小學三角形教案

正多邊形的有關計算(一)。

老師會對課本中的主要教學內(nèi)容整理到教案課件中，是認真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計劃，我們的工作會變得更加順利！那么到底適合教案課件的范文有哪些？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的正多邊形的有關計算(一)，僅供參考，希望能為您提供參考！

1、使學生學會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．

2、通過定理的證明過程培養(yǎng)學生觀察能力、推理能力、概括能力；

3、通過一定量的計算，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力；

教學重點：

化正多邊形的有關計算為解直角三角形問題定理；正多邊形計算圖及其應用．

教學難點：

正確地將正多邊形的有關計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算．

教學過程：

一、新課引入：

前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)，今天我們來學習正多邊形的有關計算．

大家知道正多邊形在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應用性，伴隨而來的有關正多邊形計算問題必然擺在大家的面前，如何解決正多邊形的計算問題，正是本堂課研究的課題．

二、新課講解：

哪位同學回答，什么叫正多邊形．(安排中下生回答：各邊相等，各角相等的多邊形．)

什么是正多形的邊心距、半徑？(安排中下生回答：正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做邊心距．正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．)

正多邊形的邊有什么性質(zhì)、角有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：邊都相等，角都相等．)

什么叫正多邊形的中心角？(安排中下生回答：正多邊形的一邊所對正多邊形外接圓的圓心角．)

正n邊形的中心角度數(shù)如何計算？(安排中下生回答：中心角的度數(shù)

正n邊形的一個外角度數(shù)如何計算？(安排中下生回答：一個外角度

哪位同學有所發(fā)現(xiàn)？(安排舉手學生：正n邊形的中心角度數(shù)=正n邊形的一個外角度數(shù)．)

哪位同學記得n邊形的內(nèi)角和公式？(請回憶起來的學生回答)．

哪位同學能根據(jù)n邊形內(nèi)角和定理和正n邊形的性質(zhì)給出求正n邊形一個內(nèi)角度數(shù)的公式？(安排中下生回答：正n邊形每個內(nèi)角度數(shù)

正n邊形的每個內(nèi)角與它有共同頂點的外角有何數(shù)量關系？(安排中下生回答：互補)．

根據(jù)正n邊形的每個內(nèi)角與它有共同頂點的外角的互補關系和正n邊形每個外角度數(shù)公式，正n邊形每個內(nèi)角度數(shù)又可怎樣計算？(安排中

(幻燈展示練習題，學生思考，回答)

1．正五邊形的中心角度數(shù)是______；每個內(nèi)角的度數(shù)是______；

2．一個正n邊形的一個外角度數(shù)是360°，則它的邊數(shù)n=______，每個內(nèi)角度數(shù)是______；

3．一個正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是140°，則它的邊數(shù)n=______，中心角度數(shù)是______．

對于前2題安排中下生回答，對于第3題不僅要回答題目的答案而且要求回答思路．

解此方程n=9．

幻燈展示正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形．如圖7-138，讓學生邊觀察、邊回答老師依次提出的問題、邊思考．

1．觀察每個圖形的半徑，分別將它們分割成多少個什么樣子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)

2．觀察每個圖形中所得的三角形具有什么關系？為什么？(安排中等生回答：全等，依據(jù)(S．S．S)或(S．A．S))

3．將上述四個圖形的觀察與思考推而廣之，你得出了什么結論？哪位同學說說自己的想法(安排中上生回答：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．)

套上幻燈片的復合片：作出各等腰三角形底邊上的高，如圖7-139，安排學生觀察、思考并回答以下問題：

1．這些等腰三角形的每一條高都將每個等腰三角形分割為兩個直角三角形，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？(安排中下生回答)

2．這些等腰三角形的高在正多邊形中的名稱是什么？(安排中下生回答：邊心距)

3．正n邊形的n條半徑、n條邊心距將正n邊形分割成全等直角三角形的個數(shù)是多少？(安排中等生回答：2n個)

