高中函數(shù)的應(yīng)用教案

函數(shù)的周期性。

2．7函數(shù)的周期性
——函數(shù)的周期性不僅存在于三角函數(shù)中，在其它函數(shù)或者數(shù)列中“突然”出現(xiàn)的周期性問(wèn)題更能考查你的功底和靈活性，本講重點(diǎn)復(fù)習(xí)一般函數(shù)的周期性問(wèn)題
一.明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.理解函數(shù)周期性的概念，會(huì)用定義判定函數(shù)的周期；
2.理解函數(shù)的周期性與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的周期性處理一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
二、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1.函數(shù)的周期性定義：
若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。
周期函數(shù)定義域必是無(wú)界的
2.若T是周期，則kT（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期。
周期函數(shù)并非所都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)=C；
3.若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期。
（若f(x)滿足f(a+x)=f(a－x)則f(x)的圖象以x=a為圖象的對(duì)稱軸，應(yīng)注意二者的區(qū)別)
4.若函數(shù)f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x=a和x=b，（ab），則2（b-a）是f（x）的一個(gè)周期
5.若函數(shù)f(x)圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，0），（b，0）（ab），則2（b-a）是f（x）的一個(gè)周期。(證一證)
6.若函數(shù)f（x）有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心（b，0）（ab）,則4（b-a）是f（x）的周期。
舉例:y=sinx,等.
三.雙基題目練練手
1.f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(1)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（）
A．5B．4C．3D．2
2.若函數(shù)y=f(x)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f(x)=x+1，則f(π)的值為（）
A．π-5B.5-πC.4-πD.π-4
3.是偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(1992)=
4.設(shè)存在常數(shù)p0,使，則的一個(gè)周期是，f(px)的一個(gè)正周期是；
5.數(shù)列中
簡(jiǎn)答精講：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是對(duì)稱軸，則周期是4；4、，；5、；由已知，周期為6。
四.經(jīng)典例題做一做
【例1】已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（從解析式入手，由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。）
∵x∈(1,2),則-x∈(-2,-1),
∴2-x∈(0,1),∵T=2,是偶函數(shù)
∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
x∈(1,2).
解法2（從圖象入手也可解決，且較直觀）f(x)=f(x+2)
如圖：x∈(0,1),f(x)=x+1.∵是偶函數(shù)
∴x∈(-1,0)時(shí)f(x)=f(-x)=-x+1.
又周期為2，x∈(1,2)時(shí)x-2∈（-1，0）
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.
提煉方法：1.解題體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上轉(zhuǎn)化;
2.用好數(shù)形結(jié)合,對(duì)解題很有幫助.

【例2】f(x)的定義域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。
解：
周期為8，
法二：依次計(jì)算f(2、4、6、8)知周期為8，須再驗(yàn)證。

方法提煉：
1.求周期只需要弄出一個(gè)常數(shù);
2.注意既得關(guān)系式的連續(xù)使用.
【例3】若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且.
①求的周期；
②證明f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)中心對(duì)稱;關(guān)于直線x=2k+1軸對(duì)稱,(k∈Z);
③討論f(x)在(1,2)上的單調(diào)性；【fz76.com 工作計(jì)劃之家】

解:①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.
②設(shè)P(x,y)是圖象上任意一點(diǎn),則y=f(x),且P關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱的點(diǎn)為P1(4k-x,-y).P關(guān)于直線x=2k+1對(duì)稱的點(diǎn)為P2(4k+2-x,y).
∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴點(diǎn)P1在圖象上,圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱.
又f(x)是奇函數(shù),f(x+2)=-f(x)=f(-x)
∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y,∴點(diǎn)P2在圖象上,圖象關(guān)于直線2k+1對(duì)稱.
③設(shè)1x1x22,則-2-x2-x1-1,02-x22-x11.
∵f(x)在(-1,0)上遞增,∴f(2-x1)f(2-x2)……(*)
又f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(2-x1)=f(x1),f(2-x2)=f(x2).
(*)為f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是減函數(shù).
提煉方法：總結(jié)解周期性、單調(diào)性及圖象對(duì)稱性的方法。
【研究.欣賞】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù).又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值-5.
①證明：；②求的解析式；
③求在上的解析式.
解：∵是以為周期的周期函數(shù)，且在[-1,1]上是奇函數(shù)，∴，∴.
②當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，
由得，∴，
∴.
③∵是奇函數(shù)，∴，
又知在上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而，
∴，∴當(dāng)時(shí)，，
從而時(shí)，，故時(shí)，.
∴當(dāng)時(shí)，有，∴.
當(dāng)時(shí)，，
∴
∴.

