小學數(shù)學復習教案

2012屆高考數(shù)學備考復習：統(tǒng)計。

專題六：概率與統(tǒng)計、推理與證明、算法初步、復數(shù)
第三講統(tǒng)計、統(tǒng)計案例

【最新考綱透析】
1．隨機抽樣
（1）理解隨機抽樣的必要性和重要性；
（2）會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。
2．用樣本估計總體
（1）了解分布的意義和作用，會列表率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點；
（2）理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；
（3）能從樣本數(shù)據(jù)中撮基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋；
（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；
（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。
3．變量的相關(guān)性
（1）會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系；
（2）了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。
4．回歸分析及獨立性檢驗
了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用，了解獨立性檢驗（只要求2×2列）的基本思想、方法及簡單應用。JaB88.cOm

【核心要點突破】
要點考向1：隨機抽樣
考情聚焦：1．隨機抽樣問題和實際生活緊密相連，是高考考查的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．解決有關(guān)隨機抽樣問題首先要深該理解各種抽樣方法的特點和適用范圍，如分層抽樣，適用于數(shù)目較多且各部分之間具有明顯差異的總體；
2．系統(tǒng)抽樣中編號的確定和分層抽樣中各層人數(shù)的確定是高考重點考查的內(nèi)容。
例1：（2010四川高考文科Ｔ4）一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）.
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
【命題立意】本題主要考查分層抽樣的概念，考查應用所學知識解決實際問題的能力.
【思路點撥】首先計算抽樣比例，再計算每層抽取人數(shù).
【規(guī)范解答】選D抽樣比例為，故各層中依次抽取的人數(shù)為人，人，人，人.故選D.
要點考向2：頻率分布直方圖或頻率分布表
考情聚焦：1．頻率分布直方圖或頻率分布表近幾年頻繁地出現(xiàn)在各地高考題中，是高考的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題。
考向鏈接：解決該類問題時，應正確理解圖表中各個量的意義，通過圖表掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵。頻率分布指的是樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占的比例大小，一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其中
（1）頻率分布直方圖中縱軸表示，；
（2）在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比；
（3）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種描述形式，前者準確，后者直觀；
（4）眾數(shù)為最高矩形的底邊中點的橫坐標；
（5）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；
（6）平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。
例2：（2010北京高考理科Ｔ11）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a＝。若要從身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參
加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為。
【命題立意】本題考查頻率頒布直方圖，抽樣方法中的分層抽樣。熟練掌握頻率頒布直方圖的性質(zhì)，分層抽樣的原理是解決本題的關(guān)鍵。
【思路點撥】利用各矩形的面積之和為1可解出。分層抽樣時，選算出身高在[140，150]內(nèi)的學生在三組學生中所占比例，再從18人中抽取相應比例的人數(shù)。
【規(guī)范解答】各矩形的面積和為：，解得。身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：30、20、10，人數(shù)的比為3：2：1，因此從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為18=3人。
【參考答案】0.0303。
要點考向3：莖葉圖
考情聚焦：1．莖葉圖是新課標新增內(nèi)容，與實際生活聯(lián)系密切，可方便處理數(shù)據(jù)，在高考中時有考查，莖葉圖可能成為高考的熱點；
2．三種考查形式均有可能出現(xiàn)，屬于容易題。
考向鏈接：1．莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況；
2．在作莖葉圖或讀莖葉圖時，首先要弄清楚“莖”和“葉”分別代表什么；
3．根據(jù)莖葉圖，我們可方便地求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)，大體上估計出兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小號穩(wěn)定性的高低。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ11）（2010馬鞍山模擬）為檢測學生的體溫狀況，隨機抽取甲，乙兩個班級各10名同學，測量他們的體溫（單位0.1攝氏度）獲得體溫數(shù)據(jù)的莖葉圖，如圖所示.
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班級的平均體溫較高；
（Ⅱ）計算乙班的樣本平均數(shù)，方差；
（Ⅲ）現(xiàn)在從甲班中隨機抽取兩名體溫不低于36.4攝氏度的同學，
求體溫為37.1攝氏度的同學被抽到的概率
【解析】（Ⅰ）甲班的平均體溫：
（35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1）÷10＝36.36
乙班的平均體溫：
（35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0）÷10＝36.30
故甲班的平均體溫較高.
（Ⅱ）乙班的樣本平均數(shù)：36.3
方差：0.134
（Ⅲ）甲班體溫不低于36.4攝氏度的有5人，故。
要點考向4：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標準差
考情聚焦：1．近幾年高考加強了對平均數(shù)、方差、標準差的考查，這也是高考貼近實際生活的體現(xiàn)，應引起高度重視；
2．三種題型均有可能出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則
（1）數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
（2）若的平均數(shù)為；的平均數(shù)為，則的平均數(shù)
（3）或
（4）數(shù)據(jù)的方差與的方差相等；
（5）數(shù)據(jù)的方差為。
例4：（2010遼寧高考理科Ｔ18）為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗結(jié)果.（皰疹面積單位：mm2）表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
頻數(shù)30402010
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
頻數(shù)1025203015
（ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大??；
（ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.

