小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

九年級數(shù)學(xué)知識點歸納：勾股定理的逆定理。

九年級數(shù)學(xué)知識點歸納：勾股定理的逆定理

知識點總結(jié)
一、勾股定理：
1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
２.勾股定理的證明：
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
（1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；
（2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理。JAb88.COM

4.勾股定理的適用范圍：
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。
說明：（1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：
（1）確定最大邊；
（2）算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；
（3）比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。
三、勾股數(shù)
能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).
四、一個重要結(jié)論：
由直角三角形三邊為邊長所構(gòu)成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用
解決圓柱側(cè)面兩點間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。
常見考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）應(yīng)用勾股定理建立方程；（3）實際問題中應(yīng)用勾股定理及其逆定理。
誤區(qū)提醒
（1）忽略勾股定理的適用范圍；（2）誤以為直角三角形中的一定是斜邊。
【典型例題】（2010湖北孝感）
[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]

勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理;
聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。
規(guī)律方法指導(dǎo)
1.勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。
3.勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形;該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.
5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解.

精選閱讀

18．2勾股定理的逆定理（三）

18．2勾股定理的逆定理（三）
一、教學(xué)目標(biāo)
1．應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。
2．靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。
3．進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識。
二、重點、難點
1．重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。
2．難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。
三、例題的意圖分析
例1（補充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。
例2（補充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。
例3（補充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。
四、課堂引入
勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度較大的題目。
五、例習(xí)題分析
例1（補充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
試判斷△ABC的形狀。
分析：⑴移項，配成三個完全平方；⑵三個非負(fù)數(shù)的和為0，則都為0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形。
例2（補充）已知：如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四邊形ABCD的面積。
分析：⑴作DE∥AB，連結(jié)BD，則可以證明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股數(shù)，△DEC為直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面積公式可解，或利用三角形的面積。
例3（補充）已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=ADBD。
求證：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2ADBD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
六、課堂練習(xí)
1．若△ABC的三邊a、b、c，滿足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，則△ABC是（）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，試判斷△ABC的形狀。
3．已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。
求：四邊形ABCD的面積。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=ADBD。
求證：△ABC中是直角三角形。

七、課后練習(xí)，
1．若△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面積。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。
求證：△ABC是等腰三角形。
3．已知：如圖，∠1=∠2，AD=AE，D為BC上一點，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求證：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定△ABC的形狀。

課后反思：

八、參考答案：
課堂練習(xí)：
1．C；
2．△ABC是等腰直角三角形；
3．
4．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=
AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°。
課后練習(xí)：
1．6；
2．提示：因為AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC。
3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC，則AB2=AE2+CE2。
4．提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。又因為c2=14，所以a2+b2=c2。

《勾股定理的逆定理》教學(xué)反思

《勾股定理的逆定理》教學(xué)反思

一、本節(jié)課的成功之處:

1、本節(jié)課以學(xué)生活動為主線,通過學(xué)生回顧舊知識（勾股定理），然后設(shè)計練習(xí)題從估算到實驗活動結(jié)果的產(chǎn)生讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律,最后回到解決生活中實際問題,思路清晰,脈絡(luò)明了。例如:活動2問題:讓學(xué)生畫出以所給條件為邊的三角形,再用量角器分別測量一下上述各三角形的最大角的度數(shù)，再根據(jù)上述每個三角形所給的各組邊長請你找出最長邊的平方與其他兩邊的平方和之間的關(guān)系。猜想一下，一個三角形各邊長數(shù)量應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系時，這個三角形才可能是直角三角形呢？

2、體現(xiàn)了對“數(shù)學(xué)抽象”的核心素養(yǎng)的認(rèn)識，突出了“特征上讓學(xué)生觀察,思路上讓學(xué)生探索,方法上讓學(xué)生思考，讓學(xué)生概括,結(jié)論讓學(xué)生驗證,難點讓學(xué)生突破,以學(xué)生為主體”的教學(xué)思路。例如:活動四例1.在很久很久以前，古埃及人把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后用樁釘如圖那樣釘成一個三角形，這個三角形便是直角三角形。為什么？先讓學(xué)生自主完成，再集體糾正，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

