小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案
發(fā)表時間：2021-01-25初三數(shù)學(xué)開放與探索總復(fù)習(xí)。
專題三開放與探索開放探索型問題有條件開放與探索、結(jié)論開放與探索、條件結(jié)論都開放與探索等，這類題目新穎，思考方向不確定，因此比一般綜合題更能考查學(xué)生綜合運用知識的能力，從而深受命題者的青睞．題型以填空題、解答題為主．
考向一條件開放問題
條件開放探索問題的特征是缺少確定的條件，所需補充的條件不能由結(jié)論直接推出，而滿足結(jié)論的條件往往也是不唯一的．
【例1】如圖，已知AC⊥BD于點P，AP＝CP，請增加一個條件：使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是__________．
解析：要證明△ABP≌△CDP，已經(jīng)給出了兩個條件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根據(jù)證明兩個三角形全等的判斷方法，可以添加一個條件角或者邊．
答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任選其中一個)
方法歸納解決此類題的方法是：從所給的結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，運用所學(xué)的定理，進(jìn)行邏輯推理，從而找出滿足結(jié)論的條件．
考向二結(jié)論開放問題
結(jié)論開放探索問題是給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性．
【例2】(2011廣東河源)如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點(P不與A，B重合)，分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．
(1)當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP＝__________.(直接寫結(jié)果)
(2)連接AD，BC，相交于點Q，設(shè)∠AQC＝α，那么α的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由．
(3)如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，此時α的大小是否發(fā)生變化？(只需直接寫出你的猜想，不必證明)
圖1圖2
分析：(1)設(shè)等邊△APC邊長為x，高為32x，則面積為34x2，則等邊△BDP邊長為2a－x，高為32(2a－x)，則面積為34(2a－x)2，
面積之和為S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，這是一個二次函數(shù)的最值問題．
當(dāng)x＝a時，S最?。?2a2.
(2)判別α的大小是否會隨點P的移動而變化，只需計算∠AQC．
(3)根據(jù)(2)證明過程或直觀可得結(jié)論．
解：(1)a
(2)α的大小不會隨點P的移動而變化．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°.
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB．
∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°－120°＝60°.
(3)此時α的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°.
方法歸納解答本題將等邊三角形的面積用二次函數(shù)表示是解答本題的難點．解答結(jié)論開放性問題常常需要借助直觀或特殊化方法探求．
考向三條件與結(jié)論開放問題
條件、結(jié)論開放探索問題是指條件和結(jié)論都不唯一，此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有開放性，它要求學(xué)生通過自己的觀察和思考，將已知的信息集中進(jìn)行分析，通過這一思維活動揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系．
【例3】(1)如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點B，C)上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN.
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)
圖1圖2
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2)，N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由．
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝__________時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫出答案，不需要證明)
分析：證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在三角形全等．(1)中給出了線段EM，即想提示考生證明△AEM≌△MCN.由題目中的條件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上構(gòu)造出線段AE＝MC，連接ME.進(jìn)一步證明△AEM≌△MCN.(3)是將(1)(2)中特殊問題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等．
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中，∵∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°.
∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°.
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n－2)180°n.
方法歸納解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合已給出的材料借助類比思想進(jìn)行．一般地，解答條件、結(jié)論開放探索問題，即條件和結(jié)論都不確定，首先要認(rèn)定條件和結(jié)論，然后組成一個新的命題并加以證明或判斷．
一、選擇題
1．如圖，在網(wǎng)格中有一個直角三角形(網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度)，若以該三角形一邊為公共邊畫一個新三角形與原來的直角三角形一起組成一個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其他的公共點，新三角形的頂點不一定在格點上，那么符合要求的新三角形有()
A．4個B．6個C．7個D．9個
2．根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象(如圖2)，過點M作PQ∥x軸交圖象于點P，Q，連接OP，OQ.則以下結(jié)論
①x＜0時，y＝2x，
②△OPQ的面積為定值，
③x＞0時，y隨x的增大而增大，
④MQ＝2PM，
⑤∠POQ可以等于90°.
圖1圖2
其中正確的結(jié)論是()
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空題
3．在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形．你添加的條件是__________．(寫出一種即可)
4．若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實數(shù)根，則m的值可以為__________．(任意給出一個符合條件的值即可)
三、解答題
5．如圖，將△ABC的頂點A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點A(如圖1)的位置開始，將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°α120°)，旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF(如圖2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直徑為8.
圖1圖2備用圖
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②EF的長；③∠AFE的度數(shù)；④點O到EF的距離．其中不變的量是__________(填序號)．
(2)當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．
6．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G，H點，如圖2.
(1)問：始終與△AGC相似的三角形有__________及__________；
(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖2情形說明理由)；
(3)問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？
圖1圖2
7．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE.
(1)求證：四邊形AFCE是菱形；
(2)若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；
(3)在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2＝ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．
8．已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx－3的圖象經(jīng)過點P(－2,5)．
(1)求b的值，并寫出當(dāng)1＜x≤3時y的取值范圍．
(2)設(shè)點P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在這個二次函數(shù)的圖象上．
①當(dāng)m＝4時，y1，y2，y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由．
②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．
參考答案
專題提升演練
1．C以較短的直角邊為公共邊可以畫三個符合要求的三角形，以較長的直角邊為公共邊也可以畫三個符合要求的三角形，以斜邊為公共邊也可以畫一個符合要求的三角形，這樣可以畫七個符合要求的三角形，故選C.
2．B根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－2x(x0)，4x(x0)，易知①錯誤；∵PQ∥x軸，∴點P在y＝－2x上，∴S△POM＝12×OM×PM＝12|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正確；當(dāng)x＞0時，y＝4x，y隨x的增大而減小，∴③錯誤；設(shè)OM＝a，當(dāng)y＝a時，P點的橫坐標(biāo)為－2a，Q點的橫坐標(biāo)為4a，則PM＝2a，MQ＝4a，則MQ＝2PM，∴④正確；當(dāng)點M在y軸的正半軸上由下向上運動時，∠POQ由180°逐漸變小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正確．
3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，寫出一種即可)由已知條件AB＝DC，AD＝BC，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再要使ABCD是矩形，根據(jù)判定矩形的方法，只需有一個角為直角的平行四邊形即為矩形，或者對角線相等的平行四邊形是矩形，所以可添的條件為角是直角或?qū)蔷€相等．
4．答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等由于這個方程有實數(shù)根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.
5．解：(1)①②④
(2)α＝90°.依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點C與點E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝12AC＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83.
6．解：(1)△HGA△HAB
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，
∴CGAB＝ACBH，即x9＝9y，
∴y＝81x.
(3)由(1)知△AGC∽△HGA.
∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．
有兩種情況，(1)CG為底，AC＝AG時，得AG＝9，此時CG等于92，(2)CG為腰，CG＝AG時，此時CG＝922.
7．解：(1)證明：由折疊可知EF⊥AC，AO＝CO.
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四邊形AFCE是菱形．
(2)由(1)得AF＝AE＝10.
設(shè)AB＝a，BF＝b，得
a2＋b2＝100①，ab＝48②.
①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一負(fù)值舍去)．
∴△ABF的周長為24cm.
(3)存在，過點E作AD的垂線交AC于點P，則點P符合題意．
證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP.
∴AOAE＝AEAP，得AE2＝AOAP，即2AE2＝2AOAP.
