小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

中考數(shù)學(xué)操作型問(wèn)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)。

初三第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題二：操作型問(wèn)題

【知識(shí)梳理】

操作型問(wèn)題主要借助三角板、紙片等工具進(jìn)行圖形的折與展、割與補(bǔ)、平移與旋轉(zhuǎn)等變換，通過(guò)動(dòng)手操作和理性的思考，考查學(xué)生的空間想象、推理和創(chuàng)新能力。

解決這類(lèi)問(wèn)題需要通過(guò)觀察、操作、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等實(shí)踐活動(dòng)和思維過(guò)程，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問(wèn)題．關(guān)鍵是抓住圖形變化中的不變性。

【課前預(yù)習(xí)】

1、如圖，在一張△ABC紙片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開(kāi)，計(jì)劃拼出以下四個(gè)圖形：①鄰邊不等的矩形；②等腰梯形；③有一個(gè)角為銳角的菱形；④正方形，以上圖形一定能被拼成的有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2．如圖，如果將矩形紙沿虛線①對(duì)折后，沿虛線②剪開(kāi)，剪出一個(gè)直角三角形，展開(kāi)后得到一個(gè)等腰三角形，那么展開(kāi)后三角形的周長(zhǎng)是()

A．2＋B．2＋2C．12D．18

3．將兩個(gè)形狀相同的三角尺放置在一張矩形紙片上，按如圖所示畫(huà)線得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀是_______．[述職報(bào)告之家 Ys575.coM]

【例題精講】

例1、動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如圖①所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為_(kāi)_____．

例2、如圖，在一塊正方形ABCD木板上需貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價(jià)分別為每平方米60元、80元、40元．

【探究1】如果木板邊長(zhǎng)為2米，F(xiàn)C＝1米，則一塊木板用墻紙的費(fèi)用需________元；

【探究2】如果木板邊長(zhǎng)為1米，求一塊木板需用墻紙的最省費(fèi)用；

【探究3】設(shè)木板的邊長(zhǎng)為a(a為整數(shù))，當(dāng)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，墻紙費(fèi)用最??？如果用這樣的多塊木板貼一堵墻(7×3平方米)進(jìn)行裝飾，要求每塊木板A型的墻紙不超過(guò)1平方米，且盡量不浪費(fèi)材料，則需要這樣的木板多少塊？

例3、如下圖，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片如圖②，量得它們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角形紙片擺成如圖③的形狀，使點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合(在圖③至圖⑥中統(tǒng)一用F表示)．

小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．

(1)將圖③中的△ABF沿BD向右平移到圖④的位置，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，請(qǐng)你求出平移的距離．

(2)將圖③中的△ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°到圖⑤的位置，A1F交DE于點(diǎn)G，請(qǐng)你求出線段FG的長(zhǎng)度．

(3)將圖③中的△ABF沿直線AF翻折到圖⑥的位置，AB1交DE于點(diǎn)H，請(qǐng)證明：AH＝DH.

例4．如圖所示，有一張長(zhǎng)為5，寬為3的矩形紙片ABCD，要通過(guò)適當(dāng)?shù)募羝矗玫揭粋€(gè)與之面積相等的正方形．

(1)該正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____(結(jié)果保留根號(hào))；

(2)現(xiàn)要求只能用兩條裁剪線，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種裁剪的方法，在圖中畫(huà)出裁剪線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明剪拼的過(guò)程．

【鞏固練習(xí)】

1、七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，用它可以拼出多種圖形．請(qǐng)你用七巧板中標(biāo)號(hào)為①②③的三塊板（如圖①）經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)拼成圖形．

(1)拼成矩形，在圖②中畫(huà)出示意圖；

(2)拼成等腰直角三角形．在圖③中畫(huà)出示意圖．

注意：相鄰兩塊板之間無(wú)空隙，無(wú)重疊；示意圖的頂點(diǎn)畫(huà)在小方格的頂點(diǎn)上．

2、如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.

(1)實(shí)踐與操作:利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母

(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)．

①作△ABC的外接圓，圓心為O；

②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊△ACD；

③連接BD，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.

