高中向量的教案
發(fā)表時間：2020-10-31空間向量的坐標(biāo)運算。
古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《空間向量的坐標(biāo)運算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間向量的坐標(biāo)運算高考要求
要使學(xué)生理解空間向量、空間點的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點乘的坐標(biāo)表示以及兩點間的距離、夾角公式通過解題，會應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題
知識點歸納
1空間直角坐標(biāo)系：
（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；
（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點叫原點，向量都叫坐標(biāo)向量．通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；
2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：
在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．
3．空間向量的直角坐標(biāo)運算律：
（1）若，，
則，
，
，
，，
．
（2）若，，則．
一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)
4模長公式：若，，
則，．
5．夾角公式：．
6．兩點間的距離公式：若，，
則，
或
題型講解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設(shè)面ABC的法向量，
則⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），單位法向量=±（，－，）
點評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點坐標(biāo)和長度；
（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標(biāo)滿足的條件
解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點，
則=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴點P的坐標(biāo)是（2，1，），
dAB==
（2）設(shè)點P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則=
化簡得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標(biāo)就是方程中x,y,z的系數(shù)），即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件
點評：空間兩點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點為（，，），且|P1P2|=
例3棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)存在點P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即點P與D1重合
∴點P與D1重合時，DB1⊥面PAC
例4在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，連結(jié)SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即為所求
點評：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點、平移、作輔助線、解三角形
例5如圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點
（1）求的長；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點評：①通過建立空間直角坐標(biāo)系，點用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進行向量的運算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線一個需要經(jīng)過嚴密推理論證的問題就這樣被簡單機械的運算代替了
②本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個重點去掌握通過坐標(biāo)法計算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點
例7如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側(cè)棱長為a
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，⑴寫出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；⑵求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點在數(shù)軸上或便于計算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點M，
于是M（0，），連結(jié)AM，MC1
則有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一個法向量
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：
=
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°
例8棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點，（1）求EF長度；（2）求；3）求點A到EF的距離
分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點有關(guān)的問題，建立空間直角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫出相關(guān)點的坐標(biāo)及向量然后進行運算即可得解
解：以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的數(shù)量cos==
A到EF的距離=
點評：點到直線的距離的向量求法，就是先求出該點與直線上某點連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應(yīng)的距離
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如圖，以A為原點建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
（1）證明：，
，
設(shè)平面AGC的法向量為，
設(shè)平面BGC的法向量為，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
設(shè)平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設(shè)平面BGC的方程為：
則∴平面BGC的法向量為
點評：①平面平行于哪一個軸，其法向量的對應(yīng)坐標(biāo)就是0；
②平面經(jīng)過原點時平面方程中的常數(shù)項等于0；
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結(jié)：
1運用空間向量的坐標(biāo)運算解決幾何問題時，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計算出相關(guān)點的坐標(biāo)，進而寫出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進行論證、計算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論
2本節(jié)知識是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運算分為向量法與坐標(biāo)法兩類，以通過向量運算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點利用兩個向量（非零）垂直數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運用共面向量定理可證點共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點面距、線面角、異面直線的距離等
學(xué)生練習(xí)
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果與為共線向量，則
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）與=（1，－2y，9）共線，故有==
∴x=，y=－應(yīng)選C答案：C
2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P（x，y，z），下列敘述中正確的個數(shù)是①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)是P1（x，－y，z）②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo)是P2（x，－y，－z）③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是P3（x，－y，z）④點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P關(guān)于x軸的對稱點為P1（x，－y，－z），關(guān)于yOz平面的對稱點為P2（－x，y，z），關(guān)于y軸的對稱點為P3（－x，y，－z）故①②③錯誤答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋與2－互相垂直，則k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐標(biāo)系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空間三點A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則與的夾角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則||的值是__________
解析：設(shè)點P（x，y，z），則由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則||==答案：
8設(shè)點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根據(jù)共面向量定理，設(shè)=x+y（x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點確定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立坐標(biāo)系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當(dāng)B1Q⊥D1P時，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）設(shè)BP=t，則CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的頂點是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）試求這個三角形的面積
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S=||||
=||||=
在本題中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11證明正三棱柱的兩個側(cè)面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點O為原點，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因為異面對角線OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
12如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E為AB的中點，F(xiàn)為PD的中點，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
則cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點，
∴E（a，－，0），F(xiàn)（0，，a）
則||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結(jié)PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1則∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小為45°
課前后備注
擴展閱讀
向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運算
課時7向量平行的坐標(biāo)表示（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
鞏固平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平行向量的坐標(biāo)表示，并且能用它解決向量平行（共線）的有關(guān)問題。
【知識掃描】
1．共線向量的條件是有且只有一個實數(shù)λ使得=λ.()
2．設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)其中,則∥()x1y2-x2y1=0
注：（1）該條件不能寫成∵x1,x2有可能為0
（2）向量共線的條件有兩種形式：∥()
歸納:向量平行的坐標(biāo)表示要注意正反兩方面，
即若則
【例題選講】
例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.
