高中向量的教案

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案。

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念；掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
2.會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=______________
(1)不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組；
(2)由定理可將任一向量在給出基底，的條件下進(jìn)行分解；分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的實數(shù)對；
2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=，、同向，當(dāng)=，
、反向，當(dāng)=，與垂直，記作⊥。
3．向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，取=(1,0)，=(0,1)作為一組基底,設(shè)=x+y，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)。
新知梳理：
1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
已知：=(),=()，我們考慮如何得出、、的坐標(biāo)。
設(shè)基底為、，
則=
=
即=，
同理可得=
結(jié)論：(1)若=(),=()，
則，
即：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于.
（2）若=(x,y)和實數(shù)，則.
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

思考感悟：
已知，，怎樣來求的坐標(biāo)？
若，，==
則=
結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的

對點練習(xí)：
1.設(shè)向量，坐標(biāo)分別是（-1，2），（3，-5）則+=__________，
-=________，3=_______，2+5=___________
2.如右圖所示，平面向量的坐標(biāo)是（）
A.B.
C.D.

3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則2=.

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).

變式1：已知，求：
（1）
（2）
（3）

例2：已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)。

*變式2：設(shè)，，,用表示

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、設(shè)則=___________
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，則=（）
A．（-8，1）B．
C．（-16,2）D．(8,-1)
3、若點A的坐標(biāo)是，向量=，則點B的坐標(biāo)為（）
A．
B．
C．
D．
4、已知
則=（）
A．（6，-2）B．（5，0）
C．（-5，0）D．（0，5）

【課時作業(yè)】
1．如圖，已知，，
點是的三等分點，則（）
A.B.
C.D.

2．若M(3，-2)N(-5，-1)且，則P點的坐標(biāo)

*3．已知
，
則

*4.在△ABC中，點P在BC上，且BP→＝2PC→，點Q是AC的中點，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，則BC→＝________.

5.已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個頂點的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)

6.已知＝(1,2)，＝(－2,3)，＝(－1,2)，以，為基底，試將分解為的形式．

7.已知三個力=(3，4)，=(2，5)，=(x，y)的合力++=，求的坐標(biāo).

8.已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為，求第四個頂點的坐標(biāo)。

9.已知點，若，
（1）試求為何值時，點P在第一、三象限的交平分線上？
（2）試求為何值時，點P在第三象限？

【延伸探究】
已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→，試問：
(1)t為何值時，P在x軸上，P在y軸上，P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．

相關(guān)閱讀

2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

預(yù)習(xí)課本P94～98，思考并完成以下問題
(1)怎樣分解一個向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標(biāo)求a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標(biāo)：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．
(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點睛](1)平面向量的正交分解實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號表示
加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．
(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點、終點無關(guān)．()
(2)當(dāng)向量的始點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)．()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)．()
(4)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標(biāo)是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點M(3,5)，點N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標(biāo)表示

[典例]
如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運(yùn)用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[典例](1)已知三點A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．

[活學(xué)活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點坐標(biāo)為______．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？
[解]因為＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點P在x軸上，點P在y軸上，點P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變設(shè)問]本例條件不變，試問四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個變量，則表示向量的點的坐標(biāo)的位置會隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達(dá)到解題的目的．
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標(biāo)原點，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標(biāo)為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標(biāo)原點，點A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐標(biāo)為________．
解析：設(shè)點A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點A的坐標(biāo)．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點坐標(biāo)為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點M的坐標(biāo)．
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因為＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標(biāo)為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點D2，72，故選A.
4．對于任意的兩個向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運(yùn)算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運(yùn)算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：
①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當(dāng)a的終點坐標(biāo)是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點，點C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求的坐標(biāo)．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M(jìn)，N分別為AB，AC的中點，∴F為AD的中點．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，
因為＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點P的坐標(biāo)為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因為＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因為點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示導(dǎo)學(xué)案

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，減輕高中教師們在教學(xué)時的教學(xué)壓力。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示導(dǎo)學(xué)案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

