A型車或租用2輛A型車，設(shè)租用B型車x輛，C型車y輛．①租用1輛A型車時，50＋30x＋10y＝150，其正整數(shù)解為x＝1，y＝7，x＝2，y＝4，x＝3，y＝1；②租用2輛A型車時，100＋30x＋10y＝150，其正整數(shù)解為x＝1，y＝2.
綜上所述，共有4種情況．
3．2設(shè)購買甲、乙兩種運動服分別為x套和y套(x，y為正整數(shù))，
依題意，得20x＋35y＝365，
整理，得4x＋7y＝73.
y＝73－4x7＝11－4(x＋1)7≥1.
∵x，y為正整數(shù)，∴x＋1是7的倍數(shù)．
∴73－4x≥7，x＋1＝7k(k為正整數(shù))，解得27≤k≤52，
∴整數(shù)k＝1或2，
∴x＝6，y＝7，或x＝13，y＝3.
4．6種從點A1出發(fā)，先向下走有三種走法，先向右走也有三種走法，共6種．
5．解：(1)1°當(dāng)2≤x≤8時，每平方米的售價應(yīng)為：3000－(8－x)×20＝20x＋2840(元/平方米)．
2°當(dāng)9≤x≤23時，每平方米的售價應(yīng)為：3000＋(x－8)40＝40x＋2680(元/平方米)．
∴y＝20x＋2840(2≤x≤8)，40x＋2680(9≤x≤23)，x為正整數(shù)．
(2)由(1)知：
1°當(dāng)2≤x≤8時，小張首付款為(20x＋2840)12030%＝36(20x＋2840)≤36(208＋2840)＝108000元＜120000元．
∴2～8層可任選．
2°當(dāng)9≤x≤23時，小張首付款為(40x＋2680)12030%＝36(40x＋2680)元．
36(40x＋2680)≤120000，解得：x≤493＝1613.
∵x為正整數(shù)，∴9≤x≤16.
綜上得：小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層．
(3)若按方案二購買第十六層，則老王要實交房款為：y1＝(4016＋2680)12092%－60a(元)．
若按老王的想法則要交房款為：y2＝(4016＋2680)12091%(元)．
∵y1－y2＝3984－60a，
當(dāng)y1＞y2即y1－y2＞0時，解得0＜a＜66.4，此時老王想法正確；
當(dāng)y1≤y2即y1－y2≤0時，解得a≥66.4，此時老王想法不正確．
6．解：方案一：以16×3的面相對連放三塊構(gòu)成底層，再如此放10層，整個表面積為最小值2616cm2；
方案二：以16×3的面相對連放五塊構(gòu)成底層，再如此放6層，整個表面積仍為最小值2616cm2.
7．解：答案不唯一．
(1)如圖，測出飛機在A處對山頂?shù)母┙菫棣?，測出飛機在B處對山頂?shù)母┙菫棣?，測出AB的距離為d，連接AM，BM.
(2)第一步，在Rt△AMN中，tanα＝MNAN，∴AN＝MNtanα；
第二步，在Rt△BMN中，tanβ＝MNBN，∴BN＝MNtanβ；
其中AN＝d＋BN，解得MN＝dtanαtanβtanβ－tanα.
8．解：(1)①設(shè)這個紙箱底面的長為x，則寬為0.6x.
∵x×0.6x×0.5＝0.3，
∴x2＝1，解得x＝1.
由圖示可知，
＝[1＋2×(0.5＋0.5)]×[0.6＋2×(0.5＋0.3)]＝3×2.2＝6.6(平方米)．
②方案2優(yōu)惠．由圖示
可知，h1h1＋1＝0.30.3＋0.8，解得h1＝38.
h2h2＋0.8＝0.50.5＋1，解得h2＝25.
∴＝12×3＋2×38×2.2＋2×25＝12×308×3＝5.625(平方米)．
∵5.625平方米＜6.6平方米，
∴采用方案2優(yōu)惠．
(2)設(shè)現(xiàn)在設(shè)計的紙箱的底面長為x米，寬為y米，
則x＋y＝0.8，xy＝0.3.