又AC＝2AO，
∴2AE2＝ACAP.
8．解：(1)把點P代入二次函數(shù)解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.
所以二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3.
當(dāng)x＝1時，y＝－4，當(dāng)x＝3時，y＝0，
所以當(dāng)1＜x≤3時，y的取值范圍為－4＜y≤0.
(2)①m＝4時，y1，y2，y3的值分別為5,12,21，
由于5＋12＜21，不能成為三角形的三邊長．
②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，由圖象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分別為m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，當(dāng)m不小于5時成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．
所以當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長．
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第30講概率初步
考標(biāo)要求考查角度
1.能正確指出自然和社會現(xiàn)象中的一些必然事件、不可能事件、不確定事件．
2．能從實際問題中了解概率的意義，能用列舉法計算隨機事件發(fā)生的概率．
3．能用大量重復(fù)試驗時的頻率估計事件發(fā)生的概率.概率是中考命題的必考點，選材多來自游戲、抽獎等生活題材，主要考查必然事件、不可能事件及隨機事件的區(qū)別，用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發(fā)生的概率以及用頻率估計概率，題型以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn).
知識梳理
一、事件的有關(guān)概念
1．必然事件
在現(xiàn)實生活中__________發(fā)生的事件稱為必然事件．
2．不可能事件
在現(xiàn)實生活中__________發(fā)生的事件稱為不可能事件．
3．隨機事件
在現(xiàn)實生活中，有可能__________，也有可能__________的事件稱為隨機事件．
4．分類
事件確定事件必然事件不可能事件隨機事件
二、用列舉法求概率
1．定義
在隨機事件中，一件事發(fā)生的可能性__________叫做這個事件的概率．
2．適用條件
(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果為__________多個；
(2)各種結(jié)果發(fā)生的可能性__________．
3．求法
(1)利用__________或__________的方法列舉出所有機會均等的結(jié)果；
(2)弄清我們關(guān)注的是哪個或哪些結(jié)果；
(3)求出關(guān)注的結(jié)果數(shù)與所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的比值，即關(guān)注事件的概率．
列表法一般應(yīng)用于兩個元素，且結(jié)果的可能性較多的題目，當(dāng)事件涉及三個或三個以上元素時，用樹形圖列舉．
三、利用頻率估計概率
1．適用條件
當(dāng)試驗的結(jié)果不是有限個或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等．
2．方法
進(jìn)行大量重復(fù)試驗，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個__________時，該__________就可認(rèn)為是這個事件發(fā)生的概率．
四、概率的應(yīng)用
概率是和實際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象作出評判，如解釋摸獎，配紫色，評判游戲活動的公平性，數(shù)學(xué)競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件作出決策．
自主測試
1．(2012浙江杭州)一個不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，則下列敘述正確的是()
A．摸到紅球是必然事件B．摸到白球是不可能事件
C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等D．摸到紅球比摸到白球的可能性大
2．(2012浙江寧波)一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，攪勻后從中摸出一個球，摸到白球的概率為()
A．23B．12C．13D．1
3．有一箱規(guī)格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個．為了估計這兩種顏色的球各有多少個，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重復(fù)上述過程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率約為0.6，據(jù)此可以估計紅球的個數(shù)約為__________．
4．有長度分別為2cm,3cm,4cm,7cm的四條線段，任取其中三條能組成三角形的概率是__________．
5．(2012福建泉州)在一個不透明的盒子中，共有“一白三黑”4個圍棋子，它們除了顏色之外沒有其他區(qū)別．
(1)隨機地從盒中提出1子，則提出白子的概率是多少？
(2)隨機地從盒中提出1子，不放回再提第二子，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．
考點一、事件的分類
【例1】下列事件屬于必然事件的是()
A．在1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃沸騰B．明天我市最高氣溫為56℃
C．中秋節(jié)晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹
解析：區(qū)分事件發(fā)生的可能性，應(yīng)注意積累生活經(jīng)驗和一些基本常識，然后再予以判斷．
答案：A
方法總結(jié)如何判斷事件發(fā)生的可能性，我們可以憑直覺判斷出有些事件發(fā)生的可能性大小，有時要結(jié)合日積月累的生活經(jīng)驗，或者經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼玫绞聦嵉龋?br>
觸類旁通1下列事件中，為必然事件的是()
A．購買一張彩票，中獎B．打開電視，正在播放廣告
C．拋擲一枚硬幣，正面向上D．一個袋中只裝有5個黑球，從中摸出一個球是黑球
考點二、用列舉法求概率
【例2】(2012湖南張家界)第七屆中博會于2012年5月18日至20日在湖南召開，設(shè)立了長沙、株洲、湘潭和張家界4個會展區(qū)，聰聰一家用兩天時間參觀兩個會展區(qū)：第一天從4個會展區(qū)中隨機選擇一個，第二天從余下3個會展區(qū)中再隨機選擇一個，如果每個會展區(qū)被選中的機會均等．
(1)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
(2)求聰聰一家第一天參觀長沙會展區(qū)，第二天參觀張家界會展區(qū)的概率；
(3)求張家界會展區(qū)被選中的概率．
分析：根據(jù)題意列表或畫樹狀圖，求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)每種事件出現(xiàn)的次數(shù)，求出對應(yīng)的概率．
解：(1)用列表法：
或畫樹狀圖：
(2)由(1)知，共有12種等可能的結(jié)果，第一天參觀長沙會展區(qū)，第二天參觀張家界會展區(qū)(記為事件A)有一種可能結(jié)果，則P(A)＝112.
(3)所有等可能結(jié)果中，出現(xiàn)張家界會展區(qū)的有6種可能結(jié)果，記張家界會展區(qū)被選中為事件B，則P(B)＝612＝12.
方法總結(jié)1.用列舉法求概率，無論是簡單事件還是復(fù)雜事件，都先列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再代入P(A)＝mn計算．
2．在用列舉法解題時，一定要注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同，不要出現(xiàn)重復(fù)、遺漏等現(xiàn)象．
3．判斷游戲的公平性，在相同的條件下，應(yīng)考慮隨機事件發(fā)生的可能性是否相同，可能性大的獲勝機會就大．
觸類旁通2甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽，
(1)請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率；
(2)若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機選取一位，求恰好選中乙同學(xué)的概率．
考點三、頻率與概率
【例3】小明在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計與概率的知識后，做了投擲骰子的試驗，小明共做了100次試驗，試驗的結(jié)果如下：
朝上的點數(shù)123456
出現(xiàn)的次數(shù)171315232012
(1)試求“4點朝上”和“5點朝上”的頻率；
(2)由于“4點朝上”的頻率最大，能不能說一次試驗中“4點朝上”的概率最大？為什么？
解：(1)“4點朝上”出現(xiàn)的頻率是23100＝0.23.
“5點朝上”出現(xiàn)的頻率是20100＝0.20.
