小學數(shù)學復習教案

2012屆高考數(shù)學備考復習：數(shù)列求和及綜合應用。

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，教師要準備好教案，這是教師的任務之一。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，讓教師能夠快速的解決各種教學問題。關于好的教案要怎么樣去寫呢？下面是小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學備考復習：數(shù)列求和及綜合應用”，相信能對大家有所幫助。

專題三：數(shù)列
第二講數(shù)列求和及綜合應用

【最新考綱透析】
1．了解數(shù)列求和的基本方法。
2．能在具體問題情景中識別數(shù)列的等差、等比關系，并能用有關知識解決相應問題。
3．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系。

【核心要點突破】
要點考向1：可轉化為等差、等比數(shù)列的求和問題

考情聚焦：1．可轉化為等差或等比數(shù)列的求和問題，已經(jīng)成為高考考查的重點內(nèi)容之一。
2．該類問題出題背景選擇面廣，易與函數(shù)方程、遞推數(shù)列等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。
考向鏈接：某些遞推數(shù)列可轉化為等差、等比數(shù)列解決，其轉化途徑有：
1．湊配、消項變換——如將遞推公式（q、d為常數(shù)，q≠0，≠1）。通過湊配變成；或消常數(shù)轉化為
2．倒數(shù)變換—如將遞推公式（c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得
3．對數(shù)變換——如將遞推公式取對數(shù)得
4．換元變換——如將遞推公式（q、d為非零常數(shù)，q≠1，d≠1）變換成，令，則轉化為的形式。
例1：（2010福建高考文科Ｔ１7）數(shù)列{}中＝，前n項和滿足-＝（n）.
(I)求數(shù)列{}的通項公式以及前n項和；
（II）若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值。
【命題立意】本題考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、化歸轉化思想。
【思路點撥】第一步先求的通項，可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和求解出；第二步利用等差中項列出方程求出t
【規(guī)范解答】(I)由得，又，故，從而
（II）由(I)從而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列可得解得。
【方法技巧】要求數(shù)列通項公式，由題目提供的是一個遞推公式，如何通過遞推公式來求數(shù)列的通項。題目要求的是項的問題，這就涉及有關“項”與“和”如何轉化的問題。一般地，含有的遞推關系式，一般利用化“和”為“項”。
要點考向2：錯位相減法求和
考情聚焦：1．錯位相減法求和，是高中數(shù)學中重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題。
考向鏈接：幾種求通項及求和方法
（1）已知，求可用疊加法，即
（2）已知，求可用疊乘法，即
（3）設{}為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和可用錯位相減法。
例2：（2010海南寧夏高考理科T17）設數(shù)列滿足，
（Ⅰ)求數(shù)列的通項公式：
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項和.
【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項公式以及前項和的求法，解決本題的關鍵是仔細觀察形式，找到規(guī)律，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.
【思路點撥】由給出的遞推關系，求出數(shù)列的通項公式，在求數(shù)列的前n項和.
【規(guī)范解答】（Ⅰ)由已知，當時，
而，滿足上述公式，
所以的通項公式為.
（Ⅱ）由可知，
①
從而②
①②得
即
【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的和.
要點考向3：裂項相消法求和
考情聚焦：1．裂項相消求和是高中數(shù)學中的一個重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題目。
考向鏈接：裂項求和的幾種常見類型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若是公差為d的等差數(shù)列，則
；
（6）；
（7）
（8）。
例3：（2010山東高考理科Ｔ18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．
（1）求及；
（2）令(nN*)，求數(shù)列的前n項和．
【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價變形和運算求解能力.
【思路點撥】(1)設出首項和公差，根據(jù)已知條件構造方程組可求出首項和公差，進而求出求及；(2)由(1)求出的通項公式，再根據(jù)通項的特點選擇求和的方法.
【規(guī)范解答】（1）設等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以有
，解得，
所以；==.
（2）由（1）知，所以bn===，
所以==，
即數(shù)列的前n項和=.
【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對公比的討論.
2、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.
3、分組轉化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
4、裂項相消法：主要用于通項為分式的形式，通項拆成兩項之差求和，正負項相消剩下首尾若干項，注意一般情況下剩下正負項個數(shù)相同.
5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫相加(即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣).
要點考向4：與不等式有關的數(shù)列問題
考情聚焦：1．數(shù)列綜合問題，特別是數(shù)列與不等式的綜合問題是高考中經(jīng)常考查的重要內(nèi)容。
2．該類問題可與函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、導數(shù)函數(shù)等知識交匯，綜合命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬高檔題。
例4：（2010天津高考文科Ｔ22）在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）記，證明.
【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．
【思路點撥】（Ⅰ）（Ⅱ）應用定義法證明、求解；（Ⅲ）對n分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論．
【規(guī)范解答】（I）由題設可知，，，，，。從而，所以，，成等比數(shù)列．
（II）由題設可得
所以
.
由，得，從而.
所以數(shù)列的通項公式為或?qū)憺椋?br> （III）由（II）可知，，
以下分兩種情況進行討論：
當n為偶數(shù)時，設n=2m
若，則，
若，則
.
所以，從而
（２）當n為奇數(shù)時，設．
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有

【高考真題探究】
1．（2010天津高考理科Ｔ6）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為()
（A）或5（B）或5（C）（D）
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式．
【思路點撥】求出數(shù)列的通項公式是關鍵．
【規(guī)范解答】選C．設，則，
即，，．
2．（2010天津高考文科Ｔ１5）設{an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項和．
記設為數(shù)列{}的最大項，則=．
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和、均值不等式等基礎知識．
【思路點撥】化簡利用均值不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵當且僅當即，所以當n=4，即時，最大．
【答案】4.
3．（2010安徽高考理科Ｔ20）設數(shù)列中的每一項都不為0．
證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有
．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識，考查考生推理論證，運算求解能力．
【思路點撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項相消法，再證明充分性，可采用數(shù)學歸納法或綜合法．
【規(guī)范解答】已知數(shù)列中的每一項都不為0，
先證
若數(shù)列為等差數(shù)列，設公差為，
當時，有，
即對任何，有成立；
當時，顯然也成立．
再證
對任意，有①，
②，
由②-①得：-
上式兩端同乘，得③，
同理可得④，
由③-④得：，所以為等差數(shù)列
【方法技巧】
1、在進行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關系式特點，進行適當?shù)淖冃危绶纸M、裂項等，轉化為常見的類型進行求和；
2、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關的式子，再進行化簡變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明.
4．（2010安徽高考文科Ｔ21）設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.
(1)證明：為等比數(shù)列；
（2）設，求數(shù)列的前項和.