給出定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．

再套幻燈片的復合片，如圖7-140，安排學生觀察每個直角三角形都由正多邊形的哪些元素組成．

安排中下生回答：直角三角形的斜邊是正多邊形的半徑R、一條直角邊是正多邊形的邊心距．另一直角邊是正多邊形邊長的一半(在此安排中等生回答：為什么？)半徑與邊心距的夾角是正多邊形一個中心角的一半．(安排中等生回答“為什么？”)

講解：由于這個直角三角形融合了正多邊形諸多元素，所以就可將正多邊形有關半徑、邊心距、邊長、中心角的計算問題歸結為解直角三角形的問題來解決．

幻燈給出正多邊形抽象的計算圖7-141，教師講解：

由于正多邊形的有關計算都歸結為解直角三角形的問題來解決，所以我們只要畫出這個直角三角形就可以了，其余就不畫或略畫．圖中R表示半徑，rn表示正n邊形的邊心距，an表示正n邊形的邊長，an表示正n邊形的中心角．

提問：對于給定具體邊數(shù)的正n邊形，你首先可以求出直角三角形

(教師講解)：直角三角形中一銳角已知，所以只要再給直角三角形的R、rn、an其中一項賦值就可求出其它元素．例如：(幻燈展示題目)

例1已知：如圖7-142，正△ABC的邊心距r3=2．

求：R、a3．

問：要解此題，首先要做什么？(找中等生回答：畫出基本計算圖)

最后要做什么工作：(找中上生回答：選擇三角函數(shù))

解：

∵n=3

又

完成下列各題：(幻燈展示題目)

1．已知，正方形ABCD的邊長a4=2．

求：R，r4．

2．已知：正六邊形ABCDEF的半徑R=2，

求：r6，a6．

(對于計算正確且較快的學生，讓他們自擬試題進行計算，教師重點輔導需要幫助的學生)

再回到例1，問：你會求這個正三角形的周長P3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：邊長×3，因為正三角形三邊相等)．

再問：你會求這個正三角形的面積S3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：直角△AOC的面積×6，由定理可知這樣的直角三角形的個數(shù)是邊數(shù)的2倍．或者，等腰△AOB的面積×3，由定理可知選擇的等腰三角形的個數(shù)與邊數(shù)相同．)

請同學們分別計算上述二題的周長和面積(計算快而準的學生讓其自擬題目再練習)

(幻燈給出例2)：已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長a6、周長P6和面積S6．

(提問)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：畫基本計算圖)2．然

么？(安排中下生回答：選擇三角函數(shù))

∴P6=9R．

通過上面計算，你得出正六邊形的半徑與邊長有什么數(shù)量關系？(安排中下生回答：相等)希望大家記住這個結論：a6=R，因為它不僅有利于計算而且是尺規(guī)畫正六邊形的依據(jù)．

三、課堂小結：

哪位同學能說一下，這堂課我們都學習了什么知識？(安排中等生歸納)

1．化正多邊形的有關計算為解直角三角形問題定理，2．運用正多

角計算．

四、布置作業(yè)

教材P.163中1、2；P.165中2．

學有余力者布置下題：已知正n邊形的半徑為R，求an、Pn、rn、Sn．

相關推薦

正多邊形的有關計算(二)

1、復習正多邊形的基本計算圖，并會通過解一般直角三角形來完成正多邊形的計算，解決實際應用問題；

2、通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數(shù)學方法；

3、在基本計算圖的基礎上，能將同圓內(nèi)接正n邊形與外切正n邊形的有關計算數(shù)據(jù)進行相互轉(zhuǎn)化．

4、在解應用題時，使學生學會把實際問題抽象為數(shù)學問題，把實物抽象為幾何圖形的抽象能力；

5、根據(jù)條件進行正確迅速計算的運算能力；

6、用代數(shù)計算的結果作證明依據(jù)的綜合、分析問題，解決問題的能力；

7、通過研究同圓內(nèi)接正n邊形與外切正n邊形的關系，培養(yǎng)學生的觀察能力．

教學重點：

(1)應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題；

(2)用

邊形與外切正n邊形已知條件與未知元素的相互轉(zhuǎn)化．

教學難點：

例3的證明

教學過程：

一、新課引入：

上節(jié)課我們根據(jù)正多邊形的定義及其概念，運用將正多邊形分割成三角形的方法，得到了化正多邊形有關計算為解直角三角形問題基本計算圖，并應用基本計算圖解決諸如正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，即解決了含特殊角的正多邊形的有關計算問題，本節(jié)課我們繼續(xù)研究正多邊形的有關計算問題．

