小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

九年級數(shù)學(xué)競賽充滿活力的韋達定理知識講座。

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，到寫教案課件的時候了。我們要寫好教案課件計劃，新的工作才會如魚得水！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？小編特地為大家精心收集和整理了“九年級數(shù)學(xué)競賽充滿活力的韋達定理知識講座”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的．
韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：
運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值；
運用韋達定理，求代數(shù)式的值；
利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；
利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等．
韋達定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路．
韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法．
【例題求解】
【例1】已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．
思路點撥所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例
【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為()
A．B．或2C．D．或2
思路點撥可將兩個等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件．

注：應(yīng)用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：
(1)恰當(dāng)組合；
(2)根據(jù)根的定義降次；
(3)構(gòu)造對稱式．
【例3】已知關(guān)于的方程：
(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根．
(2)若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、．
思路點撥對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手．

【例4】設(shè)、是方程的兩個實數(shù)根，當(dāng)m為何值時，有最小值?并求出這個最小值．
思路點撥利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進行的．

注：應(yīng)用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達定理解題時，須滿足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性．
【例5】已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關(guān)于的方程的兩個根．
(1)當(dāng)m＝2和m2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由．
(2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ＝1，且ABCD，求AB、CD的長．(2003年哈爾濱市中考題)
思路點撥對于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運用與中點相關(guān)知識找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式．

注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負性．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．(1)已知和為一元二次方程的兩個實根，并和滿足不等式，則實數(shù)取值范圍是．
(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是．
2．已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．
3．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是．
4．設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于()
A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a、b是關(guān)于
的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是()
A．B．C．5D．2
6．方程恰有兩個正整數(shù)根、，則的值是()
A．1B．-lC．D．
7．若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式：，判斷是否正確?
8．已知關(guān)于的方程．
(1)當(dāng)是為何值時，此方程有實數(shù)根；
(2)若此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求的值．

9．已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個方程兩根為．
10．已知、是方程的兩個根，則的值為．
11．△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程的兩根，則m的取值范圍是．
12．兩個質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則的值是()
A．9413B．C．D．
13．設(shè)方程有一個正根，一個負根，則以、為根的一元二次方程為()
A．B．
C．D．
14．如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m的取值范圍是()
A．0≤m≤1B．m≥C．D．≤m≤1
15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC(ABBC)的長是關(guān)于的方程的兩個根．
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一點，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的，請說明理由．

16．設(shè)m是不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個不相等的實數(shù)根、．
(1)若，求m的值．
(2)求的最大值．
17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關(guān)于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值．
18．設(shè)、、為三個不同的實數(shù)，使得方程和和有一個相同的實數(shù)根，并且使方程和也有一個相同的實數(shù)根，試求的值．

擴展閱讀

九年級數(shù)學(xué)競賽圓冪定理教案

【例題求解】
【例1】如圖，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于A、B兩點，且與直徑CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB=．
(成都市中考題)
思路點撥綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長．

注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學(xué)習(xí)是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個階段：
(1)平行線分線段對應(yīng)成比例；
(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例；
(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；
(4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來．

【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長為()
A．3B．4C．D．
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
思路點撥連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創(chuàng)設(shè)條件．

注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數(shù)化獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關(guān)鍵．

【例3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過A點的直線，∠PAC=∠B．
(1)求證：PA是⊙O的切線；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長和∠ECB的正切值．
(北京市海淀區(qū)中考題)
思路點撥直徑、切線對應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識．(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程．

【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE
(四川省競賽題)
思路點撥由切割線定理得EG2=EFEP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP，這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明．

注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁．
需要注意的是，圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中．
【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長．
(成都市中考題)
思路點撥解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法．對于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對于(2)，從△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．

注：當(dāng)直線形與圓結(jié)合時就產(chǎn)生錯綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手：
(1)多視點觀察圖形．如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理．
(2)多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形．
(3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系．

學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長為．
(紹興市中考題)
2．如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是⊙O的切線，D為切點，過點B作⊙O的切線交CD于點F，若AB=CD=2，則CE=．
(天津市中考題)

