小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)平面向量教案。

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)平面向量教案”，希望能為您提供更多的參考。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第三講平面向量
【最新考綱透析】
1．平面向量的實際背景及基本概念
（1）了解向量的實際背景。
（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。
（3）理解向量的幾何意義。
2．向量的線性運算
（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義。
（2）掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。
（3）了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。
3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意義。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。
（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算。
（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
4．平面向量的數(shù)量積
（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。
（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算。
（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。
5．向量的應(yīng)用
（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
（2）會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題。
【核心要點突破】
要點考向1：向量的有關(guān)概念及運算
考情聚焦：1．向量的有關(guān)概念及運算，在近幾年的高考中年年都會出現(xiàn)。
2．該類問題多數(shù)是單獨命題，考查有關(guān)概念及其基本運算；有時作為一種數(shù)學(xué)工具，在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。
3．多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有關(guān)會滲透在解答題中。
考向鏈接：向量的有關(guān)概念及運算要注意以下幾點：
（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤。
（2）正確理解平面向量的運算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎(chǔ)，除了用向量的加減法、實數(shù)與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯(lián)系其他知識。
例1：（2010山東高考理科Ｔ12）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的，，令⊙，下面說法錯誤的是（）
A.若與共線，則⊙B.⊙⊙
C.對任意的，有⊙⊙D.(⊙)2
【命題立意】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】根據(jù)所給定義逐個驗證.
【規(guī)范解答】選B，若與共線，則有⊙，故A正確；因為⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故選項B錯誤，故選B.
【方法技巧】自定義型信息題
1、基本特點：該類問題的特點是背景新穎，信息量大，是近幾年高考的熱點題型.
2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯(lián)想類比，仔細(xì)分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性
要點考向2：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
考情聚焦：1．與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點。
2．該類問題多數(shù)是單獨命題，有時與其他知識交匯命題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時會滲透在解答題中。
考向鏈接：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
1．解決垂直問題：均為非零向量。這一條件不能忽視。
2．求長度問題：，特別地。
3．求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據(jù)
例2：1.（2010湖南高考理科Ｔ4）在中，=90°AC=4，則等于（）
A、-16B、-8C、8D、16
【命題立意】以直角三角形為依托，考查平面向量的數(shù)量積，基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點撥】由于=90，因此選向量CA，CB為基底.
【規(guī)范解答】選D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數(shù)量積，平面向量基本定理，考查垂直，夾角和距離（長度）.
2.（2010廣東高考文科Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8—)=30，則x=()
A．6B．5C．4D．3
【命題立意】本題考察向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】選.，所以
.即：，解得：，故選.
要點考向3：向量與三角函數(shù)的綜合
考情聚集：1．向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容，在近幾年的高考中，年年都會出現(xiàn)。
2．這類問題一般比較綜合，考查綜合應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)。
例3．在直角坐標(biāo)系
（I）若；
（II）若向量共線，當(dāng)
【解析】（1）…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
（II）………………8分
…………10分
………………12分
注：向量與三角函數(shù)的綜合，實質(zhì)上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算；（2）常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運算，以及數(shù)形結(jié)合的思路。

【高考真題探究】
1．（2010重慶高考理科Ｔ2）已知向量，滿足，則（）
A．0B．C．4D．8
【命題立意】本小題考查向量的基礎(chǔ)知識、數(shù)量積的運算及性質(zhì)，考查向量運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點撥】根據(jù)公式進(jìn)行計算，或數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規(guī)范解答】選B（方法一）
；（方法二）數(shù)形結(jié)合法：由條件知，以向量
，為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因為，所以，
則是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為，如圖所示.
【方法技巧】方法一：靈活應(yīng)用公式，
方法二：熟記向量及向量和的三角形法則
2．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ8）△ABC中，點D在
邊AB上，CD平分∠ACB，若=,
=,，則=（）
（A）+（B）+（C）+（D）+
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點撥】運用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質(zhì)知DB:AD=CB:CA=1:2
這樣可以用向量,表示。
【規(guī)范解答】選B，由題意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分線性質(zhì)、平面向量基本定理及三角形法則
3．（2010浙江高考文科Ｔ13）已知平面向量則的值是。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義，屬中檔題。
【思路點撥】本題先把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，再利用向量求模公式求解。
【規(guī)范解答】由題意可知，結(jié)合，解得，
所以2=，開方可知答案為.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
4．（2009江西高考）已知向量，，，若則=．
【解析】因為所以.
答案：
5．（2009廣東高考）已知向量與互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵與互相垂直，則，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，則，
∴.
6．（2009海南寧夏高考）已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.
【解析】（Ⅰ）因為，所以于是，故
（Ⅱ）由知，所以
從而，即，
于是.又由知，，
所以，或.因此，或

