小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案
發(fā)表時間：2020-11-242012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：計數(shù)原理、二項式定理。
一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，減輕高中教師們在教學(xué)時的教學(xué)壓力。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？下面是小編精心為您整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：計數(shù)原理、二項式定理”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。
專題六：概率與統(tǒng)計、推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù)
第一講計數(shù)原理、二項式定理
【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點和規(guī)律，復(fù)習(xí)本專題時，要注意以下幾個方面：
1．復(fù)習(xí)時要注意控制難度，以中低檔題為主；
2．注意各知識點的交匯，如統(tǒng)計與概率，計數(shù)原理與概率等；
3．統(tǒng)計部分應(yīng)重視莖葉圖的復(fù)習(xí)，概率部分應(yīng)重視條件概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率和幾何概型；程序框圖應(yīng)有所降溫。
【最新考綱透析】
1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
（1）理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；
（2）會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題。
2．排列與組合
（1）理解排列、組合的概念；
（2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；
（3）能解決簡單的實際問題。
3．二項式定理
（1）能用計數(shù)原理證明二項式定理；
（2）會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。
【核心要點突破】
要點考向1：利用分步加法和分步乘法計數(shù)原理計數(shù)
考情聚焦：1．兩個計數(shù)原理是排列、組合的基礎(chǔ)，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或間接考查。
2．多在選擇、填空題中出現(xiàn)，屬中檔或較難題目。
考向鏈接：1．“分類”與“分步”的區(qū)別：關(guān)鍵是看事件完成情況，如果每種方法都能將事件完成則是分類；如果必須要連續(xù)若干步才能將事件完成則是分步。分類要用分類計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計數(shù)原理將種數(shù)相乘。
2．對于較復(fù)雜的問題，一般要分類討論，此時要注意分類討論的對象和分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。
例1：用1，2，3這三個數(shù)字組成四位數(shù)，要求這三個數(shù)字必須都使用，
但相同的數(shù)字不能相鄰，以這樣的方式組成的四位數(shù)共有（）
A．9個B．12個C．18個D．36個
【解析】選C.先選取使用兩次的數(shù)字有種，然后將剩余的兩個數(shù)字全排列有種，再將使用兩次的數(shù)字插入到這兩個數(shù)字之間有種，故共有=18種組合方式.
要點考向2：利用排列組合計數(shù)問題
考情聚焦：1．在高考題中可單獨考查，也可與古典概型結(jié)合起來考查。常與兩個計數(shù)原理交匯命題，是各省市高考的熱點。
2．以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題或較難題目。
考向鏈接：解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手。“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論。哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等；“分類”就是對于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決。
例2：（2010北京高考理科Ｔ4）8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（）
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】本題考查排列組合的相關(guān)知識。所用技巧：有序排列無序組合、不相鄰問題插空法。
【思路點撥】先排8名學(xué)生，再把老師插入到9個空中去。
【規(guī)范解答】選A。8名學(xué)生共有種排法，把2位老師插入到9個空中有種排法，故共有種排法。
【方法技巧】解決排列組合問題常用的方法與技巧：（1）有序排列無序組合；（2）不相鄰問題插空法：可以把要求不相鄰的元素插入到前面元素間的空中；（3）相鄰問題捆綁法。
要點考向3：二項式定理
考情聚焦：1．二項展開式的指定項、二項式系數(shù)和各項的系數(shù)是高考的重點。常與組合數(shù)、冪的運(yùn)算交匯命題。
2．多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，屬容易題或中檔題。
例3：（2010陜西高考理科Ｔ4）（）展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)等于（）
（A）-1（B）(C)1(D)2
【命題立意】本題考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用及運(yùn)算能力，屬保分題。
【思路點撥】
【規(guī)范解答】選D，令，所以，所以
【高考真題探究】
1．（2010山東高考理科Ｔ8）某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有
（A）36種（B）42種(C)48種（D）54種
【命題立意】本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識，考查分類與分步計數(shù)原理，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.
【思路點撥】根據(jù)甲的位置分類討論.
【規(guī)范解答】選B，分兩類：第一類：甲排在第一位，共有種排法；第二類：甲排在第二位，共有種排法，所以共有編排方案種，故選B.