正多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義，為此本堂課講解了幾個正多邊形有關計算的實例，借以培養(yǎng)學生用數(shù)學意識．

二、新課講解：

展示正多邊形的一般計算圖7-144，提問以下問題讓學生回憶并作答：

1．在Rt△AOD中，斜邊R是正n邊形的______；(安排中下生回答：半徑)

2．直角邊rn是正n邊形的______；(安排中下生回答：邊心距)

3．圖中的an表示正多邊形的什么？(安排中下生回答：邊長)

4．圖中的an表示正多邊形的什么？(安排中下生回答：中心角)

哪位同學記得解這類題的一般步驟？(安排中下生回答：先畫計算

度數(shù)是多少？(安排中下生回答：45°)

分析完后，安排學生計算出結果．

(幻燈給出應用題)：在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R和邊心距r5(精確到0.1cm)．

解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，(問：這一步目的是什么？)則OA=R，OF=r5，∠AOF=？(安排學生回答：36°)

∴r5=24·ctg36°=24×1.3764≈33.0(cm)．

答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm．

正多邊形的有關計算，在生產(chǎn)和生活中常常會用到，但將實際問題歸結為正多邊形的有關計算后，解題的步驟方法就依然如故了，本題撥禾輪問題與前題正方形的計算不是同出一轍嗎？

鞏固練習：教材P.173中7，要用圓形鐵片截出邊長a的正方形鐵片，選用的圓鐵片的直徑最小要多長？

啟發(fā)，提出下列問題：1．要截出邊長為a的正方形鐵片與選用的直徑最小的圓鐵片它們之間是什么關系？(安排中等生回答：正方形是圓的內(nèi)接正方形)2．這題實質(zhì)是給出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：給出正方形邊長求半徑．)

請同學們以最快的速度，求出答案．

幻燈給出頂角36°的等腰三角形，作如下啟發(fā)思考的提問：

1．如圖7-146，已知△ABC中AB=AC，∠A=36°，哪位同學知道∠B與∠c的度數(shù)？(安排中下生回答)2．如果BD平分∠ABC交AC于D，你發(fā)現(xiàn)圖形中與BC相等的線段有哪些？(安排中下生回答)3．你發(fā)現(xiàn)圖形中哪兩個三角形相似？(安排中等生回答)4．如果AC=a，BC應是多少？怎么計算？(安排學生討論、研究)

(繼續(xù)啟發(fā)思考提問)：大家觀察證明中BC2=DEAC這一步，因BC=AD，所以前等式變?yōu)锳D2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項，哪位同學記得點D應叫做線段AC的什么點？(安排回憶起來的學生回答：黃金分割點)由上面的證明我們知道AD應是AC的黃金分割線段，由于BC與AD相等，觀察發(fā)現(xiàn)BC是頂角36°角的等腰三角形的底，AC是這等腰三角形的腰？通過上面證明哪位同學能說一下你所得的結論？(安排中上學生回答：頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段)若腰長為a則底邊長應是多少？(安排中等生回答：

1．哪位同學知道正十邊形的中心角的度數(shù)是多少？(安排中下生回答：36°)2．大家想想看，正十邊形的夾36°中心角的半徑與邊長組成一個什么圖形？(安排中等生回答：頂角36°的等腰三角形)3．如果一個正十邊形的半徑為R，那么這個正十邊形的邊長a10應該等于多少？

幻燈供題：已知⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長為2，求⊙O的外切正三角形的邊長．

大家觀察⊙O的半徑OC，它與內(nèi)接正六邊形ABCDEF、外切正△MNP有什么聯(lián)系？(安排中上學生回答：OC是內(nèi)接正六邊形的半徑，它又是外切正△MNP的弦心距)由于正六邊形的邊長等于半徑，知邊長為2即知⊙O的半徑R=2，而半徑OC又是⊙O外切