表3
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝b＝
注射藥物Bc＝d＝
合計n＝
附：K2＝
【命題立意】本題考查了古典概型、頻率分布直方圖、獨立性檢驗等知識。
【思路點撥】（I）
（II）計算小長方形的高，作圖
【規(guī)范解答】解：
（Ⅰ）甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為
……4分
（Ⅱ）（i）
圖Ⅰ注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖Ⅱ注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖
可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)。
（ii）表3：

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積有差異”。
【方法技巧】
1、在頻率分布直方圖中，小長方形的高是頻率與組距的比值，不要當成了頻率。
2、根據(jù)頻率分布直方圖確定中位所在的大致區(qū)間，就是在直方圖中做一條垂直于橫軸的直線，使直線兩側(cè)的小長方形的面積大致相等，則直線的垂足所在區(qū)間就是中位數(shù)所在的區(qū)間。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積沒有差異”的概率，所以有關(guān)的概率是1-P(K210.828)＝99.9％
要點考向5：線性回歸方程
考情聚焦：1．近幾年高考雖然沒有考查線性回歸方程，但它在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，應引起重視；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬中、低題目。
例5：（2010湖南高考文科Ｔ3）某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關(guān)，則其回歸方程可能是（）
A.B.
C.D.
【命題立意】以樸素的題材為背景，讓學生感受線性回歸的意義，變量之間的變化趨勢.
【思路點撥】負相關(guān)說明斜率為負，而價格為0時，銷量不能為負。
【規(guī)范解答】∵商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關(guān)，∴a0，排除B，D.又∵x=0時，y0,∴答案為A.
【方法技巧】回歸問題主要研究變量之間的相關(guān)性，變化趨勢，分為正相關(guān)和負相關(guān)，線性相關(guān)不是研究變量之間的確定性，而是相關(guān)性，即有關(guān)聯(lián).求斜率和截距常用給定的公式.
要點考向6：獨立性檢驗
考情聚焦：1．獨立性檢驗是新課標的新增內(nèi)容，2009年遼寧等省高考題對此作了考查，應引起高度重視；
2．呈現(xiàn)方式可以是選擇題、填空題、解答題，屬容易題。
例6：（2010遼寧高考文科Ｔ18）為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B的試驗結(jié)果.（皰疹面積單位：mm2）
表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
頻數(shù)30402010
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
皰疹面積[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
頻數(shù)1025203015
（Ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;
（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.
表3
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝b＝
注射藥物Bc＝d＝
合計n＝
附：K2＝
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828
【命題立意】考查了頻率分布直方圖、中位數(shù)、獨立性檢驗的知識。
【思路點撥】（I）根據(jù)頻率分布直方圖，估計中位的范圍，比較中位數(shù)的大小。
（II）將各數(shù)據(jù)代入公式計算，比較
【規(guī)范解答】
（I）
可以看出注射藥物A后的皰疹面的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)。

（II）
皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計
注射藥物Aa＝70b＝30100
注射藥物Bc＝35d＝65100
合計10595n＝200
由于所以有99％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。
【方法技巧】
1、在做頻率分布直方圖時，一定要注意，小長方形的高表示的是頻率與組距的比，不要當成了頻率。
2、根據(jù)頻率分布直方圖確定中位所在的大致區(qū)間，就是在直方圖中做一條垂直于橫軸的直線，使直線兩側(cè)的小長方形的面積大致相等，則直線的垂足所在區(qū)間就是中位數(shù)所在的區(qū)間。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積沒有差異”的概率，所以有關(guān)的概率是1-P(K210.828)＝99.9％。

【高考真題探究】
1．（2010陜西高考文科Ｔ4）如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為,樣本標準差分別為sA和sB,則（）
(A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB
【命題立意】本題考查樣本平均數(shù)、標準差的概念的靈活應用，屬保分題。
【思路點撥】直接觀察圖像易得結(jié)論，不用具體的運算
【規(guī)范解答】選B由圖易得＜，又A波動性大，B波動性小，所以sA＞sB
【方法技巧】統(tǒng)計內(nèi)容有抽樣方法、樣本特征數(shù)（均值、方差，直方圖等）、回歸分析、預測（應用）等，體現(xiàn)算法思想．弄清基本概念，原理，計算方法等．
2．（2010山東高考理科Ｔ6）樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,,若該樣本的平均值為1，則樣本方差為
(A)(B)(C)(D)2
【命題立意】本題考查用樣本的平均數(shù)、方差,考查了考生的運算求解能力.
【思路點撥】先由平均值求出a，再利用方差的計算公式求解.
【規(guī)范解答】選D,由題意知,解得,所以樣本方差為
=2,故選D.
3．（2010福建高考文科Ｔ9）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
【命題立意】本題考查中位數(shù)與平均數(shù)的求解。
【思路點撥】把數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)，平均數(shù)是把所有的數(shù)據(jù)加起來除以數(shù)據(jù)的個數(shù)。
【規(guī)范解答】選A，數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)為，平均數(shù)為。
【方法技巧】給出實際數(shù)據(jù)求解中位數(shù)和平均數(shù)等數(shù)據(jù)特征相對較為容易，但是同學也要理解“眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系”，會用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。
1.眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)；
2.中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)。
3.平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.
4．（2010廣東高考理科Ｔ7）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則P（X4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585
【命題立意】本題考察隨機變量的正態(tài)分布的意義。
【思路點撥】由已知條件先求出，再求出的值。
【規(guī)范解答】選

