小學數(shù)學復習教案

2012屆高考數(shù)學備考復習直線與圓教案。

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助教師緩解教學的壓力，提高教學質量。你知道怎么寫具體的教案內容嗎？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《2012屆高考數(shù)學備考復習直線與圓教案》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

專題五：解析幾何

【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點和規(guī)律，復習本專題時，要注意以下幾個方面：
1．直線的傾斜角、斜率及它們間的關系。
2．兩直線平行與垂直的充要條件。
3．點到直線的距離、兩平行線間的距離。
4．圓的方程（標準方程和一般方程）。
5．直線與圓的位置關系。
6．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、性質。
7．直線和圓錐曲線的位置關系，同時常與平面向量、數(shù)列、不等式結合，且每年必考。
第一講直線與圓

【最新考綱透析】
1．直線與方程
（1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。
（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
（3）能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。
（4）掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關系。
（5）能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標。
（6）掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
2．圓與方程
（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程。
（2）能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系。
（3）能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
（4）初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
3．空間直角在系
（1）了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置。
（2）會推導空間兩點間的距離公式。

【核心要點突破】
要點考向1：直線的傾斜角、斜率、距離問題
考情聚焦：1．直線的傾斜角、斜率、距離問題是最基本問題，是高考中?？嫉闹R。
2．該類問題常與平面向量結合，體現(xiàn)知識的交匯。
3．多以選擇題、填空題的形式考查，屬容易題。
考向鏈接：1．直線的傾斜角和斜率反映了直線的傾斜程度。已知斜率求傾斜角時，通?？梢越Y合正切函數(shù)的圖象求解，要注意當斜率的取值范圍有正有負時，傾斜角是分段的，如直線斜率的范圍是[-1，1]，則傾斜角的取值范圍是，而不是
2．對于距離要熟記有關公式，并能靈活運用。
例1：若直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是：
①②③④⑤
其中正確答案的序號是.（寫出所有正確答案的序號）
【解析】兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或。故填寫①⑤
答案:①⑤
要點考向2：兩直線的位置關系
考情聚焦：1．兩直線的位置關系——平行或垂直是高考考查的重點內容。
2．多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：兩條直線和平行充要條件為且垂直的充要條件為0，要熟練掌握這一條件。判定兩直線平行與垂直的關系時，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況。
例2：（2010安徽高考文科Ｔ4）過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是
（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=0
【命題立意】本題主要考查直線平行問題。
【思路點撥】可設所求直線方程為，代入點（1，0）得值，進而得直線方程。
【規(guī)范解答】選A，設直線方程為，又經(jīng)過，故，所求方程為，
要點考向3：圓的方程
聚焦考情：1．圓的方程及求法是很重要的一類問題，是高考中的必考內容。
2．各種題型均可出現(xiàn)，屬中低檔題。
考向鏈接：求圓的方程一般有兩類方法：（1）幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；（2）代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。其一般步驟是：
①根據(jù)題意選擇方程的形式：標準形式或一般形式；
②利用條件列出關于的方程組；
③解出，代入標準方程或一般方程。
此外，根據(jù)條件，要盡量減少參數(shù)設方程，這樣可減少運算量。
例3：(2010廣東高考文科Ｔ6）若圓心在x軸上、半徑為的圓O位于y軸左側，且與直線x+2y=0相切，則圓O的方程是（）
A．B．
C．D．
【命題立意】本題考察直線與圓的位置關系.
【思路點撥】由切線的性質：圓心到切線的距離等于半徑求解.
【規(guī)范解答】選設圓心為，則，解得，所以，所求圓的方程為：，故選.
要點考向4：直線和圓的位置關系
聚焦考情：1．直線和圓的位置關系是每年必考內容，有時和向量相結合，體現(xiàn)了知識的交匯。
2．考查形式可以是選擇題、填空題，也可以是解答題，屬中、低檔題目。
例4：（2010重慶高考文科Ｔ8）若直線與曲線，（）有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【命題立意】本小題考查直線、圓的方程的基礎知識，體現(xiàn)了方程的思想、數(shù)形結合的思想及化歸與轉化的思想.
【思路點撥】先把圓的參數(shù)方程化為普通方程，再與直線方程聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，利用判別式求解；或數(shù)形結合法，畫出圓的圖形，平移直線觀察計算.
【規(guī)范解答】選D.（方法一）消去參數(shù)得，與聯(lián)立方程組，消去得：，因為直線與曲線有兩個不同的公共點，所以，即，解得；
（方法二）把圓的參數(shù)方程代入直線方程得：，即，所以，所以，
解得；
（方法三）如圖所示，直線與圓相切之間的情形
符合題意，計算圓心（2，0）到直線的
距離等于圓半徑1，即，解得，
所以.
【方法技巧】（1）判別式法:直線與曲線的交點問題轉化為方程的解的個數(shù)問題；（2）利用三角函數(shù)的值域求解；（3）數(shù)形結合法.
注：直線和圓的位置關系常用幾何法，即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d，及半弦長，構成直角三角形的關系來處理。

【高考真題探究】
1．（2010海南寧夏高考理科T15）過點A(4,1)的圓C與直線相切于點B(2,1)．則圓C的方程為.
【命題立意】本題主要考察了圓的相關知識，如何靈活轉化題目中的條件求解圓的方程是解決問題的關鍵.
【思路點撥】由題意得出圓心既在點的中垂線上，又在過點B(2,1)且與直線垂直的直線上，進而可求出圓心和半徑.
【規(guī)范解答】由題意知，圓心既在過點B(2,1)且與直線垂直的直線上，又在點的中垂線上.可求出過點B(2,1)且與直線垂直的直線為，的中垂線為，聯(lián)立方程，解得，即圓心，
半徑，所以，圓的方程為.
【答案】
2．（2010廣東高考理科Ｔ１2）已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是
【命題立意】本題考察直線與圓的位置關系.
【思路點撥】由切線的性質：圓心到切線的距離等于半徑求解.
【規(guī)范解答】設圓心坐標為，則，解得，又圓心位于軸左側，所以.故圓O的方程為.
【答案】
3．（2010山東高考理科Ｔ16）已知圓C過點（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被圓C所截得的弦長為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為．
【命題立意】本題考查了直線的方程、點到直線的距離、直線與圓的關系，考查了考生的分析問題解決問題的能力、推理論證能力和運算求解能力.
【思路點撥】根據(jù)弦長及圓心在x軸的正半軸上求出圓心坐標，再根據(jù)垂直關系可求直線方程.
【規(guī)范解答】由題意，設所求的直線方程為，設圓心坐標為，則由題意知：，解得或-1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以，故圓心坐標為（3，0），因為圓心（3，0）在所求的直線上，所以有，即，故所求的直線方程為.
【答案】
【方法技巧】1、研究直線與圓的位置關系，要聯(lián)系圓的幾何特性，盡可能的簡化運算.如“垂直于弦的直徑必平分弦”，“圓的切線垂直于過切點的半徑”，“兩圓相交時連心線必垂直平分其公共弦”等.在解題時應注意靈活運用.
2、直線與圓相交是解析幾何中一類重要問題，解題時注意運用“設而不求”的技巧.
4．（2010山東高考文科Ｔ１6）已知圓C過點（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：被該圓所截得的弦長為，則圓C的標準方程為.
【命題立意】本題考查了點到直線的距離、直線與圓的關系，圓的標準方程等知識，考查了考生的分析問題解決問題的能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】根據(jù)弦長及圓心在x軸的正半軸上求出圓心坐標，再求出圓的半徑.
【規(guī)范解答】設圓心坐標為，圓的半徑為，則由題意知：，解得或-1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以，故圓心坐標為（3，0），故所求圓的方程為.
【答案】
【方法技巧】1、研究直線與圓的位置關系，要聯(lián)系圓的幾何特性，盡可能的簡化運算.如“垂直于弦的直徑必平分弦”，“圓的切線垂直于過切點的半徑”，“兩圓相交時連心線必垂直平分其公共弦”等.在解題時應注意靈活運用.
2、直線與圓相交是解析幾何中一類重要問題，解題時注意運用“設而不求”的技巧.
5．（2010湖北高考理科Ｔ9）若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）
A.[,]B.[,3]
C.[-1,]D.[,3]
【命題立意】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查考生數(shù)形結合、運動變化觀點的應用和運算求解能力．
【思路點撥】將方程作等價
變形，然后借助函數(shù)圖像，利用運動變化的觀
點得到直線在與曲線
有公共點時b的取值范圍.
【規(guī)范解答】選D.由圖可知當直線過點（0，3）時b取最大值3；當直線與圓相切且切點在圓的下半部分時對應的b取最小值.由消去y可得，由=0得或（舍去）.
6．（2010江西高考理科Ｔ８）直線與圓相交于M，N兩點，若，則的取值范圍是()
A．B．
C．D．
【命題立意】本題主要考查直線與圓位置關系的判定及利用數(shù)形結合法解題的能力.
【思路點撥】方法一：數(shù)形結合，利用圓心到直線的距離進行判定.
方法二：聯(lián)立方程組利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解.
【規(guī)范解答】選A．（方法1）由題意，若使，則圓心到直線的距離，即，解得.故選A.
（方法2）設點M,N的坐標分別為，將直線方程和圓的方程聯(lián)立得方程組，消去y得，
由根與系數(shù)的關系得，
由弦長公式知=
，
,∴，即，
∴，故選A.