(2)不能這樣說，因為“4點朝上”的頻率最大并不能說明“4點朝上”這一事件發(fā)生的概率最大，只有當(dāng)試驗的次數(shù)足夠多時，該事件發(fā)生的頻率才穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近．
方法總結(jié)在大量重復(fù)試驗中，隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增大，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)左右，將該常數(shù)作為概率的估計值，兩者的區(qū)別在于：頻率是通過多次試驗得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事件發(fā)生的可能性，二者并不完全相同．
觸類旁通3某質(zhì)檢員從一大批種子中抽取若干批，在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：
種子粒數(shù)50100200500100030005000
發(fā)芽種子粒數(shù)459218445891427324556
發(fā)芽頻率
(1)計算各批種子發(fā)芽頻率，填入上表．
(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計種子的發(fā)芽概率．
考點四、概率的應(yīng)用
【例4】(2011云南昆明)小昆和小明玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：有3張背面完全相同，牌面標(biāo)有數(shù)字1,2,3的紙牌，將紙牌洗勻后背面朝上放在桌面上，隨機抽出一張，記下牌面數(shù)字，放回后洗勻再隨機抽出一張．
(1)請用畫樹狀圖或列表的方法(只選其中一種)，表示出兩次抽出的紙牌數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果．
(2)若規(guī)定：兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為奇數(shù)，則小昆獲勝；兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為偶數(shù)，則小明獲勝．這個游戲公平嗎？為什么？
解：(1)列表如下：
123
1(1,1)(1,2)(1,3)
2(2,1)(2,2)(2,3)
3(3,1)(3,2)(3,3)
或畫樹狀圖如下：
(2)可能出現(xiàn)的數(shù)字之和分別為2,3,4,3,4,5,4,5,6共9個，它們出現(xiàn)的可能性相同．其中奇數(shù)共4個，偶數(shù)共5個．
∴P(小昆獲勝)＝49，P(小明獲勝)＝59.
∵49≠59，∴游戲不公平．
方法總結(jié)游戲公平與否，關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)則算出各自的概率，概率均等則游戲公平，否則就不公平．設(shè)計游戲規(guī)則時，應(yīng)先根據(jù)題意求出隨機事件的各種可能出現(xiàn)的情況的概率，再根據(jù)其中概率相等時的情況設(shè)計公平的游戲規(guī)則，也可根據(jù)概率不相等時的情況設(shè)計公平的游戲規(guī)則．
觸類旁通4(1)四張質(zhì)地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有圓、矩形、等邊三角形、等腰梯形四個圖案．現(xiàn)把它們的正面向下隨機擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為()
A．14B．12C．34D．1
(2)5月19日為中國旅游日，衢州推出“讀萬卷書，行萬里路，游衢州景”的主題系列旅游惠民活動，市民王先生準(zhǔn)備在優(yōu)惠日當(dāng)天上午從孔氏南宗廟、爛柯河、龍游石窟中隨機選擇一個地點；下午從江郎山、三衢石林、開化根博園中隨機選擇一個地點游玩．則王先生恰好上午選中孔氏南宗廟，下午選中江郎山這兩個地點的概率是()
A．19B．13C．23D．29
1．(2012湖南張家界)下列不是必然事件的是()
A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．三角形任意兩邊之和大于第三邊
C．面積相等的兩個三角形全等D．三角形內(nèi)心到三邊距離相等
2．(2012湖南湘潭)“湘潭是我家，愛護靠大家．”自我市開展整治“六亂”行動以來，我市學(xué)生更加自覺遵守交通規(guī)則．某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時都要經(jīng)過一個十字路口，該十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為19，那么他遇到綠燈的概率為()
A．13B．23C．49D．59
3．(2012湖南長沙)任意拋擲一枚硬幣，則“正面朝上”是__________事件．
4．(2012湖南婁底)在－1,0，13，1，2，3中任取一個數(shù)，取到無理數(shù)的概率是__________．
5．(2012湖南懷化)投擲一枚普通的正方體骰子24次，
(1)你認(rèn)為下列四種說法哪幾種是正確的？
①出現(xiàn)1點的概率等于出現(xiàn)3點的概率；
②投擲24次，2點一定會出現(xiàn)4次；
③投擲前默念幾次“出現(xiàn)4點”，投擲結(jié)果出現(xiàn)4點的可能性就會加大；
④連續(xù)投擲6次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于37.
(2)求出現(xiàn)5點的概率．
(3)出現(xiàn)6點大約有多少次？
1．某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)競賽，經(jīng)預(yù)賽，七、八年級各有一名同學(xué)進(jìn)入決賽，九年級有兩名同學(xué)進(jìn)入決賽，那么九年級同學(xué)獲得前兩名的概率是()
A．12B．13C．14D．16
2．在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為23，則黃球的個數(shù)為()
A．2B．4C．12D．16
3．已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為12，下列說法錯誤的是()
A．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上
B．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上
C．大量反復(fù)拋一枚均勻硬幣，平均100次出現(xiàn)正面朝上50次
D．通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的
4．在x22xyy2的空格中，分別填上“＋”或“－”，在所得的代數(shù)式中，能構(gòu)成完全平方式的概率是()
A．1B．34C．12D．14
5．在半徑為2的圓中有一個內(nèi)接正方形，現(xiàn)隨機地往圓內(nèi)投一粒米，落在正方形內(nèi)的概率為__________．(注：π取3)
6．從－2，－1,2這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標(biāo)，該點在第四象限的概率是__________．
7．如圖所示，一個圓形轉(zhuǎn)盤被等分為八個扇形區(qū)域，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，轉(zhuǎn)盤指針的位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記指針指向標(biāo)有“3”所在區(qū)域的概率為P(3)，指針指向標(biāo)有“4”所在區(qū)域的概率為P(4)，則P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)
8．某市準(zhǔn)備為青少年舉行一次網(wǎng)球知識講座，小明和妹妹都是網(wǎng)球球迷，要求爸爸去買門票，但爸爸只買回一張門票，那么誰去就成了問題，小明想到一個辦法：他拿出一個裝有質(zhì)地、大小相同的2x個紅球與3x個白球的袋子，讓爸爸摸出一個球，如果摸出的是紅球，妹妹去聽講座，如果摸到的是白球，小明去聽講座．
(1)爸爸說這個辦法不公平，請你用概率的知識解釋原因；
(2)若爸爸從袋中取出3個白球，再用小明提出的辦法來確定誰去聽講座，請問摸球的結(jié)果是對小明有利還是對妹妹有利，說明理由．
參考答案
【知識梳理】
一、1.一定會2.一定不會3.發(fā)生不發(fā)生
二、1.大小
2．(1)有限(2)相等
3．(1)列表畫樹狀圖
三、2.常數(shù)常數(shù)
導(dǎo)學(xué)必備知識
自主測試
1．D摸到紅球是隨機事件，故選項A錯誤；
摸到白球是隨機事件，故選項B錯誤；
根據(jù)不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大，故選項C錯誤；
根據(jù)不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大，故選項D正確．
2．A因為根據(jù)題意可得：一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，共3個，任意摸出1個，摸到白球的概率是2÷3＝23.
3．600
4.14因為長度為2cm,3cm,4cm,7cm的四條線段，從中任取三條線段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,7四種情況，而能組成三角形的有2,3,4，共有1種情況，
所以能組成三角形的概率是14.
5．解：(1)P(白子)＝14.
(2)方法一：所有等可能的結(jié)果，畫樹狀圖如下：
∴P(一黑一白)＝612＝12.
方法二：所有等可能的結(jié)果，列表如下.
∴P(一黑一白)＝612＝12.