例2．已知點A（1，1），B（-1，5）及，，求點C、D、E的坐標(biāo)，判斷向量是否共線。
例3．已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，
求證：
例4．已知四點A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。(1)求實數(shù)x,使兩向量，共線；（2）當(dāng)向量，共線時，A、B、C、D四點是否在同一直線上？
例5．設(shè)向量=（k,12），=(4,5),=(10,k),當(dāng)k為何值時，A、B、C三點共線。
例6．已知=2，=（-1，），且∥，求向量。
【課內(nèi)練習(xí)】課本P75練習(xí)1-3
1．三點A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共線的條件為
2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三點共線，則C點坐標(biāo)是
3．向量=（3，7），=（-3，），（），若∥，則x等于
4．已知=（1，2），=（x，1）,且(+2)∥(2-),則x的值為
【課后作業(yè)】
1．以下各向量中，與向量=（-5，4）平行的向量是
A（5k,4k）B()C(-10,2)D(-5k,-4k)
2．與=（15，8）平行的所有單位向量是
3．已知=（3，4），=（sinx，cosx）,且∥，則tanx=
4．已知=（-2，1-cos），=（1+cos，-），且，則銳角=
5．下列各組向量相互平行的是
A=（-1，2），=（3，5）B=（1，2），=（2，1）
C=（2，-1），=（3，4）D=（-2，1），=（4，-2）
6．已知=（2，3），=（-1，2）若k-與-k平行，求k的值。
7．已知向量=（6，1），=（x，y）=（-2，-3），當(dāng)向量∥時，求實數(shù)x,y應(yīng)滿足的關(guān)系式。
8．已知=（x，2），=（3,-1）是否存在實數(shù)x,使向量-2與2+平行？若存在，求出x;若不存在，說明理由。
9．已知三個向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1），回答下列問題：
（1）求3+-2；（2）求滿足=m+n的實數(shù)m和n；
（3）若(+k)//(2-)，求實數(shù)k的值；
（4）設(shè)=（x,y）,滿足且=1，求
10、已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（－２，１）、（－１，３）、（３，４），求頂點D的坐標(biāo).
11、平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且知＝（３，７），＝（－２，１），求坐標(biāo).
問題統(tǒng)計與分析
空間向量及其運算
空間向量及其運算
●考試目標(biāo)主詞填空
1.空間向量基本定理及應(yīng)用
空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使p=xa+yb+zc.
2.向量的直角坐標(biāo)運算：
設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
則a+b=.
a-b=.
ab=.
若a、b為兩非零向量，則a⊥bab=0=0.
?
●題型示例點津歸納
【例1】已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分別是OA，BC的中點，G是
MN的中點.
求證：OG⊥BC.
【解前點津】要證OG⊥BC，只須證明即可.
而要證,必須把、用一組已知的空間基向量來表示.又已知條件為∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可選為已知的基向量.
【規(guī)范解答】連ON由線段中點公式得：
又,
所以)
=().
因為.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
【解后歸納】本題考查應(yīng)用平面向量、空間向量和平面幾何知識證線線垂直的能力.
【例2】在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.
【解前點津】利用，求出向量與的夾角〈,〉，再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.
【規(guī)范解答】因為,
所以
=
因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，例2圖
所以=0,
=-a2.
所以=-a2.
又
所以〈〉=120°.
所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．
【解后歸納】求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須會把所求向量用空間的一組基向量來表示.
【例3】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
別是BB1、DC的中點.
(1)求AE與D1F所成的角；
(2)證明AE⊥平面A1D1F.
【解前點津】設(shè)已知正方體的棱長為1，且=e1，
=e2，=e3，以e1，e2,e3為坐標(biāo)向量，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,
則：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(xiàn)(0，，0)，D1(0，0，1)，
所以=(0,1,),=(0,,-1).
所以=(0,1),(0,,-1)=0.
所以⊥，即AE與D1F所成的角為90°．
(2)又=(1,0,0)=，
且=(1,0,0)(0,1,)=0.
所以AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后歸納】本題考查應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.
【例4】證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點且互相平分(此點稱為四面體的重心).
【規(guī)范解答】∵E,G分別為AB,AC的中點,
∴EG,同理HF，∴EGHF.
從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,
GH相交于一點O,且O為它們的中點,連接OP,OQ.
只要能證明向量=-就可以說明P,O,Q三點共線且O
為PQ的中點,事實上,,而O為GH的中點,例4圖
∴CD,QHCD,
∴
∴==0.