【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理論證能力．
【思路點撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設的圓心為，得，同理得，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即中與的關系，可證明為等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結論求的通項公式，代入數(shù)列，然后采用錯位相減法求和.
【規(guī)范解答】
．
【方法技巧】
1、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關的式子，再進行化簡變形處理；
2、在進行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關系式特點，進行適當?shù)奶幚?，如分組、列項相消、錯位相減等，轉化為常見的類型進行求和．
5．（2010江蘇高考Ｔ１9）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；
（2）設為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問題等有關知識，考查探索、分析及論證的能力．
【思路點撥】（1）先求，然后利用的關系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解決．
【規(guī)范解答】（1）由題意知：，
，
化簡，得：
，
當時，，適合情形．
故所求．
（2）（方法一）
，恒成立．
又，，
故，即的最大值為．
（方法二）由及，得，．
于是，對滿足題設的，，有
．
所以的最大值．
另一方面，任取實數(shù)．設為偶數(shù)，令，則符合條件，且．
于是，只要，即當時，．
所以滿足條件的，從而．
因此的最大值為．
6．（2010重慶高考理科Ｔ21）在數(shù)列中，=1，，其中實數(shù)。
（1）求的通項公式；
（2）若對一切有，求的取值范圍。
【命題立意】本小題考查歸納、猜想解題，考查數(shù)學歸納法及其應用，考查數(shù)列的基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，考查分類討論的思想.
【思路點撥】（1）先求出數(shù)列的前幾項，歸納猜想得出結論，再用數(shù)學歸納法證明；（2）對恒成立問題進行等價轉化，
【規(guī)范解答】（1）【方法1】：由，，
，
，猜測（），
下面用數(shù)學歸納法證明
當n=1時，等式成立；
假設當n=k時，等式成立，即，則當n=k+1時，
綜上可知，對任何都成立.
【方法2】：由原式，
令，則，，因此對有
因此，，。又當n=1時上式成立。
因此，，。
（2）【方法1】：由，得
因，所以
解此不等式得：對一切，有或，其中
易知（因為的分子、分母的最高次項都是2，且系數(shù)都是8，所以極限值是）；用放縮法得：
，所以，
因此由對一切成立得；
又，易知單調(diào)遞增，故對一切成立，因此由對一切成立得：
，從而c的取值范圍為.
【方法2】：由，得，
因，所以對恒成立.
記，下分三種情況討論。
（i）當即或時，代入驗證可知只有滿足要求
（ii）當時，拋物線開口向下，因此當正整數(shù)k充分大時，，不符合題意，此時無解。
（iii）當，即或時，拋物線開口向上，其對稱軸必在直線的左側，因此，在上是增函數(shù)。
所以要使對恒成立，只需即可。
由解得或
結合或得或
綜合以上三種情況，的取值范圍為.
【方法技巧】（1）第（1）問有兩種方法解答：①歸納猜想并用數(shù)學歸納法證明；②數(shù)列的迭代法（或累加消項法）；（2）第（2）問中對條件“恒成立”進行等價轉化，轉化為一元二次不等式求解或轉化為二次函數(shù)進行討論；（3）放縮法的運用

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知{an}為等差數(shù)列，若-1,且它的前n項和Sn有最大值，那么使Sn0的n的最大值為()
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是()
(A)(-∞，-1］
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)［3,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［3,+∞)
3.首項為b,公比為a的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的n∈N*，點(Sn，Sn+1)在()
(A)直線y=ax+b上
(B)直線y=bx+a上
(C)直線y=bx-a上
(D)直線y=ax-b上
4.在數(shù)列中，若存在非零整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)均成立，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫做數(shù)列的周期.若數(shù)列滿足，如，當數(shù)列的周期最小時，該數(shù)列的前2010項的和是（）
5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：
他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()
(A)289(B)1024(C)1225(D)1378
6.（2010屆安徽省安慶市高三二模（文））已知實數(shù)、滿足：(其中是虛數(shù)單位)，若用表示數(shù)列的前項和，則的最大值是()
A.12B.14C.15D.16
二、填空題（每小題6分，共18分）
7.已知等比數(shù)列滿足，且，則當時，
________
8.類比是一個偉大的引路人。我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結論，類似的得出等比數(shù)列的兩個結論：，
9.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表，從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第_______行；第61行中1的個數(shù)是_______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知數(shù)列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.
(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函數(shù)f(x)在點x=1處的導數(shù)f′(1).
11.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f′(x)=6x-2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
12.在數(shù)列中，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求的最大值.

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選C.∵等差數(shù)列{an}中，-1且它的前n項和Sn有最大值，∴a100,a110,故a11-a10.
即a11+a100,而a10+a100,
∴使Sn0的n的最大值為19.
2.
3.
4.D
5.【解析】選C.從圖中觀察知
圖1中an=1+2+…+n=
圖2中bn=n2,
顯然1225在an中n=49,
在bn中n=35.
6.D
二、填空題
7.
8.，
9.【解析】①第1次全行的數(shù)都是1的是第1行，
第2次全行的數(shù)都是1的是第3行，
第3次全行的數(shù)都是1的是第7行，
……
第n次全行的數(shù)都是1的是第2n-1行，
②由上面結論知第63行有64個1，
則1100……0011……61行
1010……101……62行
1111……11……63行
從上面幾行可知第61行數(shù)的特點是兩個1兩個0交替出現(xiàn)，最后兩個為1，
∴在第61行的62個數(shù)中有32個1.
答案：2n-132
三、解答題
10.【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4，
兩式相減，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，
即an+1=2an+1.
從而an+1+1=2(an+1).
當n=1時，S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1)，故總有an+1+1=2(an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0，
即{an+1}是以a1+1=6為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11.【解析】(1)依題意可設f(x)=ax2+bx(a≠0)，
則f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上得Sn=3n2-2n.
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
當n=1時，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12.【解析】（1）由且…）
得．
（2）由變形得
，
是首項為公比為的等比數(shù)列
即（）
（3）①當是偶數(shù)時
隨增大而減少
當為偶數(shù)時，最大值是．
②當是奇數(shù)時
隨增大而增大且
綜上最大值為（述職報告之家 WwW.YS575.CoM）

【備課資源】
1.已知等比數(shù)列{an}的公比q0，前n項的和為Sn,則S4a5與S5a4的大小關系是()
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5S5a4
(C)S4a5S5a4(D)不能確定

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2012屆高考數(shù)學備考復習：導數(shù)及其應用

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，高中教師要準備好教案，這是每個高中教師都不可缺少的。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“2012屆高考數(shù)學備考復習：導數(shù)及其應用”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)
第五講導數(shù)及其應用
【最新考綱透析】
1.導數(shù)概念及其幾何意義
（1）了解導數(shù)概念的實際背景。
（2）理解導數(shù)的幾何意義。
2．導數(shù)的運算
（1）能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)。
（2）能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)。
（3）能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如的復合函數(shù)）的導數(shù)。
3．導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。
（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間了函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。
4．生活中的優(yōu)化問題
會利用導數(shù)解決某些實際問題
5．定積分與微積分基本定理
（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
（2）了解微積分基本定理的含義。

