小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案
發(fā)表時間：2021-01-25初三數(shù)學(xué)概率初步總復(fù)習(xí)。
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第30講概率初步
考標(biāo)要求考查角度
1.能正確指出自然和社會現(xiàn)象中的一些必然事件、不可能事件、不確定事件．
2．能從實際問題中了解概率的意義，能用列舉法計算隨機(jī)事件發(fā)生的概率．
3．能用大量重復(fù)試驗時的頻率估計事件發(fā)生的概率.概率是中考命題的必考點，選材多來自游戲、抽獎等生活題材，主要考查必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件的區(qū)別，用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發(fā)生的概率以及用頻率估計概率，題型以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn).
知識梳理
一、事件的有關(guān)概念
1．必然事件
在現(xiàn)實生活中__________發(fā)生的事件稱為必然事件．
2．不可能事件
在現(xiàn)實生活中__________發(fā)生的事件稱為不可能事件．
3．隨機(jī)事件
在現(xiàn)實生活中，有可能__________，也有可能__________的事件稱為隨機(jī)事件．
4．分類
事件確定事件必然事件不可能事件隨機(jī)事件
二、用列舉法求概率
1．定義
在隨機(jī)事件中，一件事發(fā)生的可能性__________叫做這個事件的概率．
2．適用條件
(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果為__________多個；
(2)各種結(jié)果發(fā)生的可能性__________．
3．求法
(1)利用__________或__________的方法列舉出所有機(jī)會均等的結(jié)果；
(2)弄清我們關(guān)注的是哪個或哪些結(jié)果；
(3)求出關(guān)注的結(jié)果數(shù)與所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的比值，即關(guān)注事件的概率．
列表法一般應(yīng)用于兩個元素，且結(jié)果的可能性較多的題目，當(dāng)事件涉及三個或三個以上元素時，用樹形圖列舉．
三、利用頻率估計概率
1．適用條件
當(dāng)試驗的結(jié)果不是有限個或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等．
2．方法
進(jìn)行大量重復(fù)試驗，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個__________時，該__________就可認(rèn)為是這個事件發(fā)生的概率．
四、概率的應(yīng)用
概率是和實際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象作出評判，如解釋摸獎，配紫色，評判游戲活動的公平性，數(shù)學(xué)競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件作出決策．
自主測試
1．(2012浙江杭州)一個不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，則下列敘述正確的是()
A．摸到紅球是必然事件B．摸到白球是不可能事件
C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等D．摸到紅球比摸到白球的可能性大
2．(2012浙江寧波)一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，攪勻后從中摸出一個球，摸到白球的概率為()
A．23B．12C．13D．1
3．有一箱規(guī)格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個．為了估計這兩種顏色的球各有多少個，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重復(fù)上述過程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率約為0.6，據(jù)此可以估計紅球的個數(shù)約為__________．
4．有長度分別為2cm,3cm,4cm,7cm的四條線段，任取其中三條能組成三角形的概率是__________．
5．(2012福建泉州)在一個不透明的盒子中，共有“一白三黑”4個圍棋子，它們除了顏色之外沒有其他區(qū)別．
(1)隨機(jī)地從盒中提出1子，則提出白子的概率是多少？
(2)隨機(jī)地從盒中提出1子，不放回再提第二子，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．
考點一、事件的分類
【例1】下列事件屬于必然事件的是()
A．在1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃沸騰B．明天我市最高氣溫為56℃
C．中秋節(jié)晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹
解析：區(qū)分事件發(fā)生的可能性，應(yīng)注意積累生活經(jīng)驗和一些基本常識，然后再予以判斷．
答案：A
方法總結(jié)如何判斷事件發(fā)生的可能性，我們可以憑直覺判斷出有些事件發(fā)生的可能性大小，有時要結(jié)合日積月累的生活經(jīng)驗，或者經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼玫绞聦嵉龋?br>
觸類旁通1下列事件中，為必然事件的是()
A．購買一張彩票，中獎B．打開電視，正在播放廣告
C．拋擲一枚硬幣，正面向上D．一個袋中只裝有5個黑球，從中摸出一個球是黑球
考點二、用列舉法求概率
【例2】(2012湖南張家界)第七屆中博會于2012年5月18日至20日在湖南召開，設(shè)立了長沙、株洲、湘潭和張家界4個會展區(qū)，聰聰一家用兩天時間參觀兩個會展區(qū)：第一天從4個會展區(qū)中隨機(jī)選擇一個，第二天從余下3個會展區(qū)中再隨機(jī)選擇一個，如果每個會展區(qū)被選中的機(jī)會均等．
(1)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
(2)求聰聰一家第一天參觀長沙會展區(qū)，第二天參觀張家界會展區(qū)的概率；
(3)求張家界會展區(qū)被選中的概率．
分析：根據(jù)題意列表或畫樹狀圖，求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)每種事件出現(xiàn)的次數(shù)，求出對應(yīng)的概率．
解：(1)用列表法：
或畫樹狀圖：
(2)由(1)知，共有12種等可能的結(jié)果，第一天參觀長沙會展區(qū)，第二天參觀張家界會展區(qū)(記為事件A)有一種可能結(jié)果，則P(A)＝112.
(3)所有等可能結(jié)果中，出現(xiàn)張家界會展區(qū)的有6種可能結(jié)果，記張家界會展區(qū)被選中為事件B，則P(B)＝612＝12.
