小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案
發(fā)表時間：2021-01-25初三數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與操作專題總復(fù)習(xí)。
專題五實(shí)驗(yàn)與操作
[專題名師解讀]
實(shí)驗(yàn)操作題要求在動手實(shí)踐的基礎(chǔ)上，進(jìn)行探索、猜想，得出結(jié)論．這類題型一方面考查了學(xué)生的實(shí)踐能力，另一方面考查了學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新精神，在命題中越來越受到重視，其形式主要有選擇題、填空題和解答題．
[熱點(diǎn)考向例析]jAB88.com
考向一圖形的展開與折疊問題
折紙是最富有自然情感而又形象的實(shí)驗(yàn)，它的實(shí)質(zhì)是對稱問題，折痕就是對稱軸，而一個點(diǎn)折疊前后的不同位置就是對稱點(diǎn)，“遇到折疊就用對稱”就是運(yùn)用對稱的性質(zhì)：
(1)關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形全等；
(2)對稱軸是對稱點(diǎn)連線的中垂線．
此類題有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性，需要學(xué)生有折疊圖形之間聯(lián)系的空間概念，考查觀察、分析能力與直覺思維能力，通過實(shí)際演示與操作給不同思維層次的學(xué)生都提供了機(jī)會．學(xué)生在解題時也可“就地取材”，剪下草稿紙的一角，動手操作即可解決．
【例1】(2011江蘇徐州)如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序折疊：對折、展平，得折痕EF(如圖①)；沿GC折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處(如圖②)；展平，得折痕GC(如圖③)；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的C′處(如圖④)；沿GC′折疊(如圖⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如圖⑥)．
(1)求圖②中∠BCB′的大??；
(2)圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請說明理由．
分析：(1)先判定△B′BC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)說明∠BCB′的度數(shù)；(2)利用軸對稱性證出G′C＝GC，∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°，再運(yùn)用角的和差關(guān)系證出∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°，根據(jù)“有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形”判斷△GCC′是等邊三角形．
解：(1)連接BB′，由折疊知，EF是線段BC的對稱軸，
∴BB′＝B′C．
又∵BC＝B′C，
∴△B′BC是等邊三角形，
∴∠BCB′＝60°.
(2)由折疊知，GH是線段CC′的對稱軸，
∴G′C＝GC．
根據(jù)題意，GC平分∠BCB′，
∴∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°.
∴∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°.
∴△GCC′是等邊三角形．
方法歸納解決圖形的折疊問題要抓住以下兩點(diǎn)：(1)折疊前后的圖形是全等圖形；(2)折痕就是對稱軸，且垂直平分對稱點(diǎn)的連線．
考向二圖形的分割與拼接
圖形的分割與拼接是中考中常見問題．一般地解答時需要發(fā)揮空間想象力，借助示意圖進(jìn)行研究解答．
【例2】七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，用它可以拼出多種圖形．請你用七巧板中標(biāo)號為①，②，③的三塊板(如圖1)經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)拼成圖形．
(1)拼成矩形，在圖2中畫出示意圖；
(2)拼成等腰直角三角形，在圖3中畫出示意圖．
注意：相鄰兩塊板之間無空隙，無重疊；示意圖的頂點(diǎn)畫在小方格頂點(diǎn)上．
分析：(1)由①③的斜邊疊合在一起，疊出一個正方形，再與②拼成矩形；(2)一個等腰三角形放在正方形上面，另一等腰三角形跟前一個等腰三角形以相同的方向拼在正方形上，即可．
解：(1)(2)參考圖形如下(答案不唯一)
方法歸納在解決圖形的分割與拼接問題時，注意一方面觀察圖形的特點(diǎn)關(guān)系，即線段的關(guān)系、角的關(guān)系；另一方面可借助計(jì)算，必要時需要實(shí)際操作．
考向三利用圖形的分割與拼接進(jìn)行探索研究
大家知道，勾股定理的證明方法多種多樣．大量的方法就是借助拼圖完成的．
【例3】如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是a，b，斜邊長為c和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．
(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖．
(2)證明勾股定理．
分析：(1)用所給的圖形拼圖，這需要同學(xué)們善于動手操作；(2)通過不同的途徑計(jì)算圖的面積，便可證明．
解：方法一：(1)
(2)證明：∵大正方形的面積表示為(a＋b)2，
大正方形的面積也可表示為c2＋4×12ab，
∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2.
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
方法二：(1)
(2)證明：∵大正方形的面積表示為c2，
又可以表示為12ab×4＋(b－a)2，
∴c2＝12ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
∴c2＝a2＋b2.