即y＝0.8－x和y＝0.3x，其圖象如圖所示．
因為兩個函數(shù)圖象無交點，所以要將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半，水果商的這種要求不能辦到．
延伸閱讀
初三數(shù)學(xué)圖表信息專題總復(fù)習(xí)
專題一圖表信息
圖表信息問題主要考查收集信息和處理信息的能力．解答這類問題時要把圖表信息和相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系，要結(jié)合問題提供的信息，靈活運用數(shù)學(xué)知識進行聯(lián)想、探索、發(fā)現(xiàn)和綜合處理，準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)模型來解決問題．
這種題型命題廣泛，應(yīng)用知識多，是中考的一種新題型，也是今后命題的熱點，考查形式有選擇題、填空題、解答題．
考向一表格信息問題
表格信息問題涉及知識點比較廣泛，主要有統(tǒng)計、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等．解答時關(guān)鍵要根據(jù)表格提供的信息，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
【例1】2011年4月25日，全國人大常委會公布《中華人民共和國個人所得稅法修正案(草案)》，向社會公開征集意見．草案規(guī)定，公民全月工薪不超過3000元的部分不必納稅，超過3000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項稅款按下表分段累進計算.
級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率
1不超過1500元的部分5%
2超過1500元至4500元的部分10%
3超過4500元至9000元的部分20%
………………
依據(jù)草案規(guī)定，解答下列問題：
(1)李工程師的月工薪為8000元，則他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元？
(2)若某納稅人的月工薪不超過10000元，他每月的納稅金額能超過月工薪的8%嗎？若能，請給出該納稅人的月工薪范圍；若不能，請說明理由．
分析：(1)由于當(dāng)工資為8000元時，應(yīng)該納稅，而且應(yīng)該按照三個級別分別納稅；(2)由于工資為10000元時，要分三種情況進行討論：①工資小于等于4500元；②工資大于4500元但小于等于7500元；③工資大于7500元小于10000元．
解：(1)李工程師每月納稅：1500×5%＋3000×10%＋(8000－7500)×20%
＝75＋300＋100＝475(元)
(2)設(shè)該納稅人的月工薪為x元，則
當(dāng)x≤4500時，顯然納稅金額達不到月工薪的8%.
當(dāng)4500＜x≤7500時，由1500×5%＋(x－4500)×10%8%x，
得x＞18750，不滿足條件．
當(dāng)7500＜x≤10000時，由1500×5%＋3000×10%＋(x－7500)×20%8%x，
解得x＞9375，故9375＜x≤10000.
答：若該納稅人月工薪大于9375元且不超過10000元時，他的納稅金額能超過月工薪的8%.
方法歸納本題涉及的數(shù)學(xué)思想是分類思想．解題時分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
考向二圖象信息問題
圖象信息問題涉及的知識點主要是函數(shù)問題．解答時要注意分析圖象中特殊“點”反映的信息．
【例2】在一條直線上依次有A，B，C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A，B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達到C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x(h)后，與B港的距離分別為y1，y2(km)，y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)填空：A，C兩港口間的距離為__________km，a＝__________；
(2)求圖中點P的坐標(biāo)，并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義；
(3)若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍．
分析：根據(jù)函數(shù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)A，B，C三港口位置示意圖如下：
圖象中點P表示當(dāng)甲到達B港口后再經(jīng)過一段時間，甲、乙二船與B港口的距離相等，因此可以有兩種解法，一種是利用函數(shù)解析式來求交點坐標(biāo)；另一種則是利用追及問題一般方法來解，設(shè)甲船追上乙船時，用了t小時，則可知甲船t小時比乙船多行了30km，由圖容易知道甲、乙兩船的速度分別是60km/h,30km/h，于是可列方程60t＝30t＋30輕松求解．對于第(3)小題，應(yīng)該通過分類討論來解決問題．
解：(1)1202
(2)由點(3,90)求得，y2＝30x.
當(dāng)x＞0.5時，由點(0.5,0)，(2,90)求得y1＝60x－30.
當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，60x－30＝30x，解得x＝1.
此時y1＝y(tǒng)2＝30.所以點P的坐標(biāo)為(1,30)．
該點坐標(biāo)的意義為：兩船出發(fā)1h后，甲船追上乙船，此時兩船離B港的距離為30km.
求點P的坐標(biāo)的另一種方法：
由圖可得，甲的速度為300.5＝60(km/h)，
乙的速度為903＝30(km/h)．
則甲追上乙所用的時間為3060－30＝1(h)．
此時乙船行駛的路程為30×1＝30(km)．
所以點P的坐標(biāo)為(1,30)．
(3)①當(dāng)x≤0.5時，由點(0,30)，(0.5,0)求得，y1＝－60x＋30.
依題意，(－60x＋30)＋30x≤10.
解得x≥23，不合題意．
②當(dāng)0.5＜x≤1時，依題意，30x－(60x－30)≤10.
解得x≥23.所以23≤x≤1.