【核心要點突破】
要點考向1：利用導數(shù)研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導數(shù)研究曲線的切線是導數(shù)的重要應用，為近幾年各省市高考命題的熱點。
2．常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一步的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導數(shù)）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函數(shù)在點的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；
（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。
注：①當曲線在點處的切線平行于軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；
②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲線在點處的切線方程為（）
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.
【規(guī)范解答】選A.因為，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.
要點考向2：利用導數(shù)研究導數(shù)的單調(diào)性
考情聚焦：1．導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調(diào)性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式或指、對數(shù)式結構，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
考向鏈接：利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導數(shù)；
（3）①若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式＞0或＜0。
②若已知的單調(diào)性，則轉化為不等式≥0或≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。
例2：（2010山東高考文科Ｔ21）已知函數(shù)
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調(diào)性.
【命題立意】本題主要考查導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結合思想和等價變換思想.
【思路點撥】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時應注意分類標準的選擇.
【規(guī)范解答】（1）當
所以
因此，,即曲線
又
所以曲線
（2）因為,所以,令
當時，所以
當時，0，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，0，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.
當時，由，
即，解得.
①當時，，恒成立，此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;
②當時，，
時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減
時，0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減
③當時，由于,
時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減：
時，0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增.
綜上所述：
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)在上單調(diào)遞減.
【方法技巧】1、分類討論的原因
(1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出；
(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)等；
(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導致結果發(fā)生改變；
(4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結果有多種可能.
2、分類討論的原則
(1)要有明確的分類標準；
(2)對討論對象分類時要不重復、不遺漏；
(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行.
3、分類討論的一般步驟
(1)明確討論對象，確定對象的范圍；
(2)確定統(tǒng)一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；
(3)逐段逐類討論，獲得階段性結果；
(4)歸納總結，得出結論.
要點考向3：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
考情聚焦：1．導數(shù)是研究函數(shù)極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考中極值與最值問題求解的必用方法。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、或指、對數(shù)式結構，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高檔題。
考向鏈接：1．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導數(shù)。（3）①或求極值，則先求方程=0的根，再檢驗在方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有參數(shù)時要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程=0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函數(shù)的極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，證明當時，
（III）如果，且，證明
【命題立意】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力。
【思路點撥】利用導數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題。
【規(guī)范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)極大值
所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。
函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當x1時，2x-20,從而’(x)0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)證明：（1）
若
（2）若
根據(jù)（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,則=，所以,從而.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以,即2。
要點考向4：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象
考情聚焦：1．該考向由于能很好地綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、零點及數(shù)形結合思想等重要考點，而成為近幾年高考命題專家的新寵。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式、解析幾何知識交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、指、對數(shù)式結構，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)。屬于較難題。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C.
（i）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(ii)證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點P2（x2,f(x2).曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3（x3f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值：
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明。
【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想。
【思路點撥】第一步（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）利用導數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關命題，并利用平移的方法進行證明。
【規(guī)范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為；
(ii)，，，因此過點的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進而有，用代替，重復上面的計算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命題】若對于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(I)(ii)的命題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另外一點，線段、與曲線所圍成面積為，則。
【證明】對于曲線，無論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，，，，因此過點的切線方程為：
，聯(lián)立，得到：，
化簡：得到
從而所以同樣運用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函數(shù)導數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考中主要切線方程、導數(shù)的計算，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識的聯(lián)系，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構造函數(shù)、分類討論、轉化與化歸、數(shù)形結合等重要的思想方法，主要考查導數(shù)的工具性作用。

【高考真題探究】
1.（2010全國高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲線在點處的切線方程是，則
（A）(B)
(C)(D)
【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程知識。
【思路點撥】由題意知，曲線在點處的切線的斜率為1，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得y在x=0
處的導數(shù)為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a、b的值。
【規(guī)范解答】選A，,在點處的切線方程是。
斜率為1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導函數(shù)的圖像大致為

【命題立意】本題將各知識點有機結合，屬創(chuàng)新題型，主要考查對函數(shù)的圖像識別能力，靈活分析問題和解決問題的能力，考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)的導數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的應用，考查平面圖形面積的計算，考查數(shù)形結合的思維能力．
【思路點撥】本題結合題意及圖像的變化情況可用排除法；也可先求面積的函數(shù)，再求其導數(shù)，最后結合圖像進行判斷.
【規(guī)范解答】選A．方法一：在五角星勻速上升過程中露出的圖形部分的面積共有四段不同變化情況，第一段和第三段的變化趨勢相同，只有選項A、C符合要求，從而先排除B、D，在第二段變化中，面積的增長速度顯然較慢，體現(xiàn)在導函數(shù)圖像中其圖像應下降，排除選項C，故選A.
方法二：設正五角星的一個頂點到內(nèi)部較小正五邊形的最近邊的距離為1，且設，則依據(jù)題意可得：
其導函數(shù)故選A.
【方法技巧】從題設條件出發(fā)，結合所學知識點，根據(jù)“四選一”的要求，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.這種方法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的變化情況較多時，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以排除，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中考查較多.
3．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則[來
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命題立意】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個坐標圍成的三角形的面積。
【規(guī)范解答】選A，所以曲線在點處的切線：
所以，
【方法技巧】利用導數(shù)解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數(shù)求導，代入點的橫坐標得到斜率。（2）“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，
故應先設切點，再求切點坐標。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函數(shù)()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；
(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間。
【命題立意】本題考查了導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間。解決本題時一個易錯點是忽視定義域。
【思路點撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負，從而確定單調(diào)區(qū)間。
【規(guī)范解答】（I）當時，，
由于，，
所以曲線在點處的切線方程為
即
（II），.
當時，.
所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
當時，由，得，
所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.
當時，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是.
當時，，得，.
所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是
【方法技巧】
（1）過的切線方程為。
（2）求單調(diào)區(qū)間時要在定義域內(nèi)討論內(nèi)的正負。
5．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ22）設函數(shù)．
（Ⅰ）證明：當時，；
（Ⅱ）設當時，，求a的取值范圍．
【命題立意】本題考查了導數(shù)的單調(diào)性、極值等知識，結合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，
考查分類討論思想、化歸與轉化思想。
【思路點撥】（Ⅰ）可以構造函數(shù)，利用導數(shù)單調(diào)性，求當時的最值證明不等式成立，
（Ⅱ）可結合（Ⅰ）的結論和方法證明，要注意對a分類討論.
【規(guī)范解答】（Ⅰ）當時，當且僅當
令，則
當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；
于是g(x)在x=0處達到最小值，因而當時，即
所以當x-1時，
（Ⅱ）由題設，此時
當a0時，若，則不成立；
當a0時，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，則.當且僅當
⑴當時，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是減函數(shù)，即
⑵當a時，由⑴知x
當時，所以h(x)h(0)=0，即
綜上，a的取值范圍是[0,.
6．（2010江蘇高考Ｔ20）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。
(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。
(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定設為實數(shù)，
，，且，
若||||，求的取值范圍。
【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。
【思路點撥】(1)求出，并將其表示為的形式，注意.
(2)利用一的結論求解。
【規(guī)范解答】
（1）(i)
∵時，恒成立，
∴函數(shù)具有性質(zhì)；
(ii)（方法一）設，與的符號相同。
當時，，，故此時在區(qū)間上遞增；
當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，而，所以當x1時，所以此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而
當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。
綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增。
（方法二）當時，對于，
所以，故此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而
當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。
綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增。
(2)（方法一）由題意，得：
又對任意的都有0，
所以對任意的都有，在上遞增。
又。
當時，，且，
若，∴，（不合題意）。
綜合以上討論，得所求的取值范圍是（0，1）。
（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。
①當時，有，
，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，
從而有||||，符合題設。
②當時，，
，于是由及的單調(diào)性知，所以||≥||，與題設不符。
③當時，同理可得，進而得||≥||，與題設不符。
因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（共6小題，每小題6分，總分36分）
1.若函數(shù)在R上可導，且，則（C）
A．B．C．D．無法確定
2．函數(shù)在定義域內(nèi)可導，若，且當時，，設，，，則（D）
A．B．C．D．
3．設函數(shù)在上可導，且，則當時有(A)
A．B．
C．D．
4．設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=f(x)的圖像如右圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能的是（C）
5．在區(qū)間上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如圖，函數(shù)的圖象在點P處的切線是，則=（C）．
A．B．0C．D．不確定