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
方法歸納在利用拼圖研究勾股定理的證明時，主要借助圖形之間的面積和差關(guān)系和完全平方公式．
[專題提升演練]
一、選擇題
1．如圖，直角三角形紙片ABC的∠C為90°，將三角形紙片沿著圖示的中位線DE剪開，然后把剪開的兩部分重新拼接成不重疊的圖形，下列選項(xiàng)中不能拼出的圖形是()
A．平行四邊形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
2．用若干根相同的火柴棒首尾順次相接圍成一個梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根數(shù)的火柴棒不能圍成梯形的是()
A．5B．6C．7D．8
二、填空題
3．將兩個形狀相同的三角板放置在一張矩形紙片上，按圖示畫線得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀是________．
4．學(xué)剪五角星：如圖，先將一張長方形紙片按圖①的虛線對折，得到圖②，然后將圖②沿虛線折疊得到圖③，再將圖③沿虛線BC剪下△ABC，展開即可得到一個五角星．如果想得到一個正五角星(如圖④)，那么在圖③中剪下△ABC時，應(yīng)使∠ABC的度數(shù)為__________．
三、解答題
5．(1)如圖1，△ABC中，∠C＝90°，請用直尺和圓規(guī)作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形(不寫作法，但須保留作圖痕跡)．
(2)已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖2、圖3所示．請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù)．
圖1圖2圖3
6．閱讀并操作：
如圖①，這是由十個邊長為1的小正方形組成的一個圖形，對這個圖形進(jìn)行適當(dāng)分割(如圖②)，然后拼接成新的圖形(如圖③)．拼接時不重疊、無空隙，并且拼接后新圖形的頂點(diǎn)在所給正方形網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上(網(wǎng)格圖中每個小正方形邊長都為1)．
請你參照上述操作過程，將由圖①所得到的符合要求的新圖形畫在下邊的正方形網(wǎng)格圖中．
(1)新圖形為平行四邊形；
(2)新圖形為等腰梯形．
參考答案
專題提升演練
1．D將小三角形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)可得到矩形，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)可得到等腰梯形，再翻折可得到平行四邊形．
2．B本題屬于實(shí)驗(yàn)操作題，當(dāng)火柴根數(shù)為5,7,8時都能圍成梯形(見下圖)，而當(dāng)火柴根數(shù)為6時不能圍成梯形，故選B.
3．梯形利用矩形對邊平行極易得到∠ABC＝∠DCB，所以四邊形ABCD為梯形．
4．126°由折疊過程可知，∠A＝180°÷5＝36°，而正五角星的每個角為36°，但被折疊了一次，所以36°÷2＝18°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，得∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－36°－18°＝126°.
5．解：(1)如圖，直線CM即為所求．
(2)圖2能畫一條直線分割成兩個等腰三角形，分割成的兩個等腰三角形的頂角分別是132°和84°.圖3不能分割成兩個等腰三角形．
6．解：(1)(2)
精選閱讀
初三數(shù)學(xué)圖表信息專題總復(fù)習(xí)
專題一圖表信息
圖表信息問題主要考查收集信息和處理信息的能力．解答這類問題時要把圖表信息和相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系，要結(jié)合問題提供的信息，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行聯(lián)想、探索、發(fā)現(xiàn)和綜合處理，準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)模型來解決問題．
這種題型命題廣泛，應(yīng)用知識多，是中考的一種新題型，也是今后命題的熱點(diǎn)，考查形式有選擇題、填空題、解答題．
考向一表格信息問題
表格信息問題涉及知識點(diǎn)比較廣泛，主要有統(tǒng)計(jì)、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等．解答時關(guān)鍵要根據(jù)表格提供的信息，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
【例1】2011年4月25日，全國人大常委會公布《中華人民共和國個人所得稅法修正案(草案)》，向社會公開征集意見．草案規(guī)定，公民全月工薪不超過3000元的部分不必納稅，超過3000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算.
級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率
1不超過1500元的部分5%
2超過1500元至4500元的部分10%
3超過4500元至9000元的部分20%
………………
依據(jù)草案規(guī)定，解答下列問題：
(1)李工程師的月工薪為8000元，則他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元？
(2)若某納稅人的月工薪不超過10000元，他每月的納稅金額能超過月工薪的8%嗎？若能，請給出該納稅人的月工薪范圍；若不能，請說明理由．
分析：(1)由于當(dāng)工資為8000元時，應(yīng)該納稅，而且應(yīng)該按照三個級別分別納稅；(2)由于工資為10000元時，要分三種情況進(jìn)行討論：①工資小于等于4500元；②工資大于4500元但小于等于7500元；③工資大于7500元小于10000元．
解：(1)李工程師每月納稅：1500×5%＋3000×10%＋(8000－7500)×20%
＝75＋300＋100＝475(元)
(2)設(shè)該納稅人的月工薪為x元，則
當(dāng)x≤4500時，顯然納稅金額達(dá)不到月工薪的8%.
當(dāng)4500＜x≤7500時，由1500×5%＋(x－4500)×10%8%x，
得x＞18750，不滿足條件．
當(dāng)7500＜x≤10000時，由1500×5%＋3000×10%＋(x－7500)×20%8%x，
解得x＞9375，故9375＜x≤10000.
答：若該納稅人月工薪大于9375元且不超過10000元時，他的納稅金額能超過月工薪的8%.
