高中向量的教案

§3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示。

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫(xiě)的更加全面呢？下面是由小編為大家整理的“§3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

§3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
【學(xué)情分析】：
平面向量有座標(biāo)表示，空間向量也有座標(biāo)表示，在上一節(jié)中，單位正交分解就能夠完成向量坐標(biāo)向空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化。現(xiàn)在，通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們可以將向量的地定性公式定量化，在解題特別是在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，可以大大簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：能用坐標(biāo)表示空間向量
（2）過(guò)程與方法：由平面坐標(biāo)運(yùn)算類別空間坐標(biāo)運(yùn)算，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比，運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)拓能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
二．新課講授1．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律
（1）若，，則，
，
，
（2）若，，則．
一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。注重類比學(xué)習(xí)，舉一反三，在平面向量中有坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量中也有，運(yùn)
2．?dāng)?shù)量積：即=
3．夾角：．
4．模長(zhǎng)公式：若，
則．
5．平行與垂直：
6．距離公式：若，，
則，
或．
算規(guī)律和結(jié)論的本質(zhì)是一樣的。
三．典例例1．如圖，在正方體中，，分別是，的一個(gè)四等分點(diǎn)，求與所成的角的余弦值。
解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，
，，
將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來(lái)，不僅可以解決夾角和距離的計(jì)算問(wèn)題，而且可以使一些問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單。
講練所以，
因此，與所成角的余弦值是
例2．如圖，正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，求證：
證明：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，又，，所以，
所以，
因此，即

四．練習(xí)鞏固課本P97練習(xí)1，2，3
五．拓展與提高1．如圖在正方體AC1中，M、N分別是AA1、BB1的中點(diǎn)，求直線CM與D1N所成的角。

學(xué)習(xí)注意觸類旁通，舉一反三，引進(jìn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算式把定性的向量定量化的有效辦法。這樣可以把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)
2．已知三角形的頂點(diǎn)A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），這個(gè)三角形的面積是（）
A.B.C.2D.
題。
六．小結(jié)1．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律
2．?dāng)?shù)量積與夾角
3．模長(zhǎng)與距離
4．平行于垂直
七．作業(yè)課本P98習(xí)題3.1，A組第8、9、11題

練習(xí)與測(cè)試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知向量的夾角為（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2

（中等題）
3.已知，，求：
（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；
（2）到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件
解：（1）設(shè)是線段的中點(diǎn)，則．
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)是，
．
（2）∵點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，
則,
化簡(jiǎn)得：,
所以，到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是．
點(diǎn)評(píng)：到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面，若將點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量，發(fā)現(xiàn)與共線。
4,已知三角形的頂點(diǎn)是，，，試求這個(gè)三角形的面積。
分析：可用公式來(lái)求面積
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，則向量與的夾角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，則的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，則的取值范圍是（）
A.B.C.D.

相關(guān)知識(shí)

向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算

課時(shí)7向量平行的坐標(biāo)表示（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
鞏固平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平行向量的坐標(biāo)表示，并且能用它解決向量平行（共線）的有關(guān)問(wèn)題。
【知識(shí)掃描】
1．共線向量的條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得=λ.()
2．設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)其中,則∥()x1y2-x2y1=0
注：（1）該條件不能寫(xiě)成∵x1,x2有可能為0
（2）向量共線的條件有兩種形式：∥()
歸納:向量平行的坐標(biāo)表示要注意正反兩方面，
即若則
【例題選講】
例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.

例2．已知點(diǎn)A（1，1），B（-1，5）及，，求點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)，判斷向量是否共線。
例3．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，
求證：

例4．已知四點(diǎn)A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。(1)求實(shí)數(shù)x,使兩向量，共線；（2）當(dāng)向量，共線時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)是否在同一直線上？

例5．設(shè)向量=（k,12），=(4,5),=(10,k),當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線。

例6．已知=2，=（-1，），且∥，求向量。

【課內(nèi)練習(xí)】課本P75練習(xí)1-3
1．三點(diǎn)A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共線的條件為
2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三點(diǎn)共線，則C點(diǎn)坐標(biāo)是
3．向量=（3，7），=（-3，），（），若∥，則x等于
4．已知=（1，2），=（x，1）,且(+2)∥(2-),則x的值為
【課后作業(yè)】
1．以下各向量中，與向量=（-5，4）平行的向量是
A（5k,4k）B()C(-10,2)D(-5k,-4k)
2．與=（15，8）平行的所有單位向量是
3．已知=（3，4），=（sinx，cosx）,且∥，則tanx=
4．已知=（-2，1-cos），=（1+cos，-），且，則銳角=
5．下列各組向量相互平行的是
A=（-1，2），=（3，5）B=（1，2），=（2，1）
C=（2，-1），=（3，4）D=（-2，1），=（4，-2）
6．已知=（2，3），=（-1，2）若k-與-k平行，求k的值。

7．已知向量=（6，1），=（x，y）=（-2，-3），當(dāng)向量∥時(shí)，求實(shí)數(shù)x,y應(yīng)滿足的關(guān)系式。

8．已知=（x，2），=（3,-1）是否存在實(shí)數(shù)x,使向量-2與2+平行？若存在，求出x;若不存在，說(shuō)明理由。

9．已知三個(gè)向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1），回答下列問(wèn)題：
（1）求3+-2；（2）求滿足=m+n的實(shí)數(shù)m和n；
（3）若(+k)//(2-)，求實(shí)數(shù)k的值；
（4）設(shè)=（x,y）,滿足且=1，求

10、已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（－２，１）、（－１，３）、（３，４），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

11、平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且知＝（３，７），＝（－２，１），求坐標(biāo).