(2)綜合與運(yùn)用:在你所作的圖中，若AB＝4，BC＝2，

則：①AD與⊙O的位置關(guān)系是_______．②線段AE的長(zhǎng)為_(kāi)______．

【課后作業(yè)】班級(jí)姓名

一、必做題：

1、如圖，沿著虛線將長(zhǎng)方形剪成兩部分，那么由這兩部分既能拼成平行四邊形，又能拼成三角形和梯形的是()

2、如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱(chēng)為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到7個(gè)小正方形，稱(chēng)為第二次操作；再將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱(chēng)為第三次操作；…，根據(jù)以上操作，若要得到2011個(gè)小正方形，則需要操作的次數(shù)是()A．669B．670C．671D．672

3、如圖，從邊長(zhǎng)為(a＋4)cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為(a＋1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙)，則矩形的面積為()

A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2

4、請(qǐng)將含60°頂角的菱形分割成至少含一個(gè)等腰梯形且面積相等的六部分，用實(shí)線畫(huà)出分割后的圖形．

5．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.畫(huà)出圖形，

直接寫(xiě)出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出:以A,B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

6、如圖，等腰梯形MNPQ的上底長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為3，一個(gè)底角為60°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，它的一邊AD在MN上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)．

(1)請(qǐng)?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫(huà)出點(diǎn)A在正方形整個(gè)翻滾過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路線圖；

(2)求正方形在整個(gè)翻滾過(guò)程中點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

二、選做題：

7、在二行三列的方格棋盤(pán)上沿骰子的某條棱翻動(dòng)骰子(相對(duì)面上分別標(biāo)有1點(diǎn)和6點(diǎn)，2點(diǎn)和5點(diǎn)，3點(diǎn)和4點(diǎn))，在每一種翻動(dòng)方式中，骰子不能后退．開(kāi)始時(shí)骰子如圖①那樣擺放，朝上的點(diǎn)數(shù)是2；最后翻動(dòng)到如圖②所示的位置，此時(shí)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不可能是下列數(shù)中的()

A．5B．4C．3D．1

8、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝b(b2a)，且邊AD和AE在同一直線上．小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b＝a時(shí)，如圖①，在BA上選取中點(diǎn)G，連接FG和CG，移動(dòng)△FAG和△CBG的位置可構(gòu)成正方形FGCH.

(1)類(lèi)比小明的剪拼方法，請(qǐng)你就圖②和圖③兩種情形分別畫(huà)出剪拼成一個(gè)新正方形的示意圖．

⑵要使(1)中所剪拼的新圖形是正方形須滿足BG:AE=.

9、閱讀下面的材料：

小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．若梯形ABCD的面積為1，試求以AC、BD、AD＋BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積．

小偉是這樣思考的：要想解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法移動(dòng)這些分散的線段，構(gòu)造一個(gè)三角形，再計(jì)算其面積即可．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過(guò)平移可以解決這個(gè)問(wèn)題，他的方法是過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形（如圖②）．

請(qǐng)你回答：圖②中△BDE的面積等于_______．

參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下面的問(wèn)題：

如圖③，△ABC的三條中線分別為AD、BE、CF．

(1)在圖③中利用圖形變換畫(huà)出并指明以AD、BE、CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形（保留畫(huà)圖痕跡）；

(2)若△ABC的面積為1，則以AD、BE、CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于_______．

相關(guān)閱讀

中考數(shù)學(xué)閱讀理解型專(zhuān)題復(fù)習(xí)

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。對(duì)教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，接下來(lái)的工作才會(huì)更順利！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)閱讀理解型專(zhuān)題復(fù)習(xí)”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。

中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)（三）：閱讀理解型

一、課標(biāo)要求

閱讀理解題，題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、超越常規(guī)，源于課本，又高于課本。這類(lèi)問(wèn)題，不僅能考查同學(xué)們閱讀題中文字且獲取信息的能力，還能考查同學(xué)們獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力等。同時(shí)，更能夠綜合考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

二、課前熱身

1.已知坐標(biāo)平面上的機(jī)器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°A180°)后的行動(dòng)結(jié)果為：在原地順時(shí)針旋轉(zhuǎn)A后，再向面對(duì)方向沿直線行走a.若機(jī)器人的位置在原點(diǎn)，面對(duì)方向?yàn)閥軸的負(fù)半軸，則它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐標(biāo)為()

A.(-1，-)B.(-1，)C.(，-1)D.(-，-1)

2.為確保信息安全，信息需要加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．已知加密規(guī)則為：明文對(duì)應(yīng)的密文．例如明文1，2，3對(duì)應(yīng)的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，則解密得到的明文為（）

Ａ．4，5，6Ｂ．6，7，2Ｃ．2，6，7Ｄ．7，2，6

3.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么將二進(jìn)制(1111)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是()A.8B．15C．20D．30

4.已知x0，符號(hào)表示大于或等于x的最小正整數(shù)，如：［0.3］=1，［3.2］=4，［5］=5……

填空：［］=；［6.01］=＿＿＿＿；若［x］=3，則x的取值范圍是。

5.符號(hào)“”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

（1），，，，……

（2）,,,,……

利用以上規(guī)律計(jì)算：．

6.已知一元二次方程的兩個(gè)根滿足，且a，b，c分別是△ABC的∠A，∠B，∠C的對(duì)邊.若a=c，求∠B的度數(shù).

