高中向量的教案

向量的坐標表示與坐標運算。

課時7向量平行的坐標表示（2）
【學習目標】
鞏固平面向量坐標的概念，掌握平行向量的坐標表示，并且能用它解決向量平行（共線）的有關(guān)問題。
【知識掃描】
1．共線向量的條件是有且只有一個實數(shù)λ使得=λ.()
2．設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)其中,則∥()x1y2-x2y1=0
注：（1）該條件不能寫成∵x1,x2有可能為0
（2）向量共線的條件有兩種形式：∥()
歸納:向量平行的坐標表示要注意正反兩方面，
即若則
【例題選講】
例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.

例2．已知點A（1，1），B（-1，5）及，，求點C、D、E的坐標，判斷向量是否共線。
例3．已知A、B、C三點的坐標分別為（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，
求證：

例4．已知四點A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。(1)求實數(shù)x,使兩向量，共線；（2）當向量，共線時，A、B、C、D四點是否在同一直線上？

例5．設(shè)向量=（k,12），=(4,5),=(10,k),當k為何值時，A、B、C三點共線。

例6．已知=2，=（-1，），且∥，求向量。

【課內(nèi)練習】課本P75練習1-3
1．三點A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共線的條件為
2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三點共線，則C點坐標是
3．向量=（3，7），=（-3，），（），若∥，則x等于
4．已知=（1，2），=（x，1）,且(+2)∥(2-),則x的值為
【課后作業(yè)】
1．以下各向量中，與向量=（-5，4）平行的向量是
A（5k,4k）B()C(-10,2)D(-5k,-4k)
2．與=（15，8）平行的所有單位向量是
3．已知=（3，4），=（sinx，cosx）,且∥，則tanx=
4．已知=（-2，1-cos），=（1+cos，-），且，則銳角=
5．下列各組向量相互平行的是
A=（-1，2），=（3，5）B=（1，2），=（2，1）
C=（2，-1），=（3，4）D=（-2，1），=（4，-2）
6．已知=（2，3），=（-1，2）若k-與-k平行，求k的值。

7．已知向量=（6，1），=（x，y）=（-2，-3），當向量∥時，求實數(shù)x,y應滿足的關(guān)系式。
[節(jié)日祝福網(wǎng) ZR120.coM]

8．已知=（x，2），=（3,-1）是否存在實數(shù)x,使向量-2與2+平行？若存在，求出x;若不存在，說明理由。

9．已知三個向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1），回答下列問題：
（1）求3+-2；（2）求滿足=m+n的實數(shù)m和n；
（3）若(+k)//(2-)，求實數(shù)k的值；
（4）設(shè)=（x,y）,滿足且=1，求

10、已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（－２，１）、（－１，３）、（３，４），求頂點D的坐標.

11、平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且知＝（３，７），＝（－２，１），求坐標.

問題統(tǒng)計與分析

相關(guān)推薦

2.3.3平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的坐標運算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標表示
平面向量的坐標運算

預習課本P94～98，思考并完成以下問題
(1)怎樣分解一個向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標求a＋b，a－b，λa的坐標？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標表示
(1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標．
(3)坐標表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點睛](1)平面向量的正交分解實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標運算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號表示
加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點睛](1)向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．
(2)當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標相同與向量的起點、終點無關(guān)．()
(2)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．()
(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關(guān)．()
(4)點的坐標與向量的坐標相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點M(3,5)，點N(2,1)，用坐標表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標表示

[典例]
如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點和向量坐標的常用方法
(1)求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．
(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．

[活學活用]
已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐標；
(2)若B(3，－1)，求的坐標．
解：(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標運算
[典例](1)已知三點A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行．