方法總結(jié)1.用列舉法求概率，無論是簡單事件還是復(fù)雜事件，都先列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再代入P(A)＝mn計算．
2．在用列舉法解題時，一定要注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同，不要出現(xiàn)重復(fù)、遺漏等現(xiàn)象．
3．判斷游戲的公平性，在相同的條件下，應(yīng)考慮隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是否相同，可能性大的獲勝機(jī)會就大．
觸類旁通2甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽，
(1)請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率；
(2)若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求恰好選中乙同學(xué)的概率．
考點三、頻率與概率
【例3】小明在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計與概率的知識后，做了投擲骰子的試驗，小明共做了100次試驗，試驗的結(jié)果如下：
朝上的點數(shù)123456
出現(xiàn)的次數(shù)171315232012
(1)試求“4點朝上”和“5點朝上”的頻率；
(2)由于“4點朝上”的頻率最大，能不能說一次試驗中“4點朝上”的概率最大？為什么？
解：(1)“4點朝上”出現(xiàn)的頻率是23100＝0.23.
“5點朝上”出現(xiàn)的頻率是20100＝0.20.
(2)不能這樣說，因為“4點朝上”的頻率最大并不能說明“4點朝上”這一事件發(fā)生的概率最大，只有當(dāng)試驗的次數(shù)足夠多時，該事件發(fā)生的頻率才穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近．
方法總結(jié)在大量重復(fù)試驗中，隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增大，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)左右，將該常數(shù)作為概率的估計值，兩者的區(qū)別在于：頻率是通過多次試驗得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事件發(fā)生的可能性，二者并不完全相同．
觸類旁通3某質(zhì)檢員從一大批種子中抽取若干批，在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：
種子粒數(shù)50100200500100030005000
發(fā)芽種子粒數(shù)459218445891427324556
發(fā)芽頻率
(1)計算各批種子發(fā)芽頻率，填入上表．
(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計種子的發(fā)芽概率．
考點四、概率的應(yīng)用
【例4】(2011云南昆明)小昆和小明玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：有3張背面完全相同，牌面標(biāo)有數(shù)字1,2,3的紙牌，將紙牌洗勻后背面朝上放在桌面上，隨機(jī)抽出一張，記下牌面數(shù)字，放回后洗勻再隨機(jī)抽出一張．
(1)請用畫樹狀圖或列表的方法(只選其中一種)，表示出兩次抽出的紙牌數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果．
(2)若規(guī)定：兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為奇數(shù)，則小昆獲勝；兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為偶數(shù)，則小明獲勝．這個游戲公平嗎？為什么？
解：(1)列表如下：
123
1(1,1)(1,2)(1,3)
2(2,1)(2,2)(2,3)
3(3,1)(3,2)(3,3)
或畫樹狀圖如下：
(2)可能出現(xiàn)的數(shù)字之和分別為2,3,4,3,4,5,4,5,6共9個，它們出現(xiàn)的可能性相同．其中奇數(shù)共4個，偶數(shù)共5個．
∴P(小昆獲勝)＝49，P(小明獲勝)＝59.
∵49≠59，∴游戲不公平．
方法總結(jié)游戲公平與否，關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)則算出各自的概率，概率均等則游戲公平，否則就不公平．設(shè)計游戲規(guī)則時，應(yīng)先根據(jù)題意求出隨機(jī)事件的各種可能出現(xiàn)的情況的概率，再根據(jù)其中概率相等時的情況設(shè)計公平的游戲規(guī)則，也可根據(jù)概率不相等時的情況設(shè)計公平的游戲規(guī)則．
觸類旁通4(1)四張質(zhì)地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有圓、矩形、等邊三角形、等腰梯形四個圖案．現(xiàn)把它們的正面向下隨機(jī)擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為()
A．14B．12C．34D．1
(2)5月19日為中國旅游日，衢州推出“讀萬卷書，行萬里路，游衢州景”的主題系列旅游惠民活動，市民王先生準(zhǔn)備在優(yōu)惠日當(dāng)天上午從孔氏南宗廟、爛柯河、龍游石窟中隨機(jī)選擇一個地點；下午從江郎山、三衢石林、開化根博園中隨機(jī)選擇一個地點游玩．則王先生恰好上午選中孔氏南宗廟，下午選中江郎山這兩個地點的概率是()
A．19B．13C．23D．29
1．(2012湖南張家界)下列不是必然事件的是()
A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．三角形任意兩邊之和大于第三邊
C．面積相等的兩個三角形全等D．三角形內(nèi)心到三邊距離相等
2．(2012湖南湘潭)“湘潭是我家，愛護(hù)靠大家．”自我市開展整治“六亂”行動以來，我市學(xué)生更加自覺遵守交通規(guī)則．某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時都要經(jīng)過一個十字路口，該十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為19，那么他遇到綠燈的概率為()
A．13B．23C．49D．59
3．(2012湖南長沙)任意拋擲一枚硬幣，則“正面朝上”是__________事件．
4．(2012湖南婁底)在－1,0，13，1，2，3中任取一個數(shù)，取到無理數(shù)的概率是__________．
5．(2012湖南懷化)投擲一枚普通的正方體骰子24次，
(1)你認(rèn)為下列四種說法哪幾種是正確的？
①出現(xiàn)1點的概率等于出現(xiàn)3點的概率；
②投擲24次，2點一定會出現(xiàn)4次；
③投擲前默念幾次“出現(xiàn)4點”，投擲結(jié)果出現(xiàn)4點的可能性就會加大；
④連續(xù)投擲6次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于37.