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()
(A)2(B)1(C)0(D)-1
2.夾在兩條平行直線l1：3x-4y=0與l2：3x-4y-20=0之間的圓的最大面積為()
(A)2π(B)4π(C)8π(D)16π
3.已知直線l與直線3x+4y+1=0平行且它們之間的距離為4，如果原點(0，0)位于已知直線與直線l之間，那么l的方程為()
(A)3x+4y=0(B)3x+4y-5=0
(C)3x+4y-19=0(D)3x+4y+21=0
4.直角坐標平面內,過點P(2,1)且與圓x2+y2=4相切的直線()
(A)有兩條
(B)有且僅有一條
(C)不存在
(D)不能確定
5.直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a＜3)相交于兩點A,B,弦AB的中點為D(0,1),則直線l的方程為()
(A)x-y+1=0(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0(D)x+y-1=0
6．(2010漳州模擬)．一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射，到達圓C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一點的最短路程是（）
A．3－1B．2C．5D．4

二、填空題(每小題6分，共18分)
7.已知圓O:x2+y2=5和點A(1,2),則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于_______.
8.一直線經(jīng)過點P(1,2),并且與點A(2,3)和B(0,-5)的距離相等,則此直線方程為___________.
9.過點A(,1)的直線l將圓C：x2+(y-2)2=4分成兩段弧,當劣弧所對的圓心角最小時,直線l的斜率k等于_______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知直線l1:mx+8y+n=0和直線l2:2x+my-1=0,分別根據(jù)下列情況求實數(shù)m與n的取值.
(1)l1與l2平行;
(2)l1與l2垂直.
11．（2010安徽名校聯(lián)考）將圓向左平移1個單位，再向上移2個單位，得到圓O，直線與圓O相交于A，B兩點，若圓O上存在點C，使，求直線的方程及對應的點C的坐標。
12．已知圓：，設點是直線：上的兩點，它們的橫坐標分別是，點在線段上，過點作圓的切線，切點為．
（1）若，，求直線的方程；
（2）經(jīng)過三點的圓的圓心是，求線段長的最小值．
參考答案
1．【解析】選D.方法一:將選項分別代入題干中觀察,易求出D符合要求.故選D.
方法二:∵直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,
∴a(a+2)=-1.
∴a=-1.

2．【解析】選B.夾在兩條平行線之間的最大的圓的半徑為兩平行線間距離的一半,而兩平行線間的距離
所以，則圓的最大面積

3．【解析】選C.與直線3x+4y+1=0平行的直線可設為3x+4y+m=0，
由兩平行線之間的距離公式可得
即直線方程為3x+4y+21=0或3x+4y-19=0，
原點位于直線l與直線3x+4y+1=0之間，可將點(0，0)代入兩直線解析式，乘積為負的即為所求，故應選C.

4．【解析】選A.∵22+12＞4,
∴點P在圓外,故過P作圓的切線可作兩條.

5．【解析】選A.圓心C的坐標為(-1,2),AB中點D(0,1)，
∴l(xiāng)的方程為y-1=x-0,
即x-y+1=0,故應選A.

6．【解析】選D.因為點A(－1,1)關于x軸的對稱點坐標為（-1，-1），圓心坐標為（2，3），所以點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射，到達圓C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一點的最短路程為

7．【解析】∵點A(1,2)在⊙O上,∴過點A且與⊙O相切的直線方程為x+2y=5,
答案：

8．【解析】假設所求直線的斜率存在,則可設其方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由題設有:
即|k-1|=|7-k|,解得k=4.
又所求直線的斜率不存在時,方程為x=1,符合題意.
故所求直線的方程為4x-y-2=0或x=1.
答案：4x-y-2=0或x=1

9．【解析】∵點A(,1)在圓C:x2+(y-2)2=4的內部.
∴當劣弧所對的圓心角最小時,AC⊥l.
答案：

10．【解析】（1）顯然兩直線的斜率都存在，兩條直線的方程可化為
故只需，即
即兩直線平行。
（2）方法一：若兩直線的斜率都存在，則可得兩條直線的斜率分別為但由于所以,此時兩直線不垂直.
若m=0,則兩條直線中一條斜率為0,另一條斜率不存在,于是兩直線垂直.
綜上可知,當m=0,且n∈R時,兩直線垂直.
方法二:因為兩直線垂直,所以只需2m+8m=0,
即m=0.故當m=0時,兩直線垂直.

11．【解析】已知圓，
經(jīng)平移后圓O的方程為
因為，
又
設直線的方程是交于
中并簡化得
由題意：
所以，
因為，
所以，直線的方程為對應的點C的坐標為（-1，2）
或直線的方程為對應點C的坐標為（1，-2）.

12．【解析】（1）設
解得或（舍去）．
由題意知切線PA的斜率存在，設斜率為k．
所以直線PA的方程為，即
直線PA與圓M相切，，解得或
直線PA的方程是或........6分
（2）設
與圓M相切于點A，
經(jīng)過三點的圓的圓心D是線段MP的中點．
的坐標是
設
當，即時，
當，即時，
當，即時
則.

【備課資源】
2.經(jīng)過圓C：(x+1)2+(y-2)2=4的圓心且斜率為1的直線方程為()
(A)x-y+3=0(B)x-y-3=00
(C)x+y-1=0(D)x+y+3=0
【解析】選A.圓C的圓心坐標為(-1,2),
故所求直線方程為y-2=1(x+1)，
即x-y+3=0.
3.直線x+y-2=0上的點和圓(x-6)2+(y-6)2=18上的點的最短距離是________.
5.已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點A(3,0),且與圓O相切,
(1)求直線l1的方程；
(2)設圓O與x軸交于P,Q兩點,M是圓O上異于P,Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點P′，直線QM交直線l2于點Q′.
求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點,并求出定點坐標.
【解析】(1)∵直線l1過點A(3,0),且與圓O:
x2+y2=1相切,由題意設直線l1的方程為
y=k(x-3),
即kx-y-3k=0,

擴展閱讀

2012屆高考物理備考直線運動復習教案

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，高中教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內容，幫助高中教師緩解教學的壓力，提高教學質量。你知道怎么寫具體的高中教案內容嗎？小編特地為大家精心收集和整理了“2012屆高考物理備考直線運動復習教案”，相信您能找到對自己有用的內容。

直線運動復習學案

§1.1基本概念

1、理解并掌握質點、位移、速度、加速度等基本概念

2、清楚相似物理量之間的區(qū)別與聯(lián)系

1、機械運動：定義：。

宇宙間的一切物體，大到宇宙天體，小到分子、原子都處在永恒的運動中，所以運動是的．

平常說的靜止，是指這個物體相對于其他另一個物體的位置沒有發(fā)生變化，所以靜止是的．

2、參考系：

⑴定義：為了研究物體的運動而　的物體。

⑵同一個運動，如果選不同的物體作參考系，觀察到的運動情況可能不相同。例如：甲、乙兩輛汽車由西向東沿同一直線，以相同的速度15m／s并列行駛著．若兩車都以路旁的樹木作參考系，則兩車都是以15m／s速度向東行駛；若甲、乙兩車互為參考系，則它們都是的．

⑶參考系的選取原則上是任意的，但在實際問題中，以研究問題方便、對運動的描述盡可能簡單為原則；研究地面上運動的物體，一般選取為參考系。

3、質點：

⑴定義：

⑵是否大的物體一定不能看成質點，小的物體一定可以看成質點？試討論物體可看作質點的條件：

⑶它是一種科學的抽象，一種理想化的物理模型，客觀并不存在。

4、位移：

⑴定義：

⑵位移是量（“矢”或“標”）。

⑶意義：描述的物理量。

⑷位移僅與有關，而與物體運動無關。

5、路程：

⑴定義：指物體所經(jīng)過的。

⑵路程是量（“矢”或“標”）。

注意區(qū)分位移和路程：

位移是表示質點位置變化的物理量，它是由質點運動的起始位置指向終止位置的矢量。位移可以用一根帶箭頭的線段表示，箭頭的指向代表，線段的長短代表。而路程是質點運動路線的長度，是標量。只有做直線運動的質點始終朝著一個方向運動時，位移的大小才與運動路程相等

6、時間：定義：

7、時刻：定義：

注意區(qū)分時刻和時間：

時刻：表示某一瞬間，沒有長短意義，在時間軸上用點表示，在運動中時刻與位置想對應。

時間間隔（時間）：指兩個時刻間的一段間隔，有長短意義，在時間軸上用一線段表示。在研究物體運動時，時間和位移對應。如：第4s末、第5s初（也為第4s末）等指的是；4s內（0至第4s末）、第4s內（第3s末至4s末）、第2s至第4s內（第2s末至第4s末）等指的是。