方法歸納本題涉及的數(shù)學(xué)思想是分類思想．解題時分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
考向二圖象信息問題
圖象信息問題涉及的知識點(diǎn)主要是函數(shù)問題．解答時要注意分析圖象中特殊“點(diǎn)”反映的信息．
【例2】在一條直線上依次有A，B，C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A，B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x(h)后，與B港的距離分別為y1，y2(km)，y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)填空：A，C兩港口間的距離為__________km，a＝__________；
(2)求圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義；
(3)若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍．
分析：根據(jù)函數(shù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)A，B，C三港口位置示意圖如下：
圖象中點(diǎn)P表示當(dāng)甲到達(dá)B港口后再經(jīng)過一段時間，甲、乙二船與B港口的距離相等，因此可以有兩種解法，一種是利用函數(shù)解析式來求交點(diǎn)坐標(biāo)；另一種則是利用追及問題一般方法來解，設(shè)甲船追上乙船時，用了t小時，則可知甲船t小時比乙船多行了30km，由圖容易知道甲、乙兩船的速度分別是60km/h,30km/h，于是可列方程60t＝30t＋30輕松求解．對于第(3)小題，應(yīng)該通過分類討論來解決問題．
解：(1)1202
(2)由點(diǎn)(3,90)求得，y2＝30x.
當(dāng)x＞0.5時，由點(diǎn)(0.5,0)，(2,90)求得y1＝60x－30.
當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，60x－30＝30x，解得x＝1.
此時y1＝y(tǒng)2＝30.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,30)．
該點(diǎn)坐標(biāo)的意義為：兩船出發(fā)1h后，甲船追上乙船，此時兩船離B港的距離為30km.
求點(diǎn)P的坐標(biāo)的另一種方法：
由圖可得，甲的速度為300.5＝60(km/h)，
乙的速度為903＝30(km/h)．
則甲追上乙所用的時間為3060－30＝1(h)．
此時乙船行駛的路程為30×1＝30(km)．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,30)．
(3)①當(dāng)x≤0.5時，由點(diǎn)(0,30)，(0.5,0)求得，y1＝－60x＋30.
依題意，(－60x＋30)＋30x≤10.
解得x≥23，不合題意．
②當(dāng)0.5＜x≤1時，依題意，30x－(60x－30)≤10.
解得x≥23.所以23≤x≤1.
③當(dāng)x＞1時，依題意，(60x－30)－30x≤10.
解得x≤43.所以1＜x≤43.
綜上所述，當(dāng)23≤x≤43時，甲、乙兩船可以相互望見．
方法歸納本題涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．解題的關(guān)鍵是確定三個港口的位置．難點(diǎn)是對P點(diǎn)的含義理解．
考向三圖表綜合問題
圖表綜合問題主要分布于統(tǒng)計(jì)之中．解題時注意將圖表中的信息綜合在一起分析解答．
【例3】某市“希望”中學(xué)為了了解學(xué)生“大間操”的活動情況，在七、八、九年級的學(xué)生中，分別抽取相同數(shù)量的學(xué)生對“你最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目”進(jìn)行調(diào)查(每人只能選一項(xiàng))．調(diào)查結(jié)果的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表(圖)所示，其中七年級最喜歡跳繩的人數(shù)比八年級多5人，九年級最喜歡排球的人數(shù)為10.
七年級學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
項(xiàng)目排球籃球跳繩踢毽其他
人數(shù)/人78146
八年級學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖
九年級學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表(圖)解答下列問題：
(1)本次調(diào)查抽取了多少名學(xué)生？
(2)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，并求出“最喜歡跳繩”的學(xué)生占抽樣總?cè)藬?shù)的百分比；
(3)該校共有學(xué)生1800人，學(xué)校想對“最喜歡踢毽”的學(xué)生每4人提供一個毽子，那么學(xué)校在“大間操”時至少應(yīng)提供多少個毽子？
分析：(1)因?yàn)槿齻€年級都抽取了相同數(shù)量的學(xué)生，所以只需算出一個年級抽取的學(xué)生數(shù)即可；(2)根據(jù)(1)補(bǔ)充完整表格與統(tǒng)計(jì)圖；(3)至少應(yīng)提供的毽子個數(shù)＝該校學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以最喜歡踢毽人數(shù)所占的比例再除以4.
解：(1)10÷20%＝50(人),50×3＝150(人)．
(2)七年級學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
項(xiàng)目排球籃球跳繩踢毽其他
人數(shù)/人7815146
八年級學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖
九年級學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖
“最喜歡跳繩”的學(xué)生占抽樣總?cè)藬?shù)的百分比為22%.
(3)14＋13＋15150×1800÷4＝126(個)．
方法歸納本題考查了統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表及根據(jù)樣本估計(jì)總體，也是考查統(tǒng)計(jì)知識常見題型．解題時讀懂圖表并將圖表信息綜合考慮是關(guān)鍵.