(2)求出現(xiàn)5點的概率．
(3)出現(xiàn)6點大約有多少次？
1．某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)競賽，經(jīng)預(yù)賽，七、八年級各有一名同學(xué)進(jìn)入決賽，九年級有兩名同學(xué)進(jìn)入決賽，那么九年級同學(xué)獲得前兩名的概率是()
A．12B．13C．14D．16
2．在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個球，它是白球的概率為23，則黃球的個數(shù)為()
A．2B．4C．12D．16
3．已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為12，下列說法錯誤的是()
A．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上
B．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上
C．大量反復(fù)拋一枚均勻硬幣，平均100次出現(xiàn)正面朝上50次
D．通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的
4．在x22xyy2的空格中，分別填上“＋”或“－”，在所得的代數(shù)式中，能構(gòu)成完全平方式的概率是()
A．1B．34C．12D．14
5．在半徑為2的圓中有一個內(nèi)接正方形，現(xiàn)隨機(jī)地往圓內(nèi)投一粒米，落在正方形內(nèi)的概率為__________．(注：π取3)
6．從－2，－1,2這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標(biāo)，該點在第四象限的概率是__________．
7．如圖所示，一個圓形轉(zhuǎn)盤被等分為八個扇形區(qū)域，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，轉(zhuǎn)盤指針的位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記指針指向標(biāo)有“3”所在區(qū)域的概率為P(3)，指針指向標(biāo)有“4”所在區(qū)域的概率為P(4)，則P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)
8．某市準(zhǔn)備為青少年舉行一次網(wǎng)球知識講座，小明和妹妹都是網(wǎng)球球迷，要求爸爸去買門票，但爸爸只買回一張門票，那么誰去就成了問題，小明想到一個辦法：他拿出一個裝有質(zhì)地、大小相同的2x個紅球與3x個白球的袋子，讓爸爸摸出一個球，如果摸出的是紅球，妹妹去聽講座，如果摸到的是白球，小明去聽講座．
(1)爸爸說這個辦法不公平，請你用概率的知識解釋原因；
(2)若爸爸從袋中取出3個白球，再用小明提出的辦法來確定誰去聽講座，請問摸球的結(jié)果是對小明有利還是對妹妹有利，說明理由．
參考答案
【知識梳理】
一、1.一定會2.一定不會3.發(fā)生不發(fā)生
二、1.大小
2．(1)有限(2)相等
3．(1)列表畫樹狀圖
三、2.常數(shù)常數(shù)
導(dǎo)學(xué)必備知識
自主測試
1．D摸到紅球是隨機(jī)事件，故選項A錯誤；
摸到白球是隨機(jī)事件，故選項B錯誤；
根據(jù)不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大，故選項C錯誤；
根據(jù)不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大，故選項D正確．
2．A因為根據(jù)題意可得：一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，共3個，任意摸出1個，摸到白球的概率是2÷3＝23.
3．600
4.14因為長度為2cm,3cm,4cm,7cm的四條線段，從中任取三條線段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,7四種情況，而能組成三角形的有2,3,4，共有1種情況，
所以能組成三角形的概率是14.
5．解：(1)P(白子)＝14.
(2)方法一：所有等可能的結(jié)果，畫樹狀圖如下：
∴P(一黑一白)＝612＝12.
方法二：所有等可能的結(jié)果，列表如下.
∴P(一黑一白)＝612＝12.
探究考點方法
觸類旁通1.D
觸類旁通2.解：(1)列表法如下：
甲乙丙丁
甲乙甲丙甲丁甲
乙甲乙丙乙丁乙
丙甲丙乙丙丁丙
丁甲丁乙丁丙丁
所有可能出現(xiàn)的情況有12種，其中甲、乙兩位同學(xué)組合的情況有兩種，所以P＝212＝16.
(2)若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，共有3種情況，選中乙的情況有一種，所以P(恰好選中乙同學(xué))＝13.
觸類旁通3.解：(1)通過計算，發(fā)芽頻率從左到右依次為：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.
(2)由(1)知，發(fā)芽頻率逐漸穩(wěn)定在0.911，因此可以估計種子的發(fā)芽概率為0.911.
觸類旁通4.(1)B在四個圖案中，是中心對稱圖形的圖案有2個，所以正面圖案是中心對稱圖形的概率為12.
(2)A列樹形圖可知共有9種等可能的結(jié)果，所以上午選中孔氏南宗廟，下午選中江郎山這兩個地點的概率是19.
品鑒經(jīng)典考題
1．C2．D1－13＋19＝59.3．隨機(jī)
4.13這六個數(shù)中，無理數(shù)有2，3，∴取到無理數(shù)的概率是26＝13.