小敏很快解得此題的正確答案“∠B=120°”后，思考以下問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答.

（1）若在原題中，將方程改為，要得到∠B=120°，而條件“a=c”不變，那么應(yīng)對(duì)條件中的的值作怎樣的改變？并說(shuō)明理由.

（2）若在原題中，將方程改為（n為正整數(shù)，n≥2），要得到∠B=120°，而條件“a=c”不變，那么條件中的的值應(yīng)改為多少（不必說(shuō)明理由）？

三、典型例題

例1.問(wèn)題解決

如圖（1），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），壓平后得到折痕．當(dāng)時(shí)，求的值．

類(lèi)比歸納

在圖（1）中，若則的值等于；

若則的值等于；

若（為整數(shù)），則的值等于．（用含的式子表示）

聯(lián)系拓廣

如圖（2），將矩形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），壓平后得到折痕設(shè)則的值等于．（用含的式子表示）

例2.對(duì)于三個(gè)數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù),表示這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．例如：；；；

解決下列問(wèn)題：（1）填空：；

如果，則的取值范圍為．

（2）①如果，求；

②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果，那么（填的大小關(guān)系）”．證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：

若，則．

（3）小明認(rèn)為：將（2）中“min”改為“max”，結(jié)論仍然成立。如果你認(rèn)為他的結(jié)論正確，那么請(qǐng)你說(shuō)明理由；如果認(rèn)為不正確，那么請(qǐng)你給出一個(gè)反例。

四、課后練習(xí)

一、選擇題

1.在生活中，我們有時(shí)用抽簽的方法來(lái)決定某件事情．如，用抽簽的方法從3名同學(xué)中選1名去參加音樂(lè)會(huì)，準(zhǔn)備3張相同的小紙條，并在1張紙條畫(huà)上記號(hào)，其余2張紙條不畫(huà)．把3張紙條折疊后放入一個(gè)盒子中攪勻，然后讓甲、乙、丙依次去摸紙條，他們抽到畫(huà)有記號(hào)的紙條的概率記P甲、P乙、P丙，則（）

A．P甲＞P乙＞P丙B．P甲＜P乙＜P丙C．P甲＞P乙＝P丙D．P甲＝P乙＝P丙

2.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為，其中均為0或1，傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是()

A．11010B．10111C．01100D．00011

3.甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則是：兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，輸者將在下一局中擔(dān)任裁判，每一局比賽沒(méi)有平局．已知甲、乙各比賽了4局，丙當(dāng)了3次裁判．問(wèn)第2局的輸者是（）

A．甲B．乙C．丙D．不能確定

二、填空題

1.劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國(guó)，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就會(huì)得到32+（-2）-1=6.現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)（m，-2m）放入其中，得到實(shí)數(shù)2，則m=．

2.定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取n＝26，則：

若n＝449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是＿＿＿＿＿．

3.對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f（x）=,例如f（3）=，f（）=，計(jì)算f（）+f（）+f（）+…f（）+f（x）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）=.

4.一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…（），其中第7個(gè)式子是，第個(gè)式子是（為正整數(shù)）．

5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,2).作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1,作點(diǎn)A1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A2,作點(diǎn)A2關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A３，作點(diǎn)A３關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A4，…按此規(guī)律，則點(diǎn)A8的坐標(biāo)為.

6.“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為α，則tanα的值等于.

三、解答題

1.據(jù)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連結(jié)得到一個(gè)直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五。后人概括為“勾三、股四、弦五”.（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，當(dāng)勾＝3時(shí)，股4＝(9-1)，弦5＝(9+1)；當(dāng)勾＝5時(shí)，股12＝(25-1)，弦13＝(25+1)；……

請(qǐng)你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，并猜想他們之間的相等關(guān)系（寫(xiě)二種）并對(duì)其中一種猜想加以證明；

(2)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；，8，15，17；……，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)。請(qǐng)你直接用m(m為偶數(shù)且m≥4)的代數(shù)式來(lái)表示他們的股和弦.