【方法技巧】排列問題常見的限制條件及對策
1、有特殊元素或特殊位置，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置.
2、元素必須相鄰的排列，將必須相鄰的的元素捆綁，作為一個整體，但要注意其內(nèi)部元素的順序.
3、元素不相鄰的排列，先排其他元素，然后“插空”.
4、元素有順序限制的排列.
2．（2010天津高考理科Ｔ１0）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用
（A）288種（B）264種（C）240種（D）168種
【命題立意】本題考查分類計數(shù)原理，排列組合等基礎(chǔ)知識，考查分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】先分步再排列
【規(guī)范解答】先涂色點E，有4種涂法，再涂點B，有兩種可能：
1、B與E相同時，依次涂點F,C,D,A，涂法分別有3,2,2,2種；
2、B與E不相同時有3種涂法，再依次涂F、C、D、A點，涂F有2種涂法，涂C點時又有兩種可能：
（1）C與E相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：
①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；
②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法。
（2）C與E不相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：
①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；
②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法。
所以不同的涂色方法有
。
【方法技巧】解題的關(guān)鍵是處理好相交線端點的顏色問題，解決排列組合應(yīng)用題，要做到合理的分類，準(zhǔn)確的分類，才能正確的解決問題。
3．（2010遼寧高考理科Ｔ13）的展開式中的常數(shù)項為___-5______.
【命題立意】考查了二項式的展開式，
【思路點撥】展開式中的常數(shù)項只可能是中的常數(shù)項與中的常數(shù)項的積和中的一次項與中的項的積以及中的二次項與中的項積的和
【規(guī)范解答】
【方法技巧】
1、分清常數(shù)項是如何產(chǎn)生的。展開式中的常數(shù)項并不是中的常數(shù)項與中的常數(shù)項的積，而是中的各項與的展開式中的項的乘積中各常數(shù)項的和。
2、展開式中第k+1項Tk+1＝，不要漏掉負(fù)號。
4．（2010安徽高考理科Ｔ12）展開式中，的系數(shù)等于________。
【命題立意】本題主要考查二項式定理，考查考生對二項式定理理解認(rèn)知的水平。
【思路點撥】方法1：寫出展開式的通項，進(jìn)而確定的項及其系數(shù)。
方法2：要得到項，必須出現(xiàn)4次，出現(xiàn)2次，即，這樣直觀快捷。
【規(guī)范解答】方法1：展開式的通項為：
，當(dāng)且僅當(dāng)時，能得到的項，此時，所以的系數(shù)等于15。
方法2：所以的系數(shù)等于15。
答案：15
5．（2010浙江高考理科Ｔ17）有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù).若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人.則不同的安排方式共有______________種（用數(shù)字作答）.
【命題立意】本題考查排列組合的相關(guān)知識，考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。
【思路點撥】可以先安排上午的測試項目，再安排下午。
【規(guī)范解答】記4位同學(xué)分別為：A、B、C、D。則上午共有=24種安排方式。不妨先假定上午如表格所示安排方式，
項目身高與體重立定跳遠(yuǎn)肺活量握力臺階
上午ABCD
下午
則下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB，CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11種安排方式。因此，全天共有=264種安排方式。
答案：264。
【方法技巧】解決排列組合問題時，常用的技巧：（1）特殊位置優(yōu)先安排；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步。
6．（2010廣東高考理科Ｔ8）為了迎接2010年廣州亞運(yùn)會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個彩燈商量的顏色各不相同。記這這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5妙。如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是
A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒
【命題立意】本題考察排列的綜合問題。
【思路點撥】先用排列算出閃爍個數(shù)，還要考慮每個閃爍間的時間。
【規(guī)范解答】選每次閃爍時間為秒，共，每兩次閃爍之間的間隔為，共，總共就有
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.某班級有一個7人小組,現(xiàn)任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為()
(A)35(B)70(C)210(D)105
2.從6人中選出4人參加數(shù)、理、化、英語比賽，每人只能參加其中一項,其中甲、乙兩人都不能參加英語比賽，則不同的參賽方案種數(shù)共有()
(A)96種(B)180種(C)240種(D)288種
3.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中若2a2+an-5=0,則自然數(shù)n的值是()
(A)7(B)8(C)9(D)10
4．在的展開式中，的冪的指數(shù)是正整數(shù)的項共有（）
(A)3項(B)4項(C)5項(D)2項
5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實數(shù)m的值為()
(A)1或3(B)-3(C)1(D)1或-3
6.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）
（A）360（B）288（C）216（D）96
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．若函數(shù)，則
8.二項式(2+x)n的展開式中,前三項的系數(shù)依次為等差數(shù)列,則展開式的第8項的系數(shù)為______.(用數(shù)字表示)
9.用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有______個（用數(shù)字作答）.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.有同樣大小的9個白球和6個紅球.