五．提煉總結(jié)以為師
1.函數(shù)的周期性及有關(guān)概念;
2.用周期的定義求函數(shù)的周期;
3.函數(shù)的周期性與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系;

同步練習(xí)2．7函數(shù)的周期性
【選擇題】
1.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T(mén)，則f（－）的值為
A.0B.C.TD.－
2.（2004天津）定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈［0，］時(shí)，f（x）=sinx，則f（）的值為
A.－B.C.－D.
【填空題】
3.設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上，=,則=
4.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4+x)＝f(4-x)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，寫(xiě)出f(x)的一個(gè)最小正周
5.對(duì)任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)=
6.設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當(dāng)x∈(0，3]時(shí)，f(x)=2x，則f(2007)=。
答案提示：1、A；由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.（或取特殊函數(shù)f（x）=sinx）
2、D；f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin=.
3、;4、8；
5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)=-f(x+3)
∴f(x)=-f(x+3)=f(x+6).周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)=-f(-3+3)=-6
6、，周期T=6，F(xiàn)(2007)=f(3)=6

【解答題】
7.設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為2002，并且f(1001+x)=f(1001－x)對(duì)一切x∈R均成立，試討論f(x)的奇偶性.
解:∵周期是2002,∴f(2002+x)=f(x),
又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x)
∴對(duì)任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函數(shù).
8.設(shè)f(x)為定義在實(shí)數(shù)集上周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，已知x∈[2,3]時(shí)f(x)=x，求x∈[-2,0]時(shí)f(x)的解析式。
分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]時(shí)的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。
解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是T=2的周期函數(shù)，所以f(x+2)=f(x).
又由于f(x)為偶函數(shù)，故
所以解析式為

9.設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)，對(duì)一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-1x≤1時(shí)，f(x)=2x-1，求當(dāng)1x≤3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。
思路分析：∵f(x)+f(x+2)=0∴f(x)=-f(x+2)
∵該式對(duì)一切x∈R成立，
∴以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)
當(dāng)1x≤3時(shí)，-1x-2≤1，∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5
∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴f(x)=-2x+5（1x≤3）
評(píng)注：在化歸過(guò)程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過(guò)程中還體現(xiàn)了整體思想。
10.（2005廣東）設(shè)函數(shù)在上滿足，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。
（Ⅰ）試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解：由得即
由已知易得，所以，而，從而且
故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);
(II)由
,從而知函數(shù)的周期為
當(dāng)時(shí)，，由已知，又，則
∴當(dāng)時(shí)，只有
∴方程=0在一個(gè)周期內(nèi)只有兩個(gè)解
而函數(shù)在閉區(qū)間［-2005，2005］共含有401個(gè)周期，所以方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］共含有802個(gè)解
【探索題】對(duì)于k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k-1，2k+1］。已知x∈Ik時(shí)，f(x)＝(x-2k)2，
(1)當(dāng)k∈N*時(shí),求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有兩個(gè)不相等的實(shí)根的a的值｝
(2)并討論f(x)的周期性。
解：y＝f(x)圖像就是將y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k個(gè)單位所得，其中k∈N
設(shè)y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，則函數(shù)y1＝f(x)與y2＝ax圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)x＝2k+1時(shí)，0＜y2≤1
∴0＜a≤
∴Mk＝｛a｜0＜a≤，k∈N｝，即Mk＝(0，］
對(duì)任意
，
所以f(x)是2為周期的周期函數(shù)。
思路點(diǎn)拔：化簡(jiǎn)集合，弄清圖像變換規(guī)律，數(shù)形結(jié)合求解；周期性的的討論注要是看你運(yùn)用定義的意識(shí)和能力

相關(guān)知識(shí)

單位圓與周期性

俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。那么怎么才能寫(xiě)出優(yōu)秀的教案呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《單位圓與周期性》，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

單位圓與周期性
年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題單位圓與周期性
授課時(shí)間撰寫(xiě)人劉報(bào)時(shí)間
學(xué)習(xí)重點(diǎn)單位圓與正弦線、余弦線、正切線
學(xué)習(xí)難點(diǎn)正弦線、余弦線、正切線的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解正弦線、余弦線、正切線的概念；

2.掌握作已知角α的正弦線、余弦線和正切線；

3.會(huì)利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及求解簡(jiǎn)單的三角不等式.