一、選擇題
1．某住宅小區(qū)6月份1日至5日每天用水量變化情況如圖所示，那么這5天平均每天的用水量是()
A．30噸B．31噸C．32噸D．33噸
2．(2011浙江臺州)如圖，反比例函數(shù)y＝mx的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象交于點(diǎn)M，N，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,3)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為－1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程mx＝kx＋b的解為()
A．－3,1B．－3,3C．－1,1D．3，－1
二、填空題
3.上、下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構(gòu)成，主視圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度至少為____________.
4．某村分給小慧家一套價(jià)格為12萬元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3萬元，從第二年起，每年應(yīng)付房款0.5萬元與上一年剩余房款的利息的和．假設(shè)剩余房款年利率為0.4%，小慧列表推算如下：
第一年第二年第三年…
應(yīng)還款(萬元)30.5＋9×0.4%0.5＋8.5×0.4%…
剩余房款(萬元)98.58…
若第n年小慧家仍需還款，則第n年應(yīng)還款__________萬元(n＞1)．
三、解答題
5．2012年5月20日是第23個中國學(xué)生營養(yǎng)日，某校社會實(shí)踐小組在這天開展活動，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況．他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息(如圖)．根據(jù)信息，解答下列問題．
(1)求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量；
(2)若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量；
(3)若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值．
6．如圖①，A，B，C三個容積相同的容器之間有閥門連接，從某一時刻開始，打開A容器閥門，以4升/分的速度向B容器內(nèi)注水5分鐘，然后關(guān)閉，接著打開B容器閥門，以10升/分的速度向C容器內(nèi)注水5分鐘，然后關(guān)閉．設(shè)A，B，C三個容器內(nèi)的水量分別為yA，yB，yC(單位：升)，時間為t(單位：分)．開始時，B容器內(nèi)有水50升，yA，yC與t的函數(shù)圖象如圖②所示．請?jiān)?≤t≤10的范圍內(nèi)解答下列問題：
(1)求t＝3時，yB的值；
(2)求yB與t的函數(shù)關(guān)系式，并在圖②中畫出其函數(shù)圖象；
(3)求yA∶yB∶yC＝2∶3∶4時t的值．
圖①圖②
7．某企業(yè)為重慶計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件．受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格y1(元)與月份x(1≤x≤9，且x取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表：
月份x123456789
價(jià)格y1(元/件)560580600620640660680700720
隨著國家調(diào)控措施的出臺，原材料價(jià)格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格y2(元)與月份x(10≤x≤12，且x取整數(shù))之間存在如圖所示的變化趨勢：
(1)請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出y2與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；
(2)若去年該配件每件的售價(jià)為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其他成本30元，該配件在1至9月的銷售量p1(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整數(shù)),10至12月的銷售量p2(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整數(shù))，求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料價(jià)格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其他成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高a%，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少0.1a%.這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成1至5月的總利潤1700萬元的任務(wù)，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．(參考數(shù)據(jù)：992＝9801，982＝9604,972＝9409,962＝9216,952＝9025)
參考答案
專題提升演練
1．C根據(jù)平均數(shù)公式可得這5天平均每天的用水量是30＋32＋36＋28＋345＝32(噸)．
2．A把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝mx，求得m＝3，所以得y＝3x，再把y＝－1代入y＝3x求得x＝－3，故關(guān)于x的方程mx＝kx＋b的解為x＝－3，或1.
3．431.76cm由圖可知，正六邊形的對角線長為60cm，則其半徑為30cm，邊心距為153cm，故所需膠帶長度至少為153×12＋20×6≈431.76(cm)．
4．0.54－0.002n(填0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%)
關(guān)鍵是要理解付款的方式，第一年還掉3萬元后，第二年付0.5萬元和剩下的9萬元的利息，第三年還0.5萬元和剩下的(9－0.5)萬元的利息，第四年則要還0.5萬元和剩下的(9－2×0.5)萬元的利息，…，所以除了第一年以外，第n年都是要還0.5萬元和剩下的[9－(n－2)0.5]萬元的利息，可列式：0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%，化簡可知第n年應(yīng)還款(0.54－0.002n)萬元．
5．解：(1)400×5%＝20(克)．
答：這份快餐中所含脂肪質(zhì)量為20克．
(2)設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為x克，由題意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，
∴x＝44，∴4x＝176.
答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量為176克．
(3)解法一：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為(380－5y)克，∴4y＋(380－5y)≤400×85%，
∴y≥40，∴380－5y≤180，
∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克．
解法二：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為n克，則n≥(1－85%－5%)×400，∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180，
∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克．
6．解：(1)當(dāng)t＝3時，yB＝50＋4×3＝62(升)．
(2)根據(jù)題意，
當(dāng)0≤t≤5時，yB＝50＋4t.
當(dāng)5＜t≤10時，
yB＝70－10(t－5)＝－10t＋120.
yB與t的函數(shù)圖象如圖所示．
圖②
(3)根據(jù)題意，設(shè)yA＝2x，yB＝3x，yC＝4x.
2x＋3x＋4x＝50＋60＋70.解得x＝20.