5．解：(1)①④正確；
(2)出現(xiàn)5點的概率為16；
(3)因為出現(xiàn)6點的概率為16，故投擲骰子24次出現(xiàn)6點大約有24×16＝4(次)．
研習(xí)預(yù)測試題
1．D2.B3.A4.C5.236.137.＞
8．解：(1)∵P(小明勝)＝35，P(妹妹勝)＝25，
∴P(小明勝)≠P(妹妹勝)．
∴這個辦法不公平．
(2)當(dāng)x＞3時對小明有利，當(dāng)x＜3時對妹妹有利，
當(dāng)x＝3時是公平的．JAB88.coM
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初三數(shù)學(xué)第25章概率初步導(dǎo)學(xué)案
一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家靜下心來寫教案課件了。必須要寫好了教案課件計劃，未來的工作就會做得更好！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“初三數(shù)學(xué)第25章概率初步導(dǎo)學(xué)案”，相信能對大家有所幫助。
《概率初步》1第一節(jié)隨機(jī)事件導(dǎo)學(xué)案
主編人：占利華主審人：
班級：學(xué)號：姓名：
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
【知識與技能】
了解必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件、隨機(jī)事件的特點。
【過程與方法】
經(jīng)歷體驗、操作、觀察、歸納、總結(jié)的過程，發(fā)展從紛繁復(fù)雜的表象中，提煉出本質(zhì)特征并加以抽象概括的能力。
【情感、態(tài)度與價值觀】
通過親身體驗、親自演示，感受數(shù)學(xué)就在身邊，使學(xué)生樂于親近數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)。
【重點】
隨機(jī)事件的特點
【難點】
判斷現(xiàn)實生活中哪些事件是隨機(jī)事件。
學(xué)習(xí)過程:
一、自主學(xué)習(xí)
（一）復(fù)習(xí)鞏固
5名同學(xué)參加演講比賽，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序。簽筒中有5根形狀大小相同的紙簽，上面分別標(biāo)有出場的序號1，2，3，4，5。小軍首先抽簽，他在看不到的紙簽上的數(shù)字的情況從簽筒中隨機(jī)（任意）地取一根紙簽。請考慮以下問題：
1、抽到的序號有幾種可能的結(jié)果？
2、抽到的序號是0，可能嗎？
3、抽到的序號小于6，可能嗎？
4、抽到的序號是1，可能嗎？
5、你能列舉與問題4相似的事件嗎？
（二）自主探究
小偉擲一個質(zhì)地均勻的正方形骰子，骰子的六個面上分別刻有1至6的點數(shù)。請考慮以下問題，擲一次骰子，觀察骰子向上的一面：
1、可能出現(xiàn)哪些點數(shù)？
2、出現(xiàn)的點數(shù)是7，可能嗎？213、出現(xiàn)的點數(shù)大于0，可能嗎？
4、出現(xiàn)的點數(shù)是4，可能嗎？
（三）、歸納總結(jié)：
1．必然事件是指
上述兩個實驗中哪些是必然事件：
2、不可能事件是指：
上述兩個實驗中哪些是不可能事件：
必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為：
3、怎樣的事件稱為隨機(jī)事件呢？
舉例說明：
（四）自我嘗試：
指出下列事件中哪些是必然發(fā)生的,哪些是不可能發(fā)生的，哪些是隨機(jī)事件？
1.通常加熱到100°C時，水沸騰；
2.姚明在罰球線上投籃一次，命中；
3.擲一次骰子，向上的一面是6點；
4.度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°；
5.經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈；
6.某射擊運動員射擊一次，命中靶心；
7.太陽東升西落；
8.人離開水可以正常生活100天；
9.正月十五雪打燈；
10.宇宙飛船的速度比飛機(jī)快.
二、教師點拔
1、必然事件是？不可能事件是？確定事件是？
2、隨機(jī)事件是？
3、本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法是動手操作和合理想象。
三、課堂檢測
練習(xí)（一）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件。
（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
（2）劉翔再次打破110米欄的世界紀(jì)錄；
（3）打靶命中靶心；（
4）擲一次骰子，向上一面是3點；
（5）13個人中，至少有兩個人出生的月份相同；
（6）經(jīng)過有信號燈的十字路口，遇見紅燈；
（7）在裝有3個球的布袋里摸出4個球
（8）物體在重力的作用下自由下落。21世紀(jì)教育網(wǎng)
（9）拋擲一千枚硬幣，全部正面朝上。
練習(xí)（二）下列問題哪些是必然事件（）哪些是不可能事件（）哪些是隨機(jī)事件（）（填序號即可）
①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化；
②某人的體溫是40℃；
③擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上；
④導(dǎo)體通電后發(fā)熱；
⑤沒有水分，種子發(fā)芽；
練習(xí)（三）下列問題哪些是必然事件哪些是不可能事件（）哪些是隨機(jī)事件（）?（填序號即可）
①如果ab，那么a－b0；
②a2+b2=－1(其中a,b都是實數(shù))；
③一元二次方程x2+2x+3=0無實數(shù)解；
④2010年2月有29天；
⑤相等的圓心角所對的弧相等。
四、課外訓(xùn)練
1：指出下列事件中，必然事件是；不可能事件是；隨機(jī)事件的是。（填序號即可）
（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）劉翔再次打破110米欄的世界紀(jì)錄；
（3）打靶命中靶心；（4）擲一次骰子，向上一面是3點；
（5）13個人中，至少有兩個人出生的月份相同；（6）經(jīng)過有信號燈的十字路口，遇見紅燈；（7）在裝有3個球的布袋里摸出4個球（8）物體在重力的作用下自由下落。
（9）拋擲一百枚硬幣，全部正面朝上。
2、下列事件是隨機(jī)事件的是()
A:人長生不老B:2010年廣州亞運會會中國隊獲180枚金牌
C:擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子朝上一面的點數(shù)之積為21D:一個星期為七天
3、下列事件是隨機(jī)事件（）
①小王數(shù)學(xué)下次月考考150分②多哈亞運會中國隊金牌總數(shù)第一名③異性電荷，相互吸引④明天下雪⑤一袋中有若干球,其中有2個紅球,小紅從中摸出3個球,都是紅球
(A)①③⑤(B)②④(C)①④(D)②⑤
4、下列成語故事所描述事件為必然發(fā)生的是（）
Ａ水中撈月Ｂ拔苗助長Ｃ守株待兔Ｄ甕中捉鱉