2.3.2平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
3.能夠在具體問題中適當(dāng)選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).
【新知自學(xué)】
知識回顧：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2；
使得
給定基底，分解形式惟一.λ1，λ2由，，唯一確定.
2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，
當(dāng)=，、同向；當(dāng)=，、反向（同向、反向通稱平行）；
當(dāng)=°，稱與垂直，記作。
新知梳理：
由前面知識知道，平面中的任意一個向量都可以用給定的一組基底來表示；當(dāng)然也可以用兩個互相垂直的向量來表示，這樣能給我們研究向量帶來許多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解為兩個的向量。
思考：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)表示，平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？
2．平面向量的坐標(biāo)表示
如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得=x+y………○1
我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=(x,y)………○2
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，○2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.
特別地，=(1,0)=(0,1)，=(0,0).
3.在平面直角坐標(biāo)系中,一個平面向量和其坐標(biāo)是一一對應(yīng)的。
如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點為起點作=，則點的位置由唯一確定.
設(shè)=x+y，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).
對點練習(xí)：
1.如圖，向量、是兩個互相垂直的單位向量，向量與的夾角是30°，且||=4，以向量、為基底，向量=_________

2.在平面直角坐標(biāo)系下，起點是坐標(biāo)原點，終點A落在直線上，且模長為1的向量的坐標(biāo)是___________

【合作探究】
典例精析：
例1：請寫出圖中向量,,的坐標(biāo)

變式1：請在平面直角坐標(biāo)系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.

例2:如圖所示，用基底、分別表示向量、、、并求出它們的坐標(biāo)。

變式2：已知O為坐標(biāo)原點，點A在第一象限，，，求向量的坐標(biāo)

【課堂小結(jié)】
向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義。
將向量的起點平移到坐標(biāo)原點，則平移后向量的終點坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)。
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、已知力在水平方向與豎直方向的分力分別是4和3，則力的實際大小是__________，若水平方向為x軸的正方向，豎直方向為y軸的正方向，則力的坐標(biāo)表示是______________

2、若，（，為單位向量），則的坐標(biāo)（x，y）就是____的坐標(biāo)，即若=（x，y），則點A的坐標(biāo)就是_______________。

3、如右圖：|OA|=4,B(1,2),求向量的坐標(biāo)。

【課時作業(yè)】
1．設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，且，，則△OAB的面積等于（）
A、15B、10C、7.5D、5
2、在平面直角坐標(biāo)系中，A（2,3），B(-3,4)，如圖所示，x軸，y軸上的兩個單位向量分別是和，則下列說法正確的是__________
①2+3;②3+4;
③-5+;④5-.

3、如圖所示的直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為等腰梯形，BC‖OA，OC=6，，則用坐標(biāo)表示下列向量：_______________；
______________；______________；
______________；

4.在直角坐標(biāo)系xoy中，向量的方向如圖所示，且，分別寫出他們的坐標(biāo)。

5.如圖，已知O為坐標(biāo)原點，點A在第一象限，，，求向量的坐標(biāo)。

【延伸探究】
在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,1），B（-2,4），則向量的坐標(biāo)是_________

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.1平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.1平面向量基本定理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量基本定理；
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
3.能夠在具體問題中適當(dāng)選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1、實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個，記作；規(guī)定：
（1）|λ|=
（2）λ0時，λ與方向；
λ0時，λ與方向；
λ=0時，λ=
2．運(yùn)算定律：
結(jié)合律：λ(μ)=；
分配律：(λ+μ)=，
λ(+)=

3.向量共線定理：向量與非零向量共線，則有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.

新知梳理：
1．給定平面內(nèi)兩個向量，，請你作出向量3+2，-2，

2.由上，同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使
不共線的向量，叫做這一平面內(nèi)表示所有向量的一組基底。
思考感悟：
(1)基底不惟一，關(guān)鍵是；不同基底下，一個向量可有不同形式表示；
(2)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù).

3.向量的夾角:平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？

已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角。

當(dāng)=，、同向；
當(dāng)=，、反向；統(tǒng)稱為向量平行，記作
如果=，與垂直，記作⊥。

對點練習(xí)：
1.設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共線，則+與＝6-2的關(guān)系（）
A.不共線B.共線
C.相等D.無法確定

3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一組基底，且＝λ1+λ2，則與，
與．(填共線或不共線).

【合作探究】
典例精析：
例1：已知向量，求作向量2.5+3

變式1：已知向量、(如圖),求作向量：
（1）+2.?（2）-+3

例2:如圖，，不共線，且
，用，來表示

變式2：已知G為△ABC的重心,設(shè)=,=,試用、表示向量.

