高中向量的教案
發(fā)表時間：2020-10-31空間向量的坐標表示學案練習題。
§3.1.4空間向量的坐標表示
一、知識要點
1.用坐標表示空間向量；
2.空間向量的坐標運算；
3.根據(jù)向量的坐標判斷兩個空間向量平行。
二、典型例題
例1.已知，求。
例2.已知，試求實數(shù)的值，使。
例3.已知空間四點和，
求證：四邊形是梯形。
三、鞏固練習
1.設(shè)，則=，=，；
2.已知點在同一直線上，則=，=。
四、小結(jié)
五、作業(yè)
1.若為一個單位正交基底，試寫出下列向量的坐標：
⑴；⑵；⑶。
2.已知，則向量=，=。
3.已知，為線段上一點，且滿足，則點的坐標為；
4.若，則重心坐標為；
5.已知，若三向量共面，則=；
6.與向量共線的單位向量=；
7.設(shè)，且，求實數(shù)的值。
8.已知中，，求其余頂點與向量。
9.已知正方體的棱長為2，分別為的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系。
⑴寫出的坐標；⑵證明四點共面。
訂正欄：
精選閱讀
§3.1.5空間向量運算的坐標表示
作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，教師要準備好教案，這是每個教師都不可缺少的。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，幫助教師能夠更輕松的上課教學。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是由小編為大家整理的“§3.1.5空間向量運算的坐標表示”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。
§3.1.5空間向量運算的坐標表示
【學情分析】：
平面向量有座標表示，空間向量也有座標表示，在上一節(jié)中，單位正交分解就能夠完成向量坐標向空間直角坐標系坐標的轉(zhuǎn)化?，F(xiàn)在，通過本節(jié)的學習，我們可以將向量的地定性公式定量化，在解題特別是在解決立體幾何問題的過程中，可以大大簡化問題的難度。
【教學目標】：
（1）知識與技能：能用坐標表示空間向量
（2）過程與方法：由平面坐標運算類別空間坐標運算，掌握空間向量的坐標運算
（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學習，注重類比，運用向量的運算解決問題，培養(yǎng)學生的開拓能力。
【教學重點】：
空間向量的坐標運算
【教學難點】：
空間向量的坐標運算
【教學過程設(shè)計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設(shè)計意圖
一．溫故知新平面向量的坐標運算
二．新課講授1．空間向量的直角坐標運算律
（1）若，，則，
，
，
（2）若，，則．
一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。注重類比學習，舉一反三，在平面向量中有坐標運算，空間向量中也有，運
2．數(shù)量積：即=
3．夾角：．
4．模長公式：若，
則．
5．平行與垂直：
6．距離公式：若，，
則，
或．
算規(guī)律和結(jié)論的本質(zhì)是一樣的。
三．典例例1．如圖，在正方體中，，分別是，的一個四等分點，求與所成的角的余弦值。
解：不妨設(shè)正方體的棱長為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標系，
則，，，
所以，
，，
將空間向量的運算與向量的坐標表示結(jié)合起來，不僅可以解決夾角和距離的計算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡單。
講練所以，
因此，與所成角的余弦值是
例2．如圖，正方體中，，分別是，的中點，求證：
證明：不妨設(shè)正方體的棱長為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標系，
則，所以，又，，所以，
所以，
因此，即
四．練習鞏固課本P97練習1，2，3
五．拓展與提高1．如圖在正方體AC1中，M、N分別是AA1、BB1的中點，求直線CM與D1N所成的角。
學習注意觸類旁通，舉一反三，引進向量的坐標運算式把定性的向量定量化的有效辦法。這樣可以把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問
2．已知三角形的頂點A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），這個三角形的面積是（）
A.B.C.2D.
題。
六．小結(jié)1．空間向量的直角坐標運算律
2．數(shù)量積與夾角
3．模長與距離
4．平行于垂直
七．作業(yè)課本P98習題3.1，A組第8、9、11題
練習與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知向量的夾角為（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2
（中等題）
3.已知，，求：
（1）線段的中點坐標和長度；
（2）到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件
解：（1）設(shè)是線段的中點，則．
∴的中點坐標是，
．
（2）∵點到兩點的距離相等，
則,
化簡得：,
所以，到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件是．
點評：到兩點的距離相等的點構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面，若將點的坐標滿足的條件的系數(shù)構(gòu)成一個向量，發(fā)現(xiàn)與共線。
4,已知三角形的頂點是，，，試求這個三角形的面積。
分析：可用公式來求面積
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，則向量與的夾角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，則的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，則的取值范圍是（）
A.B.C.D.