(1)從中取出5個球,使得紅球比白球多的取法有多少種?
(2)若規(guī)定取到一個紅球記1分,取到一個白球記2分,則從中取出5個球,使得總分不小于8分的取法有多少種?
11．對于二項式,求：
（1）展開式的中間項是第幾項？寫出這一項；
（2）求展開式中除常數(shù)項外，其余各項的系數(shù)和；
（3）寫出展開式中系數(shù)最大的項
12．甲，乙，丙…等六人，身高各不相同，將他們排成二行三列，求下列條件的排法種數(shù)．
(I)甲、乙不在同一行；
(Ⅱ)甲不在第一列且乙不在第一行；
(Ⅲ)每列中第一行的人比第二行的人高且每行中的三人中間高兩邊矮．
參考答案
1．【解析】選B.從7人中選出3人,有種方法,3人相互調(diào)整座位,共有2種調(diào)整方案,故總的調(diào)整方案種數(shù)為×2=70(種).
2．【解析】選C。分三類：①甲、乙均不參賽，有種；
②甲、乙只一人參賽，有
③甲、乙均參賽，有
故不同的參賽方案種數(shù)共有=240種。
3．
4．【解析】選A。由題意為正整數(shù)且故的冪的指數(shù)是正整數(shù)的項只有3項。
5．【解析】選D.當(dāng)x=0時,得a0=1，當(dāng)x=1時,得a0+a1+a2+…+a6=(1+m)6，∴a1+a2+…+a6=(1+m)6-1=63，
即(1+m)6=64=26，∴1+m=±2，∴m=1或m=-3.
6．【解析】選B。先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰有種排法，在這些排法中甲站兩端的排法有，故所求的不同的排法種數(shù)有種。
7．【解析】f(x)=(1+x)8，∴f(3)=(1+3)8=48=216，∴l(xiāng)og2f(3)=log2216=16.答案:16
8．【解析】前3項的系數(shù)分別為
由題意知：
即
∴n=8，∴展開式中∴第8項的系數(shù)為16。
答案:16
9．【解析】分兩大類：（1）四位數(shù)的4個數(shù)字如果有0，則0一定排在個、十、百位的任一位上。個、十、百位剩余的2個位置，一定是偶數(shù)或一定是奇數(shù)，故共有
（2）四位數(shù)的4個數(shù)字如果沒有0，則個、十、百位應(yīng)全是偶數(shù)，或兩奇一偶，此時共有180種，故符合題意的四位數(shù)共有144+180=324（個）。
答案:324
10．【解析】（1）5個全是紅球有種取法，4個紅球、1個白球有種取法，3個紅球、2個白球有種取法，所以取出的紅球比白球多取法共有++=861（種）。
（2）要使總分不小于8分，至少需取3個白球2個紅球，3白2紅有種取法，4白1紅有種取法，5個全是白球有種取法，所以總分不小于8分的取法共有++=2142（種）。
11．【解析】（1）展開式共11項，中間項為第6項，……4分
12．【解析】（Ⅰ）第一步：確定甲，乙所在行有（2種）；
第二步：確定甲位置（3種）；
第三步：確定乙位置（3種）；
第四步：將其它人排好（種）；
∴有（種）……2分
（Ⅱ）分兩類：
第一類：甲在二、三列且甲在第一行.
第一步：先排甲乙（2種）；第二步：再排乙（3種）；第三步：再排其它（種）；
所以有（種）.