③當(dāng)x＞1時，依題意，(60x－30)－30x≤10.
解得x≤43.所以1＜x≤43.
綜上所述，當(dāng)23≤x≤43時，甲、乙兩船可以相互望見．
方法歸納本題涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．解題的關(guān)鍵是確定三個港口的位置．難點是對P點的含義理解．
考向三圖表綜合問題
圖表綜合問題主要分布于統(tǒng)計之中．解題時注意將圖表中的信息綜合在一起分析解答．
【例3】某市“希望”中學(xué)為了了解學(xué)生“大間操”的活動情況，在七、八、九年級的學(xué)生中，分別抽取相同數(shù)量的學(xué)生對“你最喜歡的運動項目”進行調(diào)查(每人只能選一項)．調(diào)查結(jié)果的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表(圖)所示，其中七年級最喜歡跳繩的人數(shù)比八年級多5人，九年級最喜歡排球的人數(shù)為10.
七年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目排球籃球跳繩踢毽其他
人數(shù)/人78146
八年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
九年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
請根據(jù)統(tǒng)計表(圖)解答下列問題：
(1)本次調(diào)查抽取了多少名學(xué)生？
(2)補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，并求出“最喜歡跳繩”的學(xué)生占抽樣總?cè)藬?shù)的百分比；
(3)該校共有學(xué)生1800人，學(xué)校想對“最喜歡踢毽”的學(xué)生每4人提供一個毽子，那么學(xué)校在“大間操”時至少應(yīng)提供多少個毽子？
分析：(1)因為三個年級都抽取了相同數(shù)量的學(xué)生，所以只需算出一個年級抽取的學(xué)生數(shù)即可；(2)根據(jù)(1)補充完整表格與統(tǒng)計圖；(3)至少應(yīng)提供的毽子個數(shù)＝該校學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以最喜歡踢毽人數(shù)所占的比例再除以4.
解：(1)10÷20%＝50(人),50×3＝150(人)．
(2)七年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目排球籃球跳繩踢毽其他
人數(shù)/人7815146
八年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
九年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
“最喜歡跳繩”的學(xué)生占抽樣總?cè)藬?shù)的百分比為22%.
(3)14＋13＋15150×1800÷4＝126(個)．
方法歸納本題考查了統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表及根據(jù)樣本估計總體，也是考查統(tǒng)計知識常見題型．解題時讀懂圖表并將圖表信息綜合考慮是關(guān)鍵.
一、選擇題
1．某住宅小區(qū)6月份1日至5日每天用水量變化情況如圖所示，那么這5天平均每天的用水量是()
A．30噸B．31噸C．32噸D．33噸
2．(2011浙江臺州)如圖，反比例函數(shù)y＝mx的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象交于點M，N，已知點M的坐標(biāo)為(1,3)，點N的縱坐標(biāo)為－1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程mx＝kx＋b的解為()
A．－3,1B．－3,3C．－1,1D．3，－1
二、填空題
3.上、下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構(gòu)成，主視圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度至少為____________.
4．某村分給小慧家一套價格為12萬元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3萬元，從第二年起，每年應(yīng)付房款0.5萬元與上一年剩余房款的利息的和．假設(shè)剩余房款年利率為0.4%，小慧列表推算如下：
第一年第二年第三年…
應(yīng)還款(萬元)30.5＋9×0.4%0.5＋8.5×0.4%…
剩余房款(萬元)98.58…
若第n年小慧家仍需還款，則第n年應(yīng)還款__________萬元(n＞1)．
三、解答題
5．2012年5月20日是第23個中國學(xué)生營養(yǎng)日，某校社會實踐小組在這天開展活動，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況．他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息(如圖)．根據(jù)信息，解答下列問題．
(1)求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量；
(2)若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量；
(3)若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值．
6．如圖①，A，B，C三個容積相同的容器之間有閥門連接，從某一時刻開始，打開A容器閥門，以4升/分的速度向B容器內(nèi)注水5分鐘，然后關(guān)閉，接著打開B容器閥門，以10升/分的速度向C容器內(nèi)注水5分鐘，然后關(guān)閉．設(shè)A，B，C三個容器內(nèi)的水量分別為yA，yB，yC(單位：升)，時間為t(單位：分)．開始時，B容器內(nèi)有水50升，yA，yC與t的函數(shù)圖象如圖②所示．請在0≤t≤10的范圍內(nèi)解答下列問題：
(1)求t＝3時，yB的值；
(2)求yB與t的函數(shù)關(guān)系式，并在圖②中畫出其函數(shù)圖象；
(3)求yA∶yB∶yC＝2∶3∶4時t的值．
圖①圖②
7．某企業(yè)為重慶計算機產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件．受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格y1(元)與月份x(1≤x≤9，且x取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表：
月份x123456789
價格y1(元/件)560580600620640660680700720
隨著國家調(diào)控措施的出臺，原材料價格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價格y2(元)與月份x(10≤x≤12，且x取整數(shù))之間存在如圖所示的變化趨勢：
(1)請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出y2與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；
(2)若去年該配件每件的售價為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其他成本30元，該配件在1至9月的銷售量p1(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整數(shù)),10至12月的銷售量p2(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整數(shù))，求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料價格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其他成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價在去年的基礎(chǔ)上提高a%，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少0.1a%.這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成1至5月的總利潤1700萬元的任務(wù)，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．(參考數(shù)據(jù)：992＝9801，982＝9604,972＝9409,962＝9216,952＝9025)
參考答案
專題提升演練
1．C根據(jù)平均數(shù)公式可得這5天平均每天的用水量是30＋32＋36＋28＋345＝32(噸)．
2．A把M點的坐標(biāo)代入y＝mx，求得m＝3，所以得y＝3x，再把y＝－1代入y＝3x求得x＝－3，故關(guān)于x的方程mx＝kx＋b的解為x＝－3，或1.
