小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)教案。

一名優(yōu)秀負責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，使高中教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高考數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)教案”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

90題突破高中數(shù)學(xué)圓錐曲線
1.如圖，已知直線L：的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線上的射影依次為點D、E。
（1）若拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）（理）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。
（文）若為x軸上一點,求證:

2.如圖所示，已知圓定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E。
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足的取值范圍。
3.設(shè)橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點P，交x軸正半軸于點Q，且
⑴求橢圓C的離心率；
⑵若過A、Q、F三點的圓恰好與直線
l：相切，求橢圓C的方程.
4.設(shè)橢圓的離心率為e=
（1）橢圓的左、右焦點分別為F1、F2、A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程.
（2）求b為何值時，過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲線上任意一點P到兩個定點F1(-，0)和F2(，0)的距離之和為4．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)過(0，-2)的直線與曲線交于C、D兩點，且為坐標(biāo)原點），求直線的方程．
6.已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（Ⅰ）當(dāng)m＋n0時，求橢圓離心率的范圍；
（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．
7.有如下結(jié)論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為A、B.
（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）當(dāng)點M在的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積
8.已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．
9.橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，一個頂點為，右焦點與點的距離為。
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說明理由。
10.橢圓方程為的一個頂點為，離心率。
（1）求橢圓的方程；
（2）直線：與橢圓相交于不同的兩點滿足，求。
11.已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標(biāo)為．
(1)若橢圓的離心率，求的方程；
（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
12.已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若，求證：曲線是一個圓；
（Ⅱ）若，當(dāng)且時，求曲線的離心率的取值范圍．
13.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，A是橢圓C上的一點，且，坐標(biāo)原點O到直線的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點，較y軸于點M，若，求直線l的方程．
14.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點的切線方程為為常數(shù)）.
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足，求證線段PM的中點在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當(dāng)時，若P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)的取值范圍.
15.已知動點A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且
設(shè)點P的軌跡方程為c。
（1）求點P的軌跡方程C；
（2）若t=2，點M、N是C上關(guān)于原點對稱的兩個動點（M、N不在坐標(biāo)軸上），點Q
坐標(biāo)為求△QMN的面積S的最大值。
16.設(shè)上的兩點，
已知，，若且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由
17.如圖，F(xiàn)是橢圓(ab0)的一個焦點，A,B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且，求直線l2的方程．
18.如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.
19.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經(jīng)過點.直線交橢圓于兩不同的點.
20.設(shè)，點在軸上，點在軸上，且
（1）當(dāng)點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；
（2）設(shè)是曲線上的點，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點時，求點坐標(biāo).
21.已知點是平面上一動點，且滿足
（1）求點的軌跡對應(yīng)的方程；
（2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結(jié)論.
22.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．
23.過直角坐標(biāo)平面中的拋物線的焦點作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點。
（1）用表示A，B之間的距離；
（2）證明：的大小是與無關(guān)的定值，
并求出這個值。
24.設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點
(1)設(shè)橢圓C上的點到兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)
(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點B的軌跡方程
(3)設(shè)點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為試探究的值是否與點P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。