教學(xué)過(guò)程
一自主學(xué)習(xí)
1．當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足_______________時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。設(shè)角α的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y),過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，則有向線段MP為正弦線，OM為余弦線.過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，與終邊或延長(zhǎng)線交于T，則有向線段叫角α的正切線.
我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.
2.①正弦值對(duì)于第、象限為正（），對(duì)于第、象限為負(fù)（）；
②余弦值對(duì)于第、象限為正（），對(duì)于第、象限為負(fù)（）；
③正切值對(duì)于第、象限為正（同號(hào)），對(duì)于第、象限為負(fù)（異號(hào)）．

3.周期函數(shù)與周期

二師生互動(dòng)
例1已知，比較的大小.

變式：，結(jié)果又如何？

例2利用單位圓求適合下列條件的0到360的角.
（1）sin≥；（2）tan.

變式：利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角的范圍.
（1）；（2）.

三鞏固練習(xí)
1.下列大小關(guān)系正確的是（）.
A.B.
C.D.以上都不正確
2.利用余弦線，比較的大小關(guān)系為（）.
A.B.
C.D.無(wú)法比較
3.利用正弦線，求得滿足條件，且在0到360的角為（）.
A.或C.或
C.或C.或
4.不等式的解集為.

5.根據(jù)下列已知，判別θ所在象限：
（1）sinθ0且tanθ0；（2）tanθcosθ0.
6.求函數(shù)的值域.

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值.

2.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線.
（1）；（2）；（3）；（4）．

3.利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角x的范圍：
（1）sinx=；（2）tanx；（3）.

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)圖象對(duì)稱性與周期性的關(guān)聯(lián)》教學(xué)設(shè)計(jì)

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)圖象對(duì)稱性與周期性的關(guān)聯(lián)》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】：

1．掌握特殊到一般的分析方法：學(xué)會(huì)從特殊化中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)結(jié)論，再證明一般化性質(zhì)結(jié)論.

2．更好地認(rèn)知建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程：能從自己已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)思考研究，得出新的數(shù)學(xué)結(jié)論.

3．訓(xùn)練抽象能力，提高目標(biāo)推理能力.

重點(diǎn)：掌握研究抽象問(wèn)題的一種方法.

難點(diǎn)：周期性的代數(shù)推導(dǎo).

【回顧復(fù)習(xí)】（提問(wèn)式復(fù)習(xí)）

提問(wèn)：奇、偶函數(shù)有什么特點(diǎn)？（圖象特點(diǎn)、代數(shù)表達(dá)式）

進(jìn)一步提問(wèn)，更一般的關(guān)于x=a或M（a,0）對(duì)稱的代數(shù)表達(dá)式是什么呢？

【引申問(wèn)題】

剛才說(shuō)的函數(shù)圖象都是一條對(duì)稱軸或一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題。那么我們是否可以引申問(wèn)題呢？學(xué)生積極思考提出想法，進(jìn)而引申出新的問(wèn)題：

兩條對(duì)稱軸（兩線）、一條對(duì)稱軸一個(gè)對(duì)稱中心（一點(diǎn)一線）、兩個(gè)對(duì)稱中心（兩點(diǎn)）

從中選取一個(gè)問(wèn)題（如：兩線）具體化，提出思考：

定義在R上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，那么會(huì)具有什么樣的性質(zhì)呢？

【遷移問(wèn)題】

一般結(jié)論1：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，探究的性質(zhì).（學(xué)生討論研究，自行展示研究結(jié)果）

一般結(jié)論2：是定義在上的函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，探究的性質(zhì)

（學(xué)生討論研究，自行展示研究結(jié)果）

一般結(jié)論3：

設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)和（）對(duì)稱，的周期（類比，留作課后思考）

【解決問(wèn)題】

1．定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.

2．已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則。

【小結(jié)】

本講展示了解決一些抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究方法：先特殊化（如本講先具體化函數(shù)圖象），再?gòu)奶厥馇樾沃姓业浇Y(jié)論性質(zhì)，再加以嚴(yán)格的推理證明。另一方面，也詮釋了數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的過(guò)程，即通過(guò)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)思考和研究得出新的數(shù)學(xué)結(jié)論性質(zhì).