5、.在1，2，3，…，10這10個數(shù)字中，任取3個數(shù)字，那么“這三個數(shù)字的和大于6”這一事件是（）
A.必然事件B.不可能事件C.隨機(jī)事件D.以上選項均不正確
6、下列說法錯誤的是()
A.“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃時沸騰”是必然事件
B.“姚明在一場比賽中投球的命中率為60%”是隨機(jī)事件
C.“在不受外力作用的條件下，做勻速直線運動的物體改變其勻速直線運動狀態(tài)”是不可能事件
D.“赤峰市明年今天的天氣與今天一樣”是必然事件
7、小偉擲一個質(zhì)地均勻的正方形骰子，骰子的六個面上分別刻有1至6的點數(shù)。請考慮以下問題，擲一次骰子，觀察骰子向上的一面：
（1）出現(xiàn)的點數(shù)是8，可能嗎？這是什么事件？
（2）出現(xiàn)的點數(shù)大于0，可能嗎？這是什么事件？
（3）出現(xiàn)的點數(shù)是3，可能嗎？這是什么事件？
初三數(shù)學(xué)圖表信息專題總復(fù)習(xí)
專題一圖表信息
圖表信息問題主要考查收集信息和處理信息的能力．解答這類問題時要把圖表信息和相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系，要結(jié)合問題提供的信息，靈活運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行聯(lián)想、探索、發(fā)現(xiàn)和綜合處理，準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)模型來解決問題．
這種題型命題廣泛，應(yīng)用知識多，是中考的一種新題型，也是今后命題的熱點，考查形式有選擇題、填空題、解答題．
考向一表格信息問題
表格信息問題涉及知識點比較廣泛，主要有統(tǒng)計、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等．解答時關(guān)鍵要根據(jù)表格提供的信息，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
【例1】2011年4月25日，全國人大常委會公布《中華人民共和國個人所得稅法修正案(草案)》，向社會公開征集意見．草案規(guī)定，公民全月工薪不超過3000元的部分不必納稅，超過3000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項稅款按下表分段累進(jìn)計算.
級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率
1不超過1500元的部分5%
2超過1500元至4500元的部分10%
3超過4500元至9000元的部分20%
………………
依據(jù)草案規(guī)定，解答下列問題：
(1)李工程師的月工薪為8000元，則他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元？
(2)若某納稅人的月工薪不超過10000元，他每月的納稅金額能超過月工薪的8%嗎？若能，請給出該納稅人的月工薪范圍；若不能，請說明理由．
分析：(1)由于當(dāng)工資為8000元時，應(yīng)該納稅，而且應(yīng)該按照三個級別分別納稅；(2)由于工資為10000元時，要分三種情況進(jìn)行討論：①工資小于等于4500元；②工資大于4500元但小于等于7500元；③工資大于7500元小于10000元．
解：(1)李工程師每月納稅：1500×5%＋3000×10%＋(8000－7500)×20%
＝75＋300＋100＝475(元)
(2)設(shè)該納稅人的月工薪為x元，則
當(dāng)x≤4500時，顯然納稅金額達(dá)不到月工薪的8%.
當(dāng)4500＜x≤7500時，由1500×5%＋(x－4500)×10%8%x，
得x＞18750，不滿足條件．
當(dāng)7500＜x≤10000時，由1500×5%＋3000×10%＋(x－7500)×20%8%x，
解得x＞9375，故9375＜x≤10000.
答：若該納稅人月工薪大于9375元且不超過10000元時，他的納稅金額能超過月工薪的8%.
方法歸納本題涉及的數(shù)學(xué)思想是分類思想．解題時分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
考向二圖象信息問題
圖象信息問題涉及的知識點主要是函數(shù)問題．解答時要注意分析圖象中特殊“點”反映的信息．
【例2】在一條直線上依次有A，B，C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A，B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x(h)后，與B港的距離分別為y1，y2(km)，y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)填空：A，C兩港口間的距離為__________km，a＝__________；
(2)求圖中點P的坐標(biāo)，并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義；
(3)若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍．
分析：根據(jù)函數(shù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)A，B，C三港口位置示意圖如下：
圖象中點P表示當(dāng)甲到達(dá)B港口后再經(jīng)過一段時間，甲、乙二船與B港口的距離相等，因此可以有兩種解法，一種是利用函數(shù)解析式來求交點坐標(biāo)；另一種則是利用追及問題一般方法來解，設(shè)甲船追上乙船時，用了t小時，則可知甲船t小時比乙船多行了30km，由圖容易知道甲、乙兩船的速度分別是60km/h,30km/h，于是可列方程60t＝30t＋30輕松求解．對于第(3)小題，應(yīng)該通過分類討論來解決問題．
解：(1)1202
(2)由點(3,90)求得，y2＝30x.
當(dāng)x＞0.5時，由點(0.5,0)，(2,90)求得y1＝60x－30.
當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，60x－30＝30x，解得x＝1.
此時y1＝y(tǒng)2＝30.所以點P的坐標(biāo)為(1,30)．
該點坐標(biāo)的意義為：兩船出發(fā)1h后，甲船追上乙船，此時兩船離B港的距離為30km.
求點P的坐標(biāo)的另一種方法：
由圖可得，甲的速度為300.5＝60(km/h)，
乙的速度為903＝30(km/h)．
則甲追上乙所用的時間為3060－30＝1(h)．
此時乙船行駛的路程為30×1＝30(km)．
所以點P的坐標(biāo)為(1,30)．
(3)①當(dāng)x≤0.5時，由點(0,30)，(0.5,0)求得，y1＝－60x＋30.
依題意，(－60x＋30)＋30x≤10.
解得x≥23，不合題意．
②當(dāng)0.5＜x≤1時，依題意，30x－(60x－30)≤10.
解得x≥23.所以23≤x≤1.
③當(dāng)x＞1時，依題意，(60x－30)－30x≤10.
解得x≤43.所以1＜x≤43.
