小學幾何教案

中考動態(tài)幾何專題復習教案。

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中考數(shù)學專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題

做好教案課件是老師上好課的前提，大家在認真準備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫多少教案課件范文呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《中考數(shù)學專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題》，希望對您的工作和生活有所幫助。

中考數(shù)學專題8動態(tài)幾何與函數(shù)問題

【前言】

在第三講中我們已經(jīng)研究了動態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側(cè)重，第一個是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識來考察。而另一個則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函數(shù)，方程的應用上。其中通過圖中已給幾何圖形構(gòu)建函數(shù)是重點考察對象。不過從近年中考的趨勢上看，要求所構(gòu)建的函數(shù)為很復雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個較為簡單的函數(shù)式，體現(xiàn)了中考數(shù)學的考試說明當中“減少復雜性”“增大靈活性”的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復雜計算題僅供參考。

【例1】

如圖①所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點B、C作直線.將直線平移，平移后的直線與軸交于點D，與軸交于點E.

（1）將直線向右平移，設(shè)平移距離CD為（t≥0），直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標為4，求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.

（2）當時，求S關(guān)于的函數(shù)解析式.

【思路分析】本題雖然不難，但是非?？简灴忌鷮τ诤瘮?shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學感覺，反應不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當平移距離為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，N點表示移動距離超過4之后陰影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當D移動過了0點的時候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式則需要看出當時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去△ODE的面積，于是根據(jù)這個構(gòu)造函數(shù)式即可。動態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動與函數(shù)的變化之間的對應關(guān)系，然后利用對應關(guān)系去分段求解。

【解】

（1）由圖（2）知，點的坐標是（2，8）

∴由此判斷：；

∵點的橫坐標是4，是平行于軸的射線，

∴

∴直角梯形的面積為：.....(3分)

（2）當時，

陰影部分的面積=直角梯形的面積的面積(基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關(guān)系)

∴

∵

∴.

∴

.

【例2】

已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？

（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【思路分析】本題看似幾何問題，但是實際上△AOE和△FOB這兩個直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點的橫坐標和縱坐標，而這個乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù)K。所以直接設(shè)點即可輕松證出結(jié)果。第二問有些同學可能依然糾結(jié)這個△EOF的面積該怎么算，事實上從第一問的結(jié)果就可以發(fā)現(xiàn)這個矩形中的三個RT△面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個小RT△面積即可，經(jīng)過一系列化簡即可求得表達式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設(shè)這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻折問題，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就OK.

【解析】

（1）證明：設(shè)，，與的面積分別為，，

由題意得，．

，．

，即與的面積相等．

（2）由題意知：兩點坐標分別為，，(想不到這樣設(shè)點也可以直接用X去代入,麻煩一點而已)

，

．

當時，有最大值．

．

（3）解：設(shè)存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．

由題意得：，，，

，．

又，

．(將已知和所求的量放在這一對有關(guān)聯(lián)的三角形當中)

，，

．

，，解得．

．

存在符合條件的點，它的坐標為．

【例3】

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設(shè)運動的時間為t（秒）。

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

【思路分析】本題是一道和一元二次方程結(jié)合較為緊密的代幾綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經(jīng)探討過解決動點問題的思路就是看運動過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化。對于該題來說，當P,Q運動時，△BPQ的高的長度始終不變，即為CD長，所以只需關(guān)注變化的底邊BQ即可，于是列出函數(shù)式。第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學畫出圖形以后就不知如何下手，此時不要忘記這個題目中貫穿始終的不動量—高，過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利用角度互余關(guān)系就可以證明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立兩個直角三角形直角邊的比例關(guān)系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。這道題放在這里是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關(guān)，利用這個不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組乃至比例關(guān)系才能拿到全分。

【解析】

解：（1）如圖1，過點P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。

∴PM＝DC＝12

∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t

（2）由圖可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。熱以B、P、Q三點

為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2

得，解得t＝；

②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：

即。

由于Δ＝－704＜0

∴無解，∴PB≠BQ…

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得

整理，得。解得（舍）（想想看為什么要舍？函數(shù)自變量的取值范圍是多少？）

綜合上面的討論可知：當t＝秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。

（3）設(shè)存在時刻t，使得PQ⊥BD。如圖2，過點Q作QE⊥ADS，垂足為E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，