2.請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．若，探究與的位置關(guān)系及的值．

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決．

請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段與的位置關(guān)系及的值；

（2）將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對(duì)角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．

（3）若圖1中，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問(wèn)題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的值（用含的式子表示）．

解：（1）線段與的位置關(guān)系是；．

（2）

中考數(shù)學(xué)歸納猜想型問(wèn)題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

2012年中考復(fù)習(xí)二輪材料

歸納猜想型問(wèn)題

一．專(zhuān)題詮釋

歸納猜想型問(wèn)題在中考中越來(lái)越被命題者所注重。這類(lèi)題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢(shì)，據(jù)此去預(yù)測(cè)估計(jì)它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相吻合，必要時(shí)可以進(jìn)行驗(yàn)證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實(shí)際意義。

二．解題策略和解法精講

歸納猜想型問(wèn)題對(duì)考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類(lèi)認(rèn)識(shí)新生事物的一般過(guò)程。相對(duì)而言，猜想結(jié)論型問(wèn)題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類(lèi)比、比較、測(cè)量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到。

由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專(zhuān)家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點(diǎn)。

三．考點(diǎn)精講

考點(diǎn)一：猜想數(shù)式規(guī)律

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律。一般解法是先寫(xiě)出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫(xiě)成要求的格式。

例1．（2011云南曲靖）將一列整式按某種規(guī)律排成x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…則排在第六個(gè)位置的整式為．

【分析】符號(hào)的規(guī)律：n為奇數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式為正號(hào)，n為偶數(shù)時(shí)，符號(hào)為負(fù)號(hào)；系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律：第n個(gè)對(duì)應(yīng)的系數(shù)的絕對(duì)值是2n﹣1．指數(shù)的規(guī)律：第n個(gè)對(duì)應(yīng)的指數(shù)是n．

【解答】根據(jù)分析的規(guī)律，得：第六個(gè)位置的整式為：﹣26x6=﹣32x6．

故答案為：﹣32x6．

【評(píng)注】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是單項(xiàng)式，確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí)，把一個(gè)單項(xiàng)式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

例2．（2011山東濟(jì)寧）觀察下面的變形規(guī)律：

＝1－；＝－；＝－；……

解答下面的問(wèn)題：

（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想＝；

（2）證明你猜想的結(jié)論；

（3）求和：＋＋＋…＋.

【分析】（1）根據(jù)的定義規(guī)則，可知，，，．則有．

（2）觀察數(shù)表可知，第1問(wèn)中的恰是的具體形式，若將賦值于不同的行與列，我們不難發(fā)現(xiàn)．

【解答】（1）

（2）證明：－＝－＝＝

（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝

【評(píng)注】歸納猜想題，提供的信息是一種規(guī)律，但它隱含在題目中，有待挖掘和開(kāi)發(fā)，一般只要注重觀察數(shù)字（式）變化規(guī)律，經(jīng)歸納便可猜想出結(jié)論．本題屬于典型的開(kāi)放性探究題，其中的分?jǐn)?shù)形式、分母中相鄰兩數(shù)相差1，都給答案探究提供了蛛絲馬跡。問(wèn)題設(shè)置層次感較強(qiáng)，遵循了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律．從培養(yǎng)學(xué)生不完全歸納能力的角度看，不失為一道訓(xùn)練思維的好題．

考點(diǎn)二：猜想圖形規(guī)律

根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過(guò)圖形的變化所反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見(jiàn)。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來(lái)，再對(duì)所列式進(jìn)行對(duì)照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論。

例1．（2011重慶）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個(gè)圖形中一共有1個(gè)平行四邊形，第②個(gè)圖形中一共有5個(gè)平行四邊形，第③個(gè)圖形中一共有11個(gè)平行四邊形，…則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）

A、55B、42C、41D、29

【分析】規(guī)律的歸納：通過(guò)觀察圖形可以看到每轉(zhuǎn)動(dòng)4次后便可重合，即4次一個(gè)循環(huán)，10÷4＝2…2，所以應(yīng)和圖②相同．

【解答】∵圖②平行四邊形有5個(gè)=1+2+2，

圖③平行四邊形有11個(gè)=1+2+3+2+3，

圖④平行四邊形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴圖⑥的平行四邊形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．

故選C．

【評(píng)注】本題是規(guī)律的歸納題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題歸納出規(guī)律，然后套用題目提供的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問(wèn)題，具有一定的區(qū)分度．根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問(wèn)題．

例2．（2011浙江舟山）一個(gè)紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是（）

A、2010B、2011C、2012D、2013

【分析】該紙鏈?zhǔn)?的倍數(shù)，中間截去的是剩下3+5n，從選項(xiàng)中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．

【解答】由題意設(shè)被截去部分為5n+2+1=5n+3，從其選項(xiàng)中看，故選D．

【評(píng)注】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個(gè)不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．

考點(diǎn)三：猜想數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在猜想這種問(wèn)題時(shí)，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類(lèi)比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。

例1．（2011江西南昌，25，10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上.