通過這題你發(fā)現(xiàn)連接圓內(nèi)接正n邊形與圓外切正多邊形的橋梁是什么？(安排中等學生回答：這個圓的半徑R)這R是內(nèi)接正n邊形的半徑又是同圓外切正多邊形的邊心距，所以解這類題的關鍵在于根據(jù)已知條件首先求出R，再將R轉(zhuǎn)化求出未知元素．

三、課堂小結：

哪位同學能說一下，這堂課我們都學習了什么知識？(安排上等生歸納)

1．應用正多邊形的有關計算解決實際問題．

3．明確了連接圓內(nèi)接正n邊形與同圓外切正多邊形的橋梁是這個圓的半徑，即它是內(nèi)接正n邊形的半徑又是同圓外切正多邊形的邊心距，因此解決此類問題首先要求它．

四、布置作業(yè)

教材P.165中練習1；P.173中8；P.173中12(此題改為：求5孔心所在圓的半徑)；P.173中8、9、10、11．

畫正多邊形(一)

學生們有一個生動有趣的課堂，離不開老師辛苦準備的教案，大家應該開始寫教案課件了。認真做好教案課件的工作計劃，才能完成制定的工作目標！你們知道多少范文適合教案課件？小編特地為大家精心收集和整理了“畫正多邊形(一)”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

教學目標：

1、使學生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形．

2、使學生會用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，在這個基礎上能作圓內(nèi)接正八邊形、正三角形、正十二邊形．

3、通過畫圖培養(yǎng)學生的畫圖能力；

4、通過畫正方形到會畫正八邊形，通過畫六邊形到畫三角形、正十二邊形，培養(yǎng)學生觀察、抽象、遷移能力．

5、通過畫圖中需減小積累誤差的思考與操作，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力．

教學重點：

(1)用量角器等分圓心角來等分圓，然后作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形；(2)用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形．

教學難點：

準確作圖．

教學過程：

一、新課引入：

前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)、判定，尤其學習了正多邊形與圓關系的兩個定理，而后我們又學習了正多邊形的有關計算，本堂課我們一起學習畫正多邊形．

二、新課講解：

由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實際中有廣泛的應用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一，前面已學習了正多邊形和圓的關系的第一個定理，即把圓分成n(n≥3)等份，依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形，所以想到只要知道外接圓半徑R或內(nèi)切圓半徑rn，畫出圓來，然后n等分圓周就能畫出所需的正n邊形．

n等分圓周的方法有兩種，一種是量角器法，這一種方法簡單易學，它是一種常用的方法．其根據(jù)是因為相等的圓心角所對弧相等，所以使用量角器等分圓心角，可以達到把圓任意等分的目的，由于學生已具備使用量角器的能力，所以只要講明根據(jù)，讓學生動手操作即可．

另一種方法是用尺規(guī)等分圓周法，其實質(zhì)也是等分圓心角，但尺規(guī)不能任意等分圓，只適用于一些特殊情況，其中重點是正方形和正六邊形的作法，這是因為正八邊形、正三角形、正十二邊形都是由此作基礎而畫出來的．

由于尺規(guī)作圖在理論上準確，但在實際操作中有誤差積累，如何減少誤差使圖形趨于準確？這是一個鍛煉學生解決問題的好時機，應讓學生親手實驗、觀察對比，從而得出結論．

(三)重點、難點的學習與目標完成過程

復習提問：1．哪位同學記得正多邊形與圓關系的第一個定理？(安排中下生回答)2．哪位同學記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：相等的圓心角所對的弧相等)