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為()
A．6．4B．3．2C．3．6D．8
(蘇州市中考題)

5．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA、PB的長分別為方程的兩根，則此圓的直徑為()
A．B．C．D．
(昆明市中考題)

6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結(jié)論：①CH2=AHBH；②AD＝AC：③AD2=DFDP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
(福州市中考題)
7．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AD⊥BC于點D．
(1)若∠B=30°，問AB與AP是否相等?請說明理由；
(2)求證：PDPO=PCPB；
(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長．
(紹興市中考題)
8．如圖，已知PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B、C，PD⊥AB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連CE并延長交⊙O于點F，連AF．
(1)求證：△PBD∽△PEC；
(2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半徑的長．
(北京市崇文區(qū)中考題)
9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程(其中為實數(shù))的兩根．
(1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求∠A的度數(shù)．
(山西省中考題)

10．如圖，△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC=．
(山東省臨沂市中考題)

11．如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD=．
12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(2)，則PH=()
A．B．C．D．
13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長為()
A．B．C．D．1
14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B
E交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC．
(太原市競賽題)
15．已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點，連結(jié)AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點，連結(jié)OF．
(1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)求BH:HC(四川省中考題)
16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的長．
(國家理科實驗班招生試題)

17．如圖，⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B、C是直線PBC與⊙O的交點，若PA、PB、PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA+PB+PC的值．(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)

九年級數(shù)學(xué)競賽坐標平面上的直線講座

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認真準備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“九年級數(shù)學(xué)競賽坐標平面上的直線講座”，相信能對大家有所幫助。

一般地，若(，是常數(shù)，)，則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式6中的系數(shù)符號，決定圖象的大致位置及單調(diào)性(隨的變化情況)．如圖所示：

一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個二元一次方程；任意一個關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如()的函數(shù)形式．坐標平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標平面上的直線交點坐標轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．

【例題求解】

【例1】如圖，在直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為，過A、P兩點的直線為，且BP⊥AP，則=．

思路點撥解題的關(guān)鍵是求出P點坐標，只需運用幾何知識建立OP的等式即可．

【例2】設(shè)直線(為自然數(shù))與兩坐標軸圍成的三角形面積為(＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為()

A．1B．C．D．

思路點撥求出直線與軸、軸交點坐標，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示．

【例3】某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機進行空中加油．在加油過程中，設(shè)運輸飛機的油箱余油量為Q1噸，加油飛機的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為分鐘，Q1、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)加油飛機的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機需多少分鐘?

(2)求加油過程中，運輸飛機的余油量Q1(噸)與時間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)運輸飛機加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達目的地，油料是否夠用?說明理由．

思路點撥對于(3)，解題的關(guān)鍵是先求出運輸飛機每小時耗油量．

注：（1）當(dāng)自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．

（2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點坐標并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)．

【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點P(，)，且△ABP的面積與△AABC的面積相等，求的值．

思路點撥利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標軸上的三角形面積和、差．

注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標軸的其他三角形面積來表示，這樣面積與坐標就建立了聯(lián)系．

【例5】在直角坐標系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象．

思路點撥先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線及其中的字母的取值范圍進行分類討論，的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀．

注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對值函數(shù)．去掉絕對值符號，把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對值的一般思路．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤≤-2，則這個函數(shù)的解析式為．

2．已知，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第象限．

3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，其中超過150人時，要繳納公安消防保險費50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題：

(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0≤150時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150x≤200時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是．

(3)當(dāng)售票數(shù)為時，不賠不賺；當(dāng)售票數(shù)滿足時，放影廳要賠本；若放影廳要獲得最大利潤200元，此時售票數(shù)應(yīng)為

(4)當(dāng)售票數(shù)滿足時，此時利潤比＝150時多．

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點，過P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)BP=，EF=，則能反映與之間關(guān)系的圖象是()

5．下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是()

6．小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了()

A．32元B．36元C．38元D．44元

7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量(微克)隨時間(小時)的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后．

(1)分別求出≤2和≥2時與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長?