25.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.
26.如圖所示，已知橢圓：，、為
其左、右焦點，為右頂點，為左準(zhǔn)線，過的直線：與橢圓相交于、
兩點，且有：（為橢圓的半焦距）
（1）求橢圓的離心率的最小值；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若,，
求證：、兩點的縱坐標(biāo)之積為定值；
27.已知橢圓的左焦點為，左右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓，其中圓心的坐標(biāo)為
（1）當(dāng)＞時，橢圓的離心率的取值范圍
（2）直線能否和圓相切？證明你的結(jié)論
28.已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.
（I）證明:為定值;
（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
(Ⅲ)證明直線PQ恒過一個定點.
29.已知橢圓C：上動點到定點,其中的距離的最小值為1.
（1）請確定M點的坐標(biāo)
（2）試問是否存在經(jīng)過M點的直線,使與橢圓C的兩個交點A、B滿足條件（O為原點）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。
30.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點.
（Ⅰ）若線段中點的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點，使的值與無關(guān)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
31.直線AB過拋物線的焦點F，并與其相交于A、B兩點。Q是線段AB的中點，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點．O是坐標(biāo)原點．
(I)求的取值范圍；
(Ⅱ)過A、B兩點分剮作此撒物線的切線，兩切線相交于N點．求證：∥;
(Ⅲ)若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，△ABN的面積的取值范圍為時，求該拋物線的方程．
32.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.
（Ⅰ）當(dāng)時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
33.已知點和動點滿足：,且存在正常數(shù)，使得。
（1）求動點P的軌跡C的方程。
（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點E，F(xiàn)，且與y軸的交點為D。若求的值。
34.已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點，右焦點到上頂點的距離為，點是線段上的一個動點.
（I）求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,使得,并說明理由.
35.已知橢圓C：(.
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點的直線與橢圓C交于不同的兩點，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率k的取值范圍;
（3）如圖，過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點，設(shè)原點到四邊形一邊的距離為，試求時滿足的條件.
36.已知若過定點、以()為法向量的直線與過點以為法向量的直線相交于動點．
(1)求直線和的方程;
(2)求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個定點使得恒為定值；
(3)在（2）的條件下，若是上的兩個動點，且，試問當(dāng)取最小值時，向量與是否平行，并說明理由。
37.已知點,點(其中)，直線、都是圓的切線．
（Ⅰ）若面積等于6，求過點的拋物線的方程；
（Ⅱ）若點在軸右邊，求面積的最小值．
38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學(xué)們進行研究并完成下面問題。
（1）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。
（2）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線
（m、n不同時為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1d2的值。
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。
（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。
39.已知點為拋物線的焦點，點是準(zhǔn)線上的動點，直線交拋物線于兩點，若點的縱坐標(biāo)為，點為準(zhǔn)線與軸的交點．
（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）求的面積范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，求證為定值．
40.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.
41.已知以向量為方向向量的直線過點，拋物線：的頂點關(guān)于直線的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)、是拋物線上的兩個動點，過作平行于軸的直線，直線與直線交于點，若（為坐標(biāo)原點，、異于點），試求點的軌跡方程。
42.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.
（Ⅰ）當(dāng)時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，
與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，
試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
43.設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
(Ⅲ)若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，MNAB，求證：為定值．
44.設(shè)是拋物線的焦點，過點M(－1，0)且以為方向向量的直線順次交拋物線于兩點。
（Ⅰ）當(dāng)時，若與的夾角為，求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點滿足，證明為定值，并求此時△的面積
45.已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足.
（Ⅰ）當(dāng)點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點，且1,0,，求實數(shù)，
使，且.
46.已知橢圓的右焦點為F，上頂點為A，P為C上任一點，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。
（1）已知橢圓的離心率；
（2）若的最大值為49，求橢圓C的方程.