第二類：甲在二、三列且甲在第二行.
第一步：先排甲（2種）；第二步：再排乙（2種）；第三步：再排其它（種）；
所以有（種）
∴共有（種）
（Ⅲ）由已知第一行中間人一定是最高的，第二行兩側(cè)的某人一定是最矮的.
∴第一步：排最高的人（1種）；
第二步：確定最矮人的位置（2種）；
第三步：在剩下的四人中選取一人到最高最矮人的角落（種）；
第四步：在剩下的三人中有種排法：（∵剩下三個位子的角落必排剩下三人中最矮的）
∴有種方法選手
【備課資源】
1.有兩排座位,前排4個座位,后排5個座位,現(xiàn)安排2人就坐,并且這2人不相鄰(一前一后也視為不相鄰),那么不同坐法的種數(shù)是()
(A)18(B)26(C)29(D)58
【解析】選D.2個人從9個座位中選2個座位坐好,共有種坐法,其中兩人相鄰的坐法有7.故兩人不相鄰的坐法有-7=58（種）
2．下面是高考第一批錄取的一份志愿表。現(xiàn)有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒胡重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有幾種不同的填寫方法（）
【解析】選D。分4步完成，第1步，選擇學(xué)校有種選擇方法。第2步，選擇第一志愿的專業(yè)，有種選擇方法。第3步，選擇第二志愿的專業(yè)，有種選擇方法。第4步，選擇第三志愿的專業(yè)，有種選擇方法。
故填寫志愿共有種填寫方法。
4.(1+x)7的展開式中x2項的系數(shù)是______.
【解析】∵T3=x2=21x2，
∴x2的系數(shù)為21.
答案:21
6.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,則a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=_______.
【解析】
∵5a1+2a2=0，
即n2-6n=0，
解得n=6或n=0(舍)，
令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+(-1)6a6
=(1+1)6=64.
答案：64
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二項式定理
一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？以下是小編為大家精心整理的“二項式定理”，僅供參考，歡迎大家閱讀。
1.5．1二項式定理教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：進(jìn)一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式
過程與方法：能解決二項展開式有關(guān)的簡單問題
情感、態(tài)度與價值觀：教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。
教學(xué)重點：二項式定理及通項公式的掌握及運(yùn)用
教學(xué)難點：二項式定理及通項公式的掌握及運(yùn)用
授課類型：新授課
課時安排：3課時
教具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．這部分知識具有較高應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值．中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數(shù)的性質(zhì)等．
通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．
二項式定理本身是教學(xué)重點，因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ)．通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點．
二項式定理的證明是一個教學(xué)難點．這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法．
在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機(jī)會，以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)．
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
⑴；
⑵
⑶的各項都是次式，
即展開式應(yīng)有下面形式的各項：，，，，，
展開式各項的系數(shù)：上面?zhèn)€括號中，每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，
∴．
二、講解新課：
二項式定理：
⑴的展開式的各項都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：
，，…，，…，，
⑵展開式各項的系數(shù)：
每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；
恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，……，
恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，……，
有都取的情況有種，的系數(shù)是，
∴，
這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項展開式，⑶它有項，各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)，
⑷叫二項展開式的通項，用表示，即通項．
⑸二項式定理中，設(shè)，則
三、講解范例：
例1．展開．
解一：．
解二：
．
例2．展開．
解：
．
例3．求的展開式中的倒數(shù)第項
解：的展開式中共項，它的倒數(shù)第項是第項，
．
例4．求（1），（2）的展開式中的第項．
解：（1），
（2）．
點評：，的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第項不相同
例5．（1）求的展開式常數(shù)項；
（2）求的展開式的中間兩項
解：∵，
∴（1）當(dāng)時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為；
（2）的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項，
，
例6．（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；
（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)
解：的展開式的第四項是，
∴的展開式的第四項的系數(shù)是．
（2）∵的展開式的通項是，
∴，，
∴的系數(shù)，的二項式系數(shù)．
例7．求的展開式中的系數(shù)
分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開
解：（法一）
，
顯然，上式中只有第四項中含的項，
∴展開式中含的項的系數(shù)是
（法二）：
∴展開式中含的項的系數(shù)是．
例8．已知的展開式中含項的系數(shù)為，求展開式中含項的系數(shù)最小值
分析：展開式中含項的系數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式，由展開式中含項的系數(shù)為，可得，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的二次函數(shù)求解
解：展開式中含的項為
∴，即，
展開式中含的項的系數(shù)為
，
∵，∴，
∴
，∴當(dāng)時，取最小值，但，
∴時，即項的系數(shù)最小，最小值為，此時．
例9．已知的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，
（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項
解：由題意：，即，∴舍去）
∴
①若是常數(shù)項，則，即，
∵，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項；
②若是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，
∴，∴，
即展開式中有三項有理項，分別是：，，
例10．求的近似值，使誤差小于．
解：，
展開式中第三項為，小于，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，
∴，
一般地當(dāng)較小時
四、課堂練習(xí)：
1.求的展開式的第3項.