綜上所述，當(dāng)23≤x≤43時，甲、乙兩船可以相互望見．
方法歸納本題涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．解題的關(guān)鍵是確定三個港口的位置．難點是對P點的含義理解．
考向三圖表綜合問題
圖表綜合問題主要分布于統(tǒng)計之中．解題時注意將圖表中的信息綜合在一起分析解答．
【例3】某市“希望”中學(xué)為了了解學(xué)生“大間操”的活動情況，在七、八、九年級的學(xué)生中，分別抽取相同數(shù)量的學(xué)生對“你最喜歡的運動項目”進(jìn)行調(diào)查(每人只能選一項)．調(diào)查結(jié)果的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表(圖)所示，其中七年級最喜歡跳繩的人數(shù)比八年級多5人，九年級最喜歡排球的人數(shù)為10.
七年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目排球籃球跳繩踢毽其他
人數(shù)/人78146
八年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
九年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
請根據(jù)統(tǒng)計表(圖)解答下列問題：
(1)本次調(diào)查抽取了多少名學(xué)生？
(2)補(bǔ)全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，并求出“最喜歡跳繩”的學(xué)生占抽樣總?cè)藬?shù)的百分比；
(3)該校共有學(xué)生1800人，學(xué)校想對“最喜歡踢毽”的學(xué)生每4人提供一個毽子，那么學(xué)校在“大間操”時至少應(yīng)提供多少個毽子？
分析：(1)因為三個年級都抽取了相同數(shù)量的學(xué)生，所以只需算出一個年級抽取的學(xué)生數(shù)即可；(2)根據(jù)(1)補(bǔ)充完整表格與統(tǒng)計圖；(3)至少應(yīng)提供的毽子個數(shù)＝該校學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以最喜歡踢毽人數(shù)所占的比例再除以4.
解：(1)10÷20%＝50(人),50×3＝150(人)．
(2)七年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目排球籃球跳繩踢毽其他
人數(shù)/人7815146
八年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
九年級學(xué)生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計圖
“最喜歡跳繩”的學(xué)生占抽樣總?cè)藬?shù)的百分比為22%.
(3)14＋13＋15150×1800÷4＝126(個)．
方法歸納本題考查了統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表及根據(jù)樣本估計總體，也是考查統(tǒng)計知識常見題型．解題時讀懂圖表并將圖表信息綜合考慮是關(guān)鍵.
一、選擇題
1．某住宅小區(qū)6月份1日至5日每天用水量變化情況如圖所示，那么這5天平均每天的用水量是()
A．30噸B．31噸C．32噸D．33噸
2．(2011浙江臺州)如圖，反比例函數(shù)y＝mx的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象交于點M，N，已知點M的坐標(biāo)為(1,3)，點N的縱坐標(biāo)為－1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程mx＝kx＋b的解為()
A．－3,1B．－3,3C．－1,1D．3，－1
二、填空題
3.上、下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構(gòu)成，主視圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度至少為____________.
4．某村分給小慧家一套價格為12萬元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3萬元，從第二年起，每年應(yīng)付房款0.5萬元與上一年剩余房款的利息的和．假設(shè)剩余房款年利率為0.4%，小慧列表推算如下：
第一年第二年第三年…
應(yīng)還款(萬元)30.5＋9×0.4%0.5＋8.5×0.4%…
剩余房款(萬元)98.58…
若第n年小慧家仍需還款，則第n年應(yīng)還款__________萬元(n＞1)．
三、解答題
5．2012年5月20日是第23個中國學(xué)生營養(yǎng)日，某校社會實踐小組在這天開展活動，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況．他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息(如圖)．根據(jù)信息，解答下列問題．
(1)求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量；
(2)若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量；
(3)若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值．
6．如圖①，A，B，C三個容積相同的容器之間有閥門連接，從某一時刻開始，打開A容器閥門，以4升/分的速度向B容器內(nèi)注水5分鐘，然后關(guān)閉，接著打開B容器閥門，以10升/分的速度向C容器內(nèi)注水5分鐘，然后關(guān)閉．設(shè)A，B，C三個容器內(nèi)的水量分別為yA，yB，yC(單位：升)，時間為t(單位：分)．開始時，B容器內(nèi)有水50升，yA，yC與t的函數(shù)圖象如圖②所示．請在0≤t≤10的范圍內(nèi)解答下列問題：
(1)求t＝3時，yB的值；
(2)求yB與t的函數(shù)關(guān)系式，并在圖②中畫出其函數(shù)圖象；
(3)求yA∶yB∶yC＝2∶3∶4時t的值．
圖①圖②
7．某企業(yè)為重慶計算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件．受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格y1(元)與月份x(1≤x≤9，且x取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表：
月份x123456789
價格y1(元/件)560580600620640660680700720
隨著國家調(diào)控措施的出臺，原材料價格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價格y2(元)與月份x(10≤x≤12，且x取整數(shù))之間存在如圖所示的變化趨勢：
(1)請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出y2與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；
(2)若去年該配件每件的售價為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其他成本30元，該配件在1至9月的銷售量p1(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整數(shù)),10至12月的銷售量p2(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整數(shù))，求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料價格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其他成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價在去年的基礎(chǔ)上提高a%，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少0.1a%.這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成1至5月的總利潤1700萬元的任務(wù)，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．(參考數(shù)據(jù)：992＝9801，982＝9604,972＝9409,962＝9216,952＝9025)
參考答案
專題提升演練
1．C根據(jù)平均數(shù)公式可得這5天平均每天的用水量是30＋32＋36＋28＋345＝32(噸)．
2．A把M點的坐標(biāo)代入y＝mx，求得m＝3，所以得y＝3x，再把y＝－1代入y＝3x求得x＝－3，故關(guān)于x的方程mx＝kx＋b的解為x＝－3，或1.