∴yA＝2x＝40，yB＝3x＝60，yC＝4x＝80.
由圖象可知，當(dāng)yA＝40時，5≤t≤10，此時yB＝－10t＋120，yC＝10t＋20.
∴－10t＋120＝60，解得t＝6.
10t＋20＝80，解得t＝6.
∴當(dāng)t＝6時，yA∶yB∶yC＝2∶3∶4.
7．解：(1)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝20x＋540，
y2與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y2＝10x＋630.
(2)去年1至9月時，銷售該配件的利潤w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000－50－30－20x－540)
＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋16x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整數(shù))
∵－2＜0,1≤x≤9，∴當(dāng)x＝4時，w最大＝450(萬元)；
去年10至12月時，銷售該配件的利潤w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整數(shù))
當(dāng)10≤x≤12時，∵x＜29，∴自變量x增大，函數(shù)值w減小，
∴當(dāng)x＝10時，w最大＝361(萬元)，∵450＞361，
∴去年4月份銷售該配件的利潤最大，最大利潤為450萬元．
(3)去年12月份銷售量為：－0.1×12＋2.9＝1.7(萬件)，
今年原材料的價(jià)格為：750＋60＝810(元)，
今年人力成本為：50×(1＋20%)＝60(元)，
由題意，得5×[1000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1700，
設(shè)t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝99±940120，
∵972＝9409,962＝9216，而9401更接近9409，
∴9401≈97.
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.
∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.
答：a的整數(shù)值為10.
初三數(shù)學(xué)開放與探索總復(fù)習(xí)
專題三開放與探索
開放探索型問題有條件開放與探索、結(jié)論開放與探索、條件結(jié)論都開放與探索等，這類題目新穎，思考方向不確定，因此比一般綜合題更能考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，從而深受命題者的青睞．題型以填空題、解答題為主．
考向一條件開放問題
條件開放探索問題的特征是缺少確定的條件，所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論直接推出，而滿足結(jié)論的條件往往也是不唯一的．
【例1】如圖，已知AC⊥BD于點(diǎn)P，AP＝CP，請?jiān)黾右粋€條件：使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是__________．
解析：要證明△ABP≌△CDP，已經(jīng)給出了兩個條件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根據(jù)證明兩個三角形全等的判斷方法，可以添加一個條件角或者邊．
答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任選其中一個)
方法歸納解決此類題的方法是：從所給的結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，運(yùn)用所學(xué)的定理，進(jìn)行邏輯推理，從而找出滿足結(jié)論的條件．
考向二結(jié)論開放問題
結(jié)論開放探索問題是給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性．
【例2】(2011廣東河源)如圖1，已知線段AB的長為2a，點(diǎn)P是AB上的動點(diǎn)(P不與A，B重合)，分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．
(1)當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP＝__________.(直接寫結(jié)果)
(2)連接AD，BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC＝α，那么α的大小是否會隨點(diǎn)P的移動而變化？請說明理由．
(3)如圖2，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，此時α的大小是否發(fā)生變化？(只需直接寫出你的猜想，不必證明)
圖1圖2
分析：(1)設(shè)等邊△APC邊長為x，高為32x，則面積為34x2，則等邊△BDP邊長為2a－x，高為32(2a－x)，則面積為34(2a－x)2，
面積之和為S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，這是一個二次函數(shù)的最值問題．
當(dāng)x＝a時，S最?。?2a2.
(2)判別α的大小是否會隨點(diǎn)P的移動而變化，只需計(jì)算∠AQC．
(3)根據(jù)(2)證明過程或直觀可得結(jié)論．
解：(1)a
(2)α的大小不會隨點(diǎn)P的移動而變化．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°.
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB．
∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°－120°＝60°.
(3)此時α的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°.
方法歸納解答本題將等邊三角形的面積用二次函數(shù)表示是解答本題的難點(diǎn)．解答結(jié)論開放性問題常常需要借助直觀或特殊化方法探求．
考向三條件與結(jié)論開放問題
條件、結(jié)論開放探索問題是指條件和結(jié)論都不唯一，此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有開放性，它要求學(xué)生通過自己的觀察和思考，將已知的信息集中進(jìn)行分析，通過這一思維活動揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系．
【例3】(1)如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B，C)上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN.
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)
圖1圖2
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由．
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝__________時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫出答案，不需要證明)
分析：證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在三角形全等．(1)中給出了線段EM，即想提示考生證明△AEM≌△MCN.由題目中的條件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上構(gòu)造出線段AE＝MC，連接ME.進(jìn)一步證明△AEM≌△MCN.(3)是將(1)(2)中特殊問題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等．
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中，∵∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°.
∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°.
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n－2)180°n.
