一元二次方程高中教案

一元二次方程導(dǎo)學(xué)案。

第1課時(shí)一元二次方程
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，會(huì)把一個(gè)一元二次方程化為一般形式；
3．會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；
4．理解一元二次方程根的概念．
二、知識(shí)回顧1．多項(xiàng)式3x2y-2x-1是三次二項(xiàng)式，其中最高次項(xiàng)是3x2y，二次項(xiàng)系數(shù)為0，一次項(xiàng)系數(shù)為-2，常數(shù)項(xiàng)是-1．
2．含有未知數(shù)的等式叫方程，我們學(xué)過的方程類型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．
三、新知講解1．一元二次方程的概念
等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
概念解讀：（1）等號(hào)兩邊都是整式；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2．三個(gè)條件缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；
bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
概念解讀：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要組成部分.如果明確了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件；
（2）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的，各項(xiàng)的系數(shù)包括它前面的符號(hào)．
3．一元二次方程的根的概念
使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．
概念解讀：（1）一元二次方程可能無解，但是有解就一定有兩個(gè)解；（2）可用代入法檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的解．
四、典例探究

1．根據(jù)定義判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程
【例1】（2015浠水縣校級(jí)模擬）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2+2x﹣y=3B．C．（3x2﹣1）2﹣3=0D．x2﹣8=x
總結(jié)：一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：
是整式方程；
含有一個(gè)未知數(shù)；
未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
二次項(xiàng)系數(shù)不為0.
練1（2015科左中旗校級(jí)一模）關(guān)于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求當(dāng)a=時(shí)，方程是一元二次方程；當(dāng)a=時(shí)，方程是一元一次方程．

2．把一元二次方程化成一般形式（寫出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)）
【例2】（2014秋忠縣校級(jí)期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．
總結(jié)：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）
（1）特別要注意a≠0的條件；
（2）在一般形式中，ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)，其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
練2將方程x(x-1)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)．

練3（2014東西湖區(qū)校級(jí)模擬）將一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次項(xiàng)系數(shù)是4，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．5，81B．5，﹣81C．﹣5，81D．5x，﹣81

3．根據(jù)一元二次方程的根求參數(shù)
【例3】（2015臨淄區(qū)校級(jí)模擬）若0是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，則m的值為（）
A．1B．0C．1或2D．2
總結(jié)：
使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能無解，但是有解就一定有兩個(gè)解.
可用代入法檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一個(gè)解，將這個(gè)解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母參數(shù).
若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母參數(shù)，求出的字母參數(shù)值要保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0.這一步容易被忽略，謹(jǐn)記.
練4（2014綿陽模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，則a=．
練5（2015綿陽）關(guān)于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一個(gè)根為2，則n2+n﹣2=．
五、課后小測(cè)一、選擇題
1．（2015春莒縣期中）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）
A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．x+y=2C．x2+3y﹣5=0D．x2﹣1=0
2．（2014泗縣校級(jí)模擬）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．（2014秋沈丘縣校級(jí)期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)≠3
C．a(chǎn)≠1且b≠﹣1D．a(chǎn)≠3且b≠﹣1且c≠0
4．（2015石河子校級(jí)模擬）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（）
A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，2
5．（2015石河子校級(jí)模擬）關(guān)于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一個(gè)根是1，則m的值是（）
A．0B．﹣C．D．0或，
6．（2014祁陽縣校級(jí)模擬）已知x=3是關(guān)于方程3x2+2ax﹣3a=0的一個(gè)根，則關(guān)于y的方程y2﹣12=a的解是（）
A．B．﹣
C．±D．以上答案都不對(duì)
7．（2014秋南昌期末）關(guān)于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一個(gè)根為（）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
二、填空題
8．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．
9．（2014秋西昌市校級(jí)期中）方程2x2﹣1=的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．
10．（2015廈門校級(jí)質(zhì)檢）若m是方程x2﹣2x=2的一個(gè)根，則2m2﹣4m+2010的值是．
三、解答題
11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
（1）5x2=3x；
（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；
（3）（7x﹣1）2﹣3=0；
（4）（﹣1）（+1）=0；
（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．

12．（2015春亳州校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．

13．（2015春嵊州市校級(jí)月考）已知，下列關(guān)于x的一元二次方程
（1）x2﹣1=0（2）x2+x﹣2=0（3）x2+2x﹣3=0…（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜測(cè)方程（n）的根．
（2）請(qǐng)指出上述幾個(gè)方程的根有什么共同特點(diǎn)，寫出一條即可．