3．431.76cm由圖可知，正六邊形的對角線長為60cm，則其半徑為30cm，邊心距為153cm，故所需膠帶長度至少為153×12＋20×6≈431.76(cm)．
4．0.54－0.002n(填0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%)
關(guān)鍵是要理解付款的方式，第一年還掉3萬元后，第二年付0.5萬元和剩下的9萬元的利息，第三年還0.5萬元和剩下的(9－0.5)萬元的利息，第四年則要還0.5萬元和剩下的(9－2×0.5)萬元的利息，…，所以除了第一年以外，第n年都是要還0.5萬元和剩下的[9－(n－2)0.5]萬元的利息，可列式：0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%，化簡可知第n年應(yīng)還款(0.54－0.002n)萬元．
5．解：(1)400×5%＝20(克)．
答：這份快餐中所含脂肪質(zhì)量為20克．
(2)設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為x克，由題意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，
∴x＝44，∴4x＝176.
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量為176克．
(3)解法一：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為(380－5y)克，∴4y＋(380－5y)≤400×85%，
∴y≥40，∴380－5y≤180，
∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克．
解法二：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為n克，則n≥(1－85%－5%)×400，∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180，
∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克．
6．解：(1)當(dāng)t＝3時，yB＝50＋4×3＝62(升)．
(2)根據(jù)題意，
當(dāng)0≤t≤5時，yB＝50＋4t.
當(dāng)5＜t≤10時，
yB＝70－10(t－5)＝－10t＋120.
yB與t的函數(shù)圖象如圖所示．
圖②
(3)根據(jù)題意，設(shè)yA＝2x，yB＝3x，yC＝4x.
2x＋3x＋4x＝50＋60＋70.解得x＝20.
∴yA＝2x＝40，yB＝3x＝60，yC＝4x＝80.
由圖象可知，當(dāng)yA＝40時，5≤t≤10，此時yB＝－10t＋120，yC＝10t＋20.
∴－10t＋120＝60，解得t＝6.
10t＋20＝80，解得t＝6.
∴當(dāng)t＝6時，yA∶yB∶yC＝2∶3∶4.
7．解：(1)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝20x＋540，
y2與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y2＝10x＋630.
(2)去年1至9月時，銷售該配件的利潤w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000－50－30－20x－540)
＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋16x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整數(shù))
∵－2＜0,1≤x≤9，∴當(dāng)x＝4時，w最大＝450(萬元)；
去年10至12月時，銷售該配件的利潤w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整數(shù))
當(dāng)10≤x≤12時，∵x＜29，∴自變量x增大，函數(shù)值w減小，
∴當(dāng)x＝10時，w最大＝361(萬元)，∵450＞361，
∴去年4月份銷售該配件的利潤最大，最大利潤為450萬元．
(3)去年12月份銷售量為：－0.1×12＋2.9＝1.7(萬件)，
今年原材料的價格為：750＋60＝810(元)，
今年人力成本為：50×(1＋20%)＝60(元)，
由題意，得5×[1000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1700，
設(shè)t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝99±940120，
∵972＝9409,962＝9216，而9401更接近9409，
∴9401≈97.
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.
∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.
答：a的整數(shù)值為10.