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1.若，且，則向量與的夾角為()
A．30°B．60°C．120°D．150°
2.已知O，A，M，B為平面上四點，且，則（）
A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上
C．點A在線段BM上D．O、A、M、B四點一定共線
3.平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若=（2，4），=（1，3），則等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
4.已知為不共線的非零向量，且，則以下四個向量中模最小者為……（）
（A）（B）（C）（D）
5.已知向量夾角為120°，且則等于（）
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()＝－()，其中為常向量．若映射f滿足f()f()＝對任意的，∈A恒成立，則的坐標(biāo)可能是（）
A．(，)B．(，－)C．(，)D．(－，)
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7.已知e1、e2是兩個不共線的向量，a=k2e1+（k）e2和b=2e1+3e2是兩個共線向量，則實數(shù)k=
8.已知向量，滿足，，與的夾角為，則_________，若，則實數(shù)_________．
9.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動。若其中，則的最大值是．
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10.已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

11.設(shè)函數(shù)，其中向量，.
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）設(shè)，
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空題
7.
8.3，3
9.2
三、解答題
10.解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得．
即．
所以．
因為，
所以．
因為，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
則.
．

11.解：（I）
（II）由，
得

12.解：（I）若，則
（II）
(1)令得，，
又，，即（0，是的單調(diào)增區(qū)間
(2)將函數(shù)的圖像向上平移1個單位，再向左平移個單位，即得函數(shù)
的圖像，而為奇函數(shù)
(左、右平移的單位數(shù)不唯一，只要正確，就給分.)jaB88.CoM

【備課資源】

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2012屆高考數(shù)學(xué)知識要點平面向量的數(shù)量積復(fù)習(xí)教案

平面向量的數(shù)量積
一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)和運算率，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡單運用．
二．主要知識：
1．平面向量數(shù)量積的概念；
2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：、；
3．向量垂直的充要條件：．
三．課前練習(xí)：
1.下列命題中是正確的有
①設(shè)向量與不共線，若，則；②；
③，則；④若，則
2．已知為非零的平面向量.甲：（）
甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件
甲是乙的充要條件甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．已知向量，如果向量與垂直，則的值為（）
2
4．平面向量中，已知，且，則向量_________.
5．已知||=||=2，與的夾角為600，則+在上的投影為。
6．設(shè)向量滿足，則。
7．已知向量的方向相同，且，則_______。
8．已知向量和的夾角是120°，且，，則=。
四．例題分析：
例1．已知平面上三個向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，
（1）求證：⊥；（2）若，求的取值范圍.

小結(jié)：
例2．已知：、、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中=（1，2）
（1）若||，且，求的坐標(biāo)；
（2）若||=且與垂直，求與的夾角.

小結(jié)：
例3．設(shè)兩個向量、，滿足，，、的夾角為60°，若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.
小結(jié)：
例4．如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問
的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。

小結(jié)：
五．課后作業(yè)：班級學(xué)號姓名
1．已知向量,向量則的最大值，最小值分（）
16，04，0
2．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點，，若點滿足
，其中，且，則點的軌跡方程為：（）
3．已知向量，，那么的值是（）
1
4．在中，，的面積是，若，，則()
5．已知為原點，點的坐標(biāo)分別為，，其中常數(shù)，點在線段上，且有，則的最大值為（）
6．設(shè)是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且，則的值等于（）
248
7.設(shè)是任意的非零平面向量，且相互不共線，則（）
①；②
③不與垂直④
中，是真命題的有()
（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
8．設(shè)為平面上四個點，，，，且，=，則＝___________________。
9．若對個向量存在個不全為零的實數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”．依此規(guī)定，能說明，，“線性相關(guān)”的實數(shù)依次可以?。唬▽懗鲆唤M數(shù)值即可，不必考慮所有情況）．
10．向量都是非零向量，且，求向量與的夾角.