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圓錐曲線最經(jīng)典題型研究
第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查

1、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)雙曲線的—個焦點為F；虛軸的—個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那么此雙曲線的離心率為
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文數(shù)）8.動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為y28x。
4、（2010全國卷2理數(shù)）（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為．若，則．
若雙曲線-=1(b0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等于。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點為,點滿足,則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點個數(shù)_____。
6、已知點P是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，I為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重慶理數(shù)）（10）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是
A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線
解析：排除法軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點，排除B
9、（2010四川理數(shù)）橢圓的右焦點，其右準(zhǔn)線與軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是
（A）（B）（C）（D）
解析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點，
即F點到P點與A點的距離相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理數(shù)）若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀區(qū)2010年4月高三第一次模擬考試?yán)砜圃囶}）已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且它們在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為.則該橢圓的離心率的取值范圍是.
12、（2010年4月北京市西城區(qū)高三抽樣測試?yán)砜疲┮阎p曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則的最小值為___________.
13、（北京市東城區(qū)2010屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)理科）直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，若原點在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是．

14、（2010全國卷1文數(shù)）已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠=，則
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全國卷1理數(shù)）(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重慶理數(shù)）(14)已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足,則弦AB的中點到準(zhǔn)線的距離為___________.
解析：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知
中，AC=2m,AB=4m,
直線AB方程為
與拋物線方程聯(lián)立消y得
所以AB中點到準(zhǔn)線距離為
17、（2010上海文數(shù)）已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點.
（1）若點滿足，求點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；
（3）設(shè)點在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，，點的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的坐標(biāo).
解析：(1)；
(2)由方程組，消y得方程，
因為直線交橢圓于、兩點，
所以0，即，
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標(biāo)為(x0,y0)，
則，
由方程組，消y得方程(k2k1)xp，
又因為，所以，
故E為CD的中點；
(3)因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．
，直線OF的斜率，直線l的斜率，
解方程組，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全國卷2理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）
己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．

19、（2010安徽文數(shù)）橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標(biāo)軸，
焦點在軸上，離心率。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、（2010全國卷1理數(shù)）（21）(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關(guān)于軸的對稱點為D.
（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；
（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程.

21、（2010江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m0,。
（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；
（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；
（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。

22、在直角坐標(biāo)系中，點M到點的距離之和是4，點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線與軌跡C交于不同的兩點P和Q.
（I）求軌跡C的方程；
（II）當(dāng)時，求k與b的關(guān)系，并證明直線過定點.
解：（1）的距離之和是4，
的軌跡C是長軸為4，焦點在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為…………3分
（2）將，代入曲線C的方程，
整理得
…………5分
因為直線與曲線C交于不同的兩點P和Q，
所以①
設(shè)，則
②…………7分
且③
顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點A（-2，0），
所以
由
將②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即經(jīng)檢驗，都符合條件①
當(dāng)b=2k時，直線的方程為
顯然，此時直線經(jīng)過定點（-2，0）點.
即直線經(jīng)過點A，與題意不符.
當(dāng)時，直線的方程為
顯然，此時直線經(jīng)過定點點，且不過點A.
綜上，k與b的關(guān)系是：
且直線經(jīng)過定點點…………13分

23、（北京市朝陽區(qū)2010年4月高三年級第二學(xué)期統(tǒng)一考試?yán)砜疲ū拘☆}滿分13分）
已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點M.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點M的坐標(biāo)；
（3））是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由.
解（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為.……………………4分
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由得.①
因為直線與橢圓相切，所以
整理，得解得[
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點橫坐標(biāo)為1，故切點M坐標(biāo)為…………9分
（Ⅲ）若存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得
因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為
所以
所以.
又，
因為即，
所以.
即
所以，解得
因為A，B為不同的兩點，所以.
于是存在直線1滿足條件，其方程為………………………………13分
24、直線的右支交于不同的兩點A、B.
（I）求實數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
答案：.解：（Ⅰ）將直線
……①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為、，則由①式得
……②
假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c,0）.
則由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化簡得
解得
可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.

圓錐曲線

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？下面是小編為大家整理的“圓錐曲線”，希望能對您有所幫助，請收藏。

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)教案

圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩定義：
第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在軸上時（），焦點在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B）。
（2）雙曲線：焦點在軸上：=1，焦點在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。

3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。
（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。
提醒：在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。

4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：
（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。
（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。
（3）拋物線（以為例）：①范圍：；②焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線。
5、點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上＝1；（3）點在橢圓內(nèi)

6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：
（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。

提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。
7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：，當(dāng)即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線。如（1）短軸長為，
8、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點，則A，O，C三點共線。

9、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。
拋物線：
在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。
提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！

11．了解下列結(jié)論
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）。
（3）中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點弦為AB，，則①；②
（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點

12、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：
（1）給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點;
（3）給出,等于已知是的中點;
（4）給出,等于已知與的中點三點共線;
（5）給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線.
（6）給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角,給出,等于已知是銳角,
（8）給出,等于已知是的平分線/
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；
（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；
（16）在中，給出,等于已知是中邊的中線;
（3）已知A,B為拋物線x2=2py(p0)上異于原點的兩點，，點C坐標(biāo)為（0，2p）
（1）求證：A,B,C三點共線；
（2）若＝（）且試求點M的軌跡方程。
（1）證明：設(shè)，由得
，又
，，即A,B,C三點共線。
（2）由（1）知直線AB過定點C，又由及＝（）知OMAB，垂足為M，所以點M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點。即點M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。