【課堂小結(jié)】
知識、方法、思想

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,其中所列述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,有如下四個命題：
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量和,總存在實數(shù)和,使;
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使;
④給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使;
上述命題中的則真命題的個數(shù)是()（）
A．1B．2C．3D

2.如圖，正六邊形ABCDEF中，=
A．B．C．D．

3.在中，，，，為的中點，則____________.（用表示）

【課時作業(yè)】
1、若、不共線，且λ+μ=（λ、μ），則（）
A．=,=B．=0,=0
C．=0,=D．=,=0
2．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE與AC相交于點E，M是BC的中點，AM與DE相交于點N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，則x＋y等于()
A．1B.12C.14D.18

3．在如圖所示的平行四邊形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M為BC的中點，則MN→＝________.(用a，b表示)．

4.如圖ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和

5.設(shè)與是兩個不共線向量,=3+4,=-2+5,若實數(shù)λ、μ滿足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如圖，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一點，若AP→＝mAB→＋211AC→，求實數(shù)m的值．

7.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點，且滿足條件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，設(shè)Q為CP延長線與AB的交點，令CP→＝p，用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+++=4

高中數(shù)學(xué)必修四2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
2．會用坐標(biāo)表示平面向量的線性運(yùn)算；會用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

【知識重溫】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個______向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，，使＝__________.向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2．平面向量的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸______的兩個單位向量、作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)x，y，使得＝__________，則有序數(shù)對(x、y)叫做向量的坐標(biāo)，記作__________，其中x，y分別叫做在x軸、y軸上的坐標(biāo)，＝(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＝__________________，

2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，則
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.

(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.

思考感悟
1．基底的不唯一性
只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，故基底的選取是不唯一。
平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底，線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．

2．向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)區(qū)別
在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為起點的向量＝，此時點A的坐標(biāo)與的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量＝＝(x，y)．

當(dāng)平面向量平行移動到時，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．

對點練習(xí)：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，則12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)

2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋與4－2平行，則實數(shù)x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2

3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(＋λ)∥，則λ＝()
A.14B.12
C．1D．2

4．下列各組向量中，能作為基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④

【自學(xué)探究】
考點一平面向量基本定理
例1、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝，＝，試用，表示，.

規(guī)律總結(jié)：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．解題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．

變式1：如圖，在△ABC中，＝13，P是BN上的一點，若＝m＋211，則實數(shù)m的值為__________．

考點二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求滿足＝m＋n的實數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．

規(guī)律總結(jié)：若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用．
變式2在ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)

考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示
例3、平面內(nèi)給定三個向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列問題：
(1)若(＋k)∥(2－)，求實數(shù)k；
(2)設(shè)＝(x，y)滿足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
規(guī)律總結(jié)：用坐標(biāo)來表示向量平行，實際上是一種解析幾何(或數(shù)形結(jié)合)的思想，其實質(zhì)是用代數(shù)(主要是方程)計算來代替幾何證明，這樣就把抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化為了計算．
變式3、
(1)(2013陜西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，則實數(shù)m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為__________．

【課堂小結(jié)】
1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．
2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理．
3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
4．要注意區(qū)分點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有可能。
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，則2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)

2．(2014揭陽二模)已知點A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，則點B的坐標(biāo)為()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)

3．(2015許昌模擬)在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)

4.已知兩點在直線AB上，求一點P是。

【課時作業(yè)】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）與相等，已知A（1，2）和B（3，2），則x的值為()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4

2、一個平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別是（5，7），（－3，5），（3，4），則第四個頂點的坐標(biāo)不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）

3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且點P在P1P2的延長線上,,則P點坐標(biāo)為()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)

4、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A（3,1），B（－1,3），若點C滿足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，則點C的軌跡方程為（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0

5、已知點A（－1，5），若向量與向量＝（2，3）同向，且＝3，則點B的坐標(biāo)為_____________

6、平面上三個點，分別為A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D為線段BC的中點，則向量的坐標(biāo)為_______________

7、已知點A（－1，2），B（2，8）及，，求點C、D和的坐標(biāo)。

8、已知平行四邊形ABCD的一個頂點坐標(biāo)為A（－2，1），一組對邊AB、CD的中點分別為M（3，0）、N（－1，－2），求平行四邊形的各個頂點坐標(biāo)。
【延伸探究】
如圖，中AD是三角形BC邊上的中線且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。