2.求的展開式的第3項.
3.寫出的展開式的第r+1項.
4.求的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù).
5.用二項式定理展開：
（1）；（2）.
6.化簡：（1）；（2）
7．展開式中的第項為，求．
8．求展開式的中間項
答案：1.
2.
3.
4.展開式的第4項的二項式系數(shù)，第4項的系數(shù)
5.（1）；
（2）.
6.（1）；
（2）
7.展開式中的第項為
8.展開式的中間項為
五、小結(jié)：二項式定理的探索思路:觀察——歸納——猜想——證明；二項式定理及通項公式的特點
六、課后作業(yè)：P36習(xí)題1.3A組1.2.3.4
七、板書設(shè)計（略）
八、教學(xué)反思：
(a+b)ｎ=
這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a+b)ｎ的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二項展開式的通項，它是展開式的第項，展開式共有個項.
掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。
培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。
二項式定理是指
這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn－1，同時=e≈2.718281…也正是由二項式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(θ∈(0，1))以及由此建立的冪級數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中.
怎樣使二項式定理的教學(xué)生動有趣
正因為二項式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因為證明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？
怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力，因為這些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實.
而MM教育方式即數(shù)學(xué)方法論的教育方式卻能根據(jù)習(xí)題理論注意到充分利用數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技術(shù)把所要證明或計算的形式變換得十分簡潔，心理學(xué)家皮亞杰一再強(qiáng)調(diào)“認(rèn)識起因于主各體之間的相互作用”［1］只有客體的形式與學(xué)生主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式取得某種一致的時候，才能完成認(rèn)識的主動建構(gòu)，也就是學(xué)生獲得真正的理解.
MM教育方式遵循“興趣與能力的同步發(fā)展規(guī)律”和“教，學(xué)，研互相促進(jìn)的規(guī)律”［2］在教學(xué)中追求簡易，重視直觀，并巧妙地在應(yīng)用抽象使問題變得十分有趣，學(xué)生學(xué)得生動主動，充分發(fā)揮其課堂上的主體作用.
二項式定理導(dǎo)學(xué)案
古人云，工欲善其事，必先利其器。作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。寫好一份優(yōu)質(zhì)的高中教案要怎么做呢？下面是小編精心為您整理的“二項式定理導(dǎo)學(xué)案”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。
第11課時
1.3.1二項式定理（一）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．用兩個計數(shù)原理分析的展開式，歸納地得出二項式定理，并能用計數(shù)原理證明；
2．掌握二項展開式的通項公式；能應(yīng)用它解決簡單問題.
學(xué)習(xí)過程
一、學(xué)前準(zhǔn)備
試試：用多項式乘法法則得到下列式子的展開式，并說出未合并同類項之前的項數(shù)與各項的形式.
（1）；（2）；（3）。
二、新課導(dǎo)學(xué)
◆探究新知（預(yù)習(xí)教材P29～P31，找出疑惑之處）
問題：如何利用兩個計數(shù)原理得到
的展開式？你能由此猜想一下
的展開式是什么嗎？
◆應(yīng)用示例
例1．求的展開式。
例2．展開，并求第3項二項式系數(shù)和第6項系數(shù)。
例3．（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；
（2）求的展開式中的系數(shù)。
◆反饋練習(xí)（課本P31練1-4）
1.寫出的展開式.