∴=,∴PQ經(jīng)過O點,且O為PQ的中點.
【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點O,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點,然后證明兩向量共線,從而說明P、O、Q三點共線進而說明PQ直線過O點.
●對應(yīng)訓(xùn)練分階提升
一、基礎(chǔ)夯實
1.在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是()
A.B.
C.D.
2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是()
A.B.
C.D.
3.若向量｛a，b，c｝是空間的一個基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以與m、n構(gòu)成空間另一個基底的向量是()?
A.aB.b?C.cD.2a?
4.a、b是非零向量，則〈a，b〉的范圍是()?
A.(0，)B.［0，］?C.(0，π)?D.［0，π］?
5.若a與b是垂直的，則ab的值是()?
A.大于0B.等于零??C.小于0D.不能確定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b()
A.相交B.垂直?C.平行?D.以上都不對
7.A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長度是()?
?A.1?B.2?C.3?D.4
8.m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，則a+b的值為()
?A.0?B.C.D.8
9.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為()?
?A.0?B.6?C.-6?D.±6
10.A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝，b＝，則a+b對應(yīng)的點為()
?A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)?C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)
11.a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為()
?A.arccos?B.?C.D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則是a與b同向或反向的()
?A.充分不必要條件B.必要非充分條件?
?C.充要條件D.不充分不必要條件
二、思維激活
13.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4.則ab+bc+ca=.?
14.已知|a|＝2，|b|＝，ab＝-，則a、b所夾的角為.
15.已知空間三點A、B、C坐標(biāo)分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，則P點坐標(biāo)為.
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為.
三、能力提高
17.已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且與α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.
18.長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點，若AB＝BC＝2，AA1＝4，試用向量法求：
(1)的夾角的大小.
(2)直線A1E與FC所夾角的大小.
19.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DC的中點，求證：D1F⊥平面ADE.
20.如圖所示,已知ABCD,O是平面AC外的一點,,求證:A1,B1,C1,D1四點共面.
空間向量及其運算習(xí)題解答
1.C由向量共線定義知.?
2.C設(shè)此向量為(x,y),∴，?∴
3.C
4.D根據(jù)兩向量所成的角的定義知選D.
5.B當(dāng)a⊥b時，ab=0(cos〈a,b〉=0)?
6.Ca=(1,2,-2)=-b∴a∥b.
7.C|AB|==3.?
8.C∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k=故a=,b=8,∴a+b=+8=
9.B∵a⊥b∴1m+52-2(m+2)=0.∴m=6.
10.B=(-1,0,-2),=(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.Ccos(ab)==-.
12.A?若，則a與b同向或反向，反之不成立.
13.-13∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13.
14.?cos〈a,b〉=.∴a,b所夾的角為.
15.(-8,6,0)由向量的數(shù)量的積求得.
16.9S=|a||b|sin〈a,b〉求得.
17.如圖，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
過D作DD′⊥α，D′為垂足，則∠DBD′＝30°，
〈〉＝１２０°，
∴|CD|2=
＝
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
點評：本題把線段轉(zhuǎn)化成向量表示，然后利用向量進行運算.
18.如圖，建立空間坐標(biāo)系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由題設(shè)可知E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，4).
(1)令的夾角為θ，?
則cosθ＝.
∴的夾角為π-arccos.
(2)∴直線A1E與FC的夾角為arccos
19.如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長為1，且設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k，
以i、j、k的坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，
則＝（－１，0，０），＝(0,,-1)，?
＝(-1，0，0)(0，，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又＝(0，1，)，＝(0，，-1)，
∴＝(0，1，)(0，，-1)＝-＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A，∴D1F⊥平面ADE.
點評：利用向量法解決立體幾何問題，首先必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
20.證明：∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四點共面.
平面向量的坐標(biāo)運算
作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“平面向量的坐標(biāo)運算”，相信能對大家有所幫助。
2.3.2平面向量的坐標(biāo)運算
一、課題：2.3.2平面向量的坐標(biāo)運算
二、教學(xué)目標(biāo)：1．掌握兩向量平行時坐標(biāo)表示的充要條件；
2．能利用兩向量平行的坐標(biāo)表示解決有關(guān)綜合問題。
三、教學(xué)重、難點：1．向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示；
2．應(yīng)用向量平行的充要條件證明三點共線和兩直線平行的問題。
四、教學(xué)過程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．已知，，求，的坐標(biāo)；
2．已知點，及，，，求點、、的
坐標(biāo)。
歸納：（1）設(shè)點，，則；
（2），，則，
，；
3．向量與非零向量平行的充要條件是：.
（二）新課講解：
1．向量平行的坐標(biāo)表示：
設(shè)，，（），且，
則，∴.