2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來(lái)，幫助高中教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么，你知道高中教案要怎么寫(xiě)呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)教案”，僅供參考，希望能為您提供參考！

教案17函數(shù)的奇偶性與周期性
一、課前檢測(cè)
1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)即是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（A）
A．B．C．D．

2.（08遼寧）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（C）
A．B．C．D．

3.已知在R上是奇函數(shù)，且(A)
A.B.2C.-98D.98

二、知識(shí)梳理
1．函數(shù)的奇偶性：
（1）對(duì)于函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：
如果______________________________________，那么函數(shù)為奇函數(shù)；
如果______________________________________，那么函數(shù)為偶函數(shù).
（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于__________對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于_________對(duì)稱.
（3）奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性.
（4）若奇函數(shù)在處有定義，則必有
解讀：

2．函數(shù)的周期性
對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則為周期函數(shù)，T為這個(gè)函數(shù)的周期.
解讀：

3．與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：
①已知條件中如果出現(xiàn)、或（、均為非零常數(shù)，），都可以得出的周期為；
②的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱或的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，均可以得到周期
解讀：
三、典型例題分析
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）答案：定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶

（2）
解：定義域?yàn)椋?br> 所以，是奇函數(shù)。
（3）
解法一：當(dāng)，，
當(dāng)，，
所以，對(duì)，都有，
所以是偶函數(shù)
解法二：畫(huà)出函數(shù)圖象
解法三：還可寫(xiě)成，故為偶函數(shù)。
（4）
解：定義域?yàn)?，?duì)，都有，
所以既奇又偶
變式訓(xùn)練：判斷函數(shù)的奇偶性。
解：當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，即，
且，
所以非奇非偶
小結(jié)與拓展：幾個(gè)常見(jiàn)的奇函數(shù)：
（1）（2）（3）（4）

小結(jié)與拓展：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件

例2已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；答案：

（2）若函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；答案：
變式訓(xùn)練：已知奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在R上的解析式；
解：函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，，
，

小結(jié)與拓展：奇偶性在求函數(shù)解析式上的應(yīng)用

例3設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)于都有成立。
（1）證明是周期函數(shù)，并指出周期；
（2）若，求的值。
證明：（1）
所以，是周期函數(shù)，且
（2），

變式訓(xùn)練1：設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，
則等于(B)
A.0.5B.C.1.5D.

變式訓(xùn)練2：（06安徽）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若
則__________。
解：由得，所以，
則。

小結(jié)與拓展：只需證明，即是以為周期的周期函數(shù)

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.知識(shí)：
2.思想與方法：
3.易錯(cuò)點(diǎn)：
4.教學(xué)反思（不足并查漏）：

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案附答案

學(xué)案6函數(shù)的奇偶性與周期性
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解函數(shù)奇偶性、周期性的含義.2.會(huì)判斷奇偶性，會(huì)求函數(shù)的周期.3.會(huì)做有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合問(wèn)題．
自主梳理
1．函數(shù)奇偶性的定義
如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有______________，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有____________，則稱f(x)為偶函數(shù)．
2．奇偶函數(shù)的性質(zhì)
(1)f(x)為奇函數(shù)f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝____；
f(x)為偶函數(shù)f(x)＝f(－x)＝f(|x|)f(x)－f(－x)＝____.
(2)f(x)是偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；f(x)是奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于________
對(duì)稱．
(3)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有________的單調(diào)性．
3．函數(shù)的周期性
(1)定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x＋T)＝________，則稱f(x)為_(kāi)_______函數(shù)，其中T稱作f(x)的周期．若T存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的________________．
(2)性質(zhì)：①f(x＋T)＝f(x)常常寫(xiě)作f(x＋T2)＝f(x－T2)．
②如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．
③若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是以______為一個(gè)周期的周期函數(shù)．
自我檢測(cè)
1．已知函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是()
A．1B．2C．3D．4
2．(2011茂名月考)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最大值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是()
A．增函數(shù)且最小值是－5
B．增函數(shù)且最大值是－5
C．減函數(shù)且最大值是－5
D．減函數(shù)且最小值是－5
3．函數(shù)y＝x－1x的圖象()
A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱
C．關(guān)于y軸對(duì)稱
D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
4．(2009江西改編)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2012)＋f(2011)的值為()
A．－2B．－1C．1D．2
5．(2011開(kāi)封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋1x＋ax為奇函數(shù)，則a＝________.
探究點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判定
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝x(12x－1＋12)；
(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.