初三數(shù)學(xué)開放與探索總復(fù)習(xí)
專題三開放與探索
開放探索型問題有條件開放與探索、結(jié)論開放與探索、條件結(jié)論都開放與探索等，這類題目新穎，思考方向不確定，因此比一般綜合題更能考查學(xué)生綜合運用知識的能力，從而深受命題者的青睞．題型以填空題、解答題為主．
考向一條件開放問題
條件開放探索問題的特征是缺少確定的條件，所需補充的條件不能由結(jié)論直接推出，而滿足結(jié)論的條件往往也是不唯一的．
【例1】如圖，已知AC⊥BD于點P，AP＝CP，請增加一個條件：使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是__________．
解析：要證明△ABP≌△CDP，已經(jīng)給出了兩個條件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根據(jù)證明兩個三角形全等的判斷方法，可以添加一個條件角或者邊．
答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任選其中一個)
方法歸納解決此類題的方法是：從所給的結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，運用所學(xué)的定理，進行邏輯推理，從而找出滿足結(jié)論的條件．
考向二結(jié)論開放問題
結(jié)論開放探索問題是給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性．
【例2】(2011廣東河源)如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點(P不與A，B重合)，分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．
(1)當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP＝__________.(直接寫結(jié)果)
(2)連接AD，BC，相交于點Q，設(shè)∠AQC＝α，那么α的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由．
(3)如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，此時α的大小是否發(fā)生變化？(只需直接寫出你的猜想，不必證明)
圖1圖2
分析：(1)設(shè)等邊△APC邊長為x，高為32x，則面積為34x2，則等邊△BDP邊長為2a－x，高為32(2a－x)，則面積為34(2a－x)2，
面積之和為S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，這是一個二次函數(shù)的最值問題．
當(dāng)x＝a時，S最小＝32a2.
(2)判別α的大小是否會隨點P的移動而變化，只需計算∠AQC．
(3)根據(jù)(2)證明過程或直觀可得結(jié)論．
解：(1)a
(2)α的大小不會隨點P的移動而變化．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°.
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB．
∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°－120°＝60°.
(3)此時α的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°.
方法歸納解答本題將等邊三角形的面積用二次函數(shù)表示是解答本題的難點．解答結(jié)論開放性問題常常需要借助直觀或特殊化方法探求．
考向三條件與結(jié)論開放問題
條件、結(jié)論開放探索問題是指條件和結(jié)論都不唯一，此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有開放性，它要求學(xué)生通過自己的觀察和思考，將已知的信息集中進行分析，通過這一思維活動揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系．
【例3】(1)如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點B，C)上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN.
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)
圖1圖2
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2)，N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由．
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝__________時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫出答案，不需要證明)
分析：證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在三角形全等．(1)中給出了線段EM，即想提示考生證明△AEM≌△MCN.由題目中的條件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上構(gòu)造出線段AE＝MC，連接ME.進一步證明△AEM≌△MCN.(3)是將(1)(2)中特殊問題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等．
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中，∵∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°.
∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°.
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n－2)180°n.
方法歸納解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合已給出的材料借助類比思想進行．一般地，解答條件、結(jié)論開放探索問題，即條件和結(jié)論都不確定，首先要認(rèn)定條件和結(jié)論，然后組成一個新的命題并加以證明或判斷．
一、選擇題
1．如圖，在網(wǎng)格中有一個直角三角形(網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度)，若以該三角形一邊為公共邊畫一個新三角形與原來的直角三角形一起組成一個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其他的公共點，新三角形的頂點不一定在格點上，那么符合要求的新三角形有()
A．4個B．6個C．7個D．9個
2．根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象(如圖2)，過點M作PQ∥x軸交圖象于點P，Q，連接OP，OQ.則以下結(jié)論
①x＜0時，y＝2x，
②△OPQ的面積為定值，
③x＞0時，y隨x的增大而增大，
④MQ＝2PM，
⑤∠POQ可以等于90°.
圖1圖2
其中正確的結(jié)論是()
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空題
3．在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形．你添加的條件是__________．(寫出一種即可)
4．若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實數(shù)根，則m的值可以為__________．(任意給出一個符合條件的值即可)
三、解答題
5．如圖，將△ABC的頂點A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點A(如圖1)的位置開始，將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°α120°)，旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF(如圖2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直徑為8.
圖1圖2備用圖
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②EF的長；③∠AFE的度數(shù)；④點O到EF的距離．其中不變的量是__________(填序號)．
(2)當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．
6．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G，H點，如圖2.