活動(dòng)一：

如圖甲所示，從點(diǎn)A1開(kāi)始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直，A1A2為第1根小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.

①=度；

②若記小棒A2n-1A2n的長(zhǎng)度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時(shí)a2，a3的值，并直接寫(xiě)出an（用含n的式子表示）.

圖甲

活動(dòng)二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A1開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則=，=，=；（用含的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

圖乙

【分析】（1）顯而易見(jiàn)，能。

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【解答】（1）能

（2）①22.5°

②an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【評(píng)注】這是一道典型的歸納猜想型問(wèn)題，以物理學(xué)中反射的知識(shí)作為命題載體，而三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解決問(wèn)題的主干數(shù)學(xué)知識(shí)。

例2．（2011浙江衢州）是一張等腰直角三角形紙板，.

要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1中甲種剪法稱(chēng)為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱(chēng)為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱(chēng)為第3次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為(如圖3)；繼續(xù)操作下去…則第10次剪取時(shí)，.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.

【分析】解決問(wèn)題的關(guān)鍵看內(nèi)接正方形的一邊與三角形重合的邊落在三角形的哪條邊上，通過(guò)對(duì)例題的分析，直角三角形的內(nèi)接正方形有兩種，比較兩者的大小，可知，直角邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)比斜邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)大。

【解答】(1)解法1：如圖甲，由題意得.如圖乙，設(shè)，則由題意，得

又

甲種剪法所得的正方形的面積更大

說(shuō)明：圖甲可另解為：由題意得點(diǎn)D、E、F分別為的中點(diǎn)，

解法2：如圖甲，由題意得

如圖乙，設(shè)

甲種剪法所得的正方形的面積更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索規(guī)律可知：‘

剩余三角形的面積和為：

解法2：由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為

第二次剪取后剩余三角形面積和為

第三次剪取后剩余三角形面積和為

……

第十次剪取后剩余三角形面積和為

【評(píng)注】類(lèi)比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種數(shù)學(xué)方法，它可以使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也可以使我們的思維更加廣闊。數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)形式是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求在教學(xué)過(guò)程中，有目的地進(jìn)行思維訓(xùn)練，通過(guò)思維類(lèi)比，不斷在解決問(wèn)題中深化引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會(huì)得到相應(yīng)的提高。

考點(diǎn)四：猜想變化情況

隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會(huì)改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律是“位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號(hào)負(fù)號(hào)要互換”。這種規(guī)律可以作為猜想的一個(gè)參考依據(jù)。

例1．（2010河北）將正方體骰子（相對(duì)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6-1．在圖6-2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是

A．6B．5C．3D．2

【分析】不妨把立體圖形用平面的形式表現(xiàn)出來(lái)。如右圖所示。

前三次變換過(guò)程為下圖所示：

可以發(fā)現(xiàn)，三次變換可還原成初始狀態(tài)。十次意味著三輪還原后又變換了一次，所以狀態(tài)為上圖所示，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是5。

【解答】B。

【評(píng)注】歷年以“骰子”形式出現(xiàn)的中考題不在少數(shù)。本題以考查學(xué)生空間想象能力為出發(fā)點(diǎn)，將空間轉(zhuǎn)化融入到正方體的旋轉(zhuǎn)中。正方體表面展開(kāi)圖識(shí)別對(duì)面本不難，但這樣一來(lái)難度陡然上升。三次變換循環(huán)的規(guī)律也要煞費(fèi)周折。有點(diǎn)動(dòng)手操作題的味道。題目呈現(xiàn)方式靈活，考查形式新穎，使日常熟悉的東西平中見(jiàn)奇。要求考生有很強(qiáng)的空間感，給平時(shí)靠死記硬背得分的同學(xué)一個(gè)下馬威，也給教學(xué)中不重視動(dòng)手探究的老師敲響了警鐘。

例2.（2011湖南邵陽(yáng)）數(shù)學(xué)課堂上，徐老師出示了一道試題：

如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B，C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=60°，求證：AM=MN。

（1）經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的證明過(guò)程，請(qǐng)你將證明過(guò)程補(bǔ)充完整。

證明：在AB上截取EA=MC，連結(jié)EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM為等邊三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°?！?/p>

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵_(dá)_________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”(如圖)，N1是∠D1C1P1的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠A1M1N1=90°時(shí)，結(jié)論A1M1=M1N1是否還成立？（直接給出答案，不需要證明）

（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠AnMnNn=______°時(shí)，結(jié)論AnMn=MnNn仍然成立？（直接寫(xiě)出答案，不需要證明）