§3.1.4空間向量的正交分解及坐標表示
§3.1.4空間向量的正交分解及坐標表示
【學情分析】：
本小節(jié)首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理這種推廣對學生學習已無困難但仍要一步步地進行，學生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴大到空間這樣做，一方面復習了平面向量、學習了空間向量，另一方面可加深學生的空間觀念讓學生從二維到三維發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學生的探索創(chuàng)新能力。
【教學目標】：
（1）知識與技能：掌握空間向量基本定理，會判斷空間向量共面
（2）過程與方法：正交分解推導入手，掌握空間向量基本定理
（3）情感態(tài)度與價值觀：認識將空間向量的正交分解，能夠?qū)⒖臻g向量在某組基上進行分解
【教學重點】：
空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用
【教學難點】：
空間向量的分解
【教學過程設(shè)計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設(shè)計意圖
一．溫故知新回顧平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此為基礎(chǔ)，推導空間向量的正交分解和基本定理
二．新課講授1．空間向量的正交分解
設(shè)，，是空間的三個兩兩垂直的向量，且有公共起點O。對于空間任意一個向量，設(shè)Q為點P在，所確定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所確定的平面上，存在實數(shù)z，使得
而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對，使得
從而
以平面向量的基本定理為基礎(chǔ)，層層遞進，得到空間向量的正交分解形式。
由此可知，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{}，使得，稱，，為向量在，，上的分向量。
2．空間向量的基本定理
如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使
由此定理，若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個基底，叫做基向量。
空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底
如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使記
推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使
注意介紹單位正交基、正交基、基的特殊與一般的關(guān)系，以幫助學生理解概念。
三．典例講練例1．如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量
解：
∴
向量的分解過程中注意向量的運算的正確使用。
四．練習鞏固1、如圖，在正方體中，，點E是AB與OD的交點,M是OD/與CE的交點，試分別用向量表示和
解：
課本P94練習1、2、3
五．拓展與提高1．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個點，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個向量（）
A．互不相等B．至多有兩個相等C．至少有兩個相等D．有且只有兩個相等
2．若a、b、c是空間的一個基底，下列各組
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
充分認識基底的特征，即線性無關(guān)的三個向量就可以構(gòu)成空間的一個基底。
六．小結(jié)1．正交分解的推導和空間向量基本定理
2．如何將向量用坐標表示
3．任意空間向量在某組基底下的分解
七．作業(yè)課本P97習題3.1第6題
練習與測試：
（基礎(chǔ)題）
1如圖，在正方體中，，點E是AB與OD的交點,M是OD/與CE的交點，試分別用向量表示和
解：
2．設(shè)向量是空間一個基底，則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個基底的向量是（）
A．B．C．D．
3．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個點，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個向量（）
A．互不相等B．至多有兩個相等C．至少有兩個相等D．有且只有兩個相等
4．若a、b、c是空間的一個基底，下列各組
①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
5．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，則△BCD是()
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定
6．已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點，若＝，
則x＋y＋z＝．
7．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，
G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，
以｛，，｝為基底，則＝．
（中等題）
8．已知四面體中，兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（）
(1).(2).
(3).(4).
不一定成立的是.
9,已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。
空間向量的坐標運算
古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《空間向量的坐標運算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間向量的坐標運算高考要求
要使學生理解空間向量、空間點的坐標的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點乘的坐標表示以及兩點間的距離、夾角公式通過解題，會應(yīng)用空間向量的坐標運算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題
知識點歸納
1空間直角坐標系：
（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；
（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；
2．空間直角坐標系中的坐標：
在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．
3．空間向量的直角坐標運算律：
（1）若，，
則，
，
，
，，
．
（2）若，，則．
一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標
4模長公式：若，，
則，．
5．夾角公式：．
6．兩點間的距離公式：若，，
則，
或
題型講解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設(shè)面ABC的法向量，
則⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），單位法向量=±（，－，）
點評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標設(shè)為1，再求另兩個坐標平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點坐標和長度；
（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條件
解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點，
則=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴點P的坐標是（2，1，），
dAB==
（2）設(shè)點P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則=
化簡得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標就是方程中x,y,z的系數(shù)），即為P的坐標應(yīng)滿足的條件
點評：空間兩點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點為（，，），且|P1P2|=
例3棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點建立如圖所示的坐標系，
設(shè)存在點P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即點P與D1重合
∴點P與D1重合時，DB1⊥面PAC
例4在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，則有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，連結(jié)SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即為所求
點評：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當?shù)淖鴺讼担唤夥ǘm然避免了建系，但要選點、平移、作輔助線、解三角形
例5如圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點
（1）求的長；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，取正方體棱長為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點評：①通過建立空間直角坐標系，點用三維坐標表示，向量用坐標表示，進行向量的運算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線一個需要經(jīng)過嚴密推理論證的問題就這樣被簡單機械的運算代替了