(1)問：始終與△AGC相似的三角形有__________及__________；
(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖2情形說明理由)；
(3)問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？
圖1圖2
7．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE.
(1)求證：四邊形AFCE是菱形；
(2)若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；
(3)在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2＝ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．
8．已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx－3的圖象經(jīng)過點P(－2,5)．
(1)求b的值，并寫出當(dāng)1＜x≤3時y的取值范圍．
(2)設(shè)點P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在這個二次函數(shù)的圖象上．
①當(dāng)m＝4時，y1，y2，y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由．
②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．
參考答案
專題提升演練
1．C以較短的直角邊為公共邊可以畫三個符合要求的三角形，以較長的直角邊為公共邊也可以畫三個符合要求的三角形，以斜邊為公共邊也可以畫一個符合要求的三角形，這樣可以畫七個符合要求的三角形，故選C.
2．B根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－2x(x0)，4x(x0)，易知①錯誤；∵PQ∥x軸，∴點P在y＝－2x上，∴S△POM＝12×OM×PM＝12|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正確；當(dāng)x＞0時，y＝4x，y隨x的增大而減小，∴③錯誤；設(shè)OM＝a，當(dāng)y＝a時，P點的橫坐標(biāo)為－2a，Q點的橫坐標(biāo)為4a，則PM＝2a，MQ＝4a，則MQ＝2PM，∴④正確；當(dāng)點M在y軸的正半軸上由下向上運動時，∠POQ由180°逐漸變小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正確．
3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，寫出一種即可)由已知條件AB＝DC，AD＝BC，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再要使ABCD是矩形，根據(jù)判定矩形的方法，只需有一個角為直角的平行四邊形即為矩形，或者對角線相等的平行四邊形是矩形，所以可添的條件為角是直角或?qū)蔷€相等．
4．答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等由于這個方程有實數(shù)根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.
5．解：(1)①②④
(2)α＝90°.依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點C與點E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝12AC＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83.
6．解：(1)△HGA△HAB
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，
∴CGAB＝ACBH，即x9＝9y，
∴y＝81x.
(3)由(1)知△AGC∽△HGA.
∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．
有兩種情況，(1)CG為底，AC＝AG時，得AG＝9，此時CG等于92，(2)CG為腰，CG＝AG時，此時CG＝922.
7．解：(1)證明：由折疊可知EF⊥AC，AO＝CO.
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四邊形AFCE是菱形．
(2)由(1)得AF＝AE＝10.
設(shè)AB＝a，BF＝b，得
a2＋b2＝100①，ab＝48②.
①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一負(fù)值舍去)．
∴△ABF的周長為24cm.
(3)存在，過點E作AD的垂線交AC于點P，則點P符合題意．
證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP.
∴AOAE＝AEAP，得AE2＝AOAP，即2AE2＝2AOAP.
又AC＝2AO，
∴2AE2＝ACAP.
8．解：(1)把點P代入二次函數(shù)解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.
所以二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3.
當(dāng)x＝1時，y＝－4，當(dāng)x＝3時，y＝0，
所以當(dāng)1＜x≤3時，y的取值范圍為－4＜y≤0.
(2)①m＝4時，y1，y2，y3的值分別為5,12,21，
由于5＋12＜21，不能成為三角形的三邊長．
②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，由圖象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分別為m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，當(dāng)m不小于5時成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．
所以當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長．
初三數(shù)學(xué)閱讀與理解專題復(fù)習(xí)
專題二閱讀與理解
閱讀理解題是近年來中考的常見題型．它由兩部分組成：一是閱讀材料；二是考查內(nèi)容．它要求學(xué)生根據(jù)閱讀獲取的信息回答問題，提供的閱讀材料主要包括：一個新的數(shù)學(xué)概念的形成和應(yīng)用過程，或一個新數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，或提供新聞背景材料等．考查內(nèi)容既有考查基礎(chǔ)的，又有考查自學(xué)能力和探索能力等綜合素質(zhì)的．解答這類題關(guān)鍵是理解閱讀材料的實質(zhì)，把握方法、規(guī)律，然后加以解決．閱讀理解題是近幾年考試的熱點，出現(xiàn)形式多樣．
考向一新知學(xué)習(xí)型問題
新知學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個新知識(通常是新概念或新公式)，通過閱讀題目提供的材料，從中獲取新知識，通過對新知識的理解來解決題目提出的問題，其主要目的是考查學(xué)生的自學(xué)能力及對新知識的理解與運用能力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．
【例1】(2011北京)在下表中，我們把第i行第j列的數(shù)記為ai，j(其中i，j都是不大于5的正整數(shù))，對于表中的每個數(shù)ai，j，規(guī)定如下：當(dāng)i≥j時，ai，j＝1；當(dāng)ij時，ai，j＝0.例如：當(dāng)i＝2，j＝1時，ai，j＝a2,1＝1.按此規(guī)定，a1,3＝__________；表中的25個數(shù)中，共有__________個1；計算a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5的值為__________.