11．已知向量，，
（1）當(dāng)，求；
（2）若≥對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍。

12．設(shè),,,，與軸正半軸的夾角為,與軸正半軸的夾角為，且,求．

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)教案

高考綜合演練3

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．若集合,則是()
(A)(B)
(C)(D)

2．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，的圖象，可能正確的是（D）
3．已知數(shù)列(D)
A．28B．33C．D．
4．已知非零向量、，若+2與-2互相垂直，則等于（B）
A．B．2
C．D．4
5．如圖，若是長方體被平面EFCH截去幾何體后得到的幾何體，其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且EH//，則下列結(jié)論中不正確的是（）
A.EH//FGB.四邊形EFGH是矩形
C.是棱柱D.是棱臺

6．二項式的展開式中所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）
A、4項B、5項C、6項D、7項
7．將7個市三好學(xué)生名額分配給5個不同的學(xué)校，其中甲、乙兩校至少各有兩個名額，則不同的分配方案種數(shù)有（）
A．25B．35C.60D．120
8．某班有50名學(xué)生，在一次考試中，統(tǒng)計數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分，方差為102，后來發(fā)現(xiàn)2名同學(xué)的成績有誤，甲實得80分卻記為50分，乙實得60分卻記為90分，更正后平均成績和方差分別為（）
A．70，90B．70，114C．65，90D．65，114
9．曲線在點處的切線方程為（）
（A）（B）（C）（D）
10．函數(shù)是（）
(A)最小正周期為2π的奇函數(shù)（B）最小正周期為2π的偶函數(shù)
(C)最小正周期為π的奇函數(shù)（D）最小正周期為π的偶函數(shù)
11．設(shè)，且=sinx+cosx，則（）
A．0≤x≤πB．―≤x≤
C．≤x≤D．―≤x≤―或≤x＜
12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則
(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977

二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）
13．設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項和．記設(shè)為數(shù)列{}的最大項，則=．
14．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且它們在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為.則該橢圓的離心率的取值范圍是.

15．
已知程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是_______________.
16．設(shè)極點與原點重合，極軸與軸正半軸重合.已知曲線C1的極坐標(biāo)方程是：，曲線C2參數(shù)方程為：(θ
為參數(shù))，若兩曲線有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是．

三、解答題（本大題共6個小題，總分74分）
17．若向量，在函數(shù)
的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為且當(dāng)?shù)淖畲笾禐?。
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

18．已知動圓過定點，且與直線相切。
(l)求動圓的圓心軌跡的方程；
(2)是否存在直線，使過點，并與軌跡交于兩點，使以為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

19．如圖，直線與相交
于點P。直線與x軸交于點P1，過點P1作x軸的垂線交直線于點Q1，過點
Q1作y軸的垂線交直線于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線于點Q2，…，
這樣一直作下去，可得到一系列點P1，Q1，P2，Q2，…。點Pn（n=1,2,…）的橫
坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列。
(Ⅰ)證明
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅲ)比較與的大小。

20．如圖，在三棱柱中，每個側(cè)面均為正方形，為底邊的中點，為側(cè)棱的中點.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

21．在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為
(1)求q的值；
(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E;
(3)試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小.

22．(2010屆廣東高三二模)已知函數(shù)(R)的一個極值點為.方程的兩個
實根為,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的.
(1)求的值和的取值范圍;
(2)若,證明:.

參考答案
一、選擇題
1．
2．D
3．D
4．B
5．【命題立意】本題考查考生對立體幾何體的理解程度、空間想像能力。靈活，全面地考查了考生對知識的理解。
【思路點撥】利用線線平行線線平行線面平行線線平行可以判斷A的正誤，進(jìn)而判斷其他答案。
【規(guī)范解答】選D，若FG不平行于EH，則FG與EH相交，交點必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四邊形EFGH為矩形，將從正面看過去，就知道是一個五棱柱，C正確；D沒能正確理解棱臺與這個圖形。
【方法技巧】線線平行，線面平行，面面平行是空間中的三種重要的平行關(guān)系，他們之間可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化，他們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系就是我們學(xué)習(xí)的六個判定定理和性質(zhì)定理，我們要熟練掌握這些定理并利用這些定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

6．D
7．B
8．A
9．【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導(dǎo)數(shù)的運算法則進(jìn)行求解.
【思路點撥】先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.
【規(guī)范解答】選A.因為，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.