5．（2010廣東高考文科Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（單位：萬元）與年平均支出Y（單位：萬元）的統(tǒng)計資料如下表所示：
根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是，家庭年平均收入與年平均支出有_________線性相關(guān)關(guān)系.
【命題立意】本題考察統(tǒng)計中基本特征量的意義以及變量間的關(guān)系.
【思路點撥】按大小排列出收入數(shù)據(jù)的順序，找出中間的那個數(shù)據(jù).
【規(guī)范解答】收入數(shù)據(jù)按大小排列為：、、、、，所以中位數(shù)為13.
【參考答案】正向.
6．（2010陜西高考理科Ｔ19）為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：
（Ⅰ）估計該校男生的人數(shù)；
（Ⅱ）估計該校學生身高在170~185cm之間的概率；
（Ⅲ）從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170~180cm之間的概率。
【命題立意】本題考查了分層抽樣的概念、條形圖的識別、概率的簡單求法等基礎知識，考查了同學們利用所學知識解決實際問題的能力。
【思路點撥】讀懂頻數(shù)條形圖是解題的關(guān)鍵
【規(guī)范解答】（Ⅰ）樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400。
（Ⅱ）由統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170~185cm之間的學生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170~185cm之間的頻率故由估計該校學生身高在170~180cm之間的概率
（Ⅲ）樣本中女生身高在165~180cm之間的人數(shù)為10，身高在170~180cm之間的人數(shù)為4。
設A表示事件“從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，至少有1人身高在170~180cm之間”，則

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況,抽出了一個容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在［50,60)元的同學有30人,則n的值為()
(A)90(B)100(C)900(D)1000
2．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，
則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（）
A．62B．63C．64D．65

3.在研究某種新藥對雞瘟的防治效果問題時，得到了以下數(shù)據(jù)：
下列結(jié)論中正確的一項是（）
(A)有95%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(B)有99%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(C)有99.9%的把握認為新藥對防治雞瘟有效
(D)沒有充分證據(jù)顯示新藥對防治雞瘟有效
4.如圖是甲、乙兩名射擊運動員各射擊10次后所得到的成績的莖葉圖(莖表示成績的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點后的數(shù)字),由圖可知:（）
(A)甲、乙中位數(shù)的和為18.2，乙穩(wěn)定性高
(B)甲、乙中位數(shù)的和為17.8,甲穩(wěn)定性高
(C)甲、乙中位數(shù)的和為18.5，甲穩(wěn)定性高
(D)甲、乙中位數(shù)的和為18.65，乙穩(wěn)定性高
5.甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤?br> s1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（）
（A）s3s1s2
（B）s2s1s3
（C）s1s2s3
（D）s2s3s1
6.為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg),得到頻率分布直方圖如圖：
根據(jù)圖可得這100名學生中體重在［56.5,64.5）的學生人數(shù)是（）
（A）20（B）30（C）40（D）50
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.高三(1)班共有56人,學號依次為1,2,3,…,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本,已知學號為6,34,48的同學在樣本中,那么還有一個同學的學號應為______.
8．某學校有初中生1100人，高中生900人，教師100人，現(xiàn)對學校的師生進行樣本容量為的分層抽樣調(diào)查，已知抽取的高中生為60人，則樣本容量________
9．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次.記錄如下:
甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(1)畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖,指出學生乙成績的中位數(shù),并說明它在乙組數(shù)據(jù)中的含義;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽,從平均狀況和方差的角度考慮,你認為派哪位學生參加合適?請說明理由;
(3)若將頻率視為概率,對學生甲在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預測,記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.
11.班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）
（2）隨機抽出8位，他們的數(shù)學分數(shù)從小到大排序是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的概率;
②若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應如表:
根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關(guān)性？如果具有線性相關(guān)性，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請說明理由.
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸直線的方程是：
其中；其中是與對應的回歸估計值。
參考數(shù)據(jù)：
12.(探究創(chuàng)新題)某企業(yè)為了更好地了解設備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析,其中設備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件,根據(jù)上面的數(shù)據(jù)判定,產(chǎn)品是否合格與設備是否改進有沒有關(guān)系?