3．431.76cm由圖可知，正六邊形的對角線長為60cm，則其半徑為30cm，邊心距為153cm，故所需膠帶長度至少為153×12＋20×6≈431.76(cm)．
4．0.54－0.002n(填0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%)
關(guān)鍵是要理解付款的方式，第一年還掉3萬元后，第二年付0.5萬元和剩下的9萬元的利息，第三年還0.5萬元和剩下的(9－0.5)萬元的利息，第四年則要還0.5萬元和剩下的(9－2×0.5)萬元的利息，…，所以除了第一年以外，第n年都是要還0.5萬元和剩下的[9－(n－2)0.5]萬元的利息，可列式：0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%，化簡可知第n年應(yīng)還款(0.54－0.002n)萬元．
5．解：(1)400×5%＝20(克)．
答：這份快餐中所含脂肪質(zhì)量為20克．
(2)設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為x克，由題意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，
∴x＝44，∴4x＝176.
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量為176克．
(3)解法一：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為(380－5y)克，∴4y＋(380－5y)≤400×85%，
∴y≥40，∴380－5y≤180，
∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克．
解法二：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為n克，則n≥(1－85%－5%)×400，∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180，
∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克．
6．解：(1)當(dāng)t＝3時，yB＝50＋4×3＝62(升)．
(2)根據(jù)題意，
當(dāng)0≤t≤5時，yB＝50＋4t.
當(dāng)5＜t≤10時，
yB＝70－10(t－5)＝－10t＋120.
yB與t的函數(shù)圖象如圖所示．
圖②
(3)根據(jù)題意，設(shè)yA＝2x，yB＝3x，yC＝4x.
2x＋3x＋4x＝50＋60＋70.解得x＝20.
∴yA＝2x＝40，yB＝3x＝60，yC＝4x＝80.
由圖象可知，當(dāng)yA＝40時，5≤t≤10，此時yB＝－10t＋120，yC＝10t＋20.
∴－10t＋120＝60，解得t＝6.
10t＋20＝80，解得t＝6.
∴當(dāng)t＝6時，yA∶yB∶yC＝2∶3∶4.
7．解：(1)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝20x＋540，
y2與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y2＝10x＋630.
(2)去年1至9月時，銷售該配件的利潤w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000－50－30－20x－540)
＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋16x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整數(shù))
∵－2＜0,1≤x≤9，∴當(dāng)x＝4時，w最大＝450(萬元)；
去年10至12月時，銷售該配件的利潤w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整數(shù))
當(dāng)10≤x≤12時，∵x＜29，∴自變量x增大，函數(shù)值w減小，
∴當(dāng)x＝10時，w最大＝361(萬元)，∵450＞361，
∴去年4月份銷售該配件的利潤最大，最大利潤為450萬元．
(3)去年12月份銷售量為：－0.1×12＋2.9＝1.7(萬件)，
今年原材料的價格為：750＋60＝810(元)，
今年人力成本為：50×(1＋20%)＝60(元)，
由題意，得5×[1000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1700，
設(shè)t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝99±940120，
∵972＝9409,962＝9216，而9401更接近9409，
∴9401≈97.
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.
∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.
答：a的整數(shù)值為10.
初三數(shù)學(xué)開放與探索總復(fù)習(xí)
專題三開放與探索
開放探索型問題有條件開放與探索、結(jié)論開放與探索、條件結(jié)論都開放與探索等，這類題目新穎，思考方向不確定，因此比一般綜合題更能考查學(xué)生綜合運用知識的能力，從而深受命題者的青睞．題型以填空題、解答題為主．
考向一條件開放問題
條件開放探索問題的特征是缺少確定的條件，所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論直接推出，而滿足結(jié)論的條件往往也是不唯一的．
【例1】如圖，已知AC⊥BD于點P，AP＝CP，請增加一個條件：使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是__________．
解析：要證明△ABP≌△CDP，已經(jīng)給出了兩個條件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根據(jù)證明兩個三角形全等的判斷方法，可以添加一個條件角或者邊．
答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任選其中一個)
方法歸納解決此類題的方法是：從所給的結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，運用所學(xué)的定理，進(jìn)行邏輯推理，從而找出滿足結(jié)論的條件．
考向二結(jié)論開放問題
結(jié)論開放探索問題是給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性．
【例2】(2011廣東河源)如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點(P不與A，B重合)，分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．
(1)當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP＝__________.(直接寫結(jié)果)
(2)連接AD，BC，相交于點Q，設(shè)∠AQC＝α，那么α的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由．
(3)如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，此時α的大小是否發(fā)生變化？(只需直接寫出你的猜想，不必證明)
圖1圖2
分析：(1)設(shè)等邊△APC邊長為x，高為32x，則面積為34x2，則等邊△BDP邊長為2a－x，高為32(2a－x)，則面積為34(2a－x)2，
面積之和為S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，這是一個二次函數(shù)的最值問題．
當(dāng)x＝a時，S最?。?2a2.
(2)判別α的大小是否會隨點P的移動而變化，只需計算∠AQC．
(3)根據(jù)(2)證明過程或直觀可得結(jié)論．
解：(1)a
(2)α的大小不會隨點P的移動而變化．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°.
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB．
∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°－120°＝60°.
(3)此時α的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°.