10．【命題立意】本題考查倍角公式、三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬保分題。
【思路點撥】是奇函數(shù)C正確
【規(guī)范解答】選C因為，所以是最小正周期為π的奇函數(shù)

11．B
12．【命題立意】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識,考查了考生的推理論證能力和運算求解能力.
【思路點撥】先由服從正態(tài)分布得出正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,于是得到
與的關(guān)系，最后進(jìn)行求解.
【規(guī)范解答】選C，因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,又,所以,所以0.954,故選C.

二、填空題
13．【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和、均值不等式等基礎(chǔ)知識．
【思路點撥】化簡利用均值不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵當(dāng)且僅當(dāng)即，所以當(dāng)n=4，即時，最大．
【答案】4.

14．
15．
16．【解析】將兩曲線方程化為直角坐標(biāo)坐標(biāo)方程，得C1：，C2：.
因為兩曲線有公共點，所以，即－1≤m≤3，故m∈[－1，3].

三、解答題
17．解析：（I）由題意得
∵對稱中心到對稱軸的最小距離為
的最小正周期為
………………6分
（II）………………10分

18．解析：(1)如圖。設(shè)為動圓圓心，，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：
即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準(zhǔn)線，動點的軌跡方程為
（2）由題可設(shè)直線的方程為，
由得
或
設(shè)，則
因為以為直徑的圓過原點，
則，即，于是
即，
，解得或（舍去）
又，直線存在，其方程為

19．解析：(Ⅰ)證明設(shè)點的坐標(biāo)是由已知條件得
點的坐標(biāo)分別是：
由在直線上，
得
所以
即
(Ⅱ)解由題設(shè)知又由（Ⅰ）知
所以數(shù)列是首項為x1—1,公比為的等比數(shù)列。
從而即，。
(Ⅲ)解由得點P的坐標(biāo)為（1，1）。
所以
（當(dāng)，即或時，
而此時0所以故
當(dāng)0即時，
而此時所以故

20．解析：解法一：證明：（Ⅰ）設(shè)的交點為O,連接，連接.
因為為的中點，為的中點,
所以∥且.又是中點，
所以∥且,
所以∥且.
所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.
又平面,平面,則∥平面.
(Ⅱ)因為三棱柱各側(cè)面都是正方形，所以，.
所以平面.
因為平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因為側(cè)面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.
（Ⅲ）解:取中點，連接.
在三棱柱中，因為平面，
所以側(cè)面底面.
因為底面是正三角形，且是中點，
所以，所以側(cè)面.
所以是在平面上的射影.
所以是與平面所成角.
.
解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)邊長為2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
.所以，所以∥.
又平面,平面,則∥平面.
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因為，，
所以平面.
（Ⅲ）設(shè)側(cè)面的法向量為,
因為,,，，
所以，.
由得解得
不妨令，設(shè)直線與平面所成角為．
所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為．

21．解析：（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)=0.25,,P(B)=q,.
根據(jù)分布列知:=0時=0.03,所以，q=0.8.
（2）當(dāng)=2時,P1=
=0.75q()×2=1.5q()=0.24
當(dāng)=3時,P2==0.01,
當(dāng)=4時,P3==0.48,
當(dāng)=5時,P4=
=0.24
所以隨機(jī)變量的分布列為
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
（3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為
;
該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.
由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

22．解析：(1):∵,∴.
∵的一個極值點為,∴.
∴.∴,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
∵方程的兩個實根為,即的兩根為,
∴.
∴,.
∵函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,
∴區(qū)間只能是區(qū)間,,之一的子區(qū)間.
由于,故.
若,則,與矛盾.
∴.
∴方程的兩根都在區(qū)間上.
令,的對稱軸為,
則解得.
∴實數(shù)的取值范圍為.
說明:6分至8分的得分點也可以用下面的方法.
∵且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,
∴.
由即解得.∴實數(shù)的取值范圍為.
(2)證明:由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
∵,
.
令,則,.
設(shè),則.
∵,∴.∴.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增

2015屆高考數(shù)學(xué)（文科）一輪總復(fù)習(xí)平面向量

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準(zhǔn)備，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，有效的提高課堂的教學(xué)效率。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供2015屆高考數(shù)學(xué)（文科）一輪總復(fù)習(xí)平面向量，僅供參考，希望能為您提供參考！

2012屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么如何寫好我們的教案呢？以下是小編為大家精心整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案”，希望對您的工作和生活有所幫助。