現(xiàn)在我們要畫半徑為R的正n邊形，從正多邊形與圓關系的第一個定理中，你有什么啟發(fā)？(安排學生相互討論后，讓中等生回答：只要把半徑為R的圓n等分，依次連結n個等分點就得正n邊形)那么怎樣把半徑為R的圓n等分呢？從剛才復習的第二問題中，你又受到什么啟發(fā)？大家相互間討論．(安排中等生回答：把360°的圓心角n等分)如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看．(安排中等生回答：先畫半徑2cm的圓，然后把360°的圓心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，大家用量角器畫出半徑為2的內(nèi)接正九邊形．

學生在畫圖實踐中必然出現(xiàn)兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個40°的圓心角，然后在圓上依次截取40°圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的9等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正九邊形的邊長誤差較大．對此學生必然迷惑不解，在此教師應肯定作法理論上的正確性，然后講出圖形不夠準確的原因是由于誤差積累的結果，然后引導學生討論，研究減小誤差積累的二個途徑：其一，調(diào)整圓規(guī)兩腳間的距離，使之盡可能準確的等于所畫正九邊形的邊長．其二，若有可能，盡可能減少操作次數(shù)，減少產(chǎn)生誤差的機會．

大家想想如何畫一個半徑為2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先畫半徑2cm的圓，用量角器作90°的圓心角．)畫出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圓心角；方法2，用圓規(guī)依次截取等于AB的弧，大家觀察有沒有更好的方法？(安排中等生回答：將AO與BO邊延長交⊙O于C、D)．正方形一邊所對的圓心角是90°角，不用量角器用尺規(guī)能不能做出90°的圓心角呢？用尺規(guī)如何作半徑為2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半徑2cm的圓，然后畫兩條互相垂直的直徑)

請同學們用尺規(guī)畫出半徑為2cm的正方形．

大家想想看，借助這個圖形，能否作出⊙O的內(nèi)接正八邊形？同學們互相研究研究，(安排中上生回答：能，過圓心O作正方形各邊的垂線與圓相交即得⊙O的八等分點)為什么？根據(jù)什么定理？(安排中上等生回答：垂徑定理)

還有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分線．)

請同學們用此二法在圖上畫出正八邊形．

照此方法，同學們想想看，你還能畫出邊數(shù)為幾的正多邊形？(安排中下生回答：16邊形等)

綜上所述及同學們的畫圖實踐可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

大家再思考一個問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方法？大家討論．

方法1．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫60°的圓心角，依次畫下去即六等分圓周．

方法2．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫出60°的圓心角，

如果有同學想到方法3更好，若無則提示學生：前面在研究正多邊形的有關計算時，得到正六邊形的半徑與邊長有一種什么樣的數(shù)量關系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同學可不用量角器，僅用尺規(guī)作出半徑2cm的圓內(nèi)接正六邊形？(安排一名中等生到黑板畫圖，其余在下面畫圖)

在學生畫圖完畢后展示兩種不同的畫法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于誤差積累AB≠FA，其二，首先畫出⊙O的直徑AD，然后分別以A、D為圓心，2cm長為半徑畫弧交⊙O于B、F、C、E．畫出圖形比較準確．

請同學們用第二種方法畫半徑3cm的圓內(nèi)接正六邊形(安排學生在練習本上畫)如果我們沿用由正方形畫正八邊形的思路同學們想想看，會畫正六邊形就應會畫正多少邊形？(安排中下生回答：正十二邊形，正二十四邊形…)理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫．

大家再觀察，會畫正六邊形，除上述正多邊形外，還可得到正幾邊形？(安排中等生回答：正三角形)

畫半徑為2cm的正三角形，尺規(guī)作圖時必得先畫出正六邊形嗎？哪位同學有好方法？(安排舉手同學回答：畫出⊙O直徑AB，以A為圓心，2cm為半徑畫弧交⊙O于C、D，連結B、D、C即可)

請同學們按此法畫半徑為2cm的正三角形．

請同學們思考一下如何用尺規(guī)畫半徑為2cm的正十二邊形？

在學生充分討論研究的多種方案中送出：先作互相垂直的直徑，然后分別以直徑的四個端點為圓心2cm長為半徑畫弧，交⊙O的各點即得⊙O的12等分點．引導學生觀察∠DOE=∠DOB-∠EOB

∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°．

∴DE是⊙O內(nèi)接正12邊形一邊．

三、課堂小結：

這堂課你學了哪些知識？(安排中等生回答：1．用量角器等分圓周作正n邊形；2．用尺規(guī)作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規(guī)作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形)

四、布置作業(yè)

正多邊形和圓(一)

1、使學生理解正多邊形概念；

2、使學生了解依次連結圓的n等分點所得的多邊形是正多邊形；過圓的n等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是正多邊形．

3、通過正多邊形定義教學培養(yǎng)學生歸納能力；

4、通過正多邊形與圓關系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力．

教學重點：

(1)正多邊形的定義；

(2)n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

教學難點：

對正n邊形中泛指“n”的理解．

教學過程：

一、新課引入：

同學們思考以下問題：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？[安排中下生回答]3．等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)有什么共同點？[安排中上生回答：各邊相等、各角相等]．

各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形．這就是我們今天學習的內(nèi)容“7.15正多邊形和圓”．

二、新課講解：

正多邊形在生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用性，因此，正多邊形的知識對學生進一步學習和參加生產(chǎn)勞動都是必要的．因此本節(jié)課首先給出正多邊形的定義，然后根據(jù)正多邊形的定義和圓的有關知識推導出正多邊形與圓的第一個關系定理，即n等分圓周就可得到圓的內(nèi)接或外切正n邊形，它是正多邊形畫圖的理論依據(jù)，因此也是本節(jié)課的重點之一．

同學回答：什么是正多邊形？[安排中下生回答：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．]

如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

幻燈展示圖形：

上面這些圖形都是正幾邊形？[安排中下生回答：正三角形，正四邊形，正五邊形，正六邊形．]

矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？[安排中下生回答：矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．]

哪位同學記得在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距關系定理？[安排記起來的學生回答：在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距有一組量相等，那么其余量都相等．]

要將圓三等分，那么其中一等份的弧所對圓心角度數(shù)是多少？要將圓四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：將圓三等分，其中每等份弧所對圓心角120°、將圓四等分，每等份弧所對圓心角90°、五等分，圓心角72°、六等分，圓心角60°]

哪位同學能用量角器將黑板上的圓三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余學生在下面練習本上用量角器等分圓周．]

大家依次連結各分點看所得的圓內(nèi)接多邊形是什么樣的多邊形？[學生答：正多邊形．]

求證：五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形．

以幻燈所示五邊形為例，哪位同學能證明這五邊形的五條邊相等？[安排中等生回答：]

哪位同學能證明這五邊形的五個角相等？[安排中等生回答：]

前面的證明說明“依次連結圓的五等分點所得的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形”的觀察后的猜想是正確的．如果n等分圓周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正確呢？[安排學生們充分討論]．

因為在同圓中，弧等弦等，n等分圓就得到n條弦等，也就是n邊形的各邊都相等．又n邊形的每個內(nèi)角對圓的(n-2)條弧，而每一內(nèi)角所對的弧都相等，根據(jù)弧等、圓周角相等，證明了n邊形的各角都相等，因此圓內(nèi)接正五邊形的證明具有代表性．

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

為何要“依次”連結各分點呢？缺少“依次”二字會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？大家討論討論看看．

經(jīng)過圓的五等分點作圓的切線，大家觀察以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是不是正五邊形？

PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過分點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同學能說明五邊形PQRST的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同學能證明五邊形PQRST的各邊都相等？[安排中等生回答．]

前面同學的證明，說明“經(jīng)過圓的五等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正五邊形．”同樣根據(jù)弧等弦等、弦切角等就可證明經(jīng)過圓的n等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的n個等腰三角形全等，從而證明了這個圓的以它n等分點為切點的外切n邊形是正n邊形．

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

定理(2)中少“相鄰”兩字行不行？少“相鄰”兩字會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？同學們相互間討論研究看看．

三、課堂小結：

本堂課我們學習的知識：

1．學習了正多邊形的定義．

2．n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

四、布置作業(yè)

教材P.147．練習2、3；P.172中2、3、4(1)．