3、在本節(jié)教學(xué)活動過程中,我經(jīng)常走下講臺,到學(xué)生中去,以學(xué)生身份和學(xué)生一起探討問題。用一切可能的方式,激勵回答問題的學(xué)生,激發(fā)學(xué)生的求知欲,使師生在和諧的教學(xué)環(huán)境中零距離的接觸。課堂上學(xué)生們的思維空前活躍,發(fā)言的人數(shù)不斷增多,學(xué)生能從多角度認(rèn)識問題,爭先恐后地交流不同的意見和方法,收到比較好的效果。這是本節(jié)課的特色。

二、本節(jié)課的不足之處及改進方法:

1、本節(jié)課我利用多媒體輔助教學(xué),如學(xué)習(xí)目標(biāo)的發(fā)展、習(xí)題訓(xùn)練內(nèi)容的展示、學(xué)生活動的要求、作業(yè)布置等,都用多媒體進行了展示，但由于計算機知識有限，設(shè)計的課件沒有動圖，學(xué)生的興趣不是很高，在以后的教學(xué)中我應(yīng)加強計算機的應(yīng)用知識，使自己設(shè)計的多媒體課件更生動，更具有吸引力。

2、在重難點的突破上還應(yīng)加一些遞進的習(xí)題,降低題的難度,使優(yōu)等生感興趣,中等生也能跟上，學(xué)困生也有興趣去學(xué)。在以后教學(xué)中，我會不斷地更新教育理念,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、生活經(jīng)驗對數(shù)教材進行再創(chuàng)造,選取密切聯(lián)系學(xué)生現(xiàn)實生活和生動有趣的數(shù)學(xué)素材,為學(xué)生提供充分的數(shù)學(xué)活動和交流的空間,真正把創(chuàng)造還給學(xué)生,讓學(xué)生動起來,讓課堂煥發(fā)新的活力。

初二數(shù)學(xué)知識點梳理：勾股定理

初二數(shù)學(xué)知識點梳理：勾股定理

知識點總結(jié)
一、勾股定理：
1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
２.勾股定理的證明：
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
（1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；
（2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理。

4.勾股定理的適用范圍：
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。
說明：（1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：
（1）確定最大邊；
（2）算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；
（3）比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。
三、勾股數(shù)
能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).
四、一個重要結(jié)論：
由直角三角形三邊為邊長所構(gòu)成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用
解決圓柱側(cè)面兩點間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。
常見考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）應(yīng)用勾股定理建立方程；（3）實際問題中應(yīng)用勾股定理及其逆定理。
誤區(qū)提醒
（1）忽略勾股定理的適用范圍；（2）誤以為直角三角形中的一定是斜邊。
【典型例題】（2010湖北孝感）
[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]

勾股定理
一、勾股定理概述
直角三角形中，兩直邊的平方和等于斜邊的平方。
即令直角三角形ABC中，其中角C=90°，直邊BC的長度為a，AC的長度為b，斜邊AB的長度為c,則有a+b=c
①勾股定理應(yīng)用的前提是這個三角函數(shù)必須是直角三角形，解題時，只能是同一直角三角形中時，才能利用它求第三邊邊長
②在式子a+b=c中，a、b代表直角三角形的兩條直角邊，c代表斜邊，它們之間的關(guān)系不能弄錯
③遇到直角三角形中線段求值問題（知識點詳解見解直角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，把直角三角形這一“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，是屬性結(jié)合思想方法的典型。
④勾股定理的變式
在Rt△ABC中，其中角C=90°，直邊BC的長度為a，AC的長度為b，斜邊AB的長度為c，則
c=a+b
a=c-b=（c-b）(c+b)
b=c-a=(c-a)(c=a)
c=根號下（a+b）
a=根號下（c-b）
b=根號下（c-a）
二、勾股定理證明方法
1.面積法
一個直角梯形由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形拼成。因為三個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式
1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化簡c2=a2+b2
2.趙爽證明法
以a、b為直角邊（ba），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于1/2ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90，
∴∠EAB+∠HAD=90，
∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90.
∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于(b-a)2.
∴4*1/2ab+(b-a)2=c2
∴a2+b2=c2
三、勾股定理的逆定理
如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。
勾股定理的逆定理是識別一個三角形是直角三角形的一種理論依據(jù)，它通過數(shù)形結(jié)合來確定三角形的形狀，在運用這一定理時，可以用兩短邊的平方和a+b與較長邊的平方c做比較，如果a+b=c，則此三角形為直角三角形，若a+b＞c，此三角形為銳角三角形，若a+b＜c，則此三角形為鈍角三角形