2．求的展開式的第3項.
3．寫出的展開式的第項.
4．的展開式的第6項的系數(shù)是（）
A、B、C、D、
三、當(dāng)堂檢測
1.求的展開式。
2．求的展開式中的系數(shù)。
3．求二項式的展開式中的常數(shù)項。
四、課后作業(yè)
1．用二項式定理展開：.
3．求下列各式的二項展開式中指定各項的系數(shù)：（1）的含的項；
（2）的常數(shù)項。
排列、組合、二項式定理-基本原理
作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以保證學(xué)生們在上課時能夠更好的聽課，幫助高中教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“排列、組合、二項式定理-基本原理”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！
排列、組合、二項式定理-基本原理教學(xué)目標(biāo)(1)正確理解加法原理與乘法原理的意義,分清它們的條件和結(jié)論;
(2)能結(jié)合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理;
(3)正確區(qū)分加法原理與乘法原理,哪一個原理與分類有關(guān),哪一個原理與分步有關(guān);
(4)能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡單的應(yīng)用問題,提高學(xué)生理解和運(yùn)用兩個原理的能力;
(5)通過對加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本節(jié)的重點是加法原理與乘法原理,難點是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理與乘法原理。
加法原理、乘法原理本身是輕易理解的,甚至是不言自明的。這兩個原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ),貫穿整個內(nèi)容之中,一方面它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ);另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時有許多直接應(yīng)用。
兩個原理回答的,都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問題,其區(qū)別在于:運(yùn)用加法原理的前提條件是,做一件事有n類方案,選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事,就是說,完成這件事的各種方法是相互獨立的;運(yùn)用乘法原理的前提條件是,做一件事有n個驟,只要在每個步驟中任取一種方法,并依次完成每一步驟就能完成此事,就是說,完成這件事的各個步驟是相互依存的。簡單的說,假如完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題,每次得到的是最后結(jié)果,要用加法原理;假如完成一件事情的方法是屬于分步的問題,每次得到的該步結(jié)果,就要用乘法原理。
三、教法建議
關(guān)于兩個計數(shù)原理的教學(xué)要分三個層次:
第一是對兩個計數(shù)原理的熟悉與理解.這里要求學(xué)生理解兩個計數(shù)原理的意義,并弄清兩個計數(shù)原理的區(qū)別.知道什么情況下使用加法計數(shù)原理,什么情況下使用乘法計數(shù)原理.(建議利用一課時).
第二是對兩個計數(shù)原理的使用.可以讓學(xué)生做一下習(xí)題(建議利用兩課時):
①用0,1,2,……,9可以組成多少個8位號碼;
②用0,1,2,……,9可以組成多少個8位整數(shù);
③用0,1,2,……,9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù);
④用0,1,2,……,9可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù);
⑤用0,1,2,……,9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù);
⑥用0,1,2,……,9可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等.
第三是使學(xué)生把握兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用,這個過程應(yīng)該貫徹整個教學(xué)中,每個排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個計數(shù)原理,每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個原理求解,另外直接計算法、間接計算法都是兩個原理的一種體現(xiàn).教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意,恰當(dāng)?shù)姆诸?、分?用好、用活兩個基本計數(shù)原理.
教學(xué)設(shè)計示例
加法原理和乘法原理
教學(xué)目標(biāo)
正確理解和把握加法原理和乘法原理,并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題,從而發(fā)展學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
教學(xué)重點和難點
重點:加法原理和乘法原理.
難點:加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用.
教學(xué)用具
投影儀.
教學(xué)過程設(shè)計
(一)引入新課
從本節(jié)課開始,我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理.它們研究對象獨特,研究問題的方法不同一般.雖然份量不多,但是與舊知識的聯(lián)系很少,而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ),統(tǒng)計學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān).至于在日常的工作、生活上,只要涉及安排調(diào)配的問題,就離不開它.
今天我們先學(xué)習(xí)兩個基本原理.
(二)講授新課
1.介紹兩個基本原理
先考慮下面的問題:
問題1:從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船.一天中,火車有4個班次,汽車有2個班次,輪船有3個班次.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地,共有多少種不同的走法?