方法歸納解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合已給出的材料借助類比思想進(jìn)行．一般地，解答條件、結(jié)論開放探索問題，即條件和結(jié)論都不確定，首先要認(rèn)定條件和結(jié)論，然后組成一個新的命題并加以證明或判斷．
一、選擇題
1．如圖，在網(wǎng)格中有一個直角三角形(網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度)，若以該三角形一邊為公共邊畫一個新三角形與原來的直角三角形一起組成一個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其他的公共點(diǎn)，新三角形的頂點(diǎn)不一定在格點(diǎn)上，那么符合要求的新三角形有()
A．4個B．6個C．7個D．9個
2．根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象(如圖2)，過點(diǎn)M作PQ∥x軸交圖象于點(diǎn)P，Q，連接OP，OQ.則以下結(jié)論
①x＜0時，y＝2x，
②△OPQ的面積為定值，
③x＞0時，y隨x的增大而增大，
④MQ＝2PM，
⑤∠POQ可以等于90°.
圖1圖2
其中正確的結(jié)論是()
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空題
3．在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．請?jiān)偬砑右粋€條件，使四邊形ABCD是矩形．你添加的條件是__________．(寫出一種即可)
4．若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為__________．(任意給出一個符合條件的值即可)
三、解答題
5．如圖，將△ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點(diǎn)A(如圖1)的位置開始，將△ABC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°α120°)，旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF(如圖2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直徑為8.
圖1圖2備用圖
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②EF的長；③∠AFE的度數(shù)；④點(diǎn)O到EF的距離．其中不變的量是__________(填序號)．
(2)當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．
6．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G，H點(diǎn)，如圖2.
(1)問：始終與△AGC相似的三角形有__________及__________；
(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖2情形說明理由)；
(3)問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？
圖1圖2
7．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE.
(1)求證：四邊形AFCE是菱形；
(2)若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；
(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2＝ACAP？若存在，請說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．
8．已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx－3的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)．
(1)求b的值，并寫出當(dāng)1＜x≤3時y的取值范圍．
(2)設(shè)點(diǎn)P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在這個二次函數(shù)的圖象上．
①當(dāng)m＝4時，y1，y2，y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由．
②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．
參考答案
專題提升演練
1．C以較短的直角邊為公共邊可以畫三個符合要求的三角形，以較長的直角邊為公共邊也可以畫三個符合要求的三角形，以斜邊為公共邊也可以畫一個符合要求的三角形，這樣可以畫七個符合要求的三角形，故選C.
2．B根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－2x(x0)，4x(x0)，易知①錯誤；∵PQ∥x軸，∴點(diǎn)P在y＝－2x上，∴S△POM＝12×OM×PM＝12|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正確；當(dāng)x＞0時，y＝4x，y隨x的增大而減小，∴③錯誤；設(shè)OM＝a，當(dāng)y＝a時，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2a，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4a，則PM＝2a，MQ＝4a，則MQ＝2PM，∴④正確；當(dāng)點(diǎn)M在y軸的正半軸上由下向上運(yùn)動時，∠POQ由180°逐漸變小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正確．
3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，寫出一種即可)由已知條件AB＝DC，AD＝BC，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再要使ABCD是矩形，根據(jù)判定矩形的方法，只需有一個角為直角的平行四邊形即為矩形，或者對角線相等的平行四邊形是矩形，所以可添的條件為角是直角或?qū)蔷€相等．
4．答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等由于這個方程有實(shí)數(shù)根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.
5．解：(1)①②④
(2)α＝90°.依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝12AC＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83.
6．解：(1)△HGA△HAB
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，
∴CGAB＝ACBH，即x9＝9y，
∴y＝81x.
(3)由(1)知△AGC∽△HGA.
∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．
有兩種情況，(1)CG為底，AC＝AG時，得AG＝9，此時CG等于92，(2)CG為腰，CG＝AG時，此時CG＝922.
7．解：(1)證明：由折疊可知EF⊥AC，AO＝CO.
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四邊形AFCE是菱形．
(2)由(1)得AF＝AE＝10.
設(shè)AB＝a，BF＝b，得
a2＋b2＝100①，ab＝48②.
①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一負(fù)值舍去)．
∴△ABF的周長為24cm.
(3)存在，過點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合題意．
證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP.
∴AOAE＝AEAP，得AE2＝AOAP，即2AE2＝2AOAP.
又AC＝2AO，
∴2AE2＝ACAP.
8．解：(1)把點(diǎn)P代入二次函數(shù)解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.
所以二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3.
當(dāng)x＝1時，y＝－4，當(dāng)x＝3時，y＝0，
所以當(dāng)1＜x≤3時，y的取值范圍為－4＜y≤0.