得，即。解得t＝9

所以，當t＝9秒時，PQ⊥BD。

【例4】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當t=2時，AP=，點Q到AC的距離是；

（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與

t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）

（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成

為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）當DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值．

【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當中的函數(shù)題。但是本題略有不同的是動點有一個折返的動作，所以加大了思考的難度,但是這個條件基本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應當注意到的是在運動過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了AC和CB的長度,據(jù)此估計出運動可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關(guān)系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE//QB和PQ//BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關(guān)系去求解.

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于點F，如圖3，AQ=CP=t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

（3）能．

①當DE∥QB時，如圖4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠AQP=90°．

由△APQ∽△ABC，得，

即．解得．

②如圖5，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠APQ=90°．

由△AQP∽△ABC，得，

即．解得．

（4）或．

【注：①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C．

方法一、連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖6．

，．

由，得，解得．

方法二、由，得，進而可得

，得，∴．∴．

②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7．

，

【例5】

如圖，在中，，，，分別是邊的中點，點從點出發(fā)沿方向運動，過點作于，過點作交于

，當點與點重合時，點停止運動．設(shè)，．

（1）求點到的距離的長；

（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．

【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實就是重要暗示，算DH的長度實際上就是后面PQ的長度，在構(gòu)建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最重要的是找到y(tǒng)(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現(xiàn)RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例關(guān)系得出結(jié)果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構(gòu)成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.

解：（1），，，．

點為中點，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①當時，過點作于，則．

，，

．

，，

，．

②當時，，

．

③當時，則為中垂線上的點，

于是點為的中點，

．

，

，．

綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．

【總結(jié)】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動態(tài)幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數(shù)的計算能力。解決這類問題需要注意這么幾個點：首先和純動態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動的量將函數(shù)的變量放在同一組關(guān)系中建立聯(lián)系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)系起來的相似三角形組來構(gòu)造比例關(guān)系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計算環(huán)節(jié)認真細心，做好每一步。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】

如圖所示，菱形的邊長為6厘米，．從初始時刻開始，點、同時從點出發(fā)，點以1厘米/秒的速度沿的方向運動，點以2厘米/秒的速度沿的方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止運動，設(shè)、運動的時間為秒時，與重疊部分的面積為平方厘米（這里規(guī)定：點和線段是面積為的三角形），解答下列問題：

（1）點、從出發(fā)到相遇所用時間是秒；

（2）點、從開始運動到停止的過程中，當是等邊三角形時的值是秒；

（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

【思路分析】此題一二問不用多說，第三問是比較少見的分段函數(shù)。需要將x運動分成三個階段,第一個階段是0≤X≤3，到3時剛好Q到B.第二階段是3≤X≤6，Q從B返回來.第三階段則是再折回去.根據(jù)各個分段運動過程中圖形性質(zhì)的不同分別列出函數(shù)式即可.

【思考2】

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設(shè)運動時間為t秒.

(1)填空：菱形ABCD的邊長是、面積是、高BE的長是；

(2)探究下列問題：

①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；

②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨攖=4秒時的情形，并求出k的值.

【思路分析】依然是面積和時間的函數(shù)關(guān)系，依然是先做垂線，然后利用三角形的比例關(guān)系去列函數(shù)式。注意這里這個函數(shù)式的自變量取值范圍是要去求的，然后在范圍中去求得S的最大值。最后一問翻折后若要構(gòu)成菱形，則需三角形APQ為等腰三角形即可，于是繼續(xù)分情況去討論就行了。

【思考3】

已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運動的時間為秒．

（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；

（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為．求四邊形的面積隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

【思路分析】第一問就是看運動到特殊圖形那一瞬間的靜止狀態(tài)，當成正常的幾何題去求解。因為要成為矩形只有一種情況就是PM=QN，所以此時MN剛好被三角形的高線垂直平分，不難。第二問也是較為明顯的分段函數(shù)問題。首先是N過AB中點之前，其次是N過中點之后同時M沒有過中點，最后是M,N都過了中點，按照這三種情況去分解題目討論。需要注意的就是四邊形始終是個梯形，且高MN是不變的，所以PM和QN的長度就成為了求面積S中變化的部分。