14．關(guān)于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為多少．

典例探究答案：
【例1】【解析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．
由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．
解：A、方程含有兩個(gè)未知數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是整式方程，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合一元二次方程的定義，故選項(xiàng)正確．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
練1．【解析】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義進(jìn)行解答．
解：依題意得，a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
即當(dāng)a=﹣1時(shí)，方程是一元二次方程．
當(dāng)a2+1=0或a﹣1=0即a=1時(shí)，方程是一元一次方程．
故答案是：﹣1；1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程和一元一次方程的定義．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
【例2】【解析】將方程整理為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是8，常數(shù)項(xiàng)是﹣2．
故答案為：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2
點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在解題過程中容易忽視的地方．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
練2．【解析】將一元二次方程化為一般形式，主要包括幾個(gè)步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)．
去括號(hào)，得x2-x=5x－10.
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，
得x2-6x＋10=0．
其中二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)為-6，常數(shù)項(xiàng)為10．
練3．【解析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件，其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，可得答案．
解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式為4x2+5x﹣81=0，
二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為4，5，﹣81，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
【例3】【解析】把方程的一個(gè)根0直接代入方程即可求出m的值．
解：∵0是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，
∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是直接把方程的一根代入方程，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．
練4．【解析】將一根0代入方程，再依據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零，問題可求．
解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0，即a=±1；
∵a+1≠0，∴a≠﹣1；
∴a=1．
練5．【解析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到4n﹣2n2﹣2=0，兩邊除以2n得n+=2，再利用完全平方公式變形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案為：26．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了代數(shù)式的變形能力．

課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．【解析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷．
解：A、當(dāng)a=0時(shí)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，它屬于二元一次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，它屬于二元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
2．【解析】直接根據(jù)一元二次方程的定義可得到在所給的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．
解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程．
3．【解析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
解：根據(jù)一元二次方程的定義中二次項(xiàng)系數(shù)不為0得，a﹣3≠0，a≠3．故選：B．
點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．當(dāng)a=0時(shí)，上面的方程就不是一元二次方程了，當(dāng)b=0或c=0時(shí)，上面的方程在a≠0的條件下，仍是一元二次方程，只不過是不完全的一元二次方程．
4．【解析】a、b、c分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．
解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分別是1、﹣3、10；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．

5．【解析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是把x的值代入原方程，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)的一元二次方程，然后求解．
6．【解析】由于x=3是關(guān)于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一個(gè)根，根據(jù)方程解的含義，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出關(guān)于y的方程的解．
解：∵x=3是關(guān)于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一個(gè)根，
∴3×32+2a×3﹣3a=0，
解得：a=﹣9，
則關(guān)于y的方程是y2﹣12=﹣9，
解得y=．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程解的含義，解題的關(guān)鍵是確定方程中待定系數(shù)的值．
7．【解析】分別把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，當(dāng)k為任意值時(shí)，則對(duì)應(yīng)的x的值一定為方程的解．
解：A、當(dāng)x=1時(shí)，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一個(gè)根為1，所以A選項(xiàng)正確；
B、當(dāng)x=﹣1時(shí)，k+2+k﹣2=0，所以當(dāng)k=0時(shí)，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個(gè)根為﹣1，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、當(dāng)x=2時(shí)，4k+8﹣2k﹣2=0，所以當(dāng)k=﹣3時(shí)，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個(gè)根為2，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)x=﹣2時(shí)，4k+8+2k﹣2=0，所以當(dāng)k=﹣1時(shí)，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個(gè)根為﹣2，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
二、填空題
8．【解析】根據(jù)一元二次方程的定義得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．
解：根據(jù)題意得m﹣2≠0，
所以m≠2．
故答案為：m≠2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣，常數(shù)項(xiàng)是﹣1．
點(diǎn)評(píng)：要確定一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，首先要把法方程化成一般形式．注意在說明二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一定要帶上前面的符號(hào)
10．【解析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2﹣2m=2，再變形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
解：根據(jù)題意得m2﹣2m=2，
所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．
故答案為2014．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
三、解答題
11．【解析】各項(xiàng)方程整理后，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為5，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣3，常數(shù)項(xiàng)為0；
（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，常數(shù)項(xiàng)為﹣3；
（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為49，一次項(xiàng)為﹣14，常數(shù)項(xiàng)為﹣2；
（4）方程整理得：x2﹣1=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為﹣1；
（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為11，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣4，常數(shù)項(xiàng)為﹣5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
12．【解析】（1）首先利用關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0得出m2﹣3m+2=0，進(jìn)而得出即可；
（2）分別將m的值代入原式求出即可．
解：（1）∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值為1或2；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
當(dāng)m=1時(shí)，5x=0，
解得x=0．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解法，正確解一元二次方程是解題關(guān)鍵．
13．【解析】（1）利用因式分解法分別求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根據(jù)以上3個(gè)方程的根，可猜測(cè)方程（n）的根；
（2）觀察即可得出上述幾個(gè)方程都有一個(gè)公共根是1．
解：（1）（1）x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1；
（2）x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；
（3）x2+2x﹣3=0，
（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=1；
…
猜測(cè)方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根為x1=﹣n，x2=1；
（2）上述幾個(gè)方程都有一個(gè)公共根是1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．
14．【解析】令y=1，即可確定出方程的二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和．
解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，
則方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．