探究考點方法
觸類旁通1.D
觸類旁通2.解：(1)列表法如下：
甲乙丙丁
甲乙甲丙甲丁甲
乙甲乙丙乙丁乙
丙甲丙乙丙丁丙
丁甲丁乙丁丙丁
所有可能出現(xiàn)的情況有12種，其中甲、乙兩位同學(xué)組合的情況有兩種，所以P＝212＝16.
(2)若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機選取一位，共有3種情況，選中乙的情況有一種，所以P(恰好選中乙同學(xué))＝13.
觸類旁通3.解：(1)通過計算，發(fā)芽頻率從左到右依次為：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.
(2)由(1)知，發(fā)芽頻率逐漸穩(wěn)定在0.911，因此可以估計種子的發(fā)芽概率為0.911.
觸類旁通4.(1)B在四個圖案中，是中心對稱圖形的圖案有2個，所以正面圖案是中心對稱圖形的概率為12.
(2)A列樹形圖可知共有9種等可能的結(jié)果，所以上午選中孔氏南宗廟，下午選中江郎山這兩個地點的概率是19.
品鑒經(jīng)典考題
1．C2．D1－13＋19＝59.3．隨機
4.13這六個數(shù)中，無理數(shù)有2，3，∴取到無理數(shù)的概率是26＝13.
5．解：(1)①④正確；
(2)出現(xiàn)5點的概率為16；
(3)因為出現(xiàn)6點的概率為16，故投擲骰子24次出現(xiàn)6點大約有24×16＝4(次)．
研習(xí)預(yù)測試題
1．D2.B3.A4.C5.236.137.＞
8．解：(1)∵P(小明勝)＝35，P(妹妹勝)＝25，
∴P(小明勝)≠P(妹妹勝)．
∴這個辦法不公平．
(2)當(dāng)x＞3時對小明有利，當(dāng)x＜3時對妹妹有利，
當(dāng)x＝3時是公平的．
初三數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的收集、整理與描述總復(fù)習(xí)
每個老師在上課前需要規(guī)劃好教案課件，是時候?qū)懡贪刚n件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，才能更好的在接下來的工作輕裝上陣！你們會寫適合教案課件的范文嗎？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“初三數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的收集、整理與描述總復(fù)習(xí)”，僅供參考，大家一起來看看吧。
第28講數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
[鎖定目標(biāo)考試]
考標(biāo)要求考查角度
1.了解總體、個體樣本和樣本容量等與統(tǒng)計有關(guān)的概念，體會抽樣的必要性，了解簡單隨機抽樣．
2．熟悉幾種常見統(tǒng)計圖表的應(yīng)用，并會借助統(tǒng)計圖表直觀、有效地描述數(shù)據(jù)．
3．掌握一些常見的統(tǒng)計方法.扇形、條形、折線統(tǒng)計圖以及頻數(shù)分布直方圖是中考考查的重點．借助這些統(tǒng)計圖獲取信息，然后再應(yīng)用到具體問題中是考查的熱點．試題由僅考查知識變?yōu)檎?、分析和處理?shù)據(jù)，由單一填空題、選擇題變?yōu)榫C合性的應(yīng)用題.
[導(dǎo)學(xué)必備知識]
知識梳理
一、普查與抽樣調(diào)查
1．有關(guān)概念
(1)普查：為一特定目的而對所有考察對象作的全面調(diào)查叫做普查．
(2)抽樣調(diào)查：為一特定目的而對部分考察對象作的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查．
2．調(diào)查的選取
當(dāng)受客觀條件限制，無法對所有個體進(jìn)行普查時，往往采用抽樣調(diào)查．
3．抽樣調(diào)查樣本的選取
(1)抽樣調(diào)查的樣本要有__________；
(2)抽樣調(diào)查的樣本數(shù)目要__________．
二、總體、個體、樣本及樣本容量
1．總體
所要考察對象的__________叫做總體．
2．個體
總體中的__________考察對象叫做個體．
3．樣本
從總體中抽取的部分__________叫做樣本．
4．樣本容量
樣本中個體的__________叫做樣本容量．
三、幾種常見的統(tǒng)計圖表
1．條形統(tǒng)計圖
條形統(tǒng)計圖就是用__________的高來表示數(shù)據(jù)的圖形．
它的特點是：(1)能夠顯示每組中的具體__________；(2)易于比較數(shù)據(jù)之間的__________．
2．折線統(tǒng)計圖
用幾條線段連成的__________來表示數(shù)據(jù)的圖形．
它的特點是：易于顯示數(shù)據(jù)的__________．
3．扇形統(tǒng)計圖
(1)用一個圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分在總體中所占__________的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖．
(2)百分比的意義：在扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對扇形的__________的度數(shù)與360°的比．
(3)扇形的圓心角＝360°×百分比．
(4)扇形統(tǒng)計圖的制作步驟
①數(shù)據(jù)的采集，即各部分?jǐn)?shù)據(jù)的收集；②數(shù)據(jù)的整理，即計算出各部分的總和，再計算各部分所占的百分比；③作圖，即根據(jù)百分比計算出各部分對應(yīng)圓心角的大小(將百分比乘360°)，再用量角器畫出各個扇形；④標(biāo)上各部分的名稱和它所占的百分比．
四、頻數(shù)分布直方圖
1．每個對象出現(xiàn)的__________叫做頻數(shù)．
2．每個對象出現(xiàn)的__________與__________的比(或者百分比)叫做頻率，__________和__________都能夠反映每個對象出現(xiàn)的頻繁程度．
3．頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖都能直觀、清楚地反映數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)的分布情況．
4．頻數(shù)分布直方圖的繪制步驟：(1)計算最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)確定分點，常使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點稍微減小一點；(4)列頻數(shù)分布表；(5)用橫軸表示各分段數(shù)據(jù)，縱軸反映各分段數(shù)據(jù)的頻數(shù)，小長方形的高表示頻數(shù)，繪制頻數(shù)分布直方圖．
自主測試
1．(2012重慶)下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查(普查)方式的是()
A．調(diào)查市場上老酸奶的質(zhì)量情況
B．調(diào)查某品牌圓珠筆芯的使用壽命
C．調(diào)查乘坐飛機的旅客是否攜帶違禁物品
D．調(diào)查我市市民對倫敦奧運會吉祥物的知曉率
2．(2012浙江杭州)如圖是杭州市區(qū)人口的統(tǒng)計圖．則根據(jù)統(tǒng)計圖得出的下列判斷，正確的是()
杭州市區(qū)人口統(tǒng)計圖
A．其中有3個區(qū)的人口數(shù)都低于40萬
B．只有1個區(qū)的人口數(shù)超過百萬
C．上城區(qū)與下城區(qū)的人口數(shù)之和超過江干區(qū)的人口數(shù)
D．杭州市區(qū)的人口數(shù)已超過600萬
3．(2012山東濟寧)空氣是由多種氣體混合而成的，為了簡明扼要地介紹空氣的組成情況，較好地描述數(shù)據(jù)，最適合使用的統(tǒng)計圖是()
A．扇形圖B．條形圖C．折線圖D．直方圖
4．(2012浙江溫州)趙老師想了解本?！吧钪械臄?shù)學(xué)知識”大賽的成績分布情況，隨機抽取了100份試卷的成績(滿分為120分，成績?yōu)檎麛?shù))，繪制成下圖所示的統(tǒng)計圖．由圖可知，成績不低于90分的共有__________人．
100份“生活中的數(shù)學(xué)知識”
大賽試卷的成績頻數(shù)分布直方圖
[探究重難方法]
考點一、調(diào)查方式的選擇
【例1】下列調(diào)查中，適宜采用抽樣調(diào)查方式的是()
A．調(diào)查我市中學(xué)生每天體育鍛煉的時間
B．調(diào)查某班學(xué)生對“五個重慶”的知曉率