專題四：立體幾何
第三講空間向量與立體幾何

【最新考綱透析】
1．空間向量及其運算
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。
（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。
（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
2．空間向量的應(yīng)用
（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。
（2）能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。
（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。
（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

【核心要點突破】
要點考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系
考情聚焦：1．平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點。
2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ隆?br> 考向鏈接：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應(yīng)用。
2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。
例1：（2010安徽高考理科Ｔ18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點。
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的大小。
【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。
【規(guī)范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；
2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；
3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進(jìn)行求解。
4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。
要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角
考情聚焦：1．線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。
2．在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。
考向鏈接：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:
（1）異面直線所成角
設(shè)分別為異面直線的方向向量，則
（2）線面角
設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則
2．運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：
（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。
例2：（2010遼寧高考理科Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】建系，寫出有關(guān)點坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，
計算的數(shù)量積，寫出答案；
求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。
【規(guī)范解答】
設(shè)PA＝1，以A為原點，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(,0,0)，S(1,,0)
（I）
【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。
（2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。
（3）線面角的范圍是0°～90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的，要取絕對值。
要點考向3：利用空間向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。
2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。
考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
其計算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等，
例3：（2010天津高考理科Ｔ１9）
如圖，在長方體中，、分別是棱,
上的點，,
求異面直線與所成角的余弦值；
證明平面
求二面角的正弦值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。
【思路點撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題。
【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,,,
易得,，于是，
所以異面直線與所成角的余弦值為。
證明：已知,,
于是=0，=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即
不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。
于是，從而
所以二面角的正弦值為
要點考向4：利用空間向量解決探索性問題
考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點。
例4：（2010福建高考理科Ｔ18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。
（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；
（II）設(shè)AB＝AA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。
（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求p的最大值；
（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）。當(dāng)p取最大值時，求cos的值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。
【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。
【規(guī)范解答】（I）平面，平面，，又是的直徑，，又，平面，而平面，所以平面平面；
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。又因為點在圓周上運動，所以當(dāng)時，的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；
（ii）由（i）知，取最大值時，，于是，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由于，，
所以平面的一個法向量為，，。
【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進(jìn)行證明：以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為，，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。，所以當(dāng)時的的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；

【高考真題探究】
1.（2010廣東高考理科Ｔ１0）若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件=-2,則=.
【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】，，由
得，即，解得
【答案】2
2.（2010浙江高考理科Ｔ20）如圖，在矩形中，點分別在線段
上，.沿直線將翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。
【命題立意】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。
【思路點撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。
【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）取線段EF的中點H，連結(jié)，因為=及H是EF的中點，所以,又因為平面平面.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以。
取，則。
又平面的一個法向量，故。
所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）設(shè)，則，，
因為翻折后，與重合，所以，，
故，，得，，
所以。
3.（2010陜西高考理科Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。
【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧。
【思路點撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.
【規(guī)范解答】解法一（Ⅰ）如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AP=AB=2，BC=，四邊形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)
又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，
∴E(0，，0),F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0,1），
∴=-2+4-2=0，=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF,PC⊥EF,,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP的法向量
設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，
則
∴，∴平面BEF與平面BAP的夾角為
4.（2010重慶高考文科Ｔ20）如題圖，四棱錐中，
底面為矩形，，，
點是棱的中點.
（I）證明：；
（II）若，求二面角的平面角的余弦值.
【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，
考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.
【規(guī)范解答】（I）以為坐標(biāo)原點，
射線分別為軸、軸、軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.
設(shè)設(shè)，則，，，。于是，，，則，
所以，故.
（II）設(shè)平面BEC的法向量為，由（Ⅰ）知，，故可取.設(shè)平面DEC的法向量，則，，由，得D，G，
從而，，故，所以，，可取，則，從而.
【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運算解題.
5.（2010江西高考文科Ｔ２０）
如圖，與都是邊長為2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求直線與平面所成的角的大?。?br> （2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.
【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計算問題，考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力。
【思路點撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；
（2）對二面角的求法思路，一般是分三步①“作”，②“證”，③“求”.其中“作”是關(guān)鍵，“證”
是難點.法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.