(2)①m＝4時，y1，y2，y3的值分別為5,12,21，
由于5＋12＜21，不能成為三角形的三邊長．
②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時，由圖象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分別為m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，當(dāng)m不小于5時成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．
所以當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長．
初三數(shù)學(xué)閱讀與理解專題復(fù)習(xí)
專題二閱讀與理解
閱讀理解題是近年來中考的常見題型．它由兩部分組成：一是閱讀材料；二是考查內(nèi)容．它要求學(xué)生根據(jù)閱讀獲取的信息回答問題，提供的閱讀材料主要包括：一個新的數(shù)學(xué)概念的形成和應(yīng)用過程，或一個新數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，或提供新聞背景材料等．考查內(nèi)容既有考查基礎(chǔ)的，又有考查自學(xué)能力和探索能力等綜合素質(zhì)的．解答這類題關(guān)鍵是理解閱讀材料的實(shí)質(zhì)，把握方法、規(guī)律，然后加以解決．閱讀理解題是近幾年考試的熱點(diǎn)，出現(xiàn)形式多樣．
考向一新知學(xué)習(xí)型問題
新知學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個新知識(通常是新概念或新公式)，通過閱讀題目提供的材料，從中獲取新知識，通過對新知識的理解來解決題目提出的問題，其主要目的是考查學(xué)生的自學(xué)能力及對新知識的理解與運(yùn)用能力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．
【例1】(2011北京)在下表中，我們把第i行第j列的數(shù)記為ai，j(其中i，j都是不大于5的正整數(shù))，對于表中的每個數(shù)ai，j，規(guī)定如下：當(dāng)i≥j時，ai，j＝1；當(dāng)ij時，ai，j＝0.例如：當(dāng)i＝2，j＝1時，ai，j＝a2,1＝1.按此規(guī)定，a1,3＝__________；表中的25個數(shù)中，共有__________個1；計(jì)算a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5的值為__________.
a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5
a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5
a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5
a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5
a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5
解析：a1,3＝0；25個數(shù)中共有1＋2＋3＋4＋5＝15個1，如表．
10000
11000
11100
11110
11111
因?yàn)閍1,1ai,1＝1，a1,2，a1,3，a1,4，a1,5都等于0，所以a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5＝1.
答案：0151
方法歸納根據(jù)題目的規(guī)定把有關(guān)字母用數(shù)表示出來，再根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．本題難點(diǎn)是不能根據(jù)規(guī)則把表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不能很好的理解所求式，未能利用任何數(shù)與0相乘均得0.
考向二探索歸納型問題
這是一類將閱讀理解與探索猜想結(jié)合在一起的新型考題，其特點(diǎn)是要求學(xué)生從給出的特殊條件中，通過閱讀、理解、分析，歸納出一般規(guī)律．
【例2】(2011廣東珠海)閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把部分a＋b2的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．
分析：(1)將(m＋n3)2展開得m2＋3n2＋2mn3，因?yàn)閍＋b3＝(m＋n3)2，所以a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，根據(jù)恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根據(jù)(1)中a，b和m，n的關(guān)系式，取得的值滿足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)將(m＋n3)2展開，由(1)可知a，m，n滿足a＝m2＋3n2，4＝2mn，再利用a，m，n均為正整數(shù)，2mn＝4，判斷出m，n的值，分類討論，得出a的值．
解：(1)m2＋3n22mn(2)4211(答案不唯一)
(3)根據(jù)題意得a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∵2mn＝4，且m，n為正整數(shù)，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝13或7.
方法歸納通過閱讀，理解式子之間的關(guān)系，找到內(nèi)在的規(guī)律，寫出關(guān)系式，問題可獲解決．
考向三方法模仿型問題
方法模仿型閱讀理解題，是指材料先給出一道題目的解答方法或解題過程，要求模仿這一方法來解決同類型或者類似的問題．
【例3】(2011北京)閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題，如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，AD＋BC的長度為三邊長的三角形的面積．
圖1圖2
小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計(jì)算其面積即可．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題．他的方法是過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長線于點(diǎn)E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的長度為三邊長的三角形(如圖2)．
請你回答：圖2中△BDE的面積等于__________．
參考小偉同學(xué)的思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，△ABC的三條中線分別為AD，BE，CF.
圖3
(1)在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形(保留畫圖痕跡)；
(2)若△ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于__________．
分析：本題利用平移對角線完成梯形和三角形面積之間的轉(zhuǎn)化，從而得到△BDE的面積為1；對于(1)過點(diǎn)A，C分別作BC，AD的平行線，交點(diǎn)為P，連接EP，△CFP即為所求；(2)由作圖知四邊形APCD，PEBF為平行四邊形，所以BE＝PF.根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，可得S△DEC＝S△PEC，S△DEC＝S△FEC，S△AEF＝S△PEF，S△DEC＝S△AEF＝14S△ABC，S△PFC＝34S△ABC＝34.
解：△BDE的面積等于1.
(1)如圖．
以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形是△CFP.
(2)以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于34.