C．調(diào)查一架“殲20”隱形戰(zhàn)機各零部件的質(zhì)量
D．調(diào)查廣州亞運會100米決賽參賽運動員興奮劑的使用情況
解析：A選項中調(diào)查的對象太多，適宜采用抽樣調(diào)查；B選項中調(diào)查的對象是一個班的學(xué)生，適宜采用普查的方式；C選項中調(diào)查的對象性質(zhì)特殊，也適宜采用普查的方式；D選項調(diào)查的目的要求對象一個不缺，也適宜采用普查的方式．
答案：A
方法總結(jié)統(tǒng)計學(xué)中存在兩種調(diào)查方式：普查和抽樣調(diào)查．由于普查耗時、耗力，有時甚至具有破壞性，而放棄普查，采用抽樣調(diào)查去估計總體．分析時要具體情況具體分析，了解實際問題中的總體、個體、樣本，然后確定適合的調(diào)查方式．抽樣調(diào)查時，應(yīng)注意樣本具有廣泛性、代表性、隨機性．
觸類旁通1下列調(diào)查，適合用普查方式的是()
A．了解貴陽市居民的年人均消費
B．了解某一天離開貴陽市的人口流量
C．了解貴州電視臺《百姓關(guān)注》欄目的收視率
D．了解貴陽市某班學(xué)生對“創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市”的知曉率
考點二、統(tǒng)計圖的應(yīng)用
【例2】(2012湖南湘潭)為了推動課堂教學(xué)改革，打造高效課堂，配合我市“兩型課堂”的課題研究，蓮城中學(xué)對八年級部分學(xué)生就一學(xué)期來“分組合作學(xué)習(xí)”方式的支持程度進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計情況如下圖．試根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
圖1圖2
(1)求本次被調(diào)查的八年級學(xué)生的人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；
(2)若該校八年級學(xué)生共有180人，請你估計該校八年級有多少名學(xué)生支持“分組合作學(xué)習(xí)”方式(含“非常喜歡”和“喜歡”兩種情況的學(xué)生)．
分析：(1)根據(jù)兩種統(tǒng)計圖提供的信息，可用“無所謂”的人數(shù)和它在扇形圖中所占的比例求出被調(diào)查的八年級學(xué)生人數(shù)，從而求出“非常喜歡”的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；(2)用八年級總?cè)藬?shù)乘以支持“分組合作學(xué)習(xí)”所占的比例，可估算出該方式對應(yīng)的人數(shù)．
解：(1)被調(diào)查的八年級學(xué)生的人數(shù)為6÷40360＝54，非常喜歡有54－18－6＝30(人)，補全條形統(tǒng)計圖如下：
(2)180×200＋120360＝160(人)．
答：該校八年級支持“分組合作學(xué)習(xí)”方式的學(xué)生大約有160人．
方法總結(jié)扇形統(tǒng)計圖是反映各部分占的比例，條形統(tǒng)計圖是反映各部分的具體數(shù)據(jù)，兩個結(jié)合在一起就可求出總數(shù)．解決統(tǒng)計圖表問題，要抓住它們的特點，從中找出有用信息，進(jìn)行綜合分析，作出合理預(yù)測和推斷．
考點三、頻數(shù)分布直方圖
【例3】上海世博園開放后，前往參觀的人非常多.5月中旬的一天某一時段，隨機調(diào)查了部分入園游客，統(tǒng)計了他們進(jìn)園前等候檢票的時間，并繪制成如下圖表．表中“10～20”表示等候檢票的時間大于或等于10min而小于20min，其他類同．
時間分段/min頻數(shù)/人頻率
10～2080.200
20～3014a
30～40100.250
40～50b0.125
50～6030.075
合計c1.000
(1)這里采用的調(diào)查方式是__________；
(2)求表中a，b，c的值，并請補全頻數(shù)分布直方圖；
(3)在調(diào)查人數(shù)里，等候時間少于40min的有__________人；
(4)此次調(diào)查中，中位數(shù)所在的時間段是__________～__________min.
分析：(1)調(diào)查方式分為普查和抽樣調(diào)查兩類，本題采用抽樣調(diào)查；(2)根據(jù)表格可以得出抽樣的總?cè)藬?shù)為c＝8÷0.2＝40(人)，因此b＝40×0.125＝5；a＝14÷40＝0.350；(3)等候時間少于40min的有8＋14＋10＝32(人)；(4)中位數(shù)是處于中間位置的數(shù)，是第20與21兩數(shù)的平均數(shù)：在時間段20～30之間．
解：(1)抽樣調(diào)查
(2)a＝0.350，b＝5，c＝40，頻數(shù)分布直方圖如圖．
(3)32(4)2030
方法總結(jié)頻數(shù)分布直方圖中常用到的結(jié)論：
(1)頻數(shù)＝頻率×數(shù)據(jù)總數(shù)；
(2)各小組頻率之和為1，各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)；
(3)頻數(shù)分布直方圖中小長方形的高之比等于頻數(shù)之比，也是頻率之比．
觸類旁通2某學(xué)校為了了解九年級學(xué)生體能情況，隨機選取30名學(xué)生測試一分鐘仰臥起坐次數(shù)，并繪制了如圖的直方圖，學(xué)生仰臥起坐次數(shù)在25～30之間的頻率為()
A．0.1B．0.17C．0.33D．0.4
[品鑒經(jīng)典考題]
1．(2012湖南郴州)為了解某校2000名師生對我市“三創(chuàng)”工作(創(chuàng)國家園林城市、國家衛(wèi)生城市、全國文明城市)的知曉情況，從中隨機抽取了100名師生進(jìn)行問卷調(diào)查，這項調(diào)查中的樣本是()
A．2000名師生對“三創(chuàng)”工作的知曉情況
B．從中抽取的100名師生
C．從中抽取的100名師生對“三創(chuàng)”工作的知曉情況
D．100
2．(2012湖南張家界)某農(nóng)戶一年的總收入為50000元，如圖是這個農(nóng)戶收入的扇形統(tǒng)計圖，則該農(nóng)戶的經(jīng)濟作物收入為()
A．20000元B．12500元C．15500元D．17500元
3．(2012湖南長沙)某班數(shù)學(xué)科代表小華對本班上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)成績(成績?nèi)≌麛?shù)，滿分為100分)作了統(tǒng)計分析，繪制成如下頻數(shù)、頻率統(tǒng)計表和頻數(shù)分布直方圖，請你根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：
分組49.5～59．559.5～69．569.5～79．579.5～89．589.5～100．5合計
頻數(shù)2a2016450
頻率0.040.160.400.32b1
根據(jù)上述信息，完成下列問題：
(1)頻數(shù)、頻率統(tǒng)計表中，a＝__________，b＝__________；
(2)請將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
(3)小華在班上任選一名同學(xué)，該同學(xué)成績不低于80分的概率是多少？
4．(2012湖南常德)某市把中學(xué)生學(xué)習(xí)情緒的自我調(diào)控能力分為四個等級，即A級：自我調(diào)控能力很強；B級：自我調(diào)控能力較好；C級：自我調(diào)控能力一般；D級：自我調(diào)控能力較差．通過對該市農(nóng)村中學(xué)的初級中學(xué)生學(xué)習(xí)情緒的自我調(diào)控能力的隨機抽樣調(diào)查，得到下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的信息解決下面的問題．
(1)在這次隨機抽樣調(diào)查中，共抽查了多少名學(xué)生？
(2)求自我調(diào)控能力為C級的學(xué)生人數(shù)；
(3)求扇形統(tǒng)計圖中D級所占的圓心角的度數(shù)；
(4)請估計該市農(nóng)村中學(xué)60000名初中學(xué)生中，學(xué)習(xí)情緒自我調(diào)控能力達(dá)B級以上等級的人數(shù)是多少？
5．(2012湖南婁底)學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生對教學(xué)的滿意度，隨機抽取了部分學(xué)生作問卷調(diào)查：用“A”表示“很滿意”，“B”表示“滿意”，“C”表示“比較滿意”，“D”表示“不滿意”，如圖是工作人員根據(jù)問卷調(diào)查統(tǒng)計資料繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答以下問題：