參考答案
1．【解析】選B.由頻率分布直方圖知,支出在［50,60)元的頻率為1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，∴=0.3,∴n=100.
2．【解析】選C.甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36.所以甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是64.
3．【解析】選A.
因為6.6233.841，所以有95%的把握認為新藥對防治雞瘟有效.
4．【解析】選A.由莖葉圖知甲的中位數(shù)是9.05,乙的中位數(shù)是9.15,故甲、乙中位數(shù)的和為18.2,看莖葉圖知乙穩(wěn)定性比甲高,故選A.
5．
6．【解析】選C.通過觀察圖象知：體重在［56.5,64.5）的頻率為(58.5-56.5)×0.03+(60.5-58.5)×0.05+(62.5-60.5)×0.05
+(64.5-62.5)×0.07=0.4.
故體重在［56.5,64.5）的學生人數(shù)是0.4×100=40.
7．【解析】由題意知,學號組成以=14為公差的等差數(shù)列,故還有一個同學的學號為20.
答案:20
8．【解析】，解之得
答案：140
9．答案：12
10．【解析】(1)莖葉圖如下:
學生乙成績中位數(shù)為84,它是這組數(shù)據(jù)最中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù).(中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中)
甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適。
（3）記“甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件A，則P（A）=。
隨機變量的可能取值為0，1，2，3，
且服從二項分布
故的分布列為
11．[解析]（1）應選女生（位），男生3（位），可以得到不同的樣本個數(shù)是。
（2）①這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理成績均成優(yōu)秀，則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應，種數(shù)是，然后使剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應，種數(shù)是。根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是。這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應的種數(shù)共有種。故所求的概率
②變量y與x的相關(guān)系數(shù)是可以看出，物理與數(shù)學成績是高度正相關(guān)。以數(shù)學成績x為橫坐標，物理作散點圖如圖所示。
從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理成績與數(shù)學成績是高度正相關(guān)。
設y與x的線性回歸方程為
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出
所以y與x的線性回歸方程是
12．【解析】由已知數(shù)據(jù)得到下表
∵12.38＞6.635,
∴有99%的把握認為產(chǎn)品是否合格與設備是否改造是有關(guān)的.

【備課資源】
1.以下五個命題
①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣
②樣本方差反映了樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度
③在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好
④在回歸直線方程=0.1x+10中,當解釋變量x每增加一個單位時,預報變量增加0.1個單位
⑤在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2=13.079,則其兩個變量間有關(guān)系的可能性是90%以上.
其中正確的是()
(A)②③④⑤(B)①③④
(C)①③⑤(D)②④
【解析】選A.①描述的抽樣方法應該是系統(tǒng)抽樣,故①錯誤.
2.某班50名學生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組,成績大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于等于14秒且小于15秒;…;第六組,成績大于等于18秒且小于等于19秒.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設成績小于17秒的學生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為()
(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45
【解析】選A.根據(jù)頻率分布直方圖的意義,成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為(0.36+0.34)×1×50=35.
3.某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示,在某時段內(nèi),有1000輛汽車通過該站,現(xiàn)在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析,分析的結(jié)果表示為如圖的頻率分布直方圖,則估計在這一時段內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的約有()
(A)100輛(B)200輛(C)300輛(D)400輛
【解析】選C.由頻率分布直方圖知速度不小于90km/h的頻率為1-(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,故速度不小于90km/h的汽車約有1000×0.3=300輛.
4.下圖是甲、乙兩種玉米生長高度抽樣數(shù)據(jù)的莖葉圖,設甲的中位數(shù)為a,乙的眾數(shù)為b,則a與b的大小關(guān)系為________.
【解析】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)是26,乙的眾數(shù)為26,故a=b.
答案:a=b
5.為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況,采用簡單隨機抽樣的方法,從該校200名授課教師中抽取20名教師,調(diào)查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數(shù),結(jié)果用莖葉圖表示如圖：據(jù)此可估計該校上學期200名教師中,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內(nèi)的人數(shù)為________.
【解析】由莖葉圖知,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內(nèi)的人數(shù)為6,頻率為,故估計200名教師中,使用多媒體進行教學次數(shù)在［15,25)內(nèi)的有200×=60人.
答案:60

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2012屆高考數(shù)學備考復習：導數(shù)及其應用

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，高中教師要準備好教案，這是每個高中教師都不可缺少的。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“2012屆高考數(shù)學備考復習：導數(shù)及其應用”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)
第五講導數(shù)及其應用
【最新考綱透析】
1.導數(shù)概念及其幾何意義
（1）了解導數(shù)概念的實際背景。
（2）理解導數(shù)的幾何意義。
2．導數(shù)的運算
（1）能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)。
（2）能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)。
（3）能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如的復合函數(shù)）的導數(shù)。
3．導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。
（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間了函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。
4．生活中的優(yōu)化問題
會利用導數(shù)解決某些實際問題
5．定積分與微積分基本定理
（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
（2）了解微積分基本定理的含義。