因為一天中乘火車有4種走法,乘汽車有2種走法,乘輪船有3種走法,每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情.所以,一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有423=9種不同的走法.
這個問題可以總結(jié)為下面的一個基本原理(打出片子——加法原理):
加法原理:做一件事,完成它可以有幾類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么,完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法.
請大家再來考慮下面的問題(打出片子——問題2):
問題2:由A村去B村的道路有3條,由B村去C村的道路有2條(見下圖),從A村經(jīng)B村去C村,共有多少種不同的走法?
這里,從A村到B村,有3種不同的走法,按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后,再從B村到C村又各有2種不同的走法,因此,從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法.
一般地,有如下基本原理(找出片子——乘法原理):
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法.那么,完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
2.淺釋兩個基本原理
兩個基本原理的用途是計算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù).
比較兩個基本原理,想一想,它們有什么區(qū)別?
兩個基本原理的區(qū)別在于:一個與分類有關(guān),一個與分步有關(guān).
看下面的分析是否正確(打出片子——題1,題2):
題1:找1~10這10個數(shù)中的所有合數(shù).第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù),共有4個;第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù),共有2個;第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù),共有1個.
1~10中一共有N=4+2+1=7個合數(shù).
題2:在前面的問題2中,步行從A村到B村的北路需要8時,中路需要4時,南路需要6時,B村到C村的北路需要5時,南路需要3時,要求步行從A村到C村的總時數(shù)不超過12時,共有多少種不同的走法?
第一步從A村到B村有3種走法,第二步從B村到C村有2種走法,共有N=3×2=6種不同走法.
題2中的合數(shù)是4,6,8,9,10這五個,其中6既含有因數(shù)2,也含有因數(shù)3;10既含有因數(shù)2,也含有因數(shù)5.題中的分析是錯誤的.
從A村到C村總時數(shù)不超過12時的走法共有5種.題2中從A村走北路到B村后再到C村,只有南路這一種走法.
(此時給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個基本原理的注重事項,這樣安排,不但可以使學(xué)生對兩個基本原理的理解更深刻,而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力)
進(jìn)行分類時,要求各類辦法彼此之間是相互排斥的,不論哪一類辦法中的哪一種方法,都能單獨完成這件事.只有滿足這個條件,才能直接用加法原理,否則不可以.
假如完成一件事需要分成幾個步驟,各步驟都不可缺少,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,而各步要求相互獨立,即相對于前一步的每一種方法,下一步都有m種不同的方法,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,就可以直接應(yīng)用乘法原理.
也就是說:類類互斥,步步獨立.
(在學(xué)生對問題的分析不是很清楚時,教師及時地歸納小結(jié),能使學(xué)生在應(yīng)用兩個基本原理時,思路進(jìn)一步清楚和明確,不再簡單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法.從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質(zhì))
(三)應(yīng)用舉例
現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個基本原理,我們可以用它們來解決一些簡單問題了.
例1書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書,5本不同的語文書,6本不同的英語書.
(1)若從這些書中任取一本,有多少種不同的取法?
(2)若從這些書中,取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本,有多少種不同的取法?
(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本,有多少種不同的取法?
(讓學(xué)生思考,要求依據(jù)兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由,教師巡視指導(dǎo),并適時口述解法)
(1)從書架上任取一本書,可以有3類辦法:第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本,有3種方法;第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本,有5種方法;第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本,有6種方法.根據(jù)加法原理,得到的取法種數(shù)是
N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故從書架上任取一本書的不同取法有14種.
(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本,需要分成三個步驟完成,第一步取1本數(shù)學(xué)書,有3種方法;第二步取1本語文書,有5種方法;第三步取1本英語書,有6種方法.根據(jù)乘法原理,得到不同的取法種數(shù)是N=m1×m2×m3=3×5×6=90.故,從書架上取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本,有90種不同的方法.
(3)從書架上任取不同科目的書兩本,可以有3類辦法:第一類辦法是數(shù)學(xué)書、語文書各取1本,需要分兩個步驟,有3×5種方法;第二類辦法是數(shù)學(xué)書、英語書各取1本,需要分兩個步驟,有3×6種方法;第三類辦法是語文書、英語書各取1本,有5×6種方法.一共得到不同的取法種數(shù)是N=3×5+3×6+5×6=63.即,從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種.