8、速度：描述物體，是量（“矢”或“標”）。

（1）速率：，是量

（2）瞬時速度：

①定義：，是量

②瞬時速度與一個時刻或一個位置相對應，故說瞬時速度時必須指明是哪個時刻或通過哪個位置時的瞬時速度，瞬時速度精確反映了物體運動的快慢。

（3）平均速度：

①定義：。

②定義式：

③平均速度是量，其方向與方向相同。

④平均速度與一段時間或一段位移相對應，故說平均速度時必須指明是哪段時間或位移內的平均速度。

9、加速度：

①定義：

②定義式：

③加速度是量，其方向與相同

④物體做加速還是減速運動看與方向間的關系。若a與v0方向相同，則物體做，若a與v0方向相反，則物體做。

⑤速度的變化率、速度變化的快慢和加速度都是同一個意思。

注意速度、加速度的區(qū)別和聯(lián)系：

加速度是描述速度變化快慢的物理量，是速度的變化量和所用時間的比值，加速度a的定義式是矢量式。加速度的大小和方向與速度的大小和方向沒有必然的聯(lián)系。只要速度在變化，無論速度多小，都有加速度；只要速度不變化，無論速度多大，加速度總是零；只要速度變化快，物體的加速度就大，無論此時速度是大、是小或是零。

例1、下列關于質點的說法中正確的是（）

A．體積很小的物體都可看成質點

B．質量很小的物體都可看成質點

C．不論物體的質量多大，只要物體的尺寸跟物體間距離相比甚小時，就可以看成質點

D．只有低速運動的物體才可看成質點，高速運動的物體不可看做質點

分析：⑴審題（寫出或標明你認為的關鍵詞）

⑵分析過程，合理分段，畫出示意圖，并找出各段之間的連接點

解題過程：

例2、一物體作勻變速直線運動,某時刻速度的大小為4m/s，1s后速度的大小變?yōu)?0m/s。在這1s內該物體的()

A．位移的大小可能小于4mB．位移的大小可能大于10m

C．加速度的大小可能小于4m/s2D．加速度的大小可能大于10m/s2.

分析：⑴審題（寫出或標明你認為的關鍵詞）

⑵分析過程，合理分段，畫出示意圖，并找出各段之間的連接點

解題過程：

例3、一個電子在勻強磁場中做半徑為R的圓周運動。轉了3圈回到原位置，運動過程中位移大小的最大值和路程的最大值分別是：

A．2R，2R；B．2R，6πR；

C．2πR，2R；D．0，6πR。

分析：⑴審題（寫出或標明你認為的關鍵詞）

⑵分析過程，合理分段，畫出示意圖，并找出各段之間的連接點

解題過程：

1．關于速度和加速度的關系，下列說法中正確的是：（）

A.速度變化得越多，加速度就越大B.速度變化得越快，加速度就越大

C.加速度方向保持不變，速度方向也保持不變D.加速度大小不斷變小，速度大小也不斷變小

2．如圖所示，物體沿兩個半徑為R的半圓弧由A運動到C，則它的位移和路程分別是（）

A．0，0B．4R向西，2πR向東C．4πR向東，4RD．4R向東，2πR

3、下列物體可看作質點的是（）

A、做花樣溜冰的運動員B、遠洋航行中的巨輪C、運行中的人造衛(wèi)星D、轉動著的砂輪

4、關于加速度與速度，下列說法中正確的是（）

A、速度為零時，加速度可能不為零

B、加速度為零時，速度一定為零

C、若加速度方向與速度方向相反，則加速度增大時，速度也增大

D、若加速度方向與速度方向相同，則加速度減小時，速度反而增大

5.子彈以900m/s的速度從槍筒射出，汽車在北京長安街上行駛，時快時慢，20min行駛了18km，汽車行駛的速度是54km/h，則（）

A.900m/s是平均速度B.900m/s是瞬時速度C.54km/h是平均速度D.54km/h是瞬時速度

6、汽車在平直的公路上運動，它先以速度V行駛了2/3的路程，接著以20km/h的速度駛完余下的1/3路程，若全程的平均速度是28km/h，則V是（）

A、24km/hB、35km/hC、36km/hD、48km/h

1．對位移和路程的正確說法是（）

A．位移是矢量，位移的方向即質點運動的方向。B．路程是標量，即位移的大小

C．質點作直線運動，路程等于位移的大小D．質點位移的大小不會比路程大

2．下列說法中正確的是（）

A．速度為零，加速度一定為零B．速度變化率表示速度變化的大小

C．物體的加速度不變（不為零），速度也不變D．加速度不變的運動就是勻變速運動

3．幾個作勻變速直線運動的物體，在ts秒內位移最大的是（）

A．加速度最大的物體B．初速度最大的物體C．末速度最大的物體D．平均速度最大的物體

4．關于速度和加速度的關系，下列說法中不可能的是（）

A．加速度減小，速度增大B．加速度增大，速度減小C．加速度為零，速度變化D．加速度為零，速度很大

5．物體作勻加速直線運動，已知加速度為2m/s2，那么（）

A．在任意時間內，物體的末速度一定等于初速度的兩倍B．在任意時間內，物體的末速度一定比初速度大2m/s

C．在任意一秒內，物體的末速度一定比初速度大2m/sD．第ns的初速度一定比第(n-1)s的末速度大2m/s

6．物體在一直線上運動,用正、負號表示方向的不同,根據(jù)給出速度和加速度的正負,下列對運動情況判斷錯誤的是：（）

A．v00，a0,物體的速度越來越大。B．v00，a0,物體的速度越來越大。

C．v00，a0,物體的速度越來越小。D．v00，a0,物體的速度越來越大。

7．關于時間與時刻，下列說法正確的是（）

A．作息時間表上標出上午8:00開始上課，這里的8:00指的是時間

B．上午第一節(jié)課從8:00到8:45，這里指的是時間

C．電臺報時時說：“現(xiàn)在是北京時間8點整”，這里實際上指的是時刻

D．在有些情況下，時間就是時刻，時刻就是時間

8、在研究下列哪些運動時，指定的物體可以看作質點（）

A．從廣州到北京運行中的火車B．研究車輪自轉情況時的車輪．

C．研究地球繞太陽運動時的地球D．研究地球自轉運動時的地球

9．太陽從東邊升起，西邊落下，是地球上的自然現(xiàn)象，但在某些條件下，在緯度較高地區(qū)上空飛行的飛機上，旅客可以看到太陽從西邊升起的奇妙現(xiàn)象，看到這現(xiàn)象的條件是：（）

A．時間必須是在清晨，飛機正在由西向東飛行，飛機的速率必須較大

B．時間必須是在清晨，飛機正在由東向西飛行，飛機的速率必須較大

C．時間必須是在傍晚，飛機正在由西向東飛行，飛機的速率必須較大

D．時間必須是在傍晚，飛機正在由東向西飛行，飛機的速率必須較大

10．汽車沿直線行駛，從甲地到乙地保持速度V1，從乙地再行駛同樣的距離到丙地保持速度V2，則汽車從甲地到丙地的平均速度是多少？

____________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

參考答案

例1、B

例2、AD若末速度與初速度同向，即物體做單向加速運動，由Vt=V0+at得，a=6m/s2.

由Vt2─V02=2ax得，x=7m.

若末速度與初速度反向，即物體先減速至零再加速，以初速度方向為正方向，

由Vt=V0+at得，a=─14m/s2,由Vt2─V02=2ax得，x=─3m.

綜上選AD

例3、B

針對練習：

1、B2、D3、BCD4、AD5、BC6、B

能力訓練：

1、D2、D3、D4、C5、C6、A7、BCD8、AC9、BD

10、解：設從甲地到丙地的路程是S，由題設，

==

2012屆高考數(shù)學備考復習：統(tǒng)計

專題六：概率與統(tǒng)計、推理與證明、算法初步、復數(shù)
第三講統(tǒng)計、統(tǒng)計案例

【最新考綱透析】
1．隨機抽樣
（1）理解隨機抽樣的必要性和重要性；
（2）會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。
2．用樣本估計總體
（1）了解分布的意義和作用，會列表率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點；
（2）理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；
（3）能從樣本數(shù)據(jù)中撮基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋；
（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；
（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。
3．變量的相關性
（1）會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系；
（2）了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。
4．回歸分析及獨立性檢驗
了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用，了解獨立性檢驗（只要求2×2列）的基本思想、方法及簡單應用。