這一類題目計算繁瑣，思路多樣，所以希望大家仔細琢磨這8個經(jīng)典題型就可以了，中考中總逃不出這些題型的。只要研究透了，面對它們的時候思路上來的就快，做題自然不在話下了。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）6．

（2）8．

（3）①當0時，

．

②當3時，

=

③當時，設(shè)與交于點．

(解法一)

過作則為等邊三角形．

．

（解法二）

如右圖，過點作于點，，于點

過點作交延長線于點．

【思考2解析】

解：（1）5,24,

（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.

如圖1,過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=,…………………………1分

∴(≤t≤5).

……1分

∵(≤t≤5).（這個自變量的范圍很重要）

∴當t=時，S最大值為6.

②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組

成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可.

當t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=.

以下分兩種情況討論:

第一種情況：當點Q在CB上時,∵PQ≥BEPA，∴只存在點Q1,使Q1A=Q1P.

如圖2,過點Q1作Q1M⊥AP，垂足為點M，Q1M交AC于點

F,則AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得

,∴,

∴.

∴CQ1==.則,∴.

第二種情況：當點Q在BA上時,存在兩點Q2,Q3,

分別使AP=AQ2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如圖3,CB+BQ2=10-4=6.

則,∴.

②若PA=PQ3，如圖4,過點P作PN⊥AB，垂足為N，

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE=,∴AN＝.

∴AQ3=2AN=,∴BC+BQ3=10-

則.∴.

綜上所述，當t=4秒，以所得的等腰三角形APQ

沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.

【思考3解析】

過點作垂足為點，

在中，

若不小于，

則

即

踏板離地面的高度至少等于3.5cm．

26．（10分）

（1）過點作，垂足為．

則，

當運動到被垂直平分時，四邊形是矩形，

即時，四邊形是矩形，

秒時，四邊形是矩形．

，

（2）當時，

中考數(shù)學幾何初步專題基礎(chǔ)知識復習

老師會對課本中的主要教學內(nèi)容整理到教案課件中，大家應該要寫教案課件了。我們要寫好教案課件計劃，才能在以后有序的工作！你們會寫多少教案課件范文呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“中考數(shù)學幾何初步專題基礎(chǔ)知識復習”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

中考數(shù)學總復習專題基礎(chǔ)知識回顧三幾何初步

一、單元知識網(wǎng)絡：

二、考試目標要求：

了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實際問題；了解角的概念和表示方法，會把角進行分類以及進行角的度量和計算；掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質(zhì)和判定；了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題.

具體目標：

1、圖形的認識

(1)點、線、面

①認識點、線、面(如交通圖上用點表示城市，屏幕上的畫面是由點組成的).

②認識直線、射線、線段及性質(zhì).

③會比較線段的大小，會計算線段的和、差、倍、分，并會進行簡單計算.

④了解線段的中點.

(2)角

①通過豐富的實例，進一步認識角.

②會比較角的大小，能估計一個角的大小，會計算角度的和與差，認識度、分、秒，會進行簡單換

算.

③了解角平分線及其性質(zhì)

(3)相交線與平行線

①了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等.

②了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會點到直線距離的意義.

③知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.

④了解線段垂直平分線及其性質(zhì).

⑤知道兩直線平行同位角相等，進一步探索平行線的性質(zhì).

⑥知道過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這

條直線的平行線.

⑦體會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離.

2、尺規(guī)作圖

①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直

平分線.

②了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法(不要求證明).

3、命題與證明

①理解證明的定義和必要性.

②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件(題設(shè))和結(jié)論.

③結(jié)合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立.

④掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù).

三、知識考點梳理

知識點一、直線的概念和性質(zhì)

1．直線的定義：

代數(shù)中學習的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義)

2．直線的兩種表示方法：

(1)用表示直線上的任意兩點的大寫字母來表示這條直線，如直線AB，其中A、B是表示直線上兩點的字

母；

(2)用一個小寫字母表示直線，如直線a.

3．直線和點的兩種位置關(guān)系

(1)點在直線上(或說直線經(jīng)過某點)；

(2)點在直線外(或說直線不經(jīng)過某點).