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一元二次方程

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。教案課件工作計(jì)劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會(huì)更加好！你們會(huì)寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《一元二次方程》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第二十二章一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學(xué)目標(biāo)
1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會(huì)一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：
1．一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。
難點(diǎn)：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用
課時(shí)安排
本章教學(xué)時(shí)約需課時(shí)，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時(shí)
22．2降次7課時(shí)
22．3實(shí)際問題與一元二次方程3課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)
22.1一元二次方程
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程的定義．
難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）
學(xué)過的幾類方程是
沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．
【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
課堂練習(xí)P271、2題
歸納總結(jié)
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡(jiǎn)形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習(xí)題22.11、2題．
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項(xiàng)是,一次項(xiàng)是,常數(shù)項(xiàng)是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時(shí)
直接開平方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．
難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識(shí)，請(qǐng)學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識(shí)，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項(xiàng)，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習(xí)：P281、2
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習(xí)題22.14、6題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實(shí)根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對(duì)于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:
D.當(dāng)c=0時(shí),
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思

一元二次方程學(xué)案

一元二次方程的解法導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接開平方法
2、會(huì)用直接開平方法解一元二次方程
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)用直接開平方法解一元二次方程
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解直接開平方法與平方根的定義的關(guān)系
教學(xué)過程
一、情境引入：
1.我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)?
如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。記作x=，即x=或x=。
如：9的平方根是±3，的平方根是
平方根有下列性質(zhì)：
(1)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)的；
(2)零的平方根是零；
(3)負(fù)數(shù)沒有平方根。
2如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
二、探究學(xué)習(xí)：
1．嘗試：
（1）根據(jù)平方根的意義，x是4的平方根，∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）為：x1=2，x2=－2
（2）移項(xiàng)，得x2=2
根據(jù)平方根的意義，x就是2的平方根，∴x=
即此一元二次方程的解（或根）為：x1=，x2=
2．概括總結(jié)．
什么叫直接開平方法？
像解x2=4，x2-2=0這樣，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。
說明：運(yùn)用“直接開平方法”解一元二次方程的過程，就是把方程化為形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根據(jù)平方根的意義求解
3.概念鞏固：
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接開平方法求解，且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m、n必須滿足的條件是（）
A.n=0B.m、n異號(hào)C.n是m的整數(shù)倍D.m、n同號(hào)
4.典型例題：
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移向，得x2=1.21（2）移向，得4x2=1
∵x是1.21的平方根兩邊都除以4，得x2=
∴x=±1.1∵x是的平方根
即x1=1.1，x2=-1.1∴x=
即x1=，x2=
例2解下列方程：
⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0
⑶12（3－2x）2－3=0
分析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個(gè)整體，就可以運(yùn)用直接開平方法求解；第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可。
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1=
即x1=-1+，x2=-1-
（2）移項(xiàng)，得（x-1）2=4
∵x-1是4的平方根
∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
(3)移項(xiàng)，得12（3-2x）2=3
兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25
∵3-2x是0.25的平方根
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1=，x2=
例3解方程(2x－1)2=(x－2)2
分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同樣可以用直接開平方法求解
解：2x-1=
即2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
5.探究：（1）能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點(diǎn)？
如果一個(gè)一元二次方程具有（x＋h）2=k（k≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解。
（2）用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數(shù)的一個(gè)完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，然后用平方根的概念求解
(3)任意一個(gè)一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請(qǐng)舉例說明
6.鞏固練習(xí)：
（1）下列解方程的過程中，正確的是（）
①x2=-2,解方程，得x=±
②(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
③4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,x1=;x2=
④(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4
（2）解下列方程：
①x2=16②x2-0.81=0③9x2=4④y2-144=0
（3）解下列方程：
①（x-1）2=4②（x+2）2=3
③（x-4）2-25=0④（2x+3）2-5=0
⑤（2x-1）2=（3-x）2
（4）一個(gè)球的表面積是100cm2，求這個(gè)球的半徑。（球的表面積s=4R2，其中R是球半徑）
三、歸納總結(jié)：
1、不等關(guān)系在日常生活中普遍存在.
2、用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式.
3、列不等式表示不等關(guān)系.

4.2一元二次方程的解法（1）
【課后作業(yè)】
班級(jí)姓名學(xué)號(hào)
1、用直接開平方法解方程（x＋h）2=k，方程必須滿足的條件是（）
A．k≥oB．h≥oC．hk＞oD．k＜o(jì)
2、方程（1-x）2=2的根是（）
A.-1、3B.1、-3C.1-、1+D.-1、+1

3、解下例方程

（1）36－x2＝0；(2)4x2=9（3）3x2－＝0(4)(2x+1)2-3=0

(5)81(x-2)2=16；(6)(2x－1)2=(x－2)2(7)=0(a≥0)(8)(ax+c)2=d(a≠0,d≥0)
4.便民商店1月份的利潤(rùn)是2500元，3月份的利潤(rùn)為3025元，這兩個(gè)月利潤(rùn)的平均月增長(zhǎng)的百分率是多少？