【核心要點突破】
要點考向1：隨機抽樣
考情聚焦：1．隨機抽樣問題和實際生活緊密相連，是高考考查的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．解決有關隨機抽樣問題首先要深該理解各種抽樣方法的特點和適用范圍，如分層抽樣，適用于數(shù)目較多且各部分之間具有明顯差異的總體；
2．系統(tǒng)抽樣中編號的確定和分層抽樣中各層人數(shù)的確定是高考重點考查的內容。
例1：（2010四川高考文科Ｔ4）一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）.
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
【命題立意】本題主要考查分層抽樣的概念，考查應用所學知識解決實際問題的能力.
【思路點撥】首先計算抽樣比例，再計算每層抽取人數(shù).
【規(guī)范解答】選D抽樣比例為，故各層中依次抽取的人數(shù)為人，人，人，人.故選D.
要點考向2：頻率分布直方圖或頻率分布表
考情聚焦：1．頻率分布直方圖或頻率分布表近幾年頻繁地出現(xiàn)在各地高考題中，是高考的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題。
考向鏈接：解決該類問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，通過圖表掌握信息是解決該類問題的關鍵。頻率分布指的是樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內所占的比例大小，一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其中
（1）頻率分布直方圖中縱軸表示，；
（2）在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比；
（3）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種描述形式，前者準確，后者直觀；
（4）眾數(shù)為最高矩形的底邊中點的橫坐標；
（5）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；
（6）平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。
例2：（2010北京高考理科Ｔ11）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a＝。若要從身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參
加一項活動，則從身高在[140，150]內的學生中選取的人數(shù)應為。
【命題立意】本題考查頻率頒布直方圖，抽樣方法中的分層抽樣。熟練掌握頻率頒布直方圖的性質，分層抽樣的原理是解決本題的關鍵。
【思路點撥】利用各矩形的面積之和為1可解出。分層抽樣時，選算出身高在[140，150]內的學生在三組學生中所占比例，再從18人中抽取相應比例的人數(shù)。
【規(guī)范解答】各矩形的面積和為：，解得。身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內的學生人數(shù)分別為：30、20、10，人數(shù)的比為3：2：1，因此從身高在[140，150]內的學生中選取的人數(shù)應為18=3人。
【參考答案】0.0303。
要點考向3：莖葉圖
考情聚焦：1．莖葉圖是新課標新增內容，與實際生活聯(lián)系密切，可方便處理數(shù)據(jù)，在高考中時有考查，莖葉圖可能成為高考的熱點；
2．三種考查形式均有可能出現(xiàn)，屬于容易題。
考向鏈接：1．莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況；
2．在作莖葉圖或讀莖葉圖時，首先要弄清楚“莖”和“葉”分別代表什么；
3．根據(jù)莖葉圖，我們可方便地求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)，大體上估計出兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小號穩(wěn)定性的高低。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ11）（2010馬鞍山模擬）為檢測學生的體溫狀況，隨機抽取甲，乙兩個班級各10名同學，測量他們的體溫（單位0.1攝氏度）獲得體溫數(shù)據(jù)的莖葉圖，如圖所示.
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班級的平均體溫較高；
（Ⅱ）計算乙班的樣本平均數(shù)，方差；
（Ⅲ）現(xiàn)在從甲班中隨機抽取兩名體溫不低于36.4攝氏度的同學，
求體溫為37.1攝氏度的同學被抽到的概率
【解析】（Ⅰ）甲班的平均體溫：
（35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1）÷10＝36.36
乙班的平均體溫：
（35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0）÷10＝36.30
故甲班的平均體溫較高.
（Ⅱ）乙班的樣本平均數(shù)：36.3
方差：0.134
（Ⅲ）甲班體溫不低于36.4攝氏度的有5人，故。
要點考向4：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標準差
考情聚焦：1．近幾年高考加強了對平均數(shù)、方差、標準差的考查，這也是高考貼近實際生活的體現(xiàn)，應引起高度重視；
2．三種題型均有可能出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則
（1）數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
（2）若的平均數(shù)為；的平均數(shù)為，則的平均數(shù)
（3）或
（4）數(shù)據(jù)的方差與的方差相等；
（5）數(shù)據(jù)的方差為。
例4：（2010遼寧高考理科Ｔ18）為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗結果.（皰疹面積單位：mm2）表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
頻數(shù)30402010
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
頻數(shù)1025203015
（?。┩瓿上旅骖l率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小；
（ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.

表3
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝b＝
注射藥物Bc＝d＝
合計n＝
附：K2＝
【命題立意】本題考查了古典概型、頻率分布直方圖、獨立性檢驗等知識。
【思路點撥】（I）
（II）計算小長方形的高，作圖
【規(guī)范解答】解：
（Ⅰ）甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為
……4分
（Ⅱ）（i）
圖Ⅰ注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖Ⅱ注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖
可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)。
（ii）表3：

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積有差異”。
【方法技巧】
1、在頻率分布直方圖中，小長方形的高是頻率與組距的比值，不要當成了頻率。
2、根據(jù)頻率分布直方圖確定中位所在的大致區(qū)間，就是在直方圖中做一條垂直于橫軸的直線，使直線兩側的小長方形的面積大致相等，則直線的垂足所在區(qū)間就是中位數(shù)所在的區(qū)間。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積沒有差異”的概率，所以有關的概率是1-P(K210.828)＝99.9％
要點考向5：線性回歸方程
考情聚焦：1．近幾年高考雖然沒有考查線性回歸方程，但它在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，應引起重視；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬中、低題目。
例5：（2010湖南高考文科Ｔ3）某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關，則其回歸方程可能是（）
A.B.
C.D.
【命題立意】以樸素的題材為背景，讓學生感受線性回歸的意義，變量之間的變化趨勢.
【思路點撥】負相關說明斜率為負，而價格為0時，銷量不能為負。
【規(guī)范解答】∵商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關，∴a0，排除B，D.又∵x=0時，y0,∴答案為A.
【方法技巧】回歸問題主要研究變量之間的相關性，變化趨勢，分為正相關和負相關，線性相關不是研究變量之間的確定性，而是相關性，即有關聯(lián).求斜率和截距常用給定的公式.
要點考向6：獨立性檢驗
考情聚焦：1．獨立性檢驗是新課標的新增內容，2009年遼寧等省高考題對此作了考查，應引起高度重視；
2．呈現(xiàn)方式可以是選擇題、填空題、解答題，屬容易題。
例6：（2010遼寧高考文科Ｔ18）為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B的試驗結果.（皰疹面積單位：mm2）
表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
頻數(shù)30402010
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
頻數(shù)1025203015
（Ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;
（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.
表3
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝b＝
注射藥物Bc＝d＝
合計n＝
附：K2＝
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828
【命題立意】考查了頻率分布直方圖、中位數(shù)、獨立性檢驗的知識。
【思路點撥】（I）根據(jù)頻率分布直方圖，估計中位的范圍，比較中位數(shù)的大小。
（II）將各數(shù)據(jù)代入公式計算，比較
【規(guī)范解答】
（I）
可以看出注射藥物A后的皰疹面的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)。

（II）
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝70b＝30100
注射藥物Bc＝35d＝65100
合計10595n＝200
由于所以有99％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。
【方法技巧】
1、在做頻率分布直方圖時，一定要注意，小長方形的高表示的是頻率與組距的比，不要當成了頻率。
2、根據(jù)頻率分布直方圖確定中位所在的大致區(qū)間，就是在直方圖中做一條垂直于橫軸的直線，使直線兩側的小長方形的面積大致相等，則直線的垂足所在區(qū)間就是中位數(shù)所在的區(qū)間。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積沒有差異”的概率，所以有關的概率是1-P(K210.828)＝99.9％。

【高考真題探究】
1．（2010陜西高考文科Ｔ4）如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為,樣本標準差分別為sA和sB,則（）
(A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB
【命題立意】本題考查樣本平均數(shù)、標準差的概念的靈活應用，屬保分題。
【思路點撥】直接觀察圖像易得結論，不用具體的運算
【規(guī)范解答】選B由圖易得＜，又A波動性大，B波動性小，所以sA＞sB
【方法技巧】統(tǒng)計內容有抽樣方法、樣本特征數(shù)（均值、方差，直方圖等）、回歸分析、預測（應用）等，體現(xiàn)算法思想．弄清基本概念，原理，計算方法等．
2．（2010山東高考理科Ｔ6）樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,,若該樣本的平均值為1，則樣本方差為
(A)(B)(C)(D)2
【命題立意】本題考查用樣本的平均數(shù)、方差,考查了考生的運算求解能力.
【思路點撥】先由平均值求出a，再利用方差的計算公式求解.
【規(guī)范解答】選D,由題意知,解得,所以樣本方差為
=2,故選D.
3．（2010福建高考文科Ｔ9）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
【命題立意】本題考查中位數(shù)與平均數(shù)的求解。
【思路點撥】把數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)，平均數(shù)是把所有的數(shù)據(jù)加起來除以數(shù)據(jù)的個數(shù)。
【規(guī)范解答】選A，數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)為，平均數(shù)為。
【方法技巧】給出實際數(shù)據(jù)求解中位數(shù)和平均數(shù)等數(shù)據(jù)特征相對較為容易，但是同學也要理解“眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系”，會用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。
1.眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)；
2.中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)。
3.平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.
4．（2010廣東高考理科Ｔ7）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則P（X4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585
【命題立意】本題考察隨機變量的正態(tài)分布的意義。
【思路點撥】由已知條件先求出，再求出的值。
【規(guī)范解答】選

5．（2010廣東高考文科Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（單位：萬元）與年平均支出Y（單位：萬元）的統(tǒng)計資料如下表所示：
根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是，家庭年平均收入與年平均支出有_________線性相關關系.
【命題立意】本題考察統(tǒng)計中基本特征量的意義以及變量間的關系.
【思路點撥】按大小排列出收入數(shù)據(jù)的順序，找出中間的那個數(shù)據(jù).
【規(guī)范解答】收入數(shù)據(jù)按大小排列為：、、、、，所以中位數(shù)為13.
【參考答案】正向.
6．（2010陜西高考理科Ｔ19）為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：
（Ⅰ）估計該校男生的人數(shù)；
（Ⅱ）估計該校學生身高在170~185cm之間的概率；
（Ⅲ）從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170~180cm之間的概率。
【命題立意】本題考查了分層抽樣的概念、條形圖的識別、概率的簡單求法等基礎知識，考查了同學們利用所學知識解決實際問題的能力。
【思路點撥】讀懂頻數(shù)條形圖是解題的關鍵
【規(guī)范解答】（Ⅰ）樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400。
（Ⅱ）由統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170~185cm之間的學生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170~185cm之間的頻率故由估計該校學生身高在170~180cm之間的概率
（Ⅲ）樣本中女生身高在165~180cm之間的人數(shù)為10，身高在170~180cm之間的人數(shù)為4。
設A表示事件“從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，至少有1人身高在170~180cm之間”，則