二、填空題（共3小題，每小題6分，總分18分）
7．過原點作函數(shù)的圖像的切線，則切點坐標是
8．函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是________
9．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為。
三、解答題（10、11小題各15分，12題16分）
10．已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.
11．（2010安徽安慶高三二模（文））已知函數(shù).
⑴當時，求函數(shù)的最小值；
⑵若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
12．（2010屆北京市朝陽區(qū)高三一模（文））已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，試求的值，并求在點處的切線方程；
（Ⅱ）設，若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍．

參考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命題立意】本題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內(nèi)容。
【思路點撥】先由導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標。
【規(guī)范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函數(shù)y=x2(x0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：
當時，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。
，
由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當a0時，對x∈R有f′(x)0.
∴當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=-1處取得極大值
f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,結合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是
(-3,1).
11．解析：（1）當時，
………2分
令得或（，舍去負值）。………3分
函數(shù)及導數(shù)的變化情況如下表：
∴當時，函數(shù)的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上為單調(diào)函數(shù)，只需對，都有或
，∴，∴………8分
①當時，恒成立即恒成立；………10分
②當時，，∴，∴恒成立；……12分
綜上所述：當時，在上為單調(diào)函數(shù)………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得.
于是函數(shù)，,.
函數(shù)在點處的切線的斜率，
則在點處的切線方程為.…………………………6分
（Ⅱ）當時，是開口向下的拋物線，要使在上存在子區(qū)間使，應滿足或
解得，或，所以的取值范圍是．……14分

【備課資源】
1．（2008全國Ⅱ）設曲線在點處的切線與直線平行，則（）
A．1B．C．D．
【解析】選A.，于是切線的斜率，∴有
2.（2009江西高考）設函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處切線的斜率為()
【解析】選A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是()
【解析】選A.因為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，即在區(qū)間［a,b］上各點處的斜率k是遞增的，由圖易知，選A.
4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當x∈(-,)時,f(x)=x+sinx,則（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)

5.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有極大值又有極小值,則a的取值范圍是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有極大值,又有極小值,則f′(x)=0有兩個不等的實根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009馬鞍山模擬）由直線x=1,x=2,曲線y=sinx及x軸所圍圖形的面積為_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函數(shù)
(1)求的導數(shù);
(2)求證:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009馬鞍山模擬）已知函數(shù)f(x)=x2-alnx,

（1）若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值；
（2）若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;
（3）討論方程f(x)=0解的個數(shù)，并說明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直線y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009蕪湖模擬）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l：y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的極值;
(2)函數(shù)h(x)和φ(x)是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由.
11.（2009山東高考）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)當a,b滿足什么條件時，f(x)取得極值?
(2)已知a0.且f(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得極值,方程ax2+2bx+1=0必須有解，其中Δ=4b2-4a.
當Δ=(2b)2-4a≤0時無極值.
當Δ=(2b)2-4a0，即b2a時.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有兩個不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①當a＞0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
②當a＜0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
綜上所述,當a和b滿足b2＞a時,f(x)能取得極值.

常見的數(shù)列求和及應用

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的常見的數(shù)列求和及應用，供您參考，希望能夠幫助到大家。

常見的數(shù)列求和及應用
一、自主探究
1、等差數(shù)列的前n項和公式：
=。
2、等比數(shù)列的前n項和公式：
①當時，；
②當時，=。
3、常見求和公式有：
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+（2n-1）=
※③=
※④
二、典例剖析
（一）、分組求和法：某些數(shù)列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和。
例1已知，求數(shù)列｛｝的前n項和。

變式練習：已知，求數(shù)列｛｝的前n項和。

（二）、裂項求和法：如果數(shù)列的通項公式可轉化為形式，常采用裂項求和的方法。特別地，當數(shù)列形如，其中是等差數(shù)列，可采用此法
例2求和：（）

變式練習：已知數(shù)列的通項公式，求數(shù)列｛｝的前n項和。

（三）、奇偶并項法：當數(shù)列通項中出現(xiàn)時，常常需要對n取值的奇偶性進行分類討論。
例3求和：

（四）、倒序相加法：此法主要適用數(shù)列前后具有“對稱性”，即“首末兩項之和相等”的形式。
例4求在區(qū)間內(nèi)分母是3的所有不可約分數(shù)之和。

變式練習：已知且.求

（五）錯位相減法：一般地，如果數(shù)列時等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用此法，在等式的兩邊乘以或，再錯一位相減。
例5求和：
變式練習：求和：