(1)本次問卷調(diào)查，共調(diào)查了多少名學(xué)生？
(2)將圖甲中“B”部分的圖形補充完整；
(3)如果該校有學(xué)生1000人，請你估計該校學(xué)生對教學(xué)感到“不滿意”的約有多少人？
[研習(xí)預(yù)測試題]
1．為了了解某市八年級學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了500名學(xué)生的肺活量，這項調(diào)查中的樣本是()
A．某市八年級學(xué)生的肺活量B．從中抽取的500名學(xué)生的肺活量
C．從中抽取的500名學(xué)生D．500
2．某校開展形式多樣的“陽光體育”活動，七(3)班同學(xué)積極響應(yīng)，全班參與．晶晶繪制了該班同學(xué)參加體育項目情況的扇形統(tǒng)計圖，由圖可知參加人數(shù)最多的體育項目是()
七(3)班同學(xué)參加體育項目情況的扇形統(tǒng)計圖
A．排球B．乒乓球C．籃球D．跳繩
3．株洲市關(guān)心下一代工作委員會為了了解全市初三學(xué)生的視力狀況，從全市30000名初三學(xué)生中隨機抽取了500人進(jìn)行視力測試，發(fā)現(xiàn)其中視力不良的學(xué)生有100人，則可估計全市30000名初三學(xué)生中視力不良的約有()
A．100人B．500人C．6000人D．15000人
4．如圖，反映的是某中學(xué)七(3)班學(xué)生外出乘車、步行、騎車的人數(shù)直方圖(部分)和扇形統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是()
A．七(3)班外出步行的有8人
B．七(3)班外出的共有40人
C．在扇形統(tǒng)計圖中，步行人數(shù)所占的圓心角度數(shù)為82°
D．若該校七年級外出的學(xué)生共有500人，那么估計全年級外出騎車的約有150人
5．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)舉行歌詠比賽，組委會規(guī)定：任何一名參賽選手的成績x滿足：60≤x＜100，賽后整理所有參賽選手的成績?nèi)缦卤恚?/p>
分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率
60≤x＜70300.15
70≤x＜80m0.45
80≤x＜9060n
90≤x＜100200.1
根據(jù)表中提供的信息得到n＝__________.
6．某縣農(nóng)民一直保持著冬種油菜的習(xí)慣，利用農(nóng)閑冬種一季油菜．某縣農(nóng)業(yè)部門對2011年的油菜籽生產(chǎn)成本、市場價格、種植面積和產(chǎn)量等進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了如下統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖：
每畝生產(chǎn)成本每畝產(chǎn)量油菜籽市場價格種植面積
110元130千克3元/千克500000畝
油菜每畝生產(chǎn)成本統(tǒng)計圖
請根據(jù)以上信息解答下列問題：
(1)種植油菜每畝的種子成本是多少元？
(2)農(nóng)民冬種油菜每畝獲利多少元？
(3)2011年該縣全縣農(nóng)民冬種油菜的總獲利多少元？(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示)
參考答案
【知識梳理】
一、3.(1)代表性(2)足夠大
二、1.全體2.每一個3.個體4.數(shù)目
三、1.長方形(1)數(shù)據(jù)(2)差別
2．折線變化趨勢
3．(1)百分比(2)圓心角
四、1.次數(shù)
2．次數(shù)總次數(shù)頻數(shù)頻率
導(dǎo)學(xué)必備知識
自主測試
1．CA．?dāng)?shù)量較大，普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查；
B．?dāng)?shù)量較大，具有破壞性的調(diào)查，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查；
C．事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查；
D．?dāng)?shù)量較大，普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查．
故選C.
2．DA．只有上城區(qū)人口數(shù)都低于40萬，故此選項錯誤；
B．蕭山區(qū)、余杭區(qū)兩個區(qū)的人口超過100萬，故此選項錯誤；
C．上城區(qū)與下城區(qū)的人口數(shù)之和低于江干區(qū)的人口數(shù)，故此選項錯誤；
D．杭州市區(qū)的人口數(shù)已超過600萬，故此選項正確．
故選D.
3．A根據(jù)題意，得要求直觀反映空氣內(nèi)組成情況，即各部分在總體中所占的百分比，結(jié)合統(tǒng)計圖各自的特點，應(yīng)選擇扇形統(tǒng)計圖．
4．27因為100－4－26－43＝27(人)．
探究考點方法
觸類旁通1.D
觸類旁通2.D
品鑒經(jīng)典考題
1．C
2．D50000×35%＝17500(元)．
3．解：(1)80.08
(2)頻數(shù)分布直方圖補充如下：
(3)25
4．解：(1)80÷16%＝500(名)；
(2)500×42%＝210(名)；
(3)360°×90500＝64.8°；
(4)60000×(16%＋24%)＝24000(名)．
5．解：(1)40÷20%＝200(名)，
∴共調(diào)查了200名學(xué)生．
(2)補充圖形如下：
(3)1000×(1－50%－20%－25%)＝50(人)．
∴估計該校學(xué)生對教學(xué)感到“不滿意”的約有50人．
研習(xí)預(yù)測試題
1．B2.C3.C4.C5.0.3
6．解：(1)1－10%－35%－45%＝10%；110×10%＝11(元)．
(2)130×3－110＝280(元)．
(3)280×500000＝140000000＝1.4×108(元)．
初三數(shù)學(xué)方案設(shè)計與決策專題總復(fù)習(xí)
專題六方案設(shè)計與決策
方案設(shè)計與決策在中考中是常見題型．涉及代數(shù)方面的有方程(組)、不等式(組)和函數(shù)兩類；涉及幾何方面的有測量、包裝等．
考向一利用方程(組)或不等式(組)進(jìn)行方案設(shè)計
生活中許多實際問題需借助方程(組)或不等式(組)的求解，不僅如此還需要對方程(組)或不等式(組)的解，進(jìn)行有針對性的分析作出方案設(shè)計與決策．
【例1】(2011湖南永州)某學(xué)校為開展“陽光體育”活動，計劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8∶3∶2，且其單價和為130元．
(1)請問籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價分別是多少元？
(2)若要求購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(副)，羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，且購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副，請問有幾種購買方案？
分析：(1)已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8∶3∶2，且其單價和為130元．可以設(shè)它們的單價分別為8x,3x,2x元，列一元一次方程來解決；(2)根據(jù)購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個(副)，羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍與籃球的關(guān)系，再根據(jù)購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副和不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍這兩個不等關(guān)系列不等式組，求出籃球數(shù)量的范圍，從而制定出方案．
解：(1)因為籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8∶3∶2，所以，可以依次設(shè)它們的單價分別為8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.