13.圓錐曲線中線段的最值問題：
例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點P的坐標(biāo)為______________
(2)拋物線C:y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標(biāo)為。
分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點共線時，距離和最小。
（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點共線時，距離和最小。解：（1）（2，）（2）（）
1、已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。
(1)求雙曲線C2的方程；
(2)若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范圍。
解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C2的方程為，則
故C2的方程為（II）將
由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得
即①
.由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B得
解此不等式得③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y=-3上，M點滿足MB//OA，MAAB=MBBA，M點的軌跡為曲線C。
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。
(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲線C的方程式為y=x-2.(Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。
則O點到的距離.又，所以
當(dāng)=0時取等號，所以O(shè)點到距離的最小值為2.
設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于()
設(shè)雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為().
過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為
已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則＝()0

已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則()

已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（）

設(shè)已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線l的方程為_____________.
橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則；的大小為.

過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則________________
【解析】設(shè)切點，則切線的斜率為.由題意有又解得:
雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,
由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是，于是兩焦點坐標(biāo)分別是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.
∴＝
【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為直線
恒過定點P.如圖過分別作于,于,由,則,點B為AP的中點.連結(jié),則,
點的橫坐標(biāo)為,故點的坐標(biāo)為
,故選D
1.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.
2.PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.
4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.
5.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
6.若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
7.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.
8.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：
,(,).
9.設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點，則MF⊥NF.
10.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
11.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，
即。
12.若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.
13.若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.
二、雙曲線
1.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角.
2.PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.
4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）
5.若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
6.若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.
7.雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.
8.雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,
當(dāng)在右支上時，,.
當(dāng)在左支上時，,
9.設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點，則MF⊥NF.
10.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
11.AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。
12.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.
13.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.
橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)--（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）
橢圓
1.橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.
2.過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.
3.若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,,，則.
4.設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.
5.若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.
6.P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.
7.橢圓與直線有公共點的充要條件是.
8.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.
9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
10.已知橢圓（a＞b＞0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.
11.設(shè)P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).
12.設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13.已知橢圓（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.
14.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.
15.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16.橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).
（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）
17.橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.
18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.
雙曲線
1.雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.
2.過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.
3.若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,,，則（或）.
4.設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.
5.若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.
6.P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.
7.雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.
8.已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.
9.過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
10.已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.
11.設(shè)P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).
12.設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).
(2).(3).
13.已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.
14.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.
15.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16.雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).
(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).
17.雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.
18.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.

其他常用公式：
1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：
2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。
3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)
與直線垂直的直線可表示為。
4、兩平行線間的距離為。
5、若直線與直線平行
則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）
6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。
7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；
8、為直徑端點的圓方程
切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）
9、弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。