方法歸納本題通過平行線構(gòu)造平行四邊形實(shí)現(xiàn)線段等值轉(zhuǎn)化，涉及到的知識點(diǎn)有三角形中位線平行且等于底邊的一半及等底等高的三角形的面積相等．解題的難點(diǎn)是由于線段較多，不能從復(fù)雜圖形中分解出較簡單的圖形．
一、選擇題
1．對點(diǎn)(x，y)的一次操作變換記為P1(x，y)，定義其變換法則如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且規(guī)定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n為大于1的整數(shù))．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．則P2011(1，－1)＝()
A．(0,21005)B．(0，－21005)C．(0，－21006)D．(0,21006)
2．在快速計(jì)算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”算法是完全一樣的，而后面“六到九”的運(yùn)算就改用手勢了．如計(jì)算8×9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，兩只手伸出手指數(shù)的和為7，未伸出手指數(shù)的積為2，則8×9＝10×7＋2＝72.那么在計(jì)算6×7時，左、右手伸出的手指數(shù)應(yīng)該分別為()
A．1,2B．1,3C．4,2D．4,3
3．一個平面封閉圖形內(nèi)(含邊界)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑之比稱為圖形的“周率”，下面四個平面圖形(依次為正三角形、正方形、正六邊形、圓)的周率從左到右依次記為a1，a2，a3，a4，則下列關(guān)系中正確的是()
A．a(chǎn)4a2a1B．a(chǎn)4a3a2C．a(chǎn)1a2a3D．a(chǎn)2a3a4
4．定義：平面內(nèi)的直線l1與l2相交于點(diǎn)O，對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l1，l2的距離分別為a，b，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(a，b)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，距離坐標(biāo)為(2,3)的點(diǎn)的個數(shù)是()
A．2B．1C．4D．3
5．定義一種“十位上的數(shù)字比個位、百位上的數(shù)字都要小”的三位數(shù)叫做“V數(shù)”．如“947”就是一個“V數(shù)”．若十位上的數(shù)字為2，則從1,3,4,5中任選兩數(shù)，能與2組成“V數(shù)”的概率是()
A．14B．310C．12D．34
二、填空題
6．若記y＝f(x)＝x21＋x2，其中f(1)表示當(dāng)x＝1時y的值，即f(1)＝121＋12＝12；f12表示當(dāng)x＝12時y的值，即f12＝1221＋122＝15；…；則f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2011)＋f12011＝__________.
7．對實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算★如下：a★b＝ab(ab，a≠0)，a－b(a≤b，a≠0).
例如2★3＝2－3＝18.計(jì)算[2★(－4)]×[(－4)★(－2)]＝__________.
三、解答題
8．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝底邊腰＝BCAB.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
(1)sad60°＝__________.
(2)對于0°A180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是__________．
(3)如圖②，已知sinA＝35，其中∠A為銳角，試求sadA的值．
圖①圖②
9．閱讀材料：
我們經(jīng)常通過認(rèn)識一個事物的局部或其特殊類型，來逐步認(rèn)識這個事物．比如我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形(繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等)來逐步認(rèn)識四邊形．
我們對課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學(xué)知識．
請解決以下問題：
(1)如圖，我們把滿足AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”，寫出“箏形”的兩個性質(zhì)(定義除外)；
(2)寫出“箏形”的兩個判定方法(定義除外)并選出一個進(jìn)行證明．
參考答案
專題提升演練
1．D根據(jù)定義的變換法則P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，從而找出其規(guī)律：P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此P2011(1，－1)＝(0,21006)．
2．A由題意，在計(jì)算8×9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，3＝8－5,4＝9－5，所以在計(jì)算6×7時，左手伸出6－5＝1根手指，右手伸出7－5＝2根手指．
3．B設(shè)正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為a，b，c，設(shè)圓的直徑為d，則
正三角形正方形正六邊形圓
圖形的邊長(直徑)abcd
圖形的“直徑”a2b
2cd
圖形的周長3a4b6cπd
圖形的“周率”a1＝3a2＝22
a3＝3a4＝π
從上表可看出a4＞a3＞a2，故本題選B.
4．C5.C
6．201012本題是找規(guī)律的題目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝910，f13＝110.由此可以發(fā)現(xiàn)：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此類推，f(2011)＋f12011＝1，共有2010個1，所以，答案是201012.
7．1原式＝2－4×(－4)2＝116×16＝1.
8．解：(1)1
(2)0＜sadA＜2
(3)設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a.
如圖，在AC延長線上取點(diǎn)D使AD＝AB＝5a，連接BD.則CD＝a.
BD＝CD2＋BC2＝a2＋(3a)2＝10a.
∴sadA＝BDAD＝105.
9．解：(1)性質(zhì)1：只有一組對角相等(或者∠B＝∠D，∠A≠∠C)；性質(zhì)2：只有一條對角線平分對角．
性質(zhì)有如下參考選項(xiàng)：
性質(zhì)3：兩條對角線互相垂直，其中只有一條被另一條平分；
性質(zhì)4：兩組對邊都不平行．
(2)判定方法1：只有一條對角線平分對角的四邊形是“箏形”．
判定方法2：兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是“箏形”．
判定方法的條件有如下參考選項(xiàng)：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝AD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法5：AC⊥BD，AB＝AD，∠A≠∠C.
判定方法1的證明：
已知：在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠A和∠C，對角線BD不平分∠B和∠D.
求證：四邊形ABCD為“箏形”．
證明：∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，AB＝AD，CB＝CD.①
易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC.②
由①②知四邊形ABCD為“箏形”．