三、提煉總結：數(shù)列的求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容,它往往是數(shù)列知識的綜合體現(xiàn)，求和題在試題中更是常見，它常用來考察我們的基礎知識，分析問題和解決問題的能力。任何一個數(shù)列的前n項和都是從第1項一直加到第n項。數(shù)列的求和主要有以下幾種方法。⑴公式法；⑵分組求和法；⑶裂項求和法；拆項成差求和經(jīng)常用到下列拆項公式，請補充完整：①=；
②=；
③=；
④=；
⑷奇偶并項法；⑸倒序相加法；⑹錯位相減法。
四、課堂檢測：
1、已知數(shù)列的通項，由所確定的數(shù)列的前項之和是（）
A.B.C.D.
2、已知數(shù)列為等比數(shù)列，前三項為則等于（）
A.B.C.D.
3、設數(shù)列，（1+2+4），…，（）的前m項和為2036，則m的值為（）
A.8B.9C.10D.11
4、在50和350之間所有末位數(shù)是1的整數(shù)之和是（）
A.5880B.5539C.5280D.4872
5、
6、若,則n=
7、設正項等比數(shù)列的首項，前n項和為，且
①求的通項；
②求的前n項和
8、數(shù)列中，且滿足,
①求數(shù)列的通項公式；
②設是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n均有＞總成立。

2012屆高考數(shù)學備考復習教案

高考綜合演練3

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．若集合,則是()
(A)(B)
(C)(D)

2．在同一坐標系中畫出函數(shù)，，的圖象，可能正確的是（D）
3．已知數(shù)列(D)
A．28B．33C．D．
4．已知非零向量、，若+2與-2互相垂直，則等于（B）
A．B．2
C．D．4
5．如圖，若是長方體被平面EFCH截去幾何體后得到的幾何體，其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且EH//，則下列結論中不正確的是（）
A.EH//FGB.四邊形EFGH是矩形
C.是棱柱D.是棱臺

6．二項式的展開式中所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）
A、4項B、5項C、6項D、7項
7．將7個市三好學生名額分配給5個不同的學校，其中甲、乙兩校至少各有兩個名額，則不同的分配方案種數(shù)有（）
A．25B．35C.60D．120
8．某班有50名學生，在一次考試中，統(tǒng)計數(shù)學平均成績?yōu)?0分，方差為102，后來發(fā)現(xiàn)2名同學的成績有誤，甲實得80分卻記為50分，乙實得60分卻記為90分，更正后平均成績和方差分別為（）
A．70，90B．70，114C．65，90D．65，114
9．曲線在點處的切線方程為（）
（A）（B）（C）（D）
10．函數(shù)是（）
(A)最小正周期為2π的奇函數(shù)（B）最小正周期為2π的偶函數(shù)
(C)最小正周期為π的奇函數(shù)（D）最小正周期為π的偶函數(shù)
11．設，且=sinx+cosx，則（）
A．0≤x≤πB．―≤x≤
C．≤x≤D．―≤x≤―或≤x＜
12．已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則
(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977

二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）
13．設{an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項和．記設為數(shù)列{}的最大項，則=．
14．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且它們在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為.則該橢圓的離心率的取值范圍是.

15．
已知程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結果是_______________.
16．設極點與原點重合，極軸與軸正半軸重合.已知曲線C1的極坐標方程是：，曲線C2參數(shù)方程為：(θ
為參數(shù))，若兩曲線有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是．

三、解答題（本大題共6個小題，總分74分）
17．若向量，在函數(shù)
的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為且當?shù)淖畲笾禐?。
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

18．已知動圓過定點，且與直線相切。
(l)求動圓的圓心軌跡的方程；
(2)是否存在直線，使過點，并與軌跡交于兩點，使以為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

19．如圖，直線與相交
于點P。直線與x軸交于點P1，過點P1作x軸的垂線交直線于點Q1，過點
Q1作y軸的垂線交直線于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線于點Q2，…，
這樣一直作下去，可得到一系列點P1，Q1，P2，Q2，…。點Pn（n=1,2,…）的橫
坐標構成數(shù)列。
(Ⅰ)證明
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅲ)比較與的大小。

20．如圖，在三棱柱中，每個側面均為正方形，為底邊的中點，為側棱的中點.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

21．在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為
(1)求q的值；
(2)求隨機變量的數(shù)學期望E;
(3)試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小.

22．(2010屆廣東高三二模)已知函數(shù)(R)的一個極值點為.方程的兩個
實根為,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的.
(1)求的值和的取值范圍;
(2)若,證明:.

參考答案
一、選擇題
1．
2．D
3．D
4．B
5．【命題立意】本題考查考生對立體幾何體的理解程度、空間想像能力。靈活，全面地考查了考生對知識的理解。
【思路點撥】利用線線平行線線平行線面平行線線平行可以判斷A的正誤，進而判斷其他答案。
【規(guī)范解答】選D，若FG不平行于EH，則FG與EH相交，交點必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四邊形EFGH為矩形，將從正面看過去，就知道是一個五棱柱，C正確；D沒能正確理解棱臺與這個圖形。
【方法技巧】線線平行，線面平行，面面平行是空間中的三種重要的平行關系，他們之間可以進行相互的轉化，他們之間的轉化關系就是我們學習的六個判定定理和性質(zhì)定理，我們要熟練掌握這些定理并利用這些定理進行轉化。

6．D
7．B
8．A
9．【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.
【規(guī)范解答】選A.因為，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.

10．【命題立意】本題考查倍角公式、三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬保分題。
【思路點撥】是奇函數(shù)C正確
【規(guī)范解答】選C因為，所以是最小正周期為π的奇函數(shù)

11．B
12．【命題立意】本題考查正態(tài)分布的基礎知識,考查了考生的推理論證能力和運算求解能力.
【思路點撥】先由服從正態(tài)分布得出正態(tài)曲線關于直線對稱,于是得到
與的關系，最后進行求解.
【規(guī)范解答】選C，因為隨機變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關于直線對稱,又,所以,所以0.954,故選C.

二、填空題
13．【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和、均值不等式等基礎知識．
【思路點撥】化簡利用均值不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵當且僅當即，所以當n=4，即時，最大．
【答案】4.

14．
15．
16．【解析】將兩曲線方程化為直角坐標坐標方程，得C1：，C2：.
因為兩曲線有公共點，所以，即－1≤m≤3，故m∈[－1，3].