【分析】證明線段相等，三角形全等是一種重要的方法。根據(jù)題目條件，結(jié)合圖形，對(duì)應(yīng)邊角還是不難找的。關(guān)鍵是到正方形、正多邊形，哪些條件變了，哪些沒(méi)變。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）結(jié)論成立；

（3）。

【評(píng)注】三角形全等的判定是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)，第一問(wèn)明顯考查“角邊角”方法的條件尋找。而從三角形到正方形的變化，抓住不變的東西，透視問(wèn)題的本質(zhì)，也不難得到正確答案。再到正多邊形，是一個(gè)質(zhì)的飛躍。在這道題中，先探討簡(jiǎn)單情景下存在的某個(gè)結(jié)論，然后進(jìn)一步推廣到一般情況下，原來(lái)結(jié)論是否成立，本題題型新穎是個(gè)不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，難度不算大，具有一定的區(qū)分度．

四．真題演練

1.（2011四川成都）設(shè),,,…,

設(shè)，則S=_________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．

2.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形有個(gè)小圓.（用含n的代數(shù)式表示）

3．（2011河北）如圖9，給正五邊形的頂點(diǎn)依次編號(hào)為1，2，3，4，5.若從某一頂點(diǎn)開(kāi)始，沿正五邊形的邊順時(shí)針行走，頂點(diǎn)編號(hào)的數(shù)字是幾，就走幾個(gè)邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這種走法為一次“移位”.

如：小宇在編號(hào)為3的頂點(diǎn)時(shí)，那么他應(yīng)走3個(gè)邊長(zhǎng)，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時(shí)他到達(dá)編號(hào)為1的頂點(diǎn)；然后從1→2為第二次“移位”.

若小宇從編號(hào)為2的頂點(diǎn)開(kāi)始，第10次“移位”后，則他所處頂點(diǎn)的編號(hào)是____________.

4.（2010四川內(nèi)江）閱讀理解：

我們知道，任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為（x1＋x22，y1＋y22）.

觀察應(yīng)用：

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P1(0，－1)、P2(2，3)的對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

（2）另取兩點(diǎn)B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一電子青蛙從點(diǎn)P1處開(kāi)始依次關(guān)于點(diǎn)A、B、C作循環(huán)對(duì)稱(chēng)跳動(dòng)，即第一次跳到點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2處，接著跳到點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3處，第三次再跳到點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P4處，第四次再跳到點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P5處，…．則P3、P8的坐標(biāo)分別為，;

拓展延伸：

（3）求出點(diǎn)P2012的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出在x軸上與點(diǎn)P2012、點(diǎn)C構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).

答案：

1.．

==

=

∴S=+++…+.

接下去利用拆項(xiàng)法即可求和．

2.或

3.根據(jù)“移位”的特點(diǎn)，然后根據(jù)例子尋找規(guī)律，從而得出結(jié)論．

∵小宇在編號(hào)為3的頂點(diǎn)上時(shí)，那么他應(yīng)走3個(gè)邊長(zhǎng)，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時(shí)他到達(dá)編號(hào)為1的頂點(diǎn)；然后從1→2為第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五個(gè)頂點(diǎn)五次移位為一個(gè)循環(huán)返回頂點(diǎn)3，

同理可得：小宇從編號(hào)為2的頂點(diǎn)開(kāi)始，第10次“移位”，即連續(xù)循環(huán)兩次，故仍回到頂點(diǎn)3．

故答案為：3．

4.設(shè)A、P3、P4、…、Pn點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且為正整數(shù)).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x＝0＋22＝1，y＝－1＋32＝1，

∴A（1，1）

（2）∵點(diǎn)P3與P2關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，且B(－1.6，2.1),

∴2＋x32＝－1.6，3＋y32＝2.1，

解得x3＝－5.2，y3＝1.2，

∴P3(－5.2，1.2).

∵點(diǎn)P4與P3關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)，且C(－1，0),

∴－5.2＋x42＝－1，1.2＋y32＝0，

解得x4＝3.2，y4＝－1.2，

∴P4(3.2，－1.2).

