小學(xué)健康的教案

遞推關(guān)系的求解。

遞推關(guān)系的求解
一基本概念
定義：確定的數(shù)列稱為遞推數(shù)列。（為其的階）
二基本解法
（1）
（2）
（3）
常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系
將（2）稱為（1）的特征方程
若是（2）的重根，則（1）的個(gè)特解分別為個(gè)特解的線性組合就是（1）的通解。
設(shè)找到，使
令可得.從而為的根。
結(jié)論：，若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則，這里。若只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則，這里
三常用思想：
1．不動(dòng)點(diǎn)，特征根
2．無(wú)理化有理（取對(duì)數(shù)，化新數(shù)列）
3．多元化少元
4．高次化低次
5．高階降低階
6．非線性化線性
7．非齊次化齊次
8．猜想試解

P103例6在正項(xiàng)數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。
解對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得
即
這說(shuō)明數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則有
故
P104例8設(shè)數(shù)列滿足且
求證：是完全平方數(shù)。
證由式可得并代入式，得
兩式相減
由方程，得
那么
通解為
由,代入上式解出，得
因?yàn)闉檎紨?shù)，所以，是完全平方數(shù).
P106例9數(shù)列中，.
解構(gòu)建數(shù)列.
故
化簡(jiǎn)得
所以
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1/2為公比的等比數(shù)列.
所以

P107例10已知滿足，且，求.
解:是二階線性非齊次遞推數(shù)列，先設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為一階遞推關(guān)系，故條件變形為：
可見(jiàn)是常數(shù)列，逐次遞推得
即

P107例11設(shè)滿足，求.
解：，解方程,得
于是由定理10得，
則：
由已知可得，解得

P108例12已知滿足，，且，求.
解：，故
兩式相減得
即
則，
根據(jù)特征方程求解
.
P108例13設(shè)正數(shù)列滿足,求.
解：把遞推關(guān)系改寫(xiě)為①
令，則①為②
對(duì)②兩邊取對(duì)數(shù)，得③
令，則③為
利用不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)有即
故其中，
即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知為常數(shù)數(shù)列，逆推上去，得，則，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知.
P109例14數(shù)列定義為：，求證：對(duì)任意的自然數(shù)，，表示不超過(guò)的最大整數(shù)。
證明：遞推關(guān)系較為復(fù)雜，結(jié)論又未給出的表達(dá)式，不妨通過(guò)歸納法探索的表達(dá)式：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
……………
由此可以猜想：.①
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這一猜想，再證可被3整除。可令
當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)和時(shí)①式成立，則
時(shí)，由的遞推關(guān)系及
可證：，
又由，故為正整數(shù)，
為內(nèi)的純小數(shù)。
所以成立。
P110例15設(shè)滿足，且，求.
解：令，則
令且
所以利用不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，有
所以①，又，令，則，所以
把上述代入①可得，即，，故.

延伸閱讀

遞推數(shù)列中的通項(xiàng)公式

課時(shí)25遞推數(shù)列中的通項(xiàng)公式
【教學(xué)目標(biāo)】1．掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，并能由數(shù)列前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)公
式；能解決簡(jiǎn)單的由遞推關(guān)系給出的數(shù)列；
2．掌握一些常見(jiàn)數(shù)列綜合問(wèn)題的求解方法；
【知識(shí)點(diǎn)】
1、和的關(guān)系
⑴；⑵。
2、由遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式

【典型例題】
【例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足，求an

【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【例3】⑴若數(shù)列滿足，，求。
⑵已知，（）求an
(3)已知數(shù)列中，，，求。

【例4】(1)在數(shù)列中，，，求。
(2)數(shù)列中，，求。
(3)已知，，且，求an

【例5】(1)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且，求。(2)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且,求an

【例7】（1）已知數(shù)列{an}中，，求an
（2）已知數(shù)列{an}中，，求an
(3)已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求

【例8】數(shù)列{an}前n項(xiàng)和是Sn，且，(n=1，2，3，…，
求：(1)a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)的值。

例9．?dāng)?shù)列中，，前項(xiàng)和為，且，，求。

【作業(yè)】
1、如果數(shù)列的前n項(xiàng)和，an=_________
2、數(shù)列{an}滿足：，則an=_________
3、已知a1=－,(n∈N*,n≥2),則an=_________
4、數(shù)列中，，則________
5、數(shù)列{an}中，a1=1,a2=,且n≥2時(shí)，有=,則=
6、數(shù)列滿足：，則=
7、數(shù)列中，，，則=

8、已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為

9、等差數(shù)列中，，則________
10、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，求證：（1）數(shù)列是G.P；（2）。

11、數(shù)列中
（1）求數(shù)列前n項(xiàng)的和（2）設(shè)Sn=，求Sn

12、設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和是Sn=2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1=b1，b2(a2－a1)=b1（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n。

【典型錯(cuò)誤及原因分析】

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：軌跡方程的求解

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：軌跡方程的求解

符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者說(shuō)，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡．