[活學活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點坐標為______．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標運算的綜合應用
[典例]已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？
[解]因為＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點P在x軸上，點P在y軸上，點P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變設(shè)問]本例條件不變，試問四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問題的求解
(1)向量的坐標含有兩個量：橫坐標和縱坐標，如果橫或縱坐標是一個變量，則表示向量的點的坐標的位置會隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達到解題的目的．
層級一學業(yè)水平達標
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標原點，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標原點，點A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐標為________．
解析：設(shè)點A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點坐標為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點A的坐標．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點坐標為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點坐標為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點M的坐標．
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因為＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級二應試能力達標
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點D2，72，故選A.
4．對于任意的兩個向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：
①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求的坐標．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M，N分別為AB，AC的中點，∴F為AD的中點．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點P的坐標為(x，y)，
因為＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點P的坐標為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點P的坐標為(x0，y0)，因為A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因為＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因為點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

空間向量的坐標運算

古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準備好教案，這是教師的任務之一。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《空間向量的坐標運算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

高二數(shù)學向量的坐標表示及其運算016

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學質(zhì)量。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“高二數(shù)學向量的坐標表示及其運算016”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

8.1（2）向量的坐標表示及其運算（2）
一、教學內(nèi)容分析
向量是研究數(shù)學的工具，是學習數(shù)形結(jié)合思想方法的直觀而又生動的內(nèi)容.向量的坐標以及向量運算的坐標形式，則從“數(shù)、式”的角度對向量以及向量的運算作了精確的、定量的描述.本節(jié)課是8.1向量的坐標及其運算的第二課時，一方面把“形”與“數(shù)、式”結(jié)合起來思考，以“數(shù)”入微，借“形”思考，體會并感悟數(shù)形結(jié)合的思維方式；另一方面通過例5的演繹推理教學，體會代數(shù)證明的嚴謹性，也為下節(jié)課定比分點（三點共線）的教學提供基礎(chǔ).
二、教學目標設(shè)計
1．掌握向量模的求法，知道模的幾何意義；
2．理解并掌握兩個非零向量平行的充要條件，鞏固加深充要條件的證明方式；
3．會用平行的充要條件解決點共線問題；
4．感悟向量作為工具解題的優(yōu)越性.
三、教學重點及難點
課本例5的演繹證明；
分類思想，數(shù)形結(jié)合思想在解決問題時的運用；
特殊——一般——特殊的探究問題意識.
四、教學流程設(shè)計
五、教學過程設(shè)計
創(chuàng)設(shè)問題情景
問題一、已知向量.
（1）在坐標平面上，畫出向量；并求=；
（2）若向量終點Q坐標為，則向量的始點P坐標為_______；
（3）向量的模與兩點P、Q間距離關(guān)系是.
若，則
練習1：已知向量，求
[說明]在問題一中，先給出向量，要求學生在坐標平面上畫出向量，增強數(shù)形結(jié)合的解題意識，感悟向量的模即平面上兩點的距離.由此發(fā)現(xiàn)并掌握向量模的求法及幾何意義.安排（2）小問的目的在于復習鞏固位置向量與自由向量的概念，體會并感悟到任何一個自由向量都可轉(zhuǎn)化為位置向量.通過自由向量與位置向量的學習，引出向量平行的概念.
向量平行的概念：對任意兩個向量，若存在一個常數(shù)，使得成立，則兩向量與向高考￥資%源~網(wǎng)量平行，記為：.
問題探究反思
問題二.在坐標平面上描出下列三點,完成下列問題：
（1）請把下列向量的坐標與模填在表格內(nèi)：