方法歸納解答本題將等邊三角形的面積用二次函數(shù)表示是解答本題的難點．解答結(jié)論開放性問題常常需要借助直觀或特殊化方法探求．
考向三條件與結(jié)論開放問題
條件、結(jié)論開放探索問題是指條件和結(jié)論都不唯一，此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有開放性，它要求學(xué)生通過自己的觀察和思考，將已知的信息集中進(jìn)行分析，通過這一思維活動揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系．
【例3】(1)如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點B，C)上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN.
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)
圖1圖2
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2)，N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由．
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝__________時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫出答案，不需要證明)
分析：證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在三角形全等．(1)中給出了線段EM，即想提示考生證明△AEM≌△MCN.由題目中的條件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上構(gòu)造出線段AE＝MC，連接ME.進(jìn)一步證明△AEM≌△MCN.(3)是將(1)(2)中特殊問題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等．
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中，∵∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°.
∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°.
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n－2)180°n.
方法歸納解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合已給出的材料借助類比思想進(jìn)行．一般地，解答條件、結(jié)論開放探索問題，即條件和結(jié)論都不確定，首先要認(rèn)定條件和結(jié)論，然后組成一個新的命題并加以證明或判斷．
一、選擇題
1．如圖，在網(wǎng)格中有一個直角三角形(網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度)，若以該三角形一邊為公共邊畫一個新三角形與原來的直角三角形一起組成一個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其他的公共點，新三角形的頂點不一定在格點上，那么符合要求的新三角形有()
A．4個B．6個C．7個D．9個
2．根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象(如圖2)，過點M作PQ∥x軸交圖象于點P，Q，連接OP，OQ.則以下結(jié)論
①x＜0時，y＝2x，
②△OPQ的面積為定值，
③x＞0時，y隨x的增大而增大，
④MQ＝2PM，
⑤∠POQ可以等于90°.
圖1圖2
其中正確的結(jié)論是()
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空題
3．在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形．你添加的條件是__________．(寫出一種即可)
4．若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實數(shù)根，則m的值可以為__________．(任意給出一個符合條件的值即可)
三、解答題
5．如圖，將△ABC的頂點A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點A(如圖1)的位置開始，將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°α120°)，旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF(如圖2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直徑為8.
圖1圖2備用圖
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②EF的長；③∠AFE的度數(shù)；④點O到EF的距離．其中不變的量是__________(填序號)．
(2)當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．
6．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G，H點，如圖2.
(1)問：始終與△AGC相似的三角形有__________及__________；
(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖2情形說明理由)；
(3)問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？
圖1圖2
7．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE.
(1)求證：四邊形AFCE是菱形；
(2)若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；
(3)在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2＝ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．
8．已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx－3的圖象經(jīng)過點P(－2,5)．
(1)求b的值，并寫出當(dāng)1＜x≤3時y的取值范圍．
(2)設(shè)點P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在這個二次函數(shù)的圖象上．
①當(dāng)m＝4時，y1，y2，y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由．
②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．
參考答案
專題提升演練
1．C以較短的直角邊為公共邊可以畫三個符合要求的三角形，以較長的直角邊為公共邊也可以畫三個符合要求的三角形，以斜邊為公共邊也可以畫一個符合要求的三角形，這樣可以畫七個符合要求的三角形，故選C.
2．B根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－2x(x0)，4x(x0)，易知①錯誤；∵PQ∥x軸，∴點P在y＝－2x上，∴S△POM＝12×OM×PM＝12|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正確；當(dāng)x＞0時，y＝4x，y隨x的增大而減小，∴③錯誤；設(shè)OM＝a，當(dāng)y＝a時，P點的橫坐標(biāo)為－2a，Q點的橫坐標(biāo)為4a，則PM＝2a，MQ＝4a，則MQ＝2PM，∴④正確；當(dāng)點M在y軸的正半軸上由下向上運動時，∠POQ由180°逐漸變小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正確．
3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，寫出一種即可)由已知條件AB＝DC，AD＝BC，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再要使ABCD是矩形，根據(jù)判定矩形的方法，只需有一個角為直角的平行四邊形即為矩形，或者對角線相等的平行四邊形是矩形，所以可添的條件為角是直角或?qū)蔷€相等．
4．答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等由于這個方程有實數(shù)根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.
5．解：(1)①②④
(2)α＝90°.依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點C與點E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝12AC＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83.
6．解：(1)△HGA△HAB
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，
∴CGAB＝ACBH，即x9＝9y，
∴y＝81x.
(3)由(1)知△AGC∽△HGA.
∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．
有兩種情況，(1)CG為底，AC＝AG時，得AG＝9，此時CG等于92，(2)CG為腰，CG＝AG時，此時CG＝922.
7．解：(1)證明：由折疊可知EF⊥AC，AO＝CO.
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四邊形AFCE是菱形．
(2)由(1)得AF＝AE＝10.
設(shè)AB＝a，BF＝b，得
a2＋b2＝100①，ab＝48②.
①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一負(fù)值舍去)．
∴△ABF的周長為24cm.
(3)存在，過點E作AD的垂線交AC于點P，則點P符合題意．
證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP.
∴AOAE＝AEAP，得AE2＝AOAP，即2AE2＝2AOAP.
又AC＝2AO，
∴2AE2＝ACAP.
8．解：(1)把點P代入二次函數(shù)解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.
所以二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3.
當(dāng)x＝1時，y＝－4，當(dāng)x＝3時，y＝0，
所以當(dāng)1＜x≤3時，y的取值范圍為－4＜y≤0.
(2)①m＝4時，y1，y2，y3的值分別為5,12,21，
由于5＋12＜21，不能成為三角形的三邊長．
②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，由圖象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分別為m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，當(dāng)m不小于5時成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．
所以當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長．