8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標系O中，使AB在軸的正半軸上，A點的坐標是(1，0)

(1)經(jīng)過C點的直線與軸交于點E，求四邊形AECD的面積；

(2)若直線經(jīng)過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標系中畫出直線．(2001年湖北省荊州市中考題)

9．如圖，已知點A與B的坐標分別為(4，0)，(0，2)

(1)求直線AB的解析式．

(2)過點C(2，0)的直線(與軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標．

10．如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△POQ沿PQ翻折，點O落在R處，則點R的坐標是．

11．在直角坐標系O中，軸上的動點M（，0）到定點P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標為．

12．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為(15，6)，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．

13．如果—條直線經(jīng)過不同的三點A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線經(jīng)過()象限．

A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四

14．一個一次函數(shù)的圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為A、B，并且過點(一l，—25)，則在線段AB(包括端點A、B)上，橫、縱坐標都是整數(shù)的的點有（）

A．4個B．5個C．6個D．7個

15．點A(一4，0)，B(2，0)是坐標平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出()

A．1個B．2個C．3個D．4個

16．有—個附有進、出水管的容器，每單位時間進、出的水量都是一定的，設(shè)從某時刻開始5分鐘內(nèi)只進不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進水又出水，得到時間(分)與水量(升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進水，求這時(即≥20)y與之間的函數(shù)關(guān)系式．

17．如圖，△AOB為正三角形，點B坐標為(2，0)，過點C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式．

18．在直角坐標系中，有四個點A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求的值．

19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過試驗得到下列數(shù)據(jù)：

通過電流強度（單位A）11.71.92.12.4

氧化鐵回收率（%）7579888778

如圖建立直角坐標系，用橫坐標表示通過的電流強度，縱坐標表示氧化鐵回收率．

（1）將試驗所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標系中用點表示（注：該圖中坐標軸的交點代表點（1，70）；

（2）用線段將題（1）所畫的點從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫出該函數(shù)在1.7≤x≤2.4時的表達式；

（3）利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）．

20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動點P(x，0)在OB上移動(03)，過點P作直線與軸垂直．

(1)求點C的坐標；

(2)設(shè)△OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在直角坐標系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象；

(4)當(dāng)為何值時，直線平分△OBC的面積?

參考答案

九年級數(shù)學(xué)競賽走進追問求根公式講座

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美．
降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當(dāng)?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問題易于解決．解題時常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項式等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足的整數(shù)n有個．

思路點撥從指數(shù)運算律、±1的特征人手，將問題轉(zhuǎn)化為解方程．

【例2】設(shè)、是二次方程的兩個根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路點撥求出、的值再代入計算，則計算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如，．

【例3】解關(guān)于的方程．
思路點撥因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論．

【例4】設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和．
思路點撥通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解．

【例5】已知實數(shù)、、、互不相等，且，試求的值．
思路點撥運用連等式，通過迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常見的變形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多項式代換；
(2)把方程（）變形為，代換后降次；
(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去．
解合字母系數(shù)方程時，在未指明方程類型時，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質(zhì)，如．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知、是實數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為．
2．已知，那么代數(shù)式的值是．

3．若，，則的值為．

4．若兩個方程和只有一個公共根，則()
A．B．C．D．
5．當(dāng)分式有意義時，的取值范圍是()
A．B．C．D．且
6．方程的實根的個數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列關(guān)于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代數(shù)式的值．

9．是否存在某個實數(shù)m，使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由．
注：解公共根問題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過消去二次項尋找解題突破口．
10．若，則＝．
11．已知、是有理數(shù)，方程有一個根是，則的值為．
12．已知是方程的一個正根。則代數(shù)式的值為．
13．對于方程，如果方程實根的個數(shù)恰為3個，則m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然數(shù)滿足，這樣的的個數(shù)是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是負實數(shù)，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無理數(shù)．

參考答案