三、解答題
17．解析：（I）由題意得
∵對稱中心到對稱軸的最小距離為
的最小正周期為
………………6分
（II）………………10分

18．解析：(1)如圖。設為動圓圓心，，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：
即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，動點的軌跡方程為
（2）由題可設直線的方程為，
由得
或
設，則
因為以為直徑的圓過原點，
則，即，于是
即，
，解得或（舍去）
又，直線存在，其方程為

19．解析：(Ⅰ)證明設點的坐標是由已知條件得
點的坐標分別是：
由在直線上，
得
所以
即
(Ⅱ)解由題設知又由（Ⅰ）知
所以數(shù)列是首項為x1—1,公比為的等比數(shù)列。
從而即，。
(Ⅲ)解由得點P的坐標為（1，1）。
所以
（當，即或時，
而此時0所以故
當0即時，
而此時所以故

20．解析：解法一：證明：（Ⅰ）設的交點為O,連接，連接.
因為為的中點，為的中點,
所以∥且.又是中點，
所以∥且,
所以∥且.
所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.
又平面,平面,則∥平面.
(Ⅱ)因為三棱柱各側面都是正方形，所以，.
所以平面.
因為平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因為側面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.
（Ⅲ）解:取中點，連接.
在三棱柱中，因為平面，
所以側面底面.
因為底面是正三角形，且是中點，
所以，所以側面.
所以是在平面上的射影.
所以是與平面所成角.
.
解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系.
設邊長為2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
.所以，所以∥.
又平面,平面,則∥平面.
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因為，，
所以平面.
（Ⅲ）設側面的法向量為,
因為,,，，
所以，.
由得解得
不妨令，設直線與平面所成角為．
所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為．

21．解析：（1）設該同學在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)=0.25,,P(B)=q,.
根據(jù)分布列知:=0時=0.03,所以，q=0.8.
（2）當=2時,P1=
=0.75q()×2=1.5q()=0.24
當=3時,P2==0.01,
當=4時,P3==0.48,
當=5時,P4=
=0.24
所以隨機變量的分布列為
隨機變量的數(shù)學期望
（3）該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為
;
該同學選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.
由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

22．解析：(1):∵,∴.
∵的一個極值點為,∴.
∴.∴,
當時,;當時,;當時,;
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
∵方程的兩個實根為,即的兩根為,
∴.
∴,.
∵函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,
∴區(qū)間只能是區(qū)間,,之一的子區(qū)間.
由于,故.
若,則,與矛盾.
∴.
∴方程的兩根都在區(qū)間上.
令,的對稱軸為,
則解得.
∴實數(shù)的取值范圍為.
說明:6分至8分的得分點也可以用下面的方法.
∵且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,
∴.
由即解得.∴實數(shù)的取值范圍為.
(2)證明:由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
∵,
.
令,則,.
設,則.
∵,∴.∴.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增

2012屆高考數(shù)學備考復習：統(tǒng)計

專題六：概率與統(tǒng)計、推理與證明、算法初步、復數(shù)
第三講統(tǒng)計、統(tǒng)計案例

【最新考綱透析】
1．隨機抽樣
（1）理解隨機抽樣的必要性和重要性；
（2）會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。
2．用樣本估計總體
（1）了解分布的意義和作用，會列表率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點；
（2）理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；
（3）能從樣本數(shù)據(jù)中撮基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋；
（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；
（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。
3．變量的相關性
（1）會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系；
（2）了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。
4．回歸分析及獨立性檢驗
了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用，了解獨立性檢驗（只要求2×2列）的基本思想、方法及簡單應用。

【核心要點突破】
要點考向1：隨機抽樣
考情聚焦：1．隨機抽樣問題和實際生活緊密相連，是高考考查的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．解決有關隨機抽樣問題首先要深該理解各種抽樣方法的特點和適用范圍，如分層抽樣，適用于數(shù)目較多且各部分之間具有明顯差異的總體；
2．系統(tǒng)抽樣中編號的確定和分層抽樣中各層人數(shù)的確定是高考重點考查的內(nèi)容。
例1：（2010四川高考文科Ｔ4）一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）.
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
【命題立意】本題主要考查分層抽樣的概念，考查應用所學知識解決實際問題的能力.
【思路點撥】首先計算抽樣比例，再計算每層抽取人數(shù).
【規(guī)范解答】選D抽樣比例為，故各層中依次抽取的人數(shù)為人，人，人，人.故選D.
要點考向2：頻率分布直方圖或頻率分布表
考情聚焦：1．頻率分布直方圖或頻率分布表近幾年頻繁地出現(xiàn)在各地高考題中，是高考的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題。
考向鏈接：解決該類問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，通過圖表掌握信息是解決該類問題的關鍵。頻率分布指的是樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占的比例大小，一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其中
（1）頻率分布直方圖中縱軸表示，；
（2）在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比；
（3）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種描述形式，前者準確，后者直觀；
（4）眾數(shù)為最高矩形的底邊中點的橫坐標；
（5）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；
（6）平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。
例2：（2010北京高考理科Ｔ11）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a＝。若要從身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參
加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為。
【命題立意】本題考查頻率頒布直方圖，抽樣方法中的分層抽樣。熟練掌握頻率頒布直方圖的性質(zhì)，分層抽樣的原理是解決本題的關鍵。
【思路點撥】利用各矩形的面積之和為1可解出。分層抽樣時，選算出身高在[140，150]內(nèi)的學生在三組學生中所占比例，再從18人中抽取相應比例的人數(shù)。
【規(guī)范解答】各矩形的面積和為：，解得。身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：30、20、10，人數(shù)的比為3：2：1，因此從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為18=3人。
【參考答案】0.0303。
要點考向3：莖葉圖
考情聚焦：1．莖葉圖是新課標新增內(nèi)容，與實際生活聯(lián)系密切，可方便處理數(shù)據(jù)，在高考中時有考查，莖葉圖可能成為高考的熱點；
2．三種考查形式均有可能出現(xiàn)，屬于容易題。
考向鏈接：1．莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況；
2．在作莖葉圖或讀莖葉圖時，首先要弄清楚“莖”和“葉”分別代表什么；
3．根據(jù)莖葉圖，我們可方便地求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)，大體上估計出兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小號穩(wěn)定性的高低。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ11）（2010馬鞍山模擬）為檢測學生的體溫狀況，隨機抽取甲，乙兩個班級各10名同學，測量他們的體溫（單位0.1攝氏度）獲得體溫數(shù)據(jù)的莖葉圖，如圖所示.
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班級的平均體溫較高；
（Ⅱ）計算乙班的樣本平均數(shù)，方差；
（Ⅲ）現(xiàn)在從甲班中隨機抽取兩名體溫不低于36.4攝氏度的同學，
求體溫為37.1攝氏度的同學被抽到的概率
【解析】（Ⅰ）甲班的平均體溫：
（35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1）÷10＝36.36
乙班的平均體溫：
（35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0）÷10＝36.30
故甲班的平均體溫較高.
（Ⅱ）乙班的樣本平均數(shù)：36.3
方差：0.134
（Ⅲ）甲班體溫不低于36.4攝氏度的有5人，故。
要點考向4：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標準差
考情聚焦：1．近幾年高考加強了對平均數(shù)、方差、標準差的考查，這也是高考貼近實際生活的體現(xiàn)，應引起高度重視；
2．三種題型均有可能出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則
（1）數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
（2）若的平均數(shù)為；的平均數(shù)為，則的平均數(shù)
（3）或
（4）數(shù)據(jù)的方差與的方差相等；
（5）數(shù)據(jù)的方差為。
例4：（2010遼寧高考理科Ｔ18）為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗結果.（皰疹面積單位：mm2）表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
頻數(shù)30402010
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
頻數(shù)1025203015
（?。┩瓿上旅骖l率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小；
（ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.