【核心要點突破】
要點考向1：利用導數(shù)研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導數(shù)研究曲線的切線是導數(shù)的重要應用，為近幾年各省市高考命題的熱點。
2．常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關(guān)鍵一步的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導數(shù)）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函數(shù)在點的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；
（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。
注：①當曲線在點處的切線平行于軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；
②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲線在點處的切線方程為（）
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.
【規(guī)范解答】選A.因為，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.
要點考向2：利用導數(shù)研究導數(shù)的單調(diào)性
考情聚焦：1．導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調(diào)性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式或指、對數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
考向鏈接：利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導數(shù)；
（3）①若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式＞0或＜0。
②若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式≥0或≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。
例2：（2010山東高考文科Ｔ21）已知函數(shù)
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調(diào)性.
【命題立意】本題主要考查導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想.
【思路點撥】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時應注意分類標準的選擇.
【規(guī)范解答】（1）當
所以
因此，,即曲線
又
所以曲線
（2）因為,所以,令
當時，所以
當時，0，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，0，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.
當時，由，
即，解得.
①當時，，恒成立，此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;
②當時，，
時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減
時，0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減
③當時，由于,
時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減：
時，0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增.
綜上所述：
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)在上單調(diào)遞減.
【方法技巧】1、分類討論的原因
(1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出；
(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)等；
(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導致結(jié)果發(fā)生改變；
(4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能.
2、分類討論的原則
(1)要有明確的分類標準；
(2)對討論對象分類時要不重復、不遺漏；
(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行.
3、分類討論的一般步驟
(1)明確討論對象，確定對象的范圍；
(2)確定統(tǒng)一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；
(3)逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果；
(4)歸納總結(jié)，得出結(jié)論.
要點考向3：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
考情聚焦：1．導數(shù)是研究函數(shù)極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考中極值與最值問題求解的必用方法。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、或指、對數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高檔題。
考向鏈接：1．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導數(shù)。（3）①或求極值，則先求方程=0的根，再檢驗在方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有參數(shù)時要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程=0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函數(shù)的極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當時，
（III）如果，且，證明
【命題立意】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力。
【思路點撥】利用導數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題。
【規(guī)范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)極大值
所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。
函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當x1時，2x-20,從而’(x)0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)證明：（1）
若
（2）若
根據(jù)（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,則=，所以,從而.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以,即2。
要點考向4：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象
考情聚焦：1．該考向由于能很好地綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、零點及數(shù)形結(jié)合思想等重要考點，而成為近幾年高考命題專家的新寵。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式、解析幾何知識交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、指、對數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)。屬于較難題。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C.
（i）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(ii)證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點P2（x2,f(x2).曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3（x3f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值：
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明。
【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想。
【思路點撥】第一步（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）利用導數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關(guān)命題，并利用平移的方法進行證明。
【規(guī)范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為；
(ii)，，，因此過點的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進而有，用代替，重復上面的計算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命題】若對于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(I)(ii)的命題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另外一點，線段、與曲線所圍成面積為，則。
【證明】對于曲線，無論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，，，，因此過點的切線方程為：
，聯(lián)立，得到：，
化簡：得到
從而所以同樣運用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函數(shù)導數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考中主要切線方程、導數(shù)的計算，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識的聯(lián)系，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導數(shù)的工具性作用。

【高考真題探究】
1.（2010全國高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲線在點處的切線方程是，則
（A）(B)
(C)(D)
【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程知識。
【思路點撥】由題意知，曲線在點處的切線的斜率為1，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得y在x=0
處的導數(shù)為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a、b的值。
【規(guī)范解答】選A，,在點處的切線方程是。
斜率為1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導函數(shù)的圖像大致為

【命題立意】本題將各知識點有機結(jié)合，屬創(chuàng)新題型，主要考查對函數(shù)的圖像識別能力，靈活分析問題和解決問題的能力，考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)的導數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的應用，考查平面圖形面積的計算，考查數(shù)形結(jié)合的思維能力．
【思路點撥】本題結(jié)合題意及圖像的變化情況可用排除法；也可先求面積的函數(shù)，再求其導數(shù)，最后結(jié)合圖像進行判斷.
【規(guī)范解答】選A．方法一：在五角星勻速上升過程中露出的圖形部分的面積共有四段不同變化情況，第一段和第三段的變化趨勢相同，只有選項A、C符合要求，從而先排除B、D，在第二段變化中，面積的增長速度顯然較慢，體現(xiàn)在導函數(shù)圖像中其圖像應下降，排除選項C，故選A.
方法二：設正五角星的一個頂點到內(nèi)部較小正五邊形的最近邊的距離為1，且設，則依據(jù)題意可得：
其導函數(shù)故選A.
【方法技巧】從題設條件出發(fā)，結(jié)合所學知識點，根據(jù)“四選一”的要求，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.這種方法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的變化情況較多時，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以排除，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中考查較多.
3．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則[來
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命題立意】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個坐標圍成的三角形的面積。
【規(guī)范解答】選A，所以曲線在點處的切線：
所以，
【方法技巧】利用導數(shù)解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數(shù)求導，代入點的橫坐標得到斜率。（2）“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，
故應先設切點，再求切點坐標。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函數(shù)()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；
(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間。
【命題立意】本題考查了導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間。解決本題時一個易錯點是忽視定義域。
【思路點撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負，從而確定單調(diào)區(qū)間。
【規(guī)范解答】（I）當時，，
由于，，
所以曲線在點處的切線方程為
即
（II），.
當時，.
所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
當時，由，得，
所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.
當時，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是.
當時，，得，.
所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是
【方法技巧】
（1）過的切線方程為。
（2）求單調(diào)區(qū)間時要在定義域內(nèi)討論內(nèi)的正負。
5．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ22）設函數(shù)．
（Ⅰ）證明：當時，；
（Ⅱ）設當時，，求a的取值范圍．
【命題立意】本題考查了導數(shù)的單調(diào)性、極值等知識，結(jié)合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，
考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
【思路點撥】（Ⅰ）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)單調(diào)性，求當時的最值證明不等式成立，
（Ⅱ）可結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論和方法證明，要注意對a分類討論.
【規(guī)范解答】（Ⅰ）當時，當且僅當
令，則
當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；
于是g(x)在x=0處達到最小值，因而當時，即
所以當x-1時，
（Ⅱ）由題設，此時
當a0時，若，則不成立；
當a0時，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，則.當且僅當
⑴當時，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是減函數(shù)，即
⑵當a時，由⑴知x
當時，所以h(x)h(0)=0，即
綜上，a的取值范圍是[0,.
6．（2010江蘇高考Ｔ20）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。
(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。
(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定設為實數(shù)，
，，且，
若||||，求的取值范圍。
【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。
【思路點撥】(1)求出，并將其表示為的形式，注意.
(2)利用一的結(jié)論求解。
【規(guī)范解答】
（1）(i)
∵時，恒成立，
∴函數(shù)具有性質(zhì)；
(ii)（方法一）設，與的符號相同。
當時，，，故此時在區(qū)間上遞增；
當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，而，所以當x1時，所以此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而
當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。
綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增。
（方法二）當時，對于，
所以，故此時在區(qū)間上遞增；
當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而
當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。
綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增。
(2)（方法一）由題意，得：
又對任意的都有0，
所以對任意的都有，在上遞增。
又。
當時，，且，
若，∴，（不合題意）。
綜合以上討論，得所求的取值范圍是（0，1）。
（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。
①當時，有，
，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，
從而有||||，符合題設。
②當時，，
，于是由及的單調(diào)性知，所以||≥||，與題設不符。
③當時，同理可得，進而得||≥||，與題設不符。
因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（共6小題，每小題6分，總分36分）
1.若函數(shù)在R上可導，且，則（C）
A．B．C．D．無法確定
2．函數(shù)在定義域內(nèi)可導，若，且當時，，設，，，則（D）
A．B．C．D．
3．設函數(shù)在上可導，且，則當時有(A)
A．B．
C．D．
4．設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=f(x)的圖像如右圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能的是（C）
5．在區(qū)間上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如圖，函數(shù)的圖象在點P處的切線是，則=（C）．
A．B．0C．D．不確定