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況,抽出了一個容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在［50,60)元的同學有30人,則n的值為()
(A)90(B)100(C)900(D)1000
2．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，
則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（）
A．62B．63C．64D．65

3.在研究某種新藥對雞瘟的防治效果問題時，得到了以下數(shù)據(jù)：
下列結論中正確的一項是（）
(A)有95%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(B)有99%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(C)有99.9%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(D)沒有充分證據(jù)顯示新藥對防治雞瘟有效
4.如圖是甲、乙兩名射擊運動員各射擊10次后所得到的成績的莖葉圖(莖表示成績的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點后的數(shù)字),由圖可知:（）
(A)甲、乙中位數(shù)的和為18.2，乙穩(wěn)定性高
(B)甲、乙中位數(shù)的和為17.8,甲穩(wěn)定性高
(C)甲、乙中位數(shù)的和為18.5，甲穩(wěn)定性高
(D)甲、乙中位數(shù)的和為18.65，乙穩(wěn)定性高
5.甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表
s1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（）
（A）s3s1s2
（B）s2s1s3
（C）s1s2s3
（D）s2s3s1
6.為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg),得到頻率分布直方圖如圖：
根據(jù)圖可得這100名學生中體重在［56.5,64.5）的學生人數(shù)是（）
（A）20（B）30（C）40（D）50
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.高三(1)班共有56人,學號依次為1,2,3,…,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本,已知學號為6,34,48的同學在樣本中,那么還有一個同學的學號應為______.
8．某學校有初中生1100人，高中生900人，教師100人，現(xiàn)對學校的師生進行樣本容量為的分層抽樣調查，已知抽取的高中生為60人，則樣本容量________
9．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次.記錄如下:
甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(1)畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖,指出學生乙成績的中位數(shù),并說明它在乙組數(shù)據(jù)中的含義;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽,從平均狀況和方差的角度考慮,你認為派哪位學生參加合適?請說明理由;
(3)若將頻率視為概率,對學生甲在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預測,記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.
11.班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）
（2）隨機抽出8位，他們的數(shù)學分數(shù)從小到大排序是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的概率;
②若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應如表:
根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關系數(shù)或散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關性，請說明理由.
參考公式：相關系數(shù)
回歸直線的方程是：
其中；其中是與對應的回歸估計值。
參考數(shù)據(jù)：
12.(探究創(chuàng)新題)某企業(yè)為了更好地了解設備改造前后與生產(chǎn)合格品的關系,隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析,其中設備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件,根據(jù)上面的數(shù)據(jù)判定,產(chǎn)品是否合格與設備是否改進有沒有關系?

參考答案
1．【解析】選B.由頻率分布直方圖知,支出在［50,60)元的頻率為1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，∴=0.3,∴n=100.
2．【解析】選C.甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36.所以甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是64.
3．【解析】選A.
因為6.6233.841，所以有95%的把握認為新藥對防治雞瘟有效.
4．【解析】選A.由莖葉圖知甲的中位數(shù)是9.05,乙的中位數(shù)是9.15,故甲、乙中位數(shù)的和為18.2,看莖葉圖知乙穩(wěn)定性比甲高,故選A.
5．
6．【解析】選C.通過觀察圖象知：體重在［56.5,64.5）的頻率為(58.5-56.5)×0.03+(60.5-58.5)×0.05+(62.5-60.5)×0.05
+(64.5-62.5)×0.07=0.4.
故體重在［56.5,64.5）的學生人數(shù)是0.4×100=40.
7．【解析】由題意知,學號組成以=14為公差的等差數(shù)列,故還有一個同學的學號為20.
答案:20
8．【解析】，解之得
答案：140
9．答案：12
10．【解析】(1)莖葉圖如下:
學生乙成績中位數(shù)為84,它是這組數(shù)據(jù)最中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù).(中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中)
甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適。
（3）記“甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件A，則P（A）=。
隨機變量的可能取值為0，1，2，3，
且服從二項分布
故的分布列為
11．[解析]（1）應選女生（位），男生3（位），可以得到不同的樣本個數(shù)是。
（2）①這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理成績均成優(yōu)秀，則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應，種數(shù)是，然后使剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應，種數(shù)是。根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是。這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應的種數(shù)共有種。故所求的概率
②變量y與x的相關系數(shù)是可以看出，物理與數(shù)學成績是高度正相關。以數(shù)學成績x為橫坐標，物理作散點圖如圖所示。
從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理成績與數(shù)學成績是高度正相關。
設y與x的線性回歸方程為
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出
所以y與x的線性回歸方程是
12．【解析】由已知數(shù)據(jù)得到下表
∵12.38＞6.635,
∴有99%的把握認為產(chǎn)品是否合格與設備是否改造是有關的.

【備課資源】
1.以下五個命題
①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣
②樣本方差反映了樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度
③在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好
④在回歸直線方程=0.1x+10中,當解釋變量x每增加一個單位時,預報變量增加0.1個單位
⑤在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2=13.079,則其兩個變量間有關系的可能性是90%以上.
其中正確的是()
(A)②③④⑤(B)①③④
(C)①③⑤(D)②④
【解析】選A.①描述的抽樣方法應該是系統(tǒng)抽樣,故①錯誤.
2.某班50名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與19秒之間,將測試結果按如下方式分成六組:第一組,成績大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于等于14秒且小于15秒;…;第六組,成績大于等于18秒且小于等于19秒.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設成績小于17秒的學生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為()
(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45
【解析】選A.根據(jù)頻率分布直方圖的意義,成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總人數(shù)的百分比為(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為(0.36+0.34)×1×50=35.
3.某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示,在某時段內,有1000輛汽車通過該站,現(xiàn)在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析,分析的結果表示為如圖的頻率分布直方圖,則估計在這一時段內通過該站的汽車中速度不小于90km/h的約有()
(A)100輛(B)200輛(C)300輛(D)400輛
【解析】選C.由頻率分布直方圖知速度不小于90km/h的頻率為1-(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,故速度不小于90km/h的汽車約有1000×0.3=300輛.
4.下圖是甲、乙兩種玉米生長高度抽樣數(shù)據(jù)的莖葉圖,設甲的中位數(shù)為a,乙的眾數(shù)為b,則a與b的大小關系為________.
【解析】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)是26,乙的眾數(shù)為26,故a=b.
答案:a=b
5.為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況,采用簡單隨機抽樣的方法,從該校200名授課教師中抽取20名教師,調查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數(shù),結果用莖葉圖表示如圖：據(jù)此可估計該校上學期200名教師中,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內的人數(shù)為________.
【解析】由莖葉圖知,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內的人數(shù)為6,頻率為,故估計200名教師中,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內的有200×=60人.
答案:60

2012屆高考數(shù)學備考復習點、直線、平面之間的位置關系教案

專題四：立體幾何
第二講點、直線、平面之間的位置關系

【最新考綱透析】
1．理解空間直線平面位置關系的定義。
2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理。
3．認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理。
4．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題。

【核心要點突破】
要點考向1：線線、線面的位置關系
考情聚焦：1．空間直線的位置關系、直線與平面的位置關系是最基本的關系，是高考中重點考查的內容，幾乎年年都考。
2．題目基本上以柱體、錐體為背景，重點考查異面直線及線面關系。
3．三種題型均可出現(xiàn)，屬較容易或中檔題。
考向鏈接：1．解決此類問題時要特別注意線線平行與垂直、線在平行與垂直、面面平行與垂直間的相互轉化。
2．證明線線平行的常用方法：（1）利用定義，證兩線共面且無公共點；（2）利用公理4，證兩線同時平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質定理把證線線平行轉化為證線面平行。
3．證明線面平行常用方法：（1）利用線面平行的判定定理把證線面平行轉化為證線線平行；（2）利用性質
4．證明線面垂直的方法有：
（1）定義；
（2）判定定理；
例1：（2010天津高考文科Ｔ１9）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力。
【思路點撥】（1）∠CED即為異面直線CE與AF所成角；（2）證明CD垂直于兩條相交直線AB、FA;（3）做輔助線構造二面角的平面角。
【規(guī)范解答】(I)解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA//ED.故為異面直線CE與AF所成的角.因為FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.
在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.
所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為.
(Ⅱ)證明：過點B作BG//CD,交AD于點G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點.取EF的中點N，連接GN，則GNEF,因為BC//AD,所以BC//EF.過點N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角。
連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG//FA,FAGM,得NGGM.
在Rt△NGM中，tan,
所以二面角B-EF-A的正切值為.