a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5
a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5
a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5
a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5
a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5
解析：a1,3＝0；25個數(shù)中共有1＋2＋3＋4＋5＝15個1，如表．
10000
11000
11100
11110
11111
因為a1,1ai,1＝1，a1,2，a1,3，a1,4，a1,5都等于0，所以a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5＝1.
答案：0151
方法歸納根據(jù)題目的規(guī)定把有關(guān)字母用數(shù)表示出來，再根據(jù)運算法則進行計算是解題關(guān)鍵．本題難點是不能根據(jù)規(guī)則把表格中的數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)化，不能很好的理解所求式，未能利用任何數(shù)與0相乘均得0.
考向二探索歸納型問題
這是一類將閱讀理解與探索猜想結(jié)合在一起的新型考題，其特點是要求學(xué)生從給出的特殊條件中，通過閱讀、理解、分析，歸納出一般規(guī)律．
【例2】(2011廣東珠海)閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把部分a＋b2的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．
分析：(1)將(m＋n3)2展開得m2＋3n2＋2mn3，因為a＋b3＝(m＋n3)2，所以a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，根據(jù)恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根據(jù)(1)中a，b和m，n的關(guān)系式，取得的值滿足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)將(m＋n3)2展開，由(1)可知a，m，n滿足a＝m2＋3n2，4＝2mn，再利用a，m，n均為正整數(shù)，2mn＝4，判斷出m，n的值，分類討論，得出a的值．
解：(1)m2＋3n22mn(2)4211(答案不唯一)
(3)根據(jù)題意得a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∵2mn＝4，且m，n為正整數(shù)，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝13或7.
方法歸納通過閱讀，理解式子之間的關(guān)系，找到內(nèi)在的規(guī)律，寫出關(guān)系式，問題可獲解決．
考向三方法模仿型問題
方法模仿型閱讀理解題，是指材料先給出一道題目的解答方法或解題過程，要求模仿這一方法來解決同類型或者類似的問題．
【例3】(2011北京)閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題，如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O.若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，AD＋BC的長度為三邊長的三角形的面積．
圖1圖2
小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計算其面積即可．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題．他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的長度為三邊長的三角形(如圖2)．
請你回答：圖2中△BDE的面積等于__________．
參考小偉同學(xué)的思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，△ABC的三條中線分別為AD，BE，CF.
圖3
(1)在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形(保留畫圖痕跡)；
(2)若△ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于__________．
分析：本題利用平移對角線完成梯形和三角形面積之間的轉(zhuǎn)化，從而得到△BDE的面積為1；對于(1)過點A，C分別作BC，AD的平行線，交點為P，連接EP，△CFP即為所求；(2)由作圖知四邊形APCD，PEBF為平行四邊形，所以BE＝PF.根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，可得S△DEC＝S△PEC，S△DEC＝S△FEC，S△AEF＝S△PEF，S△DEC＝S△AEF＝14S△ABC，S△PFC＝34S△ABC＝34.
解：△BDE的面積等于1.
(1)如圖．
以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形是△CFP.
(2)以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于34.