同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3)…

∴P7的坐標(biāo)和P1的坐標(biāo)相同，P8的坐標(biāo)和P2的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6為周期循環(huán)，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐標(biāo)與P2的坐標(biāo)相同，為P2012(2，3);

在x軸上與點(diǎn)P2012、點(diǎn)C構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)為

（－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分練習(xí)部分

1.（2011湖南常德）先找規(guī)律，再填數(shù)：

2.（2011四川內(nèi)江）同學(xué)們，我們?cè)?jīng)研究過(guò)n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為12+22+32+…+n2．但n為100時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體個(gè)數(shù)呢?下面我們就一起來(lái)探究并解決這個(gè)問(wèn)題．首先，通過(guò)探究我們已經(jīng)知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)時(shí)，我們可以這樣做：

(1)觀察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)

12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

=(1+2+3+4)+()

……

(2)歸納結(jié)論：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=()+

=+

=×

(3)實(shí)踐應(yīng)用：

通過(guò)以上探究過(guò)程，我們就可以算出當(dāng)n為100時(shí)，正方形網(wǎng)格中正方形的總個(gè)數(shù)是．

3.（2011廣東肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第（是大于0的整數(shù)）個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是．

4.（2011廣東東莞）如圖(1)，將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為.

5．（2011廣東汕頭）如下數(shù)表是由從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.

（1）表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是，它是自然數(shù)的平方，第8行共有個(gè)數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是，最后一個(gè)數(shù)是，第n行共有個(gè)數(shù)；

（3）求第n行各數(shù)之和．

6.（2011四川涼山）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例。如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開(kāi)式中的系數(shù)等等。

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出的展開(kāi)式。

（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：

7.（2011江蘇南通）如圖，三個(gè)半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線y＝33x相切．設(shè)三個(gè)半圓的半徑依次為r1、r2、r3，則當(dāng)r1＝1時(shí)，r3＝．

8.（2010年湖北恩施）(1)計(jì)算:如圖10①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點(diǎn)分別為A、B、C，求OA的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）.

（2）探索:若干個(gè)直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.

（3）應(yīng)用:現(xiàn)有長(zhǎng)方體集裝箱，其內(nèi)空長(zhǎng)為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運(yùn)長(zhǎng)為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運(yùn)鋼管數(shù)最多？并求出一個(gè)這樣的集裝箱最多能裝運(yùn)多少根鋼管？（≈1.73）

答案：

1.

2.（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4

1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

n(n+1)(n—1)

n(n+1)(2n+1)

3.

4.

5.（1）64，8，15；

（2），，；

（3）第2行各數(shù)之和等于3×3；第3行各數(shù)之和等于5×7；第4行各數(shù)之和等于7×7-13；類(lèi)似的，第n行各數(shù)之和等于=.

6.⑴

⑵原式=

7.設(shè)直線y＝33x與三個(gè)半圓分別切于A，

B，C，作AEX軸于E，則在RtAEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。則。同理，。

8.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

3．方案二裝運(yùn)鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1.（1）

=1260

2.根據(jù)如圖所示的運(yùn)算程序，分情況列出算式，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為，若開(kāi)始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24，第二次輸出的結(jié)果為12，第三次輸出的結(jié)果為6，第四次輸出的結(jié)果為3，第五次輸出的結(jié)果為3，以后每次輸出的結(jié)果都是3．所以選擇B。

3.圖案是一圈一圈的?？梢愿鶕?jù)每圈中棋子的個(gè)數(shù)得出規(guī)律。第1個(gè)圖案需要7＝1＋6枚棋子，第2個(gè)圖案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3個(gè)圖案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此規(guī)律可得第6個(gè)圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n個(gè)圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×＝枚棋子。所以，擺第6個(gè)圖案需要127枚棋子，擺第n個(gè)圖案需要枚棋子．

4.正△A1B1C1的面積，第二個(gè)正三角形的面積是前一個(gè)正三角形面積的四分之一，第8個(gè)正△A8B8C8的面積是第一個(gè)正方形面積的，所以，第8個(gè)正△A8B8C8的面積是，選擇C。

5.當(dāng)OAn與軸正半軸重合時(shí)，度數(shù)為360m＋90是10的倍數(shù)，從2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必須是8的倍數(shù)或是8的倍數(shù)多4，當(dāng)m為1，2，3時(shí)，無(wú)解，當(dāng)m為4時(shí)，360m＋90＝1530，符合題意。故答案選B。

7.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

（2）=

=

4．方案二裝運(yùn)鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

4.（2010年浙江紹興中考題）(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,

CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的長(zhǎng).

(3)已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫(xiě)出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)；

②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示).