二、填空題（共3小題，每小題6分，總分18分）
7．過原點作函數(shù)的圖像的切線，則切點坐標是
8．函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是________
9．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為。
三、解答題（10、11小題各15分，12題16分）
10．已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.
11．（2010安徽安慶高三二模（文））已知函數(shù).
⑴當時，求函數(shù)的最小值；
⑵若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
12．（2010屆北京市朝陽區(qū)高三一模（文））已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，試求的值，并求在點處的切線方程；
（Ⅱ）設，若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍．

參考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命題立意】本題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內(nèi)容。
【思路點撥】先由導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標。
【規(guī)范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函數(shù)y=x2(x0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：
當時，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。
，
由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當a0時，對x∈R有f′(x)0.
∴當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=-1處取得極大值
f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是
(-3,1).
11．解析：（1）當時，
………2分
令得或（，舍去負值）?！?分
函數(shù)及導數(shù)的變化情況如下表：
∴當時，函數(shù)的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上為單調(diào)函數(shù)，只需對，都有或
，∴，∴………8分
①當時，恒成立即恒成立；………10分
②當時，，∴，∴恒成立；……12分
綜上所述：當時，在上為單調(diào)函數(shù)………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得.
于是函數(shù)，,.
函數(shù)在點處的切線的斜率，
則在點處的切線方程為.…………………………6分
（Ⅱ）當時，是開口向下的拋物線，要使在上存在子區(qū)間使，應滿足或
解得，或，所以的取值范圍是．……14分

【備課資源】
1．（2008全國Ⅱ）設曲線在點處的切線與直線平行，則（）
A．1B．C．D．
【解析】選A.，于是切線的斜率，∴有
2.（2009江西高考）設函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處切線的斜率為()
【解析】選A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是()
【解析】選A.因為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，即在區(qū)間［a,b］上各點處的斜率k是遞增的，由圖易知，選A.
4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當x∈(-,)時,f(x)=x+sinx,則（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)

5.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有極大值又有極小值,則a的取值范圍是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有極大值,又有極小值,則f′(x)=0有兩個不等的實根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009馬鞍山模擬）由直線x=1,x=2,曲線y=sinx及x軸所圍圖形的面積為_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函數(shù)
(1)求的導數(shù);
(2)求證:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009馬鞍山模擬）已知函數(shù)f(x)=x2-alnx,

（1）若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值；
（2）若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;
（3）討論方程f(x)=0解的個數(shù)，并說明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直線y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009蕪湖模擬）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l：y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的極值;
(2)函數(shù)h(x)和φ(x)是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由.
11.（2009山東高考）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)當a,b滿足什么條件時，f(x)取得極值?
(2)已知a0.且f(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得極值,方程ax2+2bx+1=0必須有解，其中Δ=4b2-4a.
當Δ=(2b)2-4a≤0時無極值.
當Δ=(2b)2-4a0，即b2a時.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有兩個不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①當a＞0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
②當a＜0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
綜上所述,當a和b滿足b2＞a時,f(x)能取得極值.