方法歸納本題通過平行線構(gòu)造平行四邊形實現(xiàn)線段等值轉(zhuǎn)化，涉及到的知識點有三角形中位線平行且等于底邊的一半及等底等高的三角形的面積相等．解題的難點是由于線段較多，不能從復(fù)雜圖形中分解出較簡單的圖形．
一、選擇題
1．對點(x，y)的一次操作變換記為P1(x，y)，定義其變換法則如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且規(guī)定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n為大于1的整數(shù))．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．則P2011(1，－1)＝()
A．(0,21005)B．(0，－21005)C．(0，－21006)D．(0,21006)
2．在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”算法是完全一樣的，而后面“六到九”的運算就改用手勢了．如計算8×9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，兩只手伸出手指數(shù)的和為7，未伸出手指數(shù)的積為2，則8×9＝10×7＋2＝72.那么在計算6×7時，左、右手伸出的手指數(shù)應(yīng)該分別為()
A．1,2B．1,3C．4,2D．4,3
3．一個平面封閉圖形內(nèi)(含邊界)任意兩點距離的最大值稱為該圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑之比稱為圖形的“周率”，下面四個平面圖形(依次為正三角形、正方形、正六邊形、圓)的周率從左到右依次記為a1，a2，a3，a4，則下列關(guān)系中正確的是()
A．a(chǎn)4a2a1B．a(chǎn)4a3a2C．a(chǎn)1a2a3D．a(chǎn)2a3a4
4．定義：平面內(nèi)的直線l1與l2相交于點O，對于該平面內(nèi)任意一點M，點M到直線l1，l2的距離分別為a，b，則稱有序非負(fù)實數(shù)對(a，b)是點M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，距離坐標(biāo)為(2,3)的點的個數(shù)是()
A．2B．1C．4D．3
5．定義一種“十位上的數(shù)字比個位、百位上的數(shù)字都要小”的三位數(shù)叫做“V數(shù)”．如“947”就是一個“V數(shù)”．若十位上的數(shù)字為2，則從1,3,4,5中任選兩數(shù)，能與2組成“V數(shù)”的概率是()
A．14B．310C．12D．34
二、填空題
6．若記y＝f(x)＝x21＋x2，其中f(1)表示當(dāng)x＝1時y的值，即f(1)＝121＋12＝12；f12表示當(dāng)x＝12時y的值，即f12＝1221＋122＝15；…；則f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2011)＋f12011＝__________.
7．對實數(shù)a，b，定義運算★如下：a★b＝ab(ab，a≠0)，a－b(a≤b，a≠0).
例如2★3＝2－3＝18.計算[2★(－4)]×[(－4)★(－2)]＝__________.
三、解答題
8．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝底邊腰＝BCAB.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
(1)sad60°＝__________.
(2)對于0°A180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是__________．
(3)如圖②，已知sinA＝35，其中∠A為銳角，試求sadA的值．
圖①圖②
9．閱讀材料：
我們經(jīng)常通過認(rèn)識一個事物的局部或其特殊類型，來逐步認(rèn)識這個事物．比如我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形(繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等)來逐步認(rèn)識四邊形．
我們對課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學(xué)知識．
請解決以下問題：
(1)如圖，我們把滿足AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”，寫出“箏形”的兩個性質(zhì)(定義除外)；
(2)寫出“箏形”的兩個判定方法(定義除外)并選出一個進行證明．
參考答案
專題提升演練
1．D根據(jù)定義的變換法則P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，從而找出其規(guī)律：P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此P2011(1，－1)＝(0,21006)．
2．A由題意，在計算8×9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，3＝8－5,4＝9－5，所以在計算6×7時，左手伸出6－5＝1根手指，右手伸出7－5＝2根手指．
3．B設(shè)正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為a，b，c，設(shè)圓的直徑為d，則
正三角形正方形正六邊形圓
圖形的邊長(直徑)abcd
圖形的“直徑”a2b
2cd
圖形的周長3a4b6cπd
圖形的“周率”a1＝3a2＝22
a3＝3a4＝π
從上表可看出a4＞a3＞a2，故本題選B.
4．C5.C
6．201012本題是找規(guī)律的題目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝910，f13＝110.由此可以發(fā)現(xiàn)：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此類推，f(2011)＋f12011＝1，共有2010個1，所以，答案是201012.
7．1原式＝2－4×(－4)2＝116×16＝1.
8．解：(1)1
(2)0＜sadA＜2
(3)設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a.
如圖，在AC延長線上取點D使AD＝AB＝5a，連接BD.則CD＝a.
BD＝CD2＋BC2＝a2＋(3a)2＝10a.
∴sadA＝BDAD＝105.
9．解：(1)性質(zhì)1：只有一組對角相等(或者∠B＝∠D，∠A≠∠C)；性質(zhì)2：只有一條對角線平分對角．
性質(zhì)有如下參考選項：
性質(zhì)3：兩條對角線互相垂直，其中只有一條被另一條平分；
性質(zhì)4：兩組對邊都不平行．
(2)判定方法1：只有一條對角線平分對角的四邊形是“箏形”．
判定方法2：兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是“箏形”．
判定方法的條件有如下參考選項：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝AD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法5：AC⊥BD，AB＝AD，∠A≠∠C.
判定方法1的證明：
已知：在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠A和∠C，對角線BD不平分∠B和∠D.
求證：四邊形ABCD為“箏形”．
證明：∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，AB＝AD，CB＝CD.①
易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC.②
由①②知四邊形ABCD為“箏形”．