變式遷移1判斷下列函數(shù)的奇偶性．
(1)f(x)＝x2－x3；
(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；
(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.

探究點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用
例2函數(shù)y＝f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．

變式遷移2(2011承德模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，對(duì)任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，則x的取值范圍為_(kāi)_______．
探究點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例3(2009山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m0)，在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.
變式遷移3定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，則f(x)()
A．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)
B．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)
C．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)
D．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．
【答題模板】
解(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝12f(1)＝0.[4分]
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．[6分]
(3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]
∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]
∵f(x)為偶函數(shù)，
∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)的定義域?yàn)镈.
∴0|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]
解上式，得3x≤5或－73≤x－13或－13x3.
∴x的取值范圍為{x|－73≤x－13或－13x3或3x≤5}．[12分]
【突破思維障礙】
在(3)中，通過(guò)變換已知條件，能變形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思維障礙在于f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，g(x)是否大于0不可而知，這樣就無(wú)法脫掉“f”，若能結(jié)合(2)中f(x)是偶函數(shù)的結(jié)論，則有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，這才能有|g(x)|0，從而得出0|g(x)|≤a，解之得x的范圍．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在(3)中，由f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)脫掉“f”的過(guò)程中，如果思維不縝密，不能及時(shí)回顧已知條件中函數(shù)的定義域中{x|x≠0}，易出現(xiàn)0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤．
1．正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問(wèn)題：①定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．
2．奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0f－xfx＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也真．利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫(huà)法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性．
4．關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論：對(duì)于函數(shù)f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a為常數(shù)且a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011吉林模擬)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值為()
A．－13B.13
C.12D．－12
2．(2010銀川一中高三年級(jí)第四次月考)已知定義域?yàn)閧x|x≠0}的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，若f(－3)＝0，則fxx0的解集為()
A．(－3,0)∪(0,3)
B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(3，＋∞)
3．(2011鞍山月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x＋2)＝－1fx，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＝x－2，則f(6.5)等于()
A．4.5B．－4.5
C．0.5D．－0.5
4．(2010山東)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)等于()
A．3B．1C．－1D．－3
5．設(shè)函數(shù)f(x)滿足：①y＝f(x＋1)是偶函數(shù)；②在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(－1)與f(2)大小關(guān)系是()
A．f(－1)f(2)B．f(－1)f(2)
C．f(－1)＝f(2)D．無(wú)法確定
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)5月聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝x－1，x0，a，x＝0，x＋b，x0是奇函數(shù)，則a＋b＝________.
7．(2011咸陽(yáng)月考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)1，f(2)＝2m－3m＋1，則m的取值范圍是________．
8．已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，則f(2010)的值為_(kāi)_______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011汕頭模擬)已知f(x)是定義在[－6,6]上的奇函數(shù)，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且當(dāng)3≤x≤6時(shí)，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表達(dá)式．

10．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)
(1)證明f(x)是偶函數(shù)；
(2)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；
(4)求函數(shù)的值域．

11．(14分)(2011舟山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax(x≠0，常數(shù)a∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