②本題是高考題，標準答案的解法較為復雜，而運用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復習的一個重點去掌握通過坐標法計算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點
例7如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側(cè)棱長為a
建立適當?shù)淖鴺讼?，⑴寫出A，B，A1，B1的坐標；⑵求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當?shù)淖鴺讼怠?，一般?yīng)使盡量多的點在數(shù)軸上或便于計算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐標系中，取A1B1的中點M，
于是M（0，），連結(jié)AM，MC1
則有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一個法向量
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：
=
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°
例8棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點，（1）求EF長度；（2）求；3）求點A到EF的距離
分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點有關(guān)的問題，建立空間直角坐標系比較方便，適當建立坐標系后，正確地寫出相關(guān)點的坐標及向量然后進行運算即可得解
解：以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的數(shù)量cos==
A到EF的距離=
點評：點到直線的距離的向量求法，就是先求出該點與直線上某點連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應(yīng)的距離
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如圖，以A為原點建立直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
（1）證明：，
，
設(shè)平面AGC的法向量為，
設(shè)平面BGC的法向量為，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
設(shè)平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設(shè)平面BGC的方程為：
則∴平面BGC的法向量為
點評：①平面平行于哪一個軸，其法向量的對應(yīng)坐標就是0；
②平面經(jīng)過原點時平面方程中的常數(shù)項等于0；
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結(jié)：
1運用空間向量的坐標運算解決幾何問題時，首先要恰當建立空間直角坐標系，計算出相關(guān)點的坐標，進而寫出向量的坐標，再結(jié)合公式進行論證、計算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論
2本節(jié)知識是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運算分為向量法與坐標法兩類，以通過向量運算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點利用兩個向量（非零）垂直數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運用共面向量定理可證點共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點面距、線面角、異面直線的距離等
學生練習
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果與為共線向量，則
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）與=（1，－2y，9）共線，故有==
∴x=，y=－應(yīng)選C答案：C
2在空間直角坐標系中，已知點P（x，y，z），下列敘述中正確的個數(shù)是①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標是P1（x，－y，z）②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標是P2（x，－y，－z）③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標是P3（x，－y，z）④點P關(guān)于原點對稱的點的坐標是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P關(guān)于x軸的對稱點為P1（x，－y，－z），關(guān)于yOz平面的對稱點為P2（－x，y，z），關(guān)于y軸的對稱點為P3（－x，y，－z）故①②③錯誤答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋與2－互相垂直，則k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐標系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空間三點A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則與的夾角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則||的值是__________
解析：設(shè)點P（x，y，z），則由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則||==答案：
8設(shè)點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根據(jù)共面向量定理，設(shè)=x+y（x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點確定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立坐標系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當B1Q⊥D1P時，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）設(shè)BP=t，則CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的頂點是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）試求這個三角形的面積
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S=||||
=||||=
在本題中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11證明正三棱柱的兩個側(cè)面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點O為原點，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因為異面對角線OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
12如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E為AB的中點，F(xiàn)為PD的中點，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
則cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點，
∴E（a，－，0），F(xiàn)（0，，a）
則||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結(jié)PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1則∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小為45°
課前后備注
空間角的計算學案練習題
俗話說，磨刀不誤砍柴工。高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓上課時的教學氛圍非?；钴S，幫助高中教師提前熟悉所教學的內(nèi)容。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“空間角的計算學案練習題”，但愿對您的學習工作帶來幫助。
§空間角的計算(一)
一、知識要點
1.用向量方法解決線線所成角；
2.用向量方法解決線面所成角。
二、典型例題
例1.如圖，在正方體中，點分別在，上，且，，求與所成角的余弦值。
例2.在正方體中，是的中點，點在上，且，求直線與平面所成角余弦值的大小。
三、鞏固練習
1.設(shè)分別是兩條異面直線的方向向量，且，則異面直線與所成角大小為；
2.在正方體，與平面所成角的大小為，與平面所成角大小為，與平面所成角的大小為；
3.平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影得夾角45°，平面內(nèi)一條直線和這條斜線在平面內(nèi)的射影夾角為45°，則斜線與平面內(nèi)這條直線所成角為；
四、小結(jié)
五、作業(yè)
1.平面的一條斜線和這個平面所成角的范圍為，兩條異面直線所成角的范圍為；
2.已知為兩條異面直線，，分別是它們的方向向量，則與所成角為；
3.已知向量是直線的方向向量是平面的法向量，則直線與平面所成角為；
4.正方體中，O為側(cè)面的中心，則與平面所成角的正弦值為；
5.長方體中，，點是線段的中點，則與平面所成角為；
6.已知平面相交于，，則直線與平面所成角的余弦值為；
7.如圖，內(nèi)接于的直徑，為的直徑，且，為中點，求異面直線與所成角的余弦值。
8.如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為。
求與側(cè)面所成角大小。