2012屆高考歷史考點備考復習

2012屆高考數(shù)學備考復習平面向量教案

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學備考復習平面向量教案”，希望能為您提供更多的參考。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第三講平面向量
【最新考綱透析】
1．平面向量的實際背景及基本概念
（1）了解向量的實際背景。
（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。
（3）理解向量的幾何意義。
2．向量的線性運算
（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義。
（2）掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。
（3）了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。
3．平面向量的基本定理及坐標表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意義。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。
（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算。
（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
4．平面向量的數(shù)量積
（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。
（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算。
（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。
5．向量的應用
（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
（2）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題。
【核心要點突破】
要點考向1：向量的有關(guān)概念及運算
考情聚焦：1．向量的有關(guān)概念及運算，在近幾年的高考中年年都會出現(xiàn)。
2．該類問題多數(shù)是單獨命題，考查有關(guān)概念及其基本運算；有時作為一種數(shù)學工具，在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。
3．多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有關(guān)會滲透在解答題中。
考向鏈接：向量的有關(guān)概念及運算要注意以下幾點：
（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤。
（2）正確理解平面向量的運算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎，除了用向量的加減法、實數(shù)與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯(lián)系其他知識。
例1：（2010山東高考理科Ｔ12）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的，，令⊙，下面說法錯誤的是（）
A.若與共線，則⊙B.⊙⊙
C.對任意的，有⊙⊙D.(⊙)2
【命題立意】本題在平面向量的基礎上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】根據(jù)所給定義逐個驗證.
【規(guī)范解答】選B，若與共線，則有⊙，故A正確；因為⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故選項B錯誤，故選B.
【方法技巧】自定義型信息題
1、基本特點：該類問題的特點是背景新穎，信息量大，是近幾年高考的熱點題型.
2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯(lián)想類比，仔細分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性
要點考向2：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
考情聚焦：1．與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點。
2．該類問題多數(shù)是單獨命題，有時與其他知識交匯命題，考查學生分析問題、解決問題的能力。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時會滲透在解答題中。
考向鏈接：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
1．解決垂直問題：均為非零向量。這一條件不能忽視。
2．求長度問題：，特別地。
3．求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據(jù)
例2：1.（2010湖南高考理科Ｔ4）在中，=90°AC=4，則等于（）
A、-16B、-8C、8D、16
【命題立意】以直角三角形為依托，考查平面向量的數(shù)量積，基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點撥】由于=90，因此選向量CA，CB為基底.
【規(guī)范解答】選D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數(shù)量積，平面向量基本定理，考查垂直，夾角和距離（長度）.
2.（2010廣東高考文科Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8—)=30，則x=()
A．6B．5C．4D．3
【命題立意】本題考察向量的坐標運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】選.，所以
.即：，解得：，故選.
要點考向3：向量與三角函數(shù)的綜合
考情聚集：1．向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容，在近幾年的高考中，年年都會出現(xiàn)。
2．這類問題一般比較綜合，考查綜合應用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)。
例3．在直角坐標系
（I）若；
（II）若向量共線，當
【解析】（1）…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
（II）………………8分
…………10分
………………12分
注：向量與三角函數(shù)的綜合，實質(zhì)上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算；（2）常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運算，以及數(shù)形結(jié)合的思路。

【高考真題探究】
1．（2010重慶高考理科Ｔ2）已知向量，滿足，則（）
A．0B．C．4D．8
【命題立意】本小題考查向量的基礎知識、數(shù)量積的運算及性質(zhì)，考查向量運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點撥】根據(jù)公式進行計算，或數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規(guī)范解答】選B（方法一）
；（方法二）數(shù)形結(jié)合法：由條件知，以向量
，為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因為，所以，
則是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為，如圖所示.
【方法技巧】方法一：靈活應用公式，
方法二：熟記向量及向量和的三角形法則
2．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ8）△ABC中，點D在
邊AB上，CD平分∠ACB，若=,
=,，則=（）
（A）+（B）+（C）+（D）+
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點撥】運用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質(zhì)知DB:AD=CB:CA=1:2
這樣可以用向量,表示。
【規(guī)范解答】選B，由題意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分線性質(zhì)、平面向量基本定理及三角形法則
3．（2010浙江高考文科Ｔ13）已知平面向量則的值是。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義，屬中檔題。
【思路點撥】本題先把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，再利用向量求模公式求解。
【規(guī)范解答】由題意可知，結(jié)合，解得，
所以2=，開方可知答案為.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
4．（2009江西高考）已知向量，，，若則=．
【解析】因為所以.
答案：
5．（2009廣東高考）已知向量與互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵與互相垂直，則，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，則，
∴.
6．（2009海南寧夏高考）已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.
【解析】（Ⅰ）因為，所以于是，故
（Ⅱ）由知，所以
從而，即，
于是.又由知，，
所以，或.因此，或

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1.若，且，則向量與的夾角為()
A．30°B．60°C．120°D．150°
2.已知O，A，M，B為平面上四點，且，則（）
A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上
C．點A在線段BM上D．O、A、M、B四點一定共線
3.平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若=（2，4），=（1，3），則等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
4.已知為不共線的非零向量，且，則以下四個向量中模最小者為……（）
（A）（B）（C）（D）
5.已知向量夾角為120°，且則等于（）
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()＝－()，其中為常向量．若映射f滿足f()f()＝對任意的，∈A恒成立，則的坐標可能是（）
A．(，)B．(，－)C．(，)D．(－，)
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7.已知e1、e2是兩個不共線的向量，a=k2e1+（k）e2和b=2e1+3e2是兩個共線向量，則實數(shù)k=
8.已知向量，滿足，，與的夾角為，則_________，若，則實數(shù)_________．
9.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動。若其中，則的最大值是．
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10.已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

11.設函數(shù)，其中向量，.
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）設，
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應的函數(shù)成為奇函數(shù)？
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空題
7.
8.3，3
9.2
三、解答題
10.解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得．
即．
所以．
因為，
所以．
因為，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
則.
．

11.解：（I）
（II）由，
得

12.解：（I）若，則
（II）
(1)令得，，
又，，即（0，是的單調(diào)增區(qū)間
(2)將函數(shù)的圖像向上平移1個單位，再向左平移個單位，即得函數(shù)
的圖像，而為奇函數(shù)
(左、右平移的單位數(shù)不唯一，只要正確，就給分.)