攻克圓錐曲線解答題的策略
摘要:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高考，可從四個方面著手：知識儲備、方法儲備、思維訓(xùn)練、強化訓(xùn)練。
關(guān)鍵詞：知識儲備方法儲備思維訓(xùn)練強化訓(xùn)練
第一、知識儲備：
1.直線方程的形式
（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。
（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容
①傾斜角與斜率
②點到直線的距離③夾角公式：
（3）弦長公式
直線上兩點間的距離：
或
（4）兩條直線的位置關(guān)系
①=-1②
2、圓錐曲線方程及性質(zhì)
(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）
標(biāo)準(zhǔn)方程：
距離式方程：
參數(shù)方程：
(2)、雙曲線的方程的形式有兩種
標(biāo)準(zhǔn)方程：
距離式方程：
(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？
(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？
如：已知是橢圓的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M滿足則動點M的軌跡是（）
A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線
(5)、焦點三角形面積公式：
（其中）
(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。
（2）
（3）
(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？
第二、方法儲備
1、點差法（中點弦問題）
設(shè)、，為橢圓的弦中點則有
，；兩式相減得
=
2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？
設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到○1○2兩個式子，然后○1-○2，整體消元，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。
例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;
（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.
分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出AB⊥AC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程；
解：（1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0)則有
兩式作差有(1)
F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直線BC的方程為
2)由AB⊥AC得（2）
設(shè)直線BC方程為，得
，
代入（2）式得
，解得或
直線過定點（0，，設(shè)D（x,y），則，即
所以所求點D的軌跡方程是。
4、設(shè)而不求法
例2、如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍。
分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系，如圖，若設(shè)C，代入，求得，進而求得再代入，建立目標(biāo)函數(shù)，整理，此運算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略,
建立目標(biāo)函數(shù)，整理,化繁為簡.
解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD⊥軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱
依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點坐標(biāo)公式得
，
設(shè)雙曲線的方程為，則離心率
由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得
，①
②
由①式得，③
將③式代入②式，整理得
，
故
由題設(shè)得，
解得
所以雙曲線的離心率的取值范圍為
分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫坐標(biāo)表示，回避的計算,達到設(shè)而不求的解題策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由題設(shè)得，
解得
所以雙曲線的離心率的取值范圍為
5、判別式法
例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當(dāng)時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標(biāo)。
分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式.由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：
解題過程略.
分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：

簡解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為：
于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.
由于，所以，從而有
于是關(guān)于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等價于
.
由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得.
點評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.
例4已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.
分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.
由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.
通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).

在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。
簡解：設(shè)，則由可得：，
解之得：（1）
設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化簡得：(3)
與聯(lián)立，消去得：
在（2）中，由，解得，結(jié)合（3）可求得
故知點Q的軌跡方程為：（）.
點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.
6、求根公式法
例5設(shè)直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.
分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展,問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.
分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量——直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

簡解1：當(dāng)直線垂直于x軸時，可求得;
當(dāng)與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
解之得
因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.
當(dāng)時，，，
所以===.
由,解得，
所以，
綜上.
分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來.一般來說，韋達定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.

簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
（*）
則
令，則，
在（*）中，由判別式可得，
從而有，所以，解得.
結(jié)合得.
綜上，.
點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.
解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.
第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。
例6橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。
思維流程：

解題過程：
（Ⅰ）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則
又∵即，∴
故橢圓方程為
（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則
設(shè)，∵，故，
于是設(shè)直線為，由得，
∵又
得即
由韋達定理得
解得或（舍）經(jīng)檢驗符合條件．
點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．
例7、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當(dāng)Δ內(nèi)切圓的面積最大時，求Δ內(nèi)心的坐標(biāo)；
思維流程：
（Ⅰ）

解題過程：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，將、、代入橢圓E的方程，得
解得.∴橢圓的方程．
（Ⅱ），設(shè)Δ邊上的高為
當(dāng)點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．
設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因為Δ的周長為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.
點石成金：
例8、已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.
（Ⅰ）若線段中點的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
思維流程：
（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
將代入，消去整理得
設(shè)
則
由線段中點的橫坐標(biāo)是，得，解得，符合題意。
所以直線的方程為，或.
（Ⅱ）解：假設(shè)在軸上存在點，使為常數(shù).
①當(dāng)直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知
所以
將代入，整理得
注意到是與無關(guān)的常數(shù)，從而有，此時
②當(dāng)直線與軸垂直時，此時點的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時，亦有
綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù).
點石成金：
例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個不同點。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
思維流程：
解：（1）設(shè)橢圓方程為
則∴橢圓方程為
（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又KOM=
由
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可
設(shè)
則
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形
例10、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
思維流程：
解：∵（1）原點到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得.
設(shè)的中點是，則
即
故所求k=±.
點石成金:C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE⊥CD;
例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
思維流程：
解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得：，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（II）設(shè)．
聯(lián)立
得，則
又．
因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，
，即.．
．．
解得：，且均滿足．
當(dāng)時，的方程，直線過點，與已知矛盾；
當(dāng)時，的方程為，直線過定點．
所以，直線過定點，定點坐標(biāo)為．
點石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點CA⊥CB;
例12、已知雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上.
（Ⅰ）若當(dāng)點P的坐標(biāo)為時,,求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.
思維流程：
解：（Ⅰ）(法一)由題意知,,,
,（1分）
解得.由雙曲線定義得:
,
所求雙曲線的方程為:
(法二)因,由斜率之積為,可得解.
（Ⅱ）設(shè),
(法一)設(shè)P的坐標(biāo)為,由焦半徑公式得,,，
的最大值為2,無最小值.此時,
此時雙曲線的漸進線方程為
(法二)設(shè),.
(1)當(dāng)時,,
此時.
(2)當(dāng),由余弦定理得:
,
,,綜上,的最大值為2,但無最小值.(以下法一)