【規(guī)范解答】取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.
以O(shè)為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
OB=OM=，則各點坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.
因（0，，），平面
的法向量為.則有
，所以.
（2），.
設(shè)平面ACM的法向量為，由得.
解得，，取.又平面BCD的法向量為，
則
設(shè)所求二面角為，則.
6.（2010四川高考理科Ｔ18）
已知正方體的棱長為1，點是棱的中點，
點是對角線的中點.
（Ⅰ）求證：為異面直線和的公垂線；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.
【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、
二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
【思路點撥】方法一：幾何法問題（Ⅰ），分別證明，即可.
問題（II）首先利用三垂線定理，作出二面角的平面角，然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.
問題（Ⅲ）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知，和都在平面內(nèi)，且，故，利用三棱錐的體積公式很快求出.
方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】(方法一)：（I）連結(jié).取的中點，則為的中點，連結(jié).
∵點是棱的中點，點是的中點，
由，得.
∵，∴.
∴.∴.
又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線，
（II）取的中點，連結(jié)，則，
過點過點作于，連結(jié)，則由三垂線
定理得，.
∴為二面角的平面角.
.
在中.
故二面角的大小為.
（III）易知，,且和都在平面內(nèi)，
點到平面的距離，
∴.
(方法二)：以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
（I）∵點是棱的中點，點是的中點，
∴,，,,.
,,
∴,,
又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線，
（II）設(shè)平面的一個法向量為，
，.
即
取，則..
取平面的一個法向量.
，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
故二面角的大小為.
（III）易知，，設(shè)平面的一個法向量為，
,,
即
取，則，從而.
點到平面的距離.
.

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知點A（-3,1,-4），則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為()
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點，AB1⊥BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
3.設(shè)動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（）
A．B．C．2D．3
4.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長為（）
A．B．C．D．
5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
6.如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，則下列向量中與相等的向量是（）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．，，是空間交于同一點的互相垂直的三條直線，點到這三條直線的距離分別為,,，則,則__。
8．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則=
9．將正方形沿對角線折成直二面角后，有下列四個結(jié)論：
（1）；（2）是等邊三角形；
（3）與平面成60°；（4）與所成的角為60°．
其中正確結(jié)論的序號為_________（填上所有正確結(jié)論的序號）．
三、解答題（共46分）
10.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，,E、F分別是BC、AP的中點．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11.某組合體由直三棱柱與正三棱錐組成，如圖所示，其中，．它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為+1，，+1．
（1）求直線與平面所成角的正弦；
（2）在線段上是否存在點，使平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．
12.如圖，三棱柱中，面，
,，，為的中點。
(I)求證：面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值
參考答案
1．【解析】選A.∵點A關(guān)于x軸對稱點的規(guī)律是在x軸上的坐標(biāo)不變，在y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄喾磾?shù)，∴點A（-3，1，-4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-1,4）.
2．【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CG
∵FG是△PAD的中衛(wèi)縣，∴FG，
在菱形ABCD中，ADBC，又E為BC的中點，
∴CEFG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG
又EF面PCD，CG面PCD，
∴EF∥面PCD
（2）法1：以O(shè)為原點，OB，OC，OP所在直線分別為、、軸建立如
圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
則0（0，0，0），A（0，，0），B（1，0，0）（0，0，）
=（1，，0）=（0，，）
設(shè)面ABP的發(fā)向量為，則
，即即
取
又，，
∴OA⊥面PBD，∴為面PBD的發(fā)向量，
∴=（0，，0）
.
所以所求二面角的余弦值為
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥OP，OPBD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，過O作ON⊥PB，連AN，PB⊥面AON，則AN⊥PB。
即∠ANO為所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
，
∴
∴cos∠。
所以所求二面角的余弦值為
11．【解析】
12．解：（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，
∵D為AC中點∴OD∥B1A
又B1A平面BDC1，OD平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如圖以C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則C1(0,0,3)B(0,2,0)D(1,0,0)C(0,0,0)
∴設(shè)平面的法向量為由得
，取，則
又平面BDC的法向量為
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值為
【備課資源】
1.已知兩條異面直線a、b所成的角為40°，直線l與a、b所成的角都等于θ，則θ的取值范圍是()
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】選A.
取空間任一點O，將直線a,b,l平移到過O點后分別為a′,b′,l′，則l′與a′,b′所成的角即為l與a,b所成的角.當(dāng)l′與a′,b′共面時θ最小為20°.當(dāng)l′與a′,b′確定的平面垂直時，θ最大為90°.故θ的取值范圍為［20°,90°］.
3.如圖甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=,點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖乙).
(1)求證：AB∥平面DNC；
(2)當(dāng)DN的長為何值時，二面角D-BC-N的大小為30°？