要點考向2：面面位置關系
考情聚焦：1．在高考中，本部分內容幾乎年年考查，主要考查學生分析問題、解決問題的能力。
2．題目基本上以棱柱、棱錐為背景，考查面面平行或垂直。
3．選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，題目難度為低檔或中檔。
考向鏈接：1．證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即可。從而將面面平行轉化為線面平行，再轉化為線線平行。
2．證明面面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決。
例2：（2010遼寧高考文科Ｔ19）
如圖，棱柱ABC—A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(Ⅰ)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1;
（Ⅱ)設D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】（I）先證明B1C⊥平面A1BC1.再證明平面AB1C⊥平面A1BC1;
（II）利用線面平行的性質，得到DE//A1B，判斷出D點是中點，從而可解
【規(guī)范解答】（I）
（II）
【方法技巧】
1、證明面面垂直，一般通過證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，為此分析題設，觀察圖形找到是哪條直線和哪個平面垂直。
2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線平面內的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來，如本題中強調了A1B∩BC1＝B
要點考向3：與折疊有關的問題
考情聚焦：1．空間圖形的折疊問題是近幾年高考命題的一個新的亮點,它通常與其他知識相結合,能夠較好地考查學生的空間想象能力、圖形變換能力及識圖能力。
2．選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，尤其解答題為多，屬中檔題。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ20）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A’C的中點。
（Ⅰ）求證：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A’DE所成角的余弦值。
【命題立意】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，線面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力。
【思路點撥】（1）可以在面內找一條直線與BF平行，從而證明線面平行；（2）求線面角的關鍵是找到對應的平面角。
【規(guī)范解答】(Ⅰ)取A′D的中點G，連結GF，CE，由條件易知FG∥CD，F(xiàn)G=CD.BE∥CD,BE=CD.所以FG∥BE,FG=BE.
故四邊形BEGF為平行四邊形,所以BF∥EG
因為平面，BF平面，所以BF//平面
（Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，設BC=a，則AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,連CE。
因為，在△BCE中，可得CE=a,在△ADE中，可得DE=a,
在△CDE中，因為CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中，M為DE中點，
所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中點N，
連線NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因為DE交A′M于M,
所以NF⊥平面A′DE,則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,則cos=.
所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為.
【方法技巧】找線面所成角時，可適當?shù)淖饕粭l面的垂線，從而把線面角轉化為線線夾角。
注：（1）解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口。
（2）在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形。

【高考真題探究】
1．（2010山東高考理科Ｔ3）在空間，下列命題正確的是（）
（A）平行直線的平行投影重合
（B）平行于同一直線的兩個平面平行
（C）垂直于同一平面的兩個平面平行
（D）垂直于同一平面的兩條直線平行
【命題立意】本題考查空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力.
【思路點撥】可利用特殊圖形進行排除.
【規(guī)范解答】選D，在正方體中，但它們在底面上的投影仍平行，故A選項不正確；平面與平面都平行于直線，但平面與平面相交，故B選項不正確；平面與平面都垂直于平面，但平面與平面相交，故C選項不正確；而由空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質定理可以證明選項D正確.
2．（2010浙江高考理科Ｔ6）設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）
（A）若，，則（B）若，，則
（C）若，，則（D）若，，則
【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關系，考查空間想象能力。
【思路點撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理。
【規(guī)范解答】選B。如圖（1），選項A不正確；如圖（2），選項B正確；如圖（3）選項C不正確；如圖（4）選項D不正確。
3．（2010廣東高考理科Ｔ18）如圖5，是
半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B
和點C為線段AD的三等分點。平面AEC外一點F滿足
FB=FD=a，F(xiàn)E=a
證明：EB⊥FD；
已知點Q,R分別為線段FE,FB上的點，使得
FQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值。
【命題立意】本題考察空間點、線、面之間的關系以及空間幾何體的相關計算.
【思路點撥】（1）點E為的中點，AC為直徑是，又面EB⊥FD.
作出二面角的棱證明為所求二面角的平面角求、
【規(guī)范解答】（1）證明：連結.因為是半徑為a的半圓，為直徑，點E為的中點，
所以，在中，，在中，，所以是等腰三角形，且點是底邊的中點，所以
在中，，所以是，所以.
由，，且，所以面
又面，所以，
所以平面，而平面，所以
（2）過點作，F(xiàn)Q=FE,FR=FB，，，
與共面且與共面，
為平面BED與平面RQD的棱.
由（1）知，平面，平面，而平面，平面，
，，是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.
在中，，
，=.
由余弦定理得：
又由正弦定理得：
，即
所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為
4．（2010北京高考理科Ｔ１6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在
的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法。一般的，運用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運算能力要求較高，關鍵是尋找二面角的平面角；運用向量法（方法二）思路簡單，但運算量較大，熟練掌握向量的線性運算及數(shù)量積是解決問題的關鍵。
【思路點撥】立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法。幾何法：（1）證明AF與面BDE內的某條線平行；（2）證明CF垂直于面BDE內的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于面BDE，再過A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂線，找到二面角的平面角。向量法：利用三個垂直關系CE，CD，CB，建立空間直角坐標系，利用向量的平行、垂直和數(shù)量積求二面角的大小。
【規(guī)范解答】方法一：
（I）設AC與BD交點G。因為EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.
所以AF//EG，因為平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.
(II)連接FG，，為平行四邊形，
又，CEFG為菱形，。
在正方形ABCD中，。
正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，，
，又，。
（III）在平面ACEF內，過A作，垂足為H，連接HB。則AH//CF。
AH平面BDE，，。
又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，。
又，面BCE，。面ABH。
。為所求的二面角A-BE-D的平面角。
由得，，
為銳角，。
方法二：
（I）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-.則C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.設為平面BDE的法向量，則，即，令，得，。
，，
又面BDE，AF//平面BDE。
（II）由（I）知，所以,
所以,.又因為，所以平面BDE.
(III)設平面ABE的法向量,由（I）知=，，則，.即所以且令則.所以.從而。所以。
因為二面角為銳角，
所以二面角的大小為.
5．（2010福建高考文科Ｔ20）如圖，在長方體ABCD–A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH//A1D1。過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點分別為F，G。
（I）證明：AD//平面EFGH；
（II）設AB=2AA1=2a。在長方體ABCD-A1B1C1D1內隨機選取一點，記該點取自于幾何體A1ABFE–D1DCGH內的概率為p。當點E，F(xiàn)分別在棱A1B1,B1B上運動且滿足EF=a時，求p的最小值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、必然與或然思想。
【思路點撥】第一步由線線平行得到線面平行；第二步求出（1）首先求出三棱柱的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，然后求解圓柱的體積，利用體積比計算出幾何概率。
【規(guī)范解答】(I)證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，又，，又平面，所以平面；
（II）設，則在長方體ABCD-A1B1C1D1的體積，幾何體的體積，又，，所以當且僅當時等號成立，從而，故，當且僅當時等號成立，所以得最小值等于。
【方法技巧】立體幾何中的證明問題，一定要把條件寫完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫出。
6．（2010江蘇高考Ｔ１6）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求證：PC⊥BC；
求點A到平面PBC的距離。
【命題立意】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。
【思路點撥】（1）可證明BC與PC所在的某一個平面垂直；（2）點A到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的2倍。
【規(guī)范解答】（1）因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因為PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：
易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。
又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。
【方法技巧】一個幾何體無論怎樣轉動，其體積是不變的.如果一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可考慮利用等體積法求解。等體積法也稱等積轉換或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，把底面積和高的求解轉化為數(shù)量關系清晰的底面及其對應的高，減少運算量，這也是轉化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn)。本題也可利用等體積法求解：
連結AC。設點A到平面PBC的距離為h。
因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
從而AB=2，BC=1，得的面積。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。
因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面積。
由，，得，
故點A到平面PBC的距離等于。

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.給出以下三個命題：
①如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行;
②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面;
③如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個平面.
其中真命題的個數(shù)是()
(A)3(B)2(C)1(D)0
2.給定空間中的直線l及平面α,條件“直線l與平面α內無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的（）
(A)充要條件
(B)充分非必要條件
(C)必要非充分條件
(D)既非充分又非必要條件
3.設有直線m、n和平面α、β.下列四個命題中,正確的是（）
(A)若m∥α,n∥α,則m∥n
(B)若mα,nα,m∥β,n∥β,則α∥β
(C)若α⊥β,mα,則m⊥β
(D)若α⊥β,m⊥β,mα,則m∥α
4.對于平面α和直線m、n，給出下列命題
①若m∥n,則m、n與α所成的角相等；
②若m⊥α,m⊥n,則n∥α;
③若m與n是異面直線，且m∥α,則n與α相交.
其中真命題的個數(shù)是（）
(A)0(B)1(C)2(D)3
5.已知平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等，則正確的結論是（）
(A)平面ABC必不垂直于α
(B)平面ABC必平行于α
(C)平面ABC必與α相交
(D)存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內
6．（2010北京模擬）設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是（）
A．若AC與BD共面，則AD與BC共面
B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線
C．若AB=AC，DB=DC，則AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC

二、填空題（每小題6分，共18分）
7.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內,MN⊥BC于M，則MN與平面AB1的位置關系是_______.
8.如果一條直線與一個平面垂直,那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是_______.
9.設α、β表示平面，a、b表示不在α內也不在β內的兩條直線.給出下列四個論斷:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三個作為條件,余下的一個作為結論,可以構造出一些命題.寫出你認為正確的一個命題________.
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10.如圖，在四棱錐P-ABCD中.PD⊥平面ABCD,AD⊥CD.DB平分∠ADC,E為PC的中點,AD=CD.
(1)證明PA∥平面BDE;
(2)證明AC⊥平面PBD;
11.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點.
(1)證明：平面PBE⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一點F，使
AD∥平面PEF？說明理由.
12.(探究創(chuàng)新題)如圖,A、B、C、D為空間四點,在△ABC中,AB=2，AC=BC=，等邊三角形ADB以AB為軸轉動.
（1）當平面ADB⊥平面ABC時，求CD的長;
（2）當△ADB轉動時,是否總有AB⊥CD?證明你的結論.
參考答案
一、選擇題
1.【解析】選B.由直線與平面平行的性質定理知①正確；
由直線與平面垂直的判定定理知②正確；
若兩條直線都平行于一個平面,則這兩條直線平行或相交或異面，故③不正確.
2.【解析】選C.由直線與平面垂直的定義知,當直線l與平面α內無數(shù)條直線都垂直時,直線l與平面α不一定垂直;反之成立.
3.【解析】選D.m∥α,n∥αm∥n或m與n相交或m,n異面,故A不對.mα,nα,m∥β,n∥βα,β相交或平行,故B不對.α⊥β,mαm∥β或m⊥β或m與β斜交,故C不對.α⊥β,m⊥β,mαm∥α正確.
故選D.
4.【解析】選B.①正確；對②，若m⊥α,m⊥n,則n∥α或nα；對③，若m與n異面，m∥α,則n與α相交或平行或在α內.
5.【解析】選D.如圖，A、B、C三點不共線且到α的距離都相等，可得A、B、C皆錯.
6.【解析】選C.A．若AC與BD共面，則A，B，C，D四點共面，則AD與BC共面；
B．若AC與BD是異面直線，則A，B，C，D四點不共面，則AD與BC是異面直線；
C．若AB=AC，DB=DC，四邊形ABCD可以是空間四邊形，AD不一定等于BC；
D．若AB=AC，DB=DC，可以證明AD⊥BC。

二、填空題
7.【解析】∵MN⊥BC，
∴MN∥BB1,
而BB1平面AB1，
∴MN∥平面AB1.
答案：MN∥平面AB1
8.【解析】∵AB⊥面BCC1B1,
AB⊥面ADD1A1，
∴AB與面BCC1B1，AB與面ADD1A1
各構成一個“正交線面對”.
這樣的“正交線面對”共有
12×2=24個，
又A1B⊥面AB1C1D.
∴A1B與面AB1C1D構成一個“正交線面對”.
這樣的“正交線面對”共有12×1=12個，
∴共有24+12=36個.
答案：36
9.【解析】由a∥b,a∥β,b⊥α可得α⊥β.
答案：①②④③

三、解答題
10.【證明】(1)設AC∩BD=H,連結EH.在△ADC中,因為AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點.又由題設,E為PC的中點,故EH∥PA.又EH平面BDE且PA平面BDE,所以PA∥平面BDE.
(2)因為PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以PD⊥AC.結合（1）易知DB⊥AC.
又PD∩DB=D.故AC⊥平面PBD.
11.【解析】(1)∵PA⊥底面ABC，
BE平面ABC，
∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形，E是AC的中點,
∴BE⊥AC,而PA∩AC=A.
∴BE⊥平面PAC.
又BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)存在點F，F(xiàn)是CD的中點.
理由：∵E、F分別是AC、CD的中點，
∴EF∥AD.
而EF平面PEF，AD平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
12.【解析】（1）取AB的中點E,連結DE、CE，
因為△ADB是等邊三角形,
所以DE⊥AB,
當平面ADB⊥平面ABC時，
因為平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.
又DE=,EC=1.
在Rt△DEC中,
（2）當△ADB以AB為軸轉動時,總有AB⊥CD.
證明：①當D在平面ABC內時，
因為AC=BC,AD=BD，
所以C、D都在線段AB的垂直平分線上,
即AB⊥CD.
②當D不在平面ABC內時,由（1）知AB⊥DE，
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE、CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE,
由CD平面CDE，得AB⊥CD.
綜上所述得AB⊥CD.

【備課資源】
1.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直線，則下列命題不正確的是（）
(A)若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β
(B)若m∥α,α∩β=n,則m∥n
(C)若m∥n,m⊥α,則n⊥α
(D)若m⊥α,m⊥β,則α∥β
【解析】選B.對B，m和n可能平行，也可能異面，故錯誤.
2.設a、b是兩條直線,α、β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是（）
(A)a⊥α,b∥β,α⊥β
(B)a⊥α,b⊥β,α∥β
(C)aα,b⊥β,α∥β
(D)aα,b∥β,α⊥β
【解析】選C.aα,b⊥β,α∥β?a⊥b.
3.已知α、β、γ是三個互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個命題
①若α⊥β、l⊥β,則l∥α;
②若l⊥α,l∥β,則α⊥β;
③若l上有兩個點到α的距離相等，則l∥α;
④若α⊥β,β∥γ,則γ⊥α；
其中正確的命題是（）
(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③
【解析】選B.α⊥β,l⊥β?l∥α或l?α,故①不正確.l⊥α,l∥β?α⊥β,②正確.
若l上有兩個點到α的距離相等,則l∥α或l?α或l與α相交，③不正確.顯然④正確.
4.設α、β、γ為三個不同的平面，m、n為兩條不同的直線
①α⊥β,α∩β=n,m⊥n;②α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ;
③α⊥β,α∥γ,m∥γ;④n⊥α,n⊥β,m⊥α
其中，是m⊥β的充分條件的為（）
(A)①②(B)②④(C)②③(D)③④
【解析】選B.α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ?m⊥β；

2012屆高考數(shù)學備考復習：導數(shù)及其應用

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，高中教師要準備好教案，這是每個高中教師都不可缺少的。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“2012屆高考數(shù)學備考復習：導數(shù)及其應用”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)
第五講導數(shù)及其應用
【最新考綱透析】
1.導數(shù)概念及其幾何意義
（1）了解導數(shù)概念的實際背景。
（2）理解導數(shù)的幾何意義。
2．導數(shù)的運算
（1）能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)。
（2）能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)。
（3）能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如的復合函數(shù)）的導數(shù)。
3．導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
（1）了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。
（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間了函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。
4．生活中的優(yōu)化問題
會利用導數(shù)解決某些實際問題
5．定積分與微積分基本定理
（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
（2）了解微積分基本定理的含義。

【核心要點突破】
要點考向1：利用導數(shù)研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導數(shù)研究曲線的切線是導數(shù)的重要應用，為近幾年各省市高考命題的熱點。
2．常與函數(shù)的圖象、性質及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一步的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導數(shù)）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函數(shù)在點的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；
（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。
注：①當曲線在點處的切線平行于軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；
②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲線在點處的切線方程為（）
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.
【規(guī)范解答】選A.因為，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.
要點考向2：利用導數(shù)研究導數(shù)的單調性
考情聚焦：1．導數(shù)是研究函數(shù)單調性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函數(shù)的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式或指、對數(shù)式結構，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
考向鏈接：利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的一般步驟。
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導數(shù)；
（3）①若求單調區(qū)間（或證明單調性），只需在函數(shù)的定義域內解（或證明）不等式＞0或＜0。
②若已知的單調性，則轉化為不等式≥0或≤0在單調區(qū)間上恒成立問題求解。
例2：（2010山東高考文科Ｔ21）已知函數(shù)
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調性.
【命題立意】本題主要考查導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)性質的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結合思想和等價變換思想.
【思路點撥】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性,同時應注意分類標準的選擇.
【規(guī)范解答】（1）當
所以
因此，,即曲線
又
所以曲線
（2）因為,所以,令
當時，所以
當時，0，此時，函數(shù)單調遞減；
當時，0，此時，函數(shù)單調遞增.
當時，由，
即，解得.
①當時，，恒成立，此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調遞減;
②當時，，
時，,此時,函數(shù)單調遞減
時，0,此時,函數(shù)單調遞增
時，，此時，函數(shù)單調遞減
③當時，由于,
時，,此時,函數(shù)單調遞減：
時，0,此時,函數(shù)單調遞增.
綜上所述：
當時，函數(shù)在上單調遞減;函數(shù)在上單調遞增
當時,函數(shù)在上單調遞減
當時，函數(shù)在上單調遞減；函數(shù)在上單調遞增；
函數(shù)在上單調遞減.
【方法技巧】1、分類討論的原因
(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；
(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)等；
(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導致結果發(fā)生改變；
(4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結果有多種可能.
2、分類討論的原則
(1)要有明確的分類標準；
(2)對討論對象分類時要不重復、不遺漏；
(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行.
3、分類討論的一般步驟
(1)明確討論對象，確定對象的范圍；
(2)確定統(tǒng)一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；
(3)逐段逐類討論，獲得階段性結果；
(4)歸納總結，得出結論.
要點考向3：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
考情聚焦：1．導數(shù)是研究函數(shù)極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考中極值與最值問題求解的必用方法。
2．常與函數(shù)的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、或指、對數(shù)式結構，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高檔題。
考向鏈接：1．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導數(shù)。（3）①或求極值，則先求方程=0的根，再檢驗在方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有參數(shù)時要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程=0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函數(shù)的極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，證明當時，
（III）如果，且，證明
【命題立意】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力。
【思路點撥】利用導數(shù)及函數(shù)的性質解題。
【規(guī)范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)極大值
所以f(x)在()內是增函數(shù)，在()內是減函數(shù)。
函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當x1時，2x-20,從而’(x)0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)證明：（1）
若
（2）若
根據(jù)（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,則=，所以,從而.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內是增函數(shù)，所以,即2。
要點考向4：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象
考情聚焦：1．該考向由于能很好地綜合考查函數(shù)的單調性、極值（最值）、零點及數(shù)形結合思想等重要考點，而成為近幾年高考命題專家的新寵。
2．常與函數(shù)的其他性質、方程、不等式、解析幾何知識交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、指、對數(shù)式結構，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)。屬于較難題。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C.
（i）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(ii)證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點P2（x2,f(x2).曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3（x3f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值：
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明。
【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想。
【思路點撥】第一步（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，（2）利用導數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關命題，并利用平移的方法進行證明。
【規(guī)范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為；
(ii)，，，因此過點的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進而有，用代替，重復上面的計算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命題】若對于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(I)(ii)的命題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另外一點，線段、與曲線所圍成面積為，則。
【證明】對于曲線，無論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，，，，因此過點的切線方程為：
，聯(lián)立，得到：，
化簡：得到
從而所以同樣運用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函數(shù)導數(shù)的內容在歷屆高考中主要切線方程、導數(shù)的計算，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識的聯(lián)系，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構造函數(shù)、分類討論、轉化與化歸、數(shù)形結合等重要的思想方法，主要考查導數(shù)的工具性作用。