軌跡，包含兩個(gè)方面的問(wèn)題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）．

【軌跡方程】就是與幾何軌跡對(duì)應(yīng)的代數(shù)描述。

一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟

⒈建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⒉寫(xiě)出點(diǎn)M的集合；

⒊列出方程=0；

⒋化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式；

⒌檢驗(yàn)。

二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

⒊相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。

⒋參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

⒌交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

*直譯法：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟

①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；

②設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x，y）；

③列式——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式；

④代換——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡(jiǎn)；

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。

垂直關(guān)系的性質(zhì)

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。寫(xiě)好一份優(yōu)質(zhì)的高中教案要怎么做呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《垂直關(guān)系的性質(zhì)》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

1.6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.理解并掌握直線與平面，平面與平面垂直及其與直線與直線垂直的關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用。
2.通過(guò)定理及性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)解決有關(guān)垂直問(wèn)題。
二．重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)：垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)的應(yīng)用。
難點(diǎn)：線面垂直在線線垂直與面面垂直關(guān)系間的轉(zhuǎn)化。
三．知識(shí)鏈接

四．知識(shí)應(yīng)用
例1.已知直線a//直線b，a平面，求證：b(A級(jí))

例2.如圖所示，P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面ABC于H，求證：H是ABC的垂心。（B級(jí)）

四自測(cè)達(dá)標(biāo)
1.如圖，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是（A級(jí)）（）
A．平行B.垂直相交C.異面D.相交但不垂直
2.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有（A級(jí)）（）
A．0個(gè)B.1個(gè)C.無(wú)數(shù)個(gè)D.1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)
3．已知ABC，直線mAC，mBC，則mAB(填“”或“不垂直”)（B級(jí)）

4.如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是菱形，SA底面ABCD，E是SC上一點(diǎn)。
求證：平面EBD平面SAC（B級(jí)）

5.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，平面PAC平面PBC。
求證：BC平面PAC（C級(jí)）

高二數(shù)學(xué)《圓錐曲線最值問(wèn)題的求解》集體備課

高二數(shù)學(xué)《圓錐曲線最值問(wèn)題的求解》集體備課

一、定義法（最短路徑）
對(duì)于求距離和的問(wèn)題，要結(jié)合圓錐曲線自身的特點(diǎn)，巧妙地利用定義，解決距離的最值.
例1：已知拋物線，定點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上求一點(diǎn)P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用拋物線的定義把到點(diǎn)p到拋物線準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，在利用三角形的知識(shí)求最小值.由點(diǎn)A引準(zhǔn)線的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值。
O
F(1,0)x
A(3,1)
y
QP
解：如圖，,焦點(diǎn)F(1,0)。由點(diǎn)A引準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值..
由,得為所求點(diǎn).
若另取一點(diǎn)，顯然。
[點(diǎn)悟]：解此類最值問(wèn)題時(shí)，首先注意圓錐曲線定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，其次是平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間的線段最短，三角形中的三邊之間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線的中垂線段最短等.
二、參數(shù)法
利用橢圓、雙曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，或利用直線、拋物線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解。
例2、已知橢圓，直線l：,橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)p,求p到直到直線的最小距離.
分析：寫(xiě)出橢圓參數(shù)方程，設(shè)切點(diǎn)為，然后代入點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值判斷距離的最值.
解：由題意可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)P到直線l的距離為
[點(diǎn)悟]利用圓錐曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的有界性得出結(jié)果。
三、二次函數(shù)法
將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解.
分析：求出橢圓的焦點(diǎn)，代入所求的表達(dá)式中，整理得出函數(shù)的表達(dá)式，再利用函數(shù)方法求解。
解：易知，所以設(shè)
因?yàn)?，所以x=0,即點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2.
當(dāng)
[點(diǎn)悟]把所求的最值表示為函數(shù)，再尋求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，但要注意函數(shù)的定義域。
四、數(shù)形結(jié)合
在求圓錐曲線最值問(wèn)題中，如果用代數(shù)方法求解比較復(fù)雜，可考慮用幾何知識(shí)求解，，利用平面幾何知識(shí)求解，蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合的思想。
例4：若實(shí)數(shù).
分析：看似是函數(shù)求最值，如果做起來(lái)實(shí)在是不容易，如果考慮到x,y的幾何意義，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單的多了
解
則，
即表示中心在
頂點(diǎn)坐標(biāo)
的最大值
即是求表示橢圓上的點(diǎn)到C（-1，0）的距離的平方的最大值減1
所以
[點(diǎn)悟]：在解決求值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先從幾何直觀圖形出發(fā)，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)洞察最值出現(xiàn)的位置，再?gòu)拇鷶?shù)運(yùn)算入手，最終求的最值.
五、不等式法
列出最值關(guān)系式，利用均值不等式“等號(hào)成立”的條件求解。
例5拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積
分析直線與圓錐曲線相交，一個(gè)重要的問(wèn)題就是有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題本例主要涉及弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算.
解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①
∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，
∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4
點(diǎn)A到直線l的距離為d=
∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128
∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào)
故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8