答案自主梳理
1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)
2．(1)00(2)y原點(diǎn)(3)相反
3．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a
自我檢測(cè)
1．B[因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以奇次項(xiàng)系數(shù)為0，即m－2＝0，m＝2.]
2．A[奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性．]
3．A[由f(－x)＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．]
4．C[f(－2012)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]
5．－1
解析∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，
∴a＝－1.代入檢驗(yàn)f(x)＝是奇函數(shù)，故a＝－1.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)奇偶性的方法．
(1)定義法：用函數(shù)奇偶性的定義判斷．(先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．
(2)圖象法：f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù)．
(3)基本函數(shù)法：把f(x)變形為g(x)與h(x)的和、差、積、商的形式，通過(guò)g(x)與h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．
解(1)定義域要求≥0且x≠－1，
∴－1x≤1，∴f(x)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(2)函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝－x
＝－x＝
＝＝f(x)．
∴f(x)是偶函數(shù)．
(3)函數(shù)定義域?yàn)镽.
∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)
＝log21x＋x2＋1＝－log2(x＋x2＋1)
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)．
(4)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．
當(dāng)x0時(shí)，－x0，則
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
當(dāng)x0時(shí)，－x0，則
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)為奇函數(shù)．
變式遷移1解(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，從而函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
(2)f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(3)由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f(x)定義域?yàn)閇－2,0)∪(0,2]．
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f(x)＝4－x2x，f(－x)＝－4－x2x
∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)．
例2解題導(dǎo)引本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式．解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”．
在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反．
解∵y＝f(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
且由f(1)＝0得f(－1)＝0.
若f[x(x－12)]0＝f(1)，
則xx－120xx－121即0x(x－12)1，
解得12x1＋174或1－174x0.
若f[x(x－12)]0＝f(－1)，則xx－120xx－12－1
由x(x－12)－1，解得x∈.
∴原不等式的解集是
{x|12x1＋174或1－174x0}．
變式遷移2(－2，23)
解析易知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，故f(mx－2)＋f(x)0，等價(jià)于f(mx－2)－f(x)＝f(－x)，此時(shí)應(yīng)用mx－2－x，即mx＋x－20對(duì)所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，
此時(shí)，只需h－20h20即可，解得x∈(－2，23)．
例3解題導(dǎo)引解決此類抽象函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的一部分簡(jiǎn)圖，使抽象問(wèn)題變得直觀、形象，有利于問(wèn)題的解決．
－8
解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)＝m(m0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1x2x3x4.由對(duì)稱性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
變式遷移3B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．
∴x＝1為函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸．
又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]
＝f(－x)＝f(x)，
∴2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期．
根據(jù)已知條件畫(huà)出函數(shù)簡(jiǎn)圖的一部分，如右圖：
由圖象可以看出，在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)．]
課后練習(xí)區(qū)
1．B[依題意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，
∴a＋b＝13.]
2．D
[由已知條件，可得函數(shù)f(x)的圖象大致為右圖，故fxx0的解集為(－3,0)∪(3，＋∞)．]
3．D[由f(x＋2)＝－1fx，
得f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，則f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2時(shí)，f(x)＝x－2，
∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]
4．D[因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在x＝0有定義，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.
∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，
從而f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．A[由y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，得到y(tǒng)＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，
∴f(3)f(2)，即f(－1)f(2)．]
6．1
解析∵f(x)是奇函數(shù)，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.
7．－1m23
解析∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．
∵f(x)為奇函數(shù)，且f(1)1，
∴f(－1)＝－f(1)－1，∴2m－3m＋1－1.
解得：－1m23.
8．2
解析由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，
又g(x)為R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，
∴f(－x－1)＝－f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(－x－1)，
用x＋1替換x，得f(x)＝－f(－x－2)．
又f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(x)＝－f(x＋2)．
∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期為4.
∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.
9．解由題意，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋3，
∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3(3≤x≤6)．…………………………………………………………(3分)
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0.
∴一次函數(shù)圖象過(guò)(0,0)，(3，－1)兩點(diǎn)．
∴f(x)＝－13x(0≤x≤3)．…………………………………………………………………(6分)
當(dāng)－3≤x≤0時(shí)，－x∈[0,3]，
∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.
∴f(x)＝－13x(－3≤x≤3)．………………………………………………………………(9分)
當(dāng)－6≤x≤－3時(shí)，3≤－x≤6，
∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x＋5)2－3.
∴f(x)＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3x3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.
10．解(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．………………………………………………………(2分)
(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝x－12－2，x≥0，x＋12－2，x0.
根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如下圖．
……………………………………(6分)
(3)由(2)中函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f(x)在區(qū)間[－3，－1]和[0,1]上為減函數(shù)，在[－1,0]，[1,3]上為增函數(shù)．……………(8分)
(4)當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x－1)2－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2；
當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2；
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－2,2]．……………………………………………………………(12分)
11．解(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù)．…………………………………………………………………………(2分)
當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝x2＋ax(x≠0，常數(shù)a∈R)，
若x＝±1時(shí)，則f(－1)＋f(1)＝2≠0；
∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)
∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．……………………………………………(6分)
綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)．………………………………………………………(7分)
(2)設(shè)2≤x1x2，
f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2
＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，………………………………………………………………(10分)
要使f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)，必須使f(x1)－f(x2)0恒成立．
∵x1－x20，x1x24，即ax1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)
又∵x1＋x24，∴x1x2(x1＋x2)16，
∴a的取值范圍為(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)