(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，

過(guò)點(diǎn)B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n。

中考數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，到寫(xiě)教案課件的時(shí)候了。我們制定教案課件工作計(jì)劃，才能更好地安排接下來(lái)的工作！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？下面是小編精心為您整理的“中考數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

初三第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題一：開(kāi)放性問(wèn)題
【知識(shí)梳理】
1、條件開(kāi)放型：指在結(jié)論不變的前提下，去探索添加必要的條件（不唯一）的題目．
2、結(jié)論開(kāi)放型：即給出問(wèn)題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)結(jié)論的“存在性”需要解題者進(jìn)行推斷，甚至要求解題者探求條件在變化中的結(jié)論．
3、策略開(kāi)放型：一般指解題方法不唯一或解題途徑不明確的問(wèn)題.
【課前預(yù)習(xí)】
1、如圖，已知AC⊥BD于點(diǎn)P，AP＝CP，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得△ABP≌△CDP
(不能添加輔助線)，你增加的條件是．
2、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，請(qǐng)寫(xiě)出一條正確的結(jié)論：．
3、如果．
【例題精講】
例1、如圖，△ABC中，點(diǎn)O在邊AB上，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交∠ABC的平分線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交直線OD于點(diǎn)E。
（1）求證：OE＝OD；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在什么位置時(shí)，四邊形BDAE是矩形？說(shuō)明理由；
（3）在滿足（2）的條件下，還需△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形
BDAE是正方形？寫(xiě)出你確定的條件，并畫(huà)出圖形，不必證明。

例2、如圖，BC為⊙○的直徑，AD⊥BC,垂足為D，弧AD=弧AF,BF與AD交與點(diǎn)E，試判斷AE與BE的大小關(guān)系，并加以證明

例3、如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸x＝2與x軸交于點(diǎn)C，直線y＝－2x－1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B(－2，m)，且與y軸、直線x＝2分別交于點(diǎn)D、E.
(1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求證：①CB＝CE；②D是BE的中點(diǎn)；
(3)若P(x，y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PB＝PE.若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【鞏固練習(xí)】
1、寫(xiě)出絕對(duì)值小于2的一個(gè)負(fù)數(shù)：．
2、兩個(gè)不相等的無(wú)理數(shù)，它們的乘積為有理數(shù)，這兩個(gè)數(shù)可以是．
3．已知點(diǎn)P（x，y）位于第二象限，并且y≤x＋4，x、y為整數(shù)，符合上述條件的點(diǎn)P共有▲個(gè)．
4、如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在邊AD上，且∠ECG＝45°，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE．則下列結(jié)論：①∠ECB是銳角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE＋GD中一定成立的結(jié)論有(寫(xiě)出全部正確結(jié)論)．
5、如圖AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于點(diǎn)F，請(qǐng)寫(xiě)出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一對(duì)加以證明．
【課后作業(yè)】班級(jí)姓名
一、必做題：
1、寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)的表達(dá)式________．
2、在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)y＝3x2＋1的圖象通過(guò)平移變換、軸對(duì)稱(chēng)變換得到的二次函數(shù)的一個(gè)解析式是________．
3、拋物線y＝－x2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，請(qǐng)寫(xiě)出與其關(guān)系式、圖象相關(guān)的2個(gè)正確結(jié)論：________，________.(對(duì)稱(chēng)軸方程，圖象與x正半軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)例外)
4、如圖所示，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，點(diǎn)A、D在直線BE的兩側(cè)，AB∥DE，BF＝CE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件______，使得AC＝DF.
5、已知⊙O1、⊙O2的半徑分別是r1＝2、r2＝4，若兩圓相交，則圓心距O1O2可能取的值是.
6、如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD.要使△ADC與△ABC相似，應(yīng)添加的條件是．
7、如圖，已知AC＝FE，BC＝DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是________．
8、如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，DE∥AC，DE交AB于點(diǎn)E，M為BE的中點(diǎn)，連接DM.在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形是________．(寫(xiě)出一個(gè)即可)
9、如圖，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O.
(1)求證：AD＝AE；
(2)連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說(shuō)明理由．

10、如圖，在和中，、交于點(diǎn)M.
（1）求證：≌；
（2）作交于點(diǎn)N，四邊形BNCM是什么四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
二、選做題：
11、如圖，在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H．在拋物線y=x2（x＞0）上取點(diǎn)P，在y軸上取點(diǎn)Q，使得以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是.
12、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,H是BC為直徑的半圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作一條直線與半圓相切交AB、CD分別于點(diǎn)E、F。
（1）當(dāng)點(diǎn)H在半圓上移動(dòng)時(shí)，切線EF在AB、CD上的兩交點(diǎn)也分別在AB、CD上移動(dòng)（E與A不重合，F(xiàn)與D不重合），試問(wèn)四邊形AEFD的周長(zhǎng)是否變化？證明你的結(jié)論。
（2）若∠BEF=,求四邊形BEFC的周長(zhǎng)。
（3）若a=6,△BOE的面積為，△COF的面積為面積為，正方形ABCD的面積為s,若+=s,求BE、CF的長(zhǎng)。

13、如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)在拋物線上，且以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接，如圖2，在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．