所以，籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價分別為80元、30元和20元．
(2)設(shè)購買籃球的數(shù)量為y個，則購買羽毛球拍的數(shù)量為4y副，購買乒乓球拍的數(shù)量為(80－y－4y)副，根據(jù)題意，得80y＋30×4y＋20(80－y－4y)≤3000，80－y－4y≤15，①②
由不等式①，得y≤14，由不等式②，得y≥13.
于是，不等式組的解集為13≤y≤14，
因為y取整數(shù)，所以y只能取13或14.
因此，一共有兩個方案：
方案一，當(dāng)y＝13時，籃球購買13個，羽毛球拍購買52副，乒乓球拍購買15副；
方案二，當(dāng)y＝14時，籃球購買14個，羽毛球拍購買56副，乒乓球拍購買10副．
方法歸納本類型題目主要特點有：(1)當(dāng)利用不等關(guān)系來確定取值范圍時，要結(jié)合不等式的取值范圍來討論；
(2)當(dāng)利用方程來確定取值范圍時，往往利用解的整數(shù)性來解答．
需要說明的是利用方程(組)或不等式(組)進(jìn)行方案設(shè)計常?？山柚淮魏瘮?shù)的性質(zhì)進(jìn)行決策．
考向二利用二次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計
在商業(yè)活動或生產(chǎn)活動過程中常常遇到最優(yōu)化問題．解決此類問題一般可借助二次函數(shù)以及二次函數(shù)的最大(小)值進(jìn)行最優(yōu)方案的選擇或設(shè)計．
【例2】(2011江津)在“五個重慶”建設(shè)中，為了提高市民的宜居環(huán)境，某區(qū)規(guī)劃修建一個文化廣場(平面圖形如圖所示)，其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB，BC，CD，DA邊為直徑向外作半圓，若整個廣場的周長為628米，設(shè)矩形的邊長AB＝y(tǒng)米，BC＝x米．(注：取π＝3.14)
(1)試用含x的代數(shù)式表示y.
(2)現(xiàn)計劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等，平均每平方米造價為428元，在四個半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖，平均每平方米造價為400元；
①設(shè)該工程的總造價為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
②若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計方案，若不能，請說明理由．
③若該工程在政府投入1千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長不超過AB長的三分之二，且建設(shè)廣場恰好用完所有資金，問：能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計方案，若不能，請說明理由．
分析：(1)根據(jù)圓周長列出關(guān)于x，y的等式；(2)①根據(jù)三個區(qū)域的面積和價格標(biāo)準(zhǔn)，列出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②比較二次函數(shù)的最小值與1千萬的大小，給出判斷；③根據(jù)“建設(shè)剛好把政府投入的1千萬與企業(yè)募捐資金64.82萬元剛好用完”列出相應(yīng)的一元二次方程，解出方程的根，根據(jù)長寬的要求進(jìn)行取舍．
解：(1)由題意得πy＋πx＝628.
∵π＝3.14，∴3.14y＋3.14x＝628.
∴x＋y＝200.則y＝200－x.
(2)①w＝428xy＋400πy22＋400πx22＝428x(200－x)＋400×3.14×(200－x)24＋400×3.14×x24＝200x2－40000x＋12560000.
②僅靠政府投入的1千萬元不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)，其理由如下：
由①知w＝200(x－100)2＋1.056×107＞107，
所以不能．
③由題意，得x≤23y，即x≤23(200－x)，解得x≤80.
∴0≤x≤80.
又根據(jù)題意，得w＝200(x－100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.
整理，得(x－100)2＝441，解得x1＝79，x2＝121(不合題意，舍去)．
∴只能取x＝79，則y＝200－79＝121.
∴設(shè)計的方案是：AB長為121米，BC長為79米，再分別以各邊為直徑向外作半圓．
方法歸納利用二次函數(shù)解決方案設(shè)計問題一般地需要先建立二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法，即當(dāng)x＝－b2a時，y有最大(小)值4ac－b24a求得最值．最后要結(jié)合問題情境確定方案．注意有時確定最值時，需要考慮要在x的取值范圍內(nèi)．
考向三利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計與決策
利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計，不僅要有一定的幾何作圖能力，而且要能熟練地運用幾何的有關(guān)性質(zhì)及全等、相似、圖形變換、方程及三角函數(shù)的有關(guān)知識，并注意充分發(fā)揮分類討論、類比歸納、猜想驗證等數(shù)學(xué)思想方法的作用．
【例3】某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備作測量旗桿的數(shù)學(xué)實踐活動，來到旗桿下，發(fā)現(xiàn)旗桿AB頂端A垂下一段繩子ABC如圖1.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，原來制定的一系列測量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的繩子和一根皮尺，在不攀爬旗桿的情況下，測量相關(guān)數(shù)據(jù)，就可以計算出旗桿的高度．
圖1
(1)請你給出具體的測量方案，并寫出推算旗桿高度的過程；
(2)推測這個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的一系列測量旗桿的方案是什么？
分析：針對該問題所提供的情境知道：(1)旗桿垂直于地面；(2)旗桿AB頂端A垂下一段繩子，即繩子比旗桿長出的部分可度量．因此可聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識利用勾股定理探討具體測量方案．
解：(1)測量方案設(shè)計如下：
①測量繩子比旗桿多出的部分BC＝am；
②把繩子ABC拉緊到地面D處如圖2，測量B到D的距離BD＝bm.
圖2
推算過程：設(shè)旗桿的高度為xm，則AD是(x＋a)m.
在直角△ABD中，根據(jù)AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝b2－a22a.