向量坐標(1,2)(2,4)(3,6)
向量的模

（2）通過畫圖，你得出什么結(jié)論？
三點A、B、C在一條直線上
（3）分析表格中向量的模，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（4）分析表格中向量，你還發(fā)現(xiàn)了什么？
，，
[說明]養(yǎng)成解題后反思的習慣，總結(jié)如何判斷三點共線？
方法一：計算三個向量的模長關(guān)系.
方法二：看兩個非零向量之間是否存在非零常數(shù).
（5）分析表格中向量坐標，你又發(fā)現(xiàn)了什么？
向量坐標之間存在比例關(guān)系.
思考：如果向量用坐標表示為，則是的（）條件.
A、充要B、必要不充分
C、充分不必要D、既不充分也不必要
由此，通過改進引出
課本例5若是兩個非零向量，且，
則的充要條件是.
分析：代數(shù)證明的方法與技巧，嚴密、嚴謹.
證明：分兩步證明，
（Ⅰ）先證必要性：
非零向量存在非零實數(shù)，使得，即
，化簡整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再證充分性：
（1）若,則、、、全不為零，顯然有，即
（2）若，則、、、中至少有兩個為零.
①如果，則由是非零向量得出一定有，，
又由是非零向量得出，從而，此時存在使，即
②如果，則有，同理可證
綜上，當時，總有
所以，命題得證.
[說明]本題是一典型的代數(shù)證明，推理嚴密，層次清楚，要求較高，是培養(yǎng)數(shù)學思維能力的良好范例.
練習2：
1．已知向量，，且，則x為_________；
2．設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（）
①存在一個實數(shù)λ，使=λ或=λ；②；③(+)//(－)
A、0個B、1個C、2個D、3個
3．設(shè)為單位向量，有以下三個命題：（1）若為平面內(nèi)的某個向量，則；(2)若與平行，則；（3）若與平行且，則.上述命題中，其中假命題的序號為；
[說明]安排此組練習快速鞏固所學基礎(chǔ)知識，當堂消化，及時反饋.
知識拓展應用
問題三：已知向量，且A、B、C三點共線，則k=____
（學生討論與分析）
[說明]三點共線的證明方法總結(jié)：
法一：利用向量的模的等量關(guān)系
法二：若A、B、C三點滿足，則A、B、C三點共線.
*法三：若A、B、C三點滿足，當時，A、B、C三點共線.
課外探索學習
課外作業(yè)：
1．練習冊P38：4、5、6、7
補充作業(yè)：
1．關(guān)于非零向量和，有下列四個命題：
（1）“”的充要條件是“和的方向相同”；
（2）“”的充要條件是“和的方向相反”；
（3）“”的充要條件是“和有相等的?！保?br> （4）“”的充要條件是“和的方向相同”；
其中真命題的個數(shù)是（）
A．1B.2C.3D.4
2．質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量=（4，－3）（即點P的運動方向與相同，且每秒移動的距離為|v|個單位.設(shè)開始時點P的坐標為（－10，10），則5秒后該質(zhì)點P的坐標為（）
A．（－2，4）B．（－30，25）C．（10，－5）D．（5，－10）
3．已知向量，則的最大值為.
4．設(shè)C、D為直線上不重合的兩點，對于坐標平面上動點，若存在實數(shù)使得，則=.
5．在直角坐標系xOy中，已知點和點，若點C在∠AOB的平分線上，且，則=_________.
6．已知＝（5，4），＝（3，2），求與2－3平行的單位向量

平面向量坐標表示

平面向量坐標表示
年級高一學科數(shù)學課題平面向量坐標表示
授課時間撰寫人
學習重點平面向量的坐標運算．

學習難點對平面向量坐標運算的理解
學習目標
1.會用坐標表示平面向量的加減與數(shù)乘運算；
2.能用兩端點的坐標，求所構(gòu)造向量的坐標；

教學過程
一自主學習
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根據(jù)向量的坐標表示，向量＋，－，λ的坐標分別如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
兩個向量和與差的坐標運算法則：
兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
思考3：已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標如何？

二師生互動
例1已知，，求和.

例2已知平行四邊形的頂點，，，試求頂點的坐標.

變式：若與的交點為，試求點的坐標.

練1.已知向量的坐標，求，的坐標.
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點的坐標，求，的坐標.
⑴
⑵
⑶
⑷

三鞏固練習
1.若向量與向量相等，則（）
A.B.
C.D.
2.已知，點的坐標為，則的坐標為（）
A.B.
C.D.
3.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
4.設(shè)點，，且
，則點的坐標為.
5.作用于原點的兩力，，為使它們平衡，則需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，則點B的坐標為__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知點，及，，，求點、、的坐標。

四課后反思

五課后鞏固練習
1.若點、、，且，，則點的坐標為多少？點的坐標為多少？向量的坐標為多少？

2.已知向量，，，試用來表示.