問(wèn)題統(tǒng)計(jì)與分析

§3.1.4空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示

§3.1.4空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示
【學(xué)情分析】：
本小節(jié)首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理這種推廣對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)已無(wú)困難但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生要時(shí)刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間這樣做，一方面復(fù)習(xí)了平面向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方面可加深學(xué)生的空間觀念讓學(xué)生從二維到三維發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：掌握空間向量基本定理，會(huì)判斷空間向量共面
（2）過(guò)程與方法：正交分解推導(dǎo)入手，掌握空間向量基本定理
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：認(rèn)識(shí)將空間向量的正交分解，能夠?qū)⒖臻g向量在某組基上進(jìn)行分解
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的分解
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新回顧平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)空間向量的正交分解和基本定理
二．新課講授1．空間向量的正交分解
設(shè)，，是空間的三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)O。對(duì)于空間任意一個(gè)向量，設(shè)Q為點(diǎn)P在，所確定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)z，使得
而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得
從而
以平面向量的基本定理為基礎(chǔ)，層層遞進(jìn)，得到空間向量的正交分解形式。
由此可知，對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組{}，使得，稱，，為向量在，，上的分向量。
2．空間向量的基本定理
如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使
由此定理，若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量。
空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底
如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫做正交基底，特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使記
推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使
注意介紹單位正交基、正交基、基的特殊與一般的關(guān)系，以幫助學(xué)生理解概念。
三．典例講練例1．如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量
解：

∴
向量的分解過(guò)程中注意向量的運(yùn)算的正確使用。
四．練習(xí)鞏固1、如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和
解：
課本P94練習(xí)1、2、3
五．拓展與提高1．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個(gè)點(diǎn)，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個(gè)向量（）
A．互不相等B．至多有兩個(gè)相等C．至少有兩個(gè)相等D．有且只有兩個(gè)相等
2．若a、b、c是空間的一個(gè)基底，下列各組
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
充分認(rèn)識(shí)基底的特征，即線性無(wú)關(guān)的三個(gè)向量就可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。
六．小結(jié)1．正交分解的推導(dǎo)和空間向量基本定理
2．如何將向量用坐標(biāo)表示
3．任意空間向量在某組基底下的分解
七．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1第6題

練習(xí)與測(cè)試：
（基礎(chǔ)題）
1如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和
解：

2．設(shè)向量是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是（）
A．B．C．D．
3．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個(gè)點(diǎn)，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個(gè)向量（）
A．互不相等B．至多有兩個(gè)相等C．至少有兩個(gè)相等D．有且只有兩個(gè)相等
4．若a、b、c是空間的一個(gè)基底，下列各組
①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
5．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則△BCD是()
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定
6．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若＝，
則x＋y＋z＝．
7．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，
G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，
以｛，，｝為基底，則＝．

（中等題）
8．已知四面體中，兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（）
(1).(2).
(3).(4).
不一定成立的是.

9,已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。

空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案練習(xí)題

§3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.用坐標(biāo)表示空間向量；
2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
3.根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)空間向量平行。
二、典型例題
例1.已知，求。

例2.已知，試求實(shí)數(shù)的值，使。

例3.已知空間四點(diǎn)和，
求證：四邊形是梯形。
三、鞏固練習(xí)
1.設(shè)，則=，=，；
2.已知點(diǎn)在同一直線上，則=，=。

四、小結(jié)

五、作業(yè)
1.若為一個(gè)單位正交基底，試寫(xiě)出下列向量的坐標(biāo)：
⑴；⑵；⑶。

2.已知，則向量=，=。
3.已知，為線段上一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
4.若，則重心坐標(biāo)為；
5.已知，若三向量共面，則=；
6.與向量共線的單位向量=；
7.設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值。

8.已知中，，求其余頂點(diǎn)與向量。

9.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
⑴寫(xiě)出的坐標(biāo)；⑵證明四點(diǎn)共面。

訂正欄：

2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

預(yù)習(xí)課本P94～98，思考并完成以下問(wèn)題
(1)怎樣分解一個(gè)向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標(biāo)求a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．
(2)坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．
(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點(diǎn)睛](1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號(hào)表示
加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點(diǎn)睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無(wú)關(guān)．
(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)．()
(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無(wú)關(guān)．()
(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標(biāo)是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點(diǎn)M(3,5)，點(diǎn)N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標(biāo)表示

[典例]
如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，||＝43，∠x(chóng)OA＝60°，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[典例](1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．

[活學(xué)活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第二象限？
[解]因?yàn)椋剑玹＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點(diǎn)P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點(diǎn)”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，試問(wèn)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說(shuō)明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無(wú)解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問(wèn)題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變量，則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個(gè)方程(組)，就能達(dá)到解題的目的．
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且＝－2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，||＝6，∠x(chóng)OA＝150°，向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點(diǎn)A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．
(2)若點(diǎn)P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因?yàn)椋?4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點(diǎn)M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點(diǎn)D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點(diǎn)D2，72，故選A.
4．對(duì)于任意的兩個(gè)向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運(yùn)算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運(yùn)算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個(gè)．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲詀＝(x，y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于點(diǎn)F，求的坐標(biāo)．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M(jìn)，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴F為AD的中點(diǎn)．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
因?yàn)椋?，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)锳(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因?yàn)椋絤＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.