(2)這個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的測量旗桿的方案可能有以下幾個：
圖3圖4
方法歸納關(guān)于物體的測量是一個實際問題，因此必須考慮實際環(huán)境，結(jié)合實際環(huán)境，充分運用所學(xué)知識制定方案，制定方案時要遵循可操作性強、簡單易行原則．第2個問題的測量方案還可有其他的，有興趣的同學(xué)可自行進(jìn)一步探討．對于以上2種測量方案的相關(guān)計算方法，請同學(xué)們自己給出．
一、選擇題
1．小芳家房屋裝修時，選中了一種漂亮的正八邊形地磚．建材店老板告訴她，只用一種八邊形地磚是不能密輔地面的，便向她推薦了幾種形狀的地磚．你認(rèn)為要使地面密鋪，小芳應(yīng)選擇另一種形狀的地磚是()
2．現(xiàn)有球迷150人欲同時租用A，B，C三種型號客車去觀看世界杯足球賽，其中A，B，C三種型號客車載客量分別為50人，30人，10人，要求每輛車必須載滿，其中A型客車最多租2輛，則球迷們一次性到達(dá)賽場的租車方案有()
A．3種B．4種C．5種D．6種
二、填空題
3．某班為籌備運動會，準(zhǔn)備用365元購買兩種運動服，其中甲種運動服20元/套，乙種運動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有__________種購買方案．
4．如圖，點A1，A2，A3，A4是某市正方形道路網(wǎng)的部分交匯點，且它們都位于同一對角線上．某人從點A1出發(fā)，規(guī)定向右或向下行走，那么到達(dá)點A3的走法共有__________．
三、解答題
5．某樓盤一樓是車庫(暫不出售)，二樓至二十三樓均為商品房(對外銷售)．商品房售價方案如下：第八層售價為3000元/米2，從第八層起每上升一層，每平方米的售價增加40元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價減少20元．已知商品房每套面積均為120平方米．開發(fā)商為購買者制定了兩種購房方案：
方案一：購買者先交納首付金額(商品房總價的30%)，再辦理分期付款(即貸款)．
方案二：購買者若一次付清所有房款，則享受8%的優(yōu)惠，并免收五年物業(yè)管理費(已知每月物業(yè)管理費為a元)．
(1)請寫出每平方米售價y(元/米2)與樓層x(2≤x≤23，x是正整數(shù))之間的函數(shù)解析式．
(2)小張已籌到120000元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？
(3)有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認(rèn)為此方案還不如不免收物業(yè)管理費而直接享受9%的優(yōu)惠劃算．你認(rèn)為老王的說法一定正確嗎？請用具體數(shù)據(jù)闡明你的看法．
6．一塊洗衣肥皂長、寬、高分別是16cm,6cm,3cm.一箱肥皂30條，請你為雕牌肥皂廠設(shè)計一種符合下列要求的包裝箱，并使包裝箱所用材料最少．
(1)肥皂裝箱時，相同的面積要互相對接；
(2)包裝箱是一個長方形；
(3)裝入肥皂后不留空隙．
7．如圖，飛機沿水平方向(A，B兩點所在直線)飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離(因安全因素，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離)，請設(shè)計一個求距離MN的方案，要求：
(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；
(2)用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟．
8．知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具有特殊價值的綠色食品．在當(dāng)?shù)厥袌龀鍪蹠r，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝(上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖)．
(1)實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形(寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6)，體積為0.3立方米．
①按方案1(如圖)做一個紙箱，需要矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是多少平方米？
②小明認(rèn)為，如果從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2(如圖)的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優(yōu)，你認(rèn)為呢？請說明理由．
(2)拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進(jìn)一批“野生楊梅”，但他感覺(1)中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半，你認(rèn)為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數(shù)圖象驗證．
紙箱示意圖紙箱展開圖(方案1)
紙箱展開圖(方案2)
備用圖形
參考答案
專題提升演練
1．B正八邊形的內(nèi)角度數(shù)為135°，正三角形一個內(nèi)角度數(shù)為60°，設(shè)密鋪時，一個接縫點周圍有m塊正八邊形，n塊正三角形，則有135m＋60n＝360，通過試根，沒有滿足條件的正整數(shù)m，n的值使方程成立，因此A選項錯誤；依次類推，分別把60°換成90°，120°，經(jīng)過試根，只有90°可以找到滿足條件的正整數(shù)m，n的值使方程成立，因此，選B.
2．B因為A型車最多租用2輛，所以有兩種情況，租用1輛A型車或租用2輛A型車，設(shè)租用B型車x輛，C型車y輛．①租用1輛A型車時，50＋30x＋10y＝150，其正整數(shù)解為x＝1，y＝7，x＝2，y＝4，x＝3，y＝1；②租用2輛A型車時，100＋30x＋10y＝150，其正整數(shù)解為x＝1，y＝2.
綜上所述，共有4種情況．
3．2設(shè)購買甲、乙兩種運動服分別為x套和y套(x，y為正整數(shù))，
依題意，得20x＋35y＝365，
整理，得4x＋7y＝73.
y＝73－4x7＝11－4(x＋1)7≥1.
∵x，y為正整數(shù)，∴x＋1是7的倍數(shù)．
∴73－4x≥7，x＋1＝7k(k為正整數(shù))，解得27≤k≤52，
∴整數(shù)k＝1或2，
∴x＝6，y＝7，或x＝13，y＝3.
4．6種從點A1出發(fā)，先向下走有三種走法，先向右走也有三種走法，共6種．
5．解：(1)1°當(dāng)2≤x≤8時，每平方米的售價應(yīng)為：3000－(8－x)×20＝20x＋2840(元/平方米)．
2°當(dāng)9≤x≤23時，每平方米的售價應(yīng)為：3000＋(x－8)40＝40x＋2680(元/平方米)．
∴y＝20x＋2840(2≤x≤8)，40x＋2680(9≤x≤23)，x為正整數(shù)．
(2)由(1)知：
1°當(dāng)2≤x≤8時，小張首付款為(20x＋2840)12030%＝36(20x＋2840)≤36(208＋2840)＝108000元＜120000元．
∴2～8層可任選．
2°當(dāng)9≤x≤23時，小張首付款為(40x＋2680)12030%＝36(40x＋2680)元．
36(40x＋2680)≤120000，解得：x≤493＝1613.
∵x為正整數(shù)，∴9≤x≤16.
綜上得：小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層．
(3)若按方案二購買第十六層，則老王要實交房款為：y1＝(4016＋2680)12092%－60a(元)．
若按老王的想法則要交房款為：y2＝(4016＋2680)12091%(元)．
∵y1－y2＝3984－60a，
當(dāng)y1＞y2即y1－y2＞0時，解得0＜a＜66.4，此時老王想法正確；
當(dāng)y1≤y2即y1－y2≤0時，解得a≥66.4，此時老王想法不正確．
6．解：方案一：以16×3的面相對連放三塊構(gòu)成底層，再如此放10層，整個表面積為最小值2616cm2；
方案二：以16×3的面相對連放五塊構(gòu)成底層，再如此放6層，整個表面積仍為最小值2616cm2.
7．解：答案不唯一．
(1)如圖，測出飛機在A處對山頂?shù)母┙菫棣?，測出飛機在B處對山頂?shù)母┙菫棣?，測出AB的距離為d，連接AM，BM.
(2)第一步，在Rt△AMN中，tanα＝MNAN，∴AN＝MNtanα；
第二步，在Rt△BMN中，tanβ＝MNBN，∴BN＝MNtanβ；
其中AN＝d＋BN，解得MN＝dtanαtanβtanβ－tanα.
8．解：(1)①設(shè)這個紙箱底面的長為x，則寬為0.6x.
∵x×0.6x×0.5＝0.3，
∴x2＝1，解得x＝1.
由圖示可知，
＝[1＋2×(0.5＋0.5)]×[0.6＋2×(0.5＋0.3)]＝3×2.2＝6.6(平方米)．
②方案2優(yōu)惠．由圖示
可知，h1h1＋1＝0.30.3＋0.8，解得h1＝38.
h2h2＋0.8＝0.50.5＋1，解得h2＝25.
∴＝12×3＋2×38×2.2＋2×25＝12×308×3＝5.625(平方米)．
∵5.625平方米＜6.6平方米，
∴采用方案2優(yōu)惠．
(2)設(shè)現(xiàn)在設(shè)計的紙箱的底面長為x米，寬為y米，
則x＋y＝0.8，xy＝0.3.
即y＝0.8－x和y＝0.3x，其圖象如圖所示．
因為兩個函數(shù)圖象無交點，所以要將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半，水果商的這種要求不能辦到．