幾何圓錐曲線

第十章圓錐曲線
★知識網(wǎng)絡(luò)★

第1講橢圓
★知識梳理★
1.橢圓定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和為常數(shù)的動點的軌跡叫橢圓,其中兩個定點叫橢圓的焦點.
當(dāng)時,的軌跡為橢圓;;
當(dāng)時,的軌跡不存在;
當(dāng)時,的軌跡為以為端點的線段
（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點的軌跡為橢圓
（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.

2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):
標(biāo)準(zhǔn)方程

性

質(zhì)參數(shù)關(guān)系

焦點

焦距

范圍

頂點

對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱
離心率

準(zhǔn)線

3.點與橢圓的位置關(guān)系:
當(dāng)時,點在橢圓外;當(dāng)時,點在橢圓內(nèi);當(dāng)時,點在橢圓上;
4.直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離
★重難點突破★
重點:掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，會用定義和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
難點:橢圓的幾何元素與參數(shù)的轉(zhuǎn)換
重難點:運用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質(zhì)，把握幾何元素轉(zhuǎn)換成參數(shù)的關(guān)系
1.要有用定義的意識
問題1已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則=______________。
[解析]的周長為，=8
2.求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點的定位
問題2橢圓的離心率為，則
[解析]當(dāng)焦點在軸上時，；
當(dāng)焦點在軸上時，，
綜上或3
★熱點考點題型探析★
考點1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
題型1:橢圓定義的運用
[例1](湖北部分重點中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的運行路徑分三種情況:
(1),此時小球經(jīng)過的路程為2(a－c);
(2),此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c);
(3)此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選D
【名師指引】考慮小球的運行路徑要全面
【新題導(dǎo)練】
1.（2007佛山南海）短軸長為，離心率的橢圓兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為（）
A.3B.6C.12D.24
[解析]C.長半軸a=3，△ABF2的周長為4a=12
2.(廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（）
A．5B．7C．13D．15
[解析]B.兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，，的最小值為10-1-2=7
題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例2]設(shè)橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為－4，求此橢圓方程.
【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來
[解析]設(shè)橢圓的方程為或，
則，
解之得：，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為或.
【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系．
［警示］易漏焦點在y軸上的情況．
【新題導(dǎo)練】
3.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是____________.
[解析](0,1).橢圓方程化為+=1.焦點在y軸上，則2，即k1.
又k0，∴0k1.
4.已知方程,討論方程表示的曲線的形狀
[解析]當(dāng)時，，方程表示焦點在y軸上的橢圓，
當(dāng)時，，方程表示圓心在原點的圓，
當(dāng)時，，方程表示焦點在x軸上的橢圓
5.橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，求這個橢圓方程.
[解析]，，所求方程為+=1或+=1.
考點2橢圓的幾何性質(zhì)
題型1:求橢圓的離心率（或范圍）
[例3]在中，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率．
【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率
[解析]，
，
【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定
（2）只要列出的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）
（3）“焦點三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注
【新題導(dǎo)練】
6.(執(zhí)信中學(xué)2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期高三期中考試)如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為
....
[解析]選
7.（江蘇鹽城市三星級高中2009屆第一協(xié)作片聯(lián)考）已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為
[解析]由，橢圓的離心率為
8.(山東濟寧2007—2008學(xué)年度高三第一階段質(zhì)量檢測)
我國于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號繞地球運行的軌跡是以地球的地心為焦點的橢圓。若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點到地心的距離為m，遠地點到地心的距離為n，第二次變軌后兩距離分別為2m、2n（近地點是指衛(wèi)星距離地面最近的點，遠地點是距離地面最遠的點），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率（）