例2由數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個三位整數(shù)(各位上的數(shù)字答應(yīng)重復(fù))?
解:要組成一個三位數(shù),需要分成三個步驟:第一步確定百位上的數(shù)字,從1~4這4個數(shù)字中任選一個數(shù)字,有4種選法;第二步確定十位上的數(shù)字,由于數(shù)字答應(yīng)重復(fù),共有5種選法;第三步確定個位上的數(shù)字,仍有5種選法.根據(jù)乘法原理,得到可以組成的三位整數(shù)的個數(shù)是N=4×5×5=100.
答:可以組成100個三位整數(shù).
教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導(dǎo),幫助學(xué)生找到正確的解題思路和計算方法,使學(xué)生的分析問題能力有所提高.教師在第二個例題中給出板書示范,能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對兩個基本原理實質(zhì)的理解,周密的考慮,準(zhǔn)確的表達(dá)、規(guī)范的書寫,對于學(xué)生周密思考、準(zhǔn)確表達(dá)、規(guī)范書寫良好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用,也可以為學(xué)生后面應(yīng)用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎(chǔ).
(四)歸納小結(jié)
歸納什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理:
分類時用加法原理,分步時用乘法原理.
應(yīng)用兩個基本原理時需要注重分類時要求各類辦法彼此之間相互排斥;分步時要求各步是相互獨立的.
(五)課堂練習(xí)
P222:練習(xí)1~4.
(對于題4,教師有必要對三個多項式乘積展開后各項的構(gòu)成給以提示)
(六)布置作業(yè)
P222:練習(xí)5,6,7.
補(bǔ)充題:
1.在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個?
(提示:按十位上數(shù)字的大小可以分為9類,共有9+8+7+…+2+1=45個個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù))
2.某學(xué)生填報高考志愿,有m個不同的志愿可供選擇,若只能按第一、二、三志愿依次填寫3個不同的志愿,求該生填寫志愿的方式的種數(shù).
(提示:需要按三個志愿分成三步,共有m(m1)(m2)種填寫方式)
3.在所有的三位數(shù)中,有且只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個?
(提示:可以用下面方法來求解:(1)△△□,(2)△□△,(3)□△□,(1),(2),(3)類中每類都是9×9種,共有9×99×99×9=3×9×9=243個只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù))
4.某小組有10人,每人至少會英語和日語中的一門,其中8人會英語,5人會日語,(1)從中任選一個會外語的人,有多少種選法?(2)從中選出會英語與會日語的各1人,有多少種不同的選法?
(提示:由于8+5=1310,所以10人中必有3人既會英語又會日語.
(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)
二項式定理學(xué)案
俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？以下是小編收集整理的“二項式定理學(xué)案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。
§1.5.1二項式定理
一、知識要點
1.二項式定理：
2.通項：
3.二項式系數(shù)與項的系數(shù)：
二、典型例題
例1.展開下列各式：
⑴⑵
例2.求的展開式中第4項的二項式系數(shù)和系數(shù).
例3.求的二項展開式中的常數(shù)項.
例4.已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項.
⑴求；⑵求含的項的系數(shù)；⑶求展開式中所有的有理項.
三、鞏固練習(xí)
1.的展開式為.
2.的展開式中第3項的二項式系數(shù)是，第3項的系數(shù)為.
3.寫出的展開式第項()為.
4.的展開式中含的項為.
5.的展開式中的常數(shù)項為.
四、課堂小結(jié)
五、課后反思
六、課后作業(yè)
1.展開式中項的系數(shù)為.
2.的展開式中，含的項的系數(shù)是.
3.在展開式中，項的系數(shù)是15，則實數(shù)=.
4.化簡=.
5.的展開式中的常數(shù)項為.
6.若的展開式中，第2項小于第1項，且不小于第3項，則的取值范圍是.
7.展開式中，含項的系數(shù)為.
8.若的展開式中的第3項與第5項的系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù).
9.二項式的展開式中第2，3，4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的常數(shù)項.
10.求展開式中的所有的含的有理項.
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