表3
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝b＝
注射藥物Bc＝d＝
合計n＝
附：K2＝
【命題立意】本題考查了古典概型、頻率分布直方圖、獨立性檢驗等知識。
【思路點撥】（I）
（II）計算小長方形的高，作圖
【規(guī)范解答】解：
（Ⅰ）甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為
……4分
（Ⅱ）（i）
圖Ⅰ注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖Ⅱ注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖
可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)。
（ii）表3：

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積有差異”。
【方法技巧】
1、在頻率分布直方圖中，小長方形的高是頻率與組距的比值，不要當成了頻率。
2、根據(jù)頻率分布直方圖確定中位所在的大致區(qū)間，就是在直方圖中做一條垂直于橫軸的直線，使直線兩側的小長方形的面積大致相等，則直線的垂足所在區(qū)間就是中位數(shù)所在的區(qū)間。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積沒有差異”的概率，所以有關的概率是1-P(K210.828)＝99.9％
要點考向5：線性回歸方程
考情聚焦：1．近幾年高考雖然沒有考查線性回歸方程，但它在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，應引起重視；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬中、低題目。
例5：（2010湖南高考文科Ｔ3）某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關，則其回歸方程可能是（）
A.B.
C.D.
【命題立意】以樸素的題材為背景，讓學生感受線性回歸的意義，變量之間的變化趨勢.
【思路點撥】負相關說明斜率為負，而價格為0時，銷量不能為負。
【規(guī)范解答】∵商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關，∴a0，排除B，D.又∵x=0時，y0,∴答案為A.
【方法技巧】回歸問題主要研究變量之間的相關性，變化趨勢，分為正相關和負相關，線性相關不是研究變量之間的確定性，而是相關性，即有關聯(lián).求斜率和截距常用給定的公式.
要點考向6：獨立性檢驗
考情聚焦：1．獨立性檢驗是新課標的新增內(nèi)容，2009年遼寧等省高考題對此作了考查，應引起高度重視；
2．呈現(xiàn)方式可以是選擇題、填空題、解答題，屬容易題。
例6：（2010遼寧高考文科Ｔ18）為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B的試驗結果.（皰疹面積單位：mm2）
表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
頻數(shù)30402010
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
頻數(shù)1025203015
（Ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;
（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.
表3
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝b＝
注射藥物Bc＝d＝
合計n＝
附：K2＝
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828
【命題立意】考查了頻率分布直方圖、中位數(shù)、獨立性檢驗的知識。
【思路點撥】（I）根據(jù)頻率分布直方圖，估計中位的范圍，比較中位數(shù)的大小。
（II）將各數(shù)據(jù)代入公式計算，比較
【規(guī)范解答】
（I）
可以看出注射藥物A后的皰疹面的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)。

（II）
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝70b＝30100
注射藥物Bc＝35d＝65100
合計10595n＝200
由于所以有99％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。
【方法技巧】
1、在做頻率分布直方圖時，一定要注意，小長方形的高表示的是頻率與組距的比，不要當成了頻率。
2、根據(jù)頻率分布直方圖確定中位所在的大致區(qū)間，就是在直方圖中做一條垂直于橫軸的直線，使直線兩側的小長方形的面積大致相等，則直線的垂足所在區(qū)間就是中位數(shù)所在的區(qū)間。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積沒有差異”的概率，所以有關的概率是1-P(K210.828)＝99.9％。

【高考真題探究】
1．（2010陜西高考文科Ｔ4）如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為,樣本標準差分別為sA和sB,則（）
(A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB
【命題立意】本題考查樣本平均數(shù)、標準差的概念的靈活應用，屬保分題。
【思路點撥】直接觀察圖像易得結論，不用具體的運算
【規(guī)范解答】選B由圖易得＜，又A波動性大，B波動性小，所以sA＞sB
【方法技巧】統(tǒng)計內(nèi)容有抽樣方法、樣本特征數(shù)（均值、方差，直方圖等）、回歸分析、預測（應用）等，體現(xiàn)算法思想．弄清基本概念，原理，計算方法等．
2．（2010山東高考理科Ｔ6）樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,,若該樣本的平均值為1，則樣本方差為
(A)(B)(C)(D)2
【命題立意】本題考查用樣本的平均數(shù)、方差,考查了考生的運算求解能力.
【思路點撥】先由平均值求出a，再利用方差的計算公式求解.
【規(guī)范解答】選D,由題意知,解得,所以樣本方差為
=2,故選D.
3．（2010福建高考文科Ｔ9）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
【命題立意】本題考查中位數(shù)與平均數(shù)的求解。
【思路點撥】把數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)，平均數(shù)是把所有的數(shù)據(jù)加起來除以數(shù)據(jù)的個數(shù)。
【規(guī)范解答】選A，數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)為，平均數(shù)為。
【方法技巧】給出實際數(shù)據(jù)求解中位數(shù)和平均數(shù)等數(shù)據(jù)特征相對較為容易，但是同學也要理解“眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系”，會用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。
1.眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)；
2.中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)。
3.平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.
4．（2010廣東高考理科Ｔ7）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則P（X4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585
【命題立意】本題考察隨機變量的正態(tài)分布的意義。
【思路點撥】由已知條件先求出，再求出的值。
【規(guī)范解答】選

5．（2010廣東高考文科Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（單位：萬元）與年平均支出Y（單位：萬元）的統(tǒng)計資料如下表所示：
根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是，家庭年平均收入與年平均支出有_________線性相關關系.
【命題立意】本題考察統(tǒng)計中基本特征量的意義以及變量間的關系.
【思路點撥】按大小排列出收入數(shù)據(jù)的順序，找出中間的那個數(shù)據(jù).
【規(guī)范解答】收入數(shù)據(jù)按大小排列為：、、、、，所以中位數(shù)為13.
【參考答案】正向.
6．（2010陜西高考理科Ｔ19）為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：
（Ⅰ）估計該校男生的人數(shù)；
（Ⅱ）估計該校學生身高在170~185cm之間的概率；
（Ⅲ）從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170~180cm之間的概率。
【命題立意】本題考查了分層抽樣的概念、條形圖的識別、概率的簡單求法等基礎知識，考查了同學們利用所學知識解決實際問題的能力。
【思路點撥】讀懂頻數(shù)條形圖是解題的關鍵
【規(guī)范解答】（Ⅰ）樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400。
（Ⅱ）由統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170~185cm之間的學生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170~185cm之間的頻率故由估計該校學生身高在170~180cm之間的概率
（Ⅲ）樣本中女生身高在165~180cm之間的人數(shù)為10，身高在170~180cm之間的人數(shù)為4。
設A表示事件“從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，至少有1人身高在170~180cm之間”，則