【備課資源】

2012屆高考數(shù)學備考立體幾何復習教案

專題四：立體幾何
階段質(zhì)量評估（四）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形，俯視圖是一個直徑為的圓，那么這個幾何體的全面積為（）
A．B．
C．D．
2．下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖
有且僅有兩個視圖相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如圖，設平面，垂足分別為，若增加一個條件，就能推出.
現(xiàn)有①②與所成的角相等;
③與在內(nèi)的射影在同一條直線上;④∥.
那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數(shù)是（）
個個個個
4．已知直線和平面，則下列命題正確的是()
AB
CD
5．空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標是（）
A．B．C．D．
6．給定下列四個命題：
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
②若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和另一個平面垂直；
③若一條直線和兩個互相垂直的平面中的一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中，為真命題的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
8．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是()
A.B.
C.直線∥D.直線所成的角為45°
9．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（）
..∥截面
..異面直線與所成的角為
11．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（）
A.B.
C.D.
12．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）異面直線與所成的角為

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．圖2中實線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是。
14．已知一圓錐的底面半徑與一球的半徑相等，且全面積也相等，則圓錐的母線與底面所成角的大小為．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
15．如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點，作，為垂足．設，則的取值范圍是．
16．已知點O在二面角α－AB－β的棱上，點P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對于β內(nèi)異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．如圖，在長方體，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C1，所爬的最短路程為.
（1）求證：D1E⊥A1D；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角
。若存在，確定
點E的位置；若不存在，請說明理由.

18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論.

19．如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，
是線段的中點。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足
（I）證明：
（II）當取何值時，直線PN與平面ABC
所成的角最大？并求該角最大值的正切值；
（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角
為45°，試確定點P的位置。

21．（本小題滿分12分）
如圖，四面體中，是的中點，和均為等邊三角形，．
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

22．如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點在斜邊上．
（I）求證：平面平面；
（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；
（III）求與平面所成角的最大值．

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選A.。
2.【解析】選D.①三個都相同，②正視圖和側(cè)視圖相同，③三個視圖均不同，④正視圖和側(cè)視圖相同。
3.C
4.【解析】選B.對A，，
對C畫出圖形可知，對D，缺少條件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】選C.由于G是PB的中點,故P－GAC的體積等于B－GAC的體積
在底面正六邊形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】選.由∥，∥，⊥可得⊥，故正確；由∥可得∥截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的.

11.【解析】選D.連與交于O點,再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】選D．顯然異面直線與所成的角為。
二、填空題
13.【解析】向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，設長方體的高為x，則，所以，所以長方體的體積為3。
答案：3

14.
15.【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，，隨著F點到C點時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點P向平面作垂線,設垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角
的平面角.根據(jù)題意得，由于對于β內(nèi)異于O的任意一點
Q，都有∠POQ≥45°，∴，設PO=，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中應有
PCPH,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角的范圍是。
若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結(jié)合圖形容易判斷對于β內(nèi)異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范圍是。
答案：

三、解答題
17.【解析】（1）證明：連結(jié)AD1，由長方體的性質(zhì)可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）
（2）設AB=x，
點C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
如圖乙的最短路程為
（3）假設存在，平面DEC的法向量，
設平面D1EC的法向量，則
由題意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
設是平面BDE的一個法向量，
則由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，
又是平面DEC的一個法向量.
設二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵∴
假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設，
則，
由
∴
即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，
∴又點，，∴
∴，且與不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴為平面的法向量．
∵，，
∴為平面的法向量．
∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為．

20.解：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為軸，建立空間直角坐標系
則2分
從而
所以…………3分
（II）平面ABC的一個法向量為
則
（※）…………5分
而
由（※）式，當…………6分
（III）平面ABC的一個法向量為
設平面PMN的一個法向量為
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
解得11分
故點P在B1A1的延長線上，且…………12分

21.解法一：（I）證明：連結(jié)，為等邊三角形，為的中點，
，和為等邊三角形，為的中點，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）過作于連結(jié)，
平面，在平面上的射影為
為二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值為
（Ⅲ）解：設點到平面的距離為，
，
在中，，
而
點到平面的距離為．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則
平面，平面的法向量
設平面的法向量，
由
設與夾角為，則
∴二面角的余弦值為．
（Ⅲ）解：設平面的法向量為又
設與夾角為，則
設到平面的距離為，
到平面的距離為．

22.【解析】解法一：
（I）由題意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
異面直線與所成角的大小為．
（III）由（I）知，平面，
是與平面所成的角，且．
當最小時，最大，
這時，，垂足為，，，
與平面所成角的最大值為．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，
，，
．
異面直線與所成角的大小為．
（III）同解法一