∴，∴.
歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達形式：
①；
②且設(shè)，（）
例1已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．
例2已知，，，求證、、三點共線．
證明：，，
又，∴.∵直線、直線有公共點，
∴，，三點共線。
例3已知，，若與平行，求．
解：=
∴，∴，∴.
例4已知，，，，則以，為基底，求.
解：令，則.
，∴，
∴，∴.
例5已知點，，，，向量與平行嗎？直線平
行與直線嗎？
解：∵，=，
又，∴；
又，，，
∴與不平行，
∴、、不共線，與不重合，
所以，直線與平行。
五、小結(jié)：1．熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達形式；
2．會用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點共線和兩直線平行；
3．明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同。
六、作業(yè)：
補充：1．已知，，，且，，求點，的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；
2．已知，，，試用，表示；
3．設(shè)，
§3.1.2空間向量的數(shù)乘運算
§3.1.2空間向量的數(shù)乘運算
【學(xué)情分析】：
本節(jié)，空間向量的數(shù)乘運算共有4個知識點：空間向量的數(shù)乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節(jié)是全章的重點，有了第一節(jié)空間向量加減法的基礎(chǔ)，我們就很容易把平面向量及其運算推廣到空間向量由于本教材學(xué)習(xí)空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以例習(xí)題的編排也主要是立體幾何問題當(dāng)我們把平面向量推廣到空間向量后，很自然地要認識空間向量的兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然后由這兩個定理推出空間直線和平面的向量表達式有了這兩個表達式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問題
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：掌握空間向量的數(shù)乘運算
（2）過程與方法：進行類比學(xué)習(xí)，會用空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題
（3）情感態(tài)度與價值觀：會用平面的向量表達式解決共面問題
【教學(xué)重點】：
空間向量的數(shù)乘運算及運算律
【教學(xué)難點】：
用向量解決立幾問題
【教學(xué)過程設(shè)計】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖
一．溫故知新1、空間向量的數(shù)乘運算，其模長是的倍
（1）當(dāng)時，與同向
（2）當(dāng)時，與反向
2、空間向量的數(shù)乘分配律和結(jié)合律
（1）分配律：
（2）結(jié)合律：
3、共線向量或平形向量
類似于平面向量共線，對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使
以數(shù)乘向量及其運算律為突破口，與平面向量進行比較學(xué)習(xí)，為下面引出共面向量作鋪墊。
二．新課講授1、方向向量
如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式．其中向量叫做直線的方向向量.
在上取，則上式可化為
證明：對于空間內(nèi)任意一點O，三點共線
由此可見，可以利用向量之間的關(guān)系判斷空間任意三點共線，這與利用平面向量判斷平面內(nèi)三點共線是一樣的。
回顧平面向量的基本定理：
共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得，這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。
由此可以得到空間向量共面的證明方法
2、空間平面ABC的向量表示式
空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y使得：，或?qū)臻g任意一點O有：。
方向向量的引入是為了更好的說明三點共線的向量充要條件，作為特色班，可以根據(jù)實際情況補充證明過程。
回顧平面向量的基本定理可以發(fā)現(xiàn)，平面中的基底理論成了空間向量關(guān)系的一種特殊情況——共面的證明方法，這正是由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜的一種推廣，對今后理解空間向量的基底理論也是有一定輻射作用的。
推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，則點P與點A，B，C共面的充要條件是
證明：略本探究可以在老師的啟發(fā)下，給學(xué)生自己證明，不同層次可以酌情考慮是否證明。
三．典例講練例1．一直平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O做射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，且使，
求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面
分析：欲證E，F(xiàn)，G，H四點共面，只需證明，，共面。下面我們利用，，共面來證明。
證明：因為，所以
，，，，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以，因此，
由向量共面的充要條件知E，F(xiàn)，G，H四點共面
進一步：請學(xué)生思考如何證明：面AC//面EG
四．練習(xí)鞏固1、如圖，已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，化簡下列各表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。
（1）
（2）
（3）
鞏固知識，注意向量運算律的使用.3、略解：（1）
（2）
2、課本P89練習(xí)2-3
3、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用向量方法證明（1）E、F、G、H四點共面（2）AC∥平面EFGH
得EF∥AC，AC平面EFGH，則AC∥平面EFGH
五．小結(jié)1．空間向量的數(shù)乘運算
2．空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題
3．平面的向量表達式解決共面問題歸納知識反思方法，特點。
六．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1，A組第1題（3）、（4），第2題
練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，化簡下列各表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：
（1）；AD
（2）；AG
（3）．MG
（中等題）
2、在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）
A．有相同起點的向量B．等長向量C．共面向量D．不共面向量
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）
A．B．C．D．