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況,抽出了一個容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在［50,60)元的同學有30人,則n的值為()
(A)90(B)100(C)900(D)1000
2．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，
則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（）
A．62B．63C．64D．65

3.在研究某種新藥對雞瘟的防治效果問題時，得到了以下數(shù)據(jù)：
下列結論中正確的一項是（）
(A)有95%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(B)有99%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(C)有99.9%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(D)沒有充分證據(jù)顯示新藥對防治雞瘟有效
4.如圖是甲、乙兩名射擊運動員各射擊10次后所得到的成績的莖葉圖(莖表示成績的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點后的數(shù)字),由圖可知:（）
(A)甲、乙中位數(shù)的和為18.2，乙穩(wěn)定性高
(B)甲、乙中位數(shù)的和為17.8,甲穩(wěn)定性高
(C)甲、乙中位數(shù)的和為18.5，甲穩(wěn)定性高
(D)甲、乙中位數(shù)的和為18.65，乙穩(wěn)定性高
5.甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤?br> s1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（）
（A）s3s1s2
（B）s2s1s3
（C）s1s2s3
（D）s2s3s1
6.為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg),得到頻率分布直方圖如圖：
根據(jù)圖可得這100名學生中體重在［56.5,64.5）的學生人數(shù)是（）
（A）20（B）30（C）40（D）50
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.高三(1)班共有56人,學號依次為1,2,3,…,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本,已知學號為6,34,48的同學在樣本中,那么還有一個同學的學號應為______.
8．某學校有初中生1100人，高中生900人，教師100人，現(xiàn)對學校的師生進行樣本容量為的分層抽樣調(diào)查，已知抽取的高中生為60人，則樣本容量________
9．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次.記錄如下:
甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(1)畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖,指出學生乙成績的中位數(shù),并說明它在乙組數(shù)據(jù)中的含義;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽,從平均狀況和方差的角度考慮,你認為派哪位學生參加合適?請說明理由;
(3)若將頻率視為概率,對學生甲在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預測,記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.
11.班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）
（2）隨機抽出8位，他們的數(shù)學分數(shù)從小到大排序是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的概率;
②若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應如表:
根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關系數(shù)或散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關性，請說明理由.
參考公式：相關系數(shù)
回歸直線的方程是：
其中；其中是與對應的回歸估計值。
參考數(shù)據(jù)：
12.(探究創(chuàng)新題)某企業(yè)為了更好地了解設備改造前后與生產(chǎn)合格品的關系,隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析,其中設備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件,根據(jù)上面的數(shù)據(jù)判定,產(chǎn)品是否合格與設備是否改進有沒有關系?

參考答案
1．【解析】選B.由頻率分布直方圖知,支出在［50,60)元的頻率為1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，∴=0.3,∴n=100.
2．【解析】選C.甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36.所以甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是64.
3．【解析】選A.
因為6.6233.841，所以有95%的把握認為新藥對防治雞瘟有效.
4．【解析】選A.由莖葉圖知甲的中位數(shù)是9.05,乙的中位數(shù)是9.15,故甲、乙中位數(shù)的和為18.2,看莖葉圖知乙穩(wěn)定性比甲高,故選A.
5．
6．【解析】選C.通過觀察圖象知：體重在［56.5,64.5）的頻率為(58.5-56.5)×0.03+(60.5-58.5)×0.05+(62.5-60.5)×0.05
+(64.5-62.5)×0.07=0.4.
故體重在［56.5,64.5）的學生人數(shù)是0.4×100=40.
7．【解析】由題意知,學號組成以=14為公差的等差數(shù)列,故還有一個同學的學號為20.
答案:20
8．【解析】，解之得
答案：140
9．答案：12
10．【解析】(1)莖葉圖如下:
學生乙成績中位數(shù)為84,它是這組數(shù)據(jù)最中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù).(中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中)
甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適。
（3）記“甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件A，則P（A）=。
隨機變量的可能取值為0，1，2，3，
且服從二項分布
故的分布列為
11．[解析]（1）應選女生（位），男生3（位），可以得到不同的樣本個數(shù)是。
（2）①這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理成績均成優(yōu)秀，則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應，種數(shù)是，然后使剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應，種數(shù)是。根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是。這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應的種數(shù)共有種。故所求的概率
②變量y與x的相關系數(shù)是可以看出，物理與數(shù)學成績是高度正相關。以數(shù)學成績x為橫坐標，物理作散點圖如圖所示。
從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理成績與數(shù)學成績是高度正相關。
設y與x的線性回歸方程為
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出
所以y與x的線性回歸方程是
12．【解析】由已知數(shù)據(jù)得到下表
∵12.38＞6.635,
∴有99%的把握認為產(chǎn)品是否合格與設備是否改造是有關的.

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1.以下五個命題
①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣
②樣本方差反映了樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度
③在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好
④在回歸直線方程=0.1x+10中,當解釋變量x每增加一個單位時,預報變量增加0.1個單位
⑤在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2=13.079,則其兩個變量間有關系的可能性是90%以上.
其中正確的是()
(A)②③④⑤(B)①③④
(C)①③⑤(D)②④
【解析】選A.①描述的抽樣方法應該是系統(tǒng)抽樣,故①錯誤.
2.某班50名學生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間,將測試結果按如下方式分成六組:第一組,成績大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于等于14秒且小于15秒;…;第六組,成績大于等于18秒且小于等于19秒.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設成績小于17秒的學生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為()
(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45
【解析】選A.根據(jù)頻率分布直方圖的意義,成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總人數(shù)的百分比為(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為(0.36+0.34)×1×50=35.
3.某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示,在某時段內(nèi),有1000輛汽車通過該站,現(xiàn)在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析,分析的結果表示為如圖的頻率分布直方圖,則估計在這一時段內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的約有()
(A)100輛(B)200輛(C)300輛(D)400輛
【解析】選C.由頻率分布直方圖知速度不小于90km/h的頻率為1-(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,故速度不小于90km/h的汽車約有1000×0.3=300輛.
4.下圖是甲、乙兩種玉米生長高度抽樣數(shù)據(jù)的莖葉圖,設甲的中位數(shù)為a,乙的眾數(shù)為b,則a與b的大小關系為________.
【解析】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)是26,乙的眾數(shù)為26,故a=b.
答案:a=b
5.為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況,采用簡單隨機抽樣的方法,從該校200名授課教師中抽取20名教師,調(diào)查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數(shù),結果用莖葉圖表示如圖：據(jù)此可估計該校上學期200名教師中,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內(nèi)的人數(shù)為________.
【解析】由莖葉圖知,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內(nèi)的人數(shù)為6,頻率為,故估計200名教師中,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內(nèi)的有200×=60人.
答案:60