【高考真題探究】
1.（2010全國高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲線在點處的切線方程是，則
（A）(B)
(C)(D)
【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程知識。
【思路點撥】由題意知，曲線在點處的切線的斜率為1，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得y在x=0
處的導數(shù)為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a、b的值。
【規(guī)范解答】選A，,在點處的切線方程是。
斜率為1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導函數(shù)的圖像大致為

【命題立意】本題將各知識點有機結合，屬創(chuàng)新題型，主要考查對函數(shù)的圖像識別能力，靈活分析問題和解決問題的能力，考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)的導數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的應用，考查平面圖形面積的計算，考查數(shù)形結合的思維能力．
【思路點撥】本題結合題意及圖像的變化情況可用排除法；也可先求面積的函數(shù)，再求其導數(shù)，最后結合圖像進行判斷.
【規(guī)范解答】選A．方法一：在五角星勻速上升過程中露出的圖形部分的面積共有四段不同變化情況，第一段和第三段的變化趨勢相同，只有選項A、C符合要求，從而先排除B、D，在第二段變化中，面積的增長速度顯然較慢，體現(xiàn)在導函數(shù)圖像中其圖像應下降，排除選項C，故選A.
方法二：設正五角星的一個頂點到內部較小正五邊形的最近邊的距離為1，且設，則依據(jù)題意可得：
其導函數(shù)故選A.
【方法技巧】從題設條件出發(fā)，結合所學知識點，根據(jù)“四選一”的要求，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.這種方法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的變化情況較多時，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以排除，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中考查較多.
3．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則[來
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命題立意】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個坐標圍成的三角形的面積。
【規(guī)范解答】選A，所以曲線在點處的切線：
所以，
【方法技巧】利用導數(shù)解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數(shù)求導，代入點的橫坐標得到斜率。（2）“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，
故應先設切點，再求切點坐標。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函數(shù)()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；
(Ⅱ)求()的單調區(qū)間。
【命題立意】本題考查了導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求切線方程及單調區(qū)間。解決本題時一個易錯點是忽視定義域。
【思路點撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負，從而確定單調區(qū)間。
【規(guī)范解答】（I）當時，，
由于，，
所以曲線在點處的切線方程為
即
（II），.
當時，.
所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.
當時，由，得，
所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.
當時，
故的單調遞增區(qū)間是.
當時，，得，.
所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是
【方法技巧】
（1）過的切線方程為。
（2）求單調區(qū)間時要在定義域內討論內的正負。
5．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ22）設函數(shù)．
（Ⅰ）證明：當時，；
（Ⅱ）設當時，，求a的取值范圍．
【命題立意】本題考查了導數(shù)的單調性、極值等知識，結合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，
考查分類討論思想、化歸與轉化思想。
【思路點撥】（Ⅰ）可以構造函數(shù)，利用導數(shù)單調性，求當時的最值證明不等式成立，
（Ⅱ）可結合（Ⅰ）的結論和方法證明，要注意對a分類討論.
【規(guī)范解答】（Ⅰ）當時，當且僅當
令，則
當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；
于是g(x)在x=0處達到最小值，因而當時，即
所以當x-1時，
（Ⅱ）由題設，此時
當a0時，若，則不成立；
當a0時，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，則.當且僅當
⑴當時，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是減函數(shù)，即
⑵當a時，由⑴知x
當時，所以h(x)h(0)=0，即
綜上，a的取值范圍是[0,.
6．（2010江蘇高考Ｔ20）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質。
(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。
(i)求證：函數(shù)具有性質；(ii)求函數(shù)的單調區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質，給定設為實數(shù)，
，，且，
若||||，求的取值范圍。
【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。
【思路點撥】(1)求出，并將其表示為的形式，注意.
(2)利用一的結論求解。
【規(guī)范解答】
（1）(i)
∵時，恒成立，
∴函數(shù)具有性質；
(ii)（方法一）設，與的符號相同。
當時，，，故此時在區(qū)間上遞增；
當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，而，所以當x1時，所以此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而
當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。
綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增。
（方法二）當時，對于，
所以，故此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而
當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。
綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增。
(2)（方法一）由題意，得：
又對任意的都有0，
所以對任意的都有，在上遞增。
又。
當時，，且，
若，∴，（不合題意）。
綜合以上討論，得所求的取值范圍是（0，1）。
（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，，從而在區(qū)間上單調遞增。
①當時，有，
，得，同理可得，所以由的單調性知、，
從而有||||，符合題設。
②當時，，
，于是由及的單調性知，所以||≥||，與題設不符。
③當時，同理可得，進而得||≥||，與題設不符。
因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（共6小題，每小題6分，總分36分）
1.若函數(shù)在R上可導，且，則（C）
A．B．C．D．無法確定
2．函數(shù)在定義域內可導，若，且當時，，設，，，則（D）
A．B．C．D．
3．設函數(shù)在上可導，且，則當時有(A)
A．B．
C．D．
4．設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=f(x)的圖像如右圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能的是（C）
5．在區(qū)間上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如圖，函數(shù)的圖象在點P處的切線是，則=（C）．
A．B．0C．D．不確定

二、填空題（共3小題，每小題6分，總分18分）
7．過原點作函數(shù)的圖像的切線，則切點坐標是
8．函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是________
9．函數(shù)的單調減區(qū)間為。
三、解答題（10、11小題各15分，12題16分）
10．已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.
11．（2010安徽安慶高三二模（文））已知函數(shù).
⑴當時，求函數(shù)的最小值；
⑵若在上是單調函數(shù)，求的取值范圍.
12．（2010屆北京市朝陽區(qū)高三一模（文））已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，試求的值，并求在點處的切線方程；
（Ⅱ）設，若函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍．

參考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命題立意】本題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內容。
【思路點撥】先由導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標。
【規(guī)范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函數(shù)y=x2(x0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：
當時，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性。
，
由得單調減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當a0時，對x∈R有f′(x)0.
∴當a0時，f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的單調性可知，f(x)在x=-1處取得極大值
f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,結合f(x)的單調性可知，m的取值范圍是
(-3,1).
11．解析：（1）當時，
………2分
令得或（，舍去負值）?！?分
函數(shù)及導數(shù)的變化情況如下表：
∴當時，函數(shù)的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上為單調函數(shù)，只需對，都有或
，∴，∴………8分
①當時，恒成立即恒成立；………10分
②當時，，∴，∴恒成立；……12分
綜上所述：當時，在上為單調函數(shù)………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得.
于是函數(shù)，,.
函數(shù)在點處的切線的斜率，
則在點處的切線方程為.…………………………6分
（Ⅱ）當時，是開口向下的拋物線，要使在上存在子區(qū)間使，應滿足或
解得，或，所以的取值范圍是．……14分

【備課資源】
1．（2008全國Ⅱ）設曲線在點處的切線與直線平行，則（）
A．1B．C．D．
【解析】選A.，于是切線的斜率，∴有
2.（2009江西高考）設函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處切線的斜率為()
【解析】選A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是()
【解析】選A.因為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，即在區(qū)間［a,b］上各點處的斜率k是遞增的，由圖易知，選A.
4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當x∈(-,)時,f(x)=x+sinx,則（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)

5.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有極大值又有極小值,則a的取值范圍是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有極大值,又有極小值,則f′(x)=0有兩個不等的實根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009馬鞍山模擬）由直線x=1,x=2,曲線y=sinx及x軸所圍圖形的面積為_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函數(shù)
(1)求的導數(shù);
(2)求證:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009馬鞍山模擬）已知函數(shù)f(x)=x2-alnx,

（1）若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值；
（2）若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;
（3）討論方程f(x)=0解的個數(shù)，并說明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直線y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009蕪湖模擬）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l：y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的極值;
(2)函數(shù)h(x)和φ(x)是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由.
11.（2009山東高考）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)當a,b滿足什么條件時，f(x)取得極值?
(2)已知a0.且f(x)在區(qū)間(0,1］上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得極值,方程ax2+2bx+1=0必須有解，其中Δ=4b2-4a.
當Δ=(2b)2-4a≤0時無極值.
當Δ=(2b)2-4a0，即b2a時.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有兩個不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①當a＞0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
②當a＜0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
綜上所述,當a和b滿足b2＞a時,f(x)能取得極值.