A．不變B.變小C.變大D.無法確定
[解析]，，選A
題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）
[例4]已知實數(shù)滿足,求的最大值與最小值
【解題思路】把看作的函數(shù)
[解析]由得,
當(dāng)時,取得最小值,當(dāng)時,取得最大值6
【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時不出差錯
【新題導(dǎo)練】
9.已知點是橢圓（，）上兩點,且,則=
[解析]由知點共線,因橢圓關(guān)于原點對稱,
10.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點
則________________
［解析］由橢圓的對稱性知：．
考點3橢圓的最值問題
題型:動點在橢圓上運動時涉及的距離、面積的最值
[例5]橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為___________．
【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù)
[解析]在橢圓上任取一點P,設(shè)P().那么點P到直線l的距離為：
【名師指引】也可以直接設(shè)點，用表示后，把動點到直線的距離表示為的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”
【新題導(dǎo)練】
11.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
[解析]設(shè)內(nèi)接矩形的一個頂點為，
矩形的面積
12.是橢圓上一點，、是橢圓的兩個焦點，求的最大值與最小值
[解析]
當(dāng)時，取得最大值，
當(dāng)時，取得最小值
13.（2007惠州）已知點是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點，又、，
是原點，則四邊形的面積的最大值是_________．
[解析]設(shè)，則
考點4橢圓的綜合應(yīng)用
題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題
[例6]已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點,一個長軸端點為,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．
（1）求橢圓方程；
（2）求m的取值范圍．
【解題思路】通過，溝通A、B兩點的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個關(guān)于m的不等式
[解析]（1）由題意可知橢圓為焦點在軸上的橢圓，可設(shè)
由條件知且，又有，解得
故橢圓的離心率為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2
∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝14時，上式不成立；m2≠14時，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1
容易驗證k22m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（－1，－12）∪（12，1）
【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應(yīng)充分重視向量的功能
【新題導(dǎo)練】
14.(2007廣州四校聯(lián)考)設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點，若，且，則點的軌跡方程是（）
A.B.
C.D.
[解析]，選A.
15.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點。
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。

解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系，則A（－1，0），B（1，0）
由題設(shè)可得
∴動點P的軌跡方程為，
則
∴曲線E方程為
（2）直線MN的方程為
由
∴方程有兩個不等的實數(shù)根
∵∠MBN是鈍角
即
解得：
又M、B、N三點不共線
綜上所述，k的取值范圍是
★～～搶分頻道★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1.如圖所示,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為()
ABCD
[解析]B.
2.（廣東省四校聯(lián)合體2007-2008學(xué)年度聯(lián)合考試）設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點，P在橢圓上，當(dāng)△F1PF2面積為1時，的值為
A、0B、1C、2D、3
[解析]A.，P的縱坐標(biāo)為，從而P的坐標(biāo)為，0，
3.(廣東廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是
A．B．C．D．
[解析]D.,,兩式相減得：，，
4.在中，，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率．
[解析]
5.已知為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若,則此橢圓的離心率為_________.
[解析][三角形三邊的比是]
6.(2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率=．
[解析]
綜合提高訓(xùn)練
7、已知橢圓與過點A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率．求橢圓方程
[解析]直線l的方程為：
由已知①
由得：
∴，即②
由①②得：
故橢圓E方程為
8.(廣東省汕頭市金山中學(xué)2008－2009學(xué)年高三第一次月考)
已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵點是線段的中點
∴是△的中位線
又∴
∴
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1
（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9.(海珠區(qū)2009屆高三綜合測試二)已知長方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.