4．直線的性質(zhì)：

過兩點有且只有一條直線(即兩點確定一條直線).

5．同一平面內(nèi)兩條不同直線的位置關(guān)系：

(1)兩條直線無公共點，即平行；

(2)兩條直線有一個公共點，即兩條直線相交，這個公共點叫做兩條直線的交點(兩條直線相交，只有一

個交點).

知識點二、射線、線段的定義和性質(zhì)

1．射線的定義：

直線上一點和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

2．射線的表示方法：

(1)用表示射線的端點和射線上任意一點的大寫字母來表示這條射線，如射線OA，其中O是端點，A是射

線上一點；

(2)用一個小寫字母表示射線，如射線a.

3．線段的定義：

直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，兩個點叫做線段的端點.

4．線段的表示方法：

(1)用表示兩個端點的大寫字母表示，如線段AB，A、B是表示端點的字母；

(2)用一個小寫字母表示，如線段a.

5．線段的性質(zhì)：

所有連接兩點的線中，線段最短(即兩點之間，線段最短).

6．線段的中點：

線段上一點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.

7．兩點的距離：

連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.

知識點三、角

1．角的概念：

(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線分別叫

做角的邊.

(2)定義二：一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面

部分是角的內(nèi)部，射線的端點是角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

2．角的表示方法：

(1)用三個大寫字母來表示，注意將頂點字母寫在中間，如∠AOB；

(2)用一個大寫字母來表示，注意頂點處只有一個角用此法，如∠A；

(3)用一個數(shù)字或希臘字母來表示，如∠1，∠.

3．角的分類：

(1)按大小分類：

銳角----小于直角的角(0°＜＜90°)

直角----平角的一半或90°的角(=90°)

鈍角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)

(2)平角：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當終止位置與起始位置成一條直線時，所成的角叫做平角，平角等

于180°.

(3)周角：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當終止位置又回到起始位置時，所成的角叫做周角，周角等于

360°.

(4)互為余角：如果兩個角的和是一個直角(90°)，那么這兩個角叫做互為余角.

(5)互為補角：如果兩個角的和是一個平角(180°)，那么這兩個角叫做互為補角.

4．角的度量：

(1)度量單位：度、分、秒；

(2)角度單位間的換算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

5．角的性質(zhì)：

同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.

6．角的平分線：

如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.

知識點四、相交線

1．對頂角

(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩

個角叫對頂角.

(2)性質(zhì)：對頂角相等.

2．鄰補角

(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補角.

(2)性質(zhì)：鄰補角互補.

3．垂線

(1)兩條直線互相垂直的定義：當兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線

是互相垂直的，它們的交點叫做垂足.垂直用符號“⊥”來表示

(2)垂線的定義:互相垂直的兩條直線中，其中的一條叫做另一條的垂線，如直線a垂直于直線b，垂足

為O，則記為a⊥b，垂足為O.其中a是b的垂線，b也是a的垂線.

(3)垂線的性質(zhì)：

①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

(4)點到直線的距離定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

4．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個

角，簡稱三線八角，如右圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、

∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯角；∠1和∠5、

∠2和∠6是同旁內(nèi)角.

(2)特點：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個

角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線

(被截線)上.

知識點五、平行線

1．平行線定義：

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”來表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.

2．平行公理及推論：

(1)經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：

如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

3．性質(zhì)：

(1)平行線永遠不相交；

(2)兩直線平行，同位角相等；

(3)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為：

若b∥c，b⊥a，則c⊥a.

4．判定方法：

(1)定義

(2)平行公理的的推論

(3)同位角相等，兩直線平行；

(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

(5)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.

知識點六、命題、定理、證明

1．命題：

(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.

(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題

(3)命題的表達形式：如果……那么……；若……則……；

(4)命題的分類：真命題和假命題

(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).

2．公理、定理：

(1)公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理.

(2)定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理.

3．證明：

用推理的方法證實命題正確性的過程叫做證明.

四、規(guī)律方法指導

1．數(shù)形結(jié)合思想

利用線段的長度、角的角度、對頂角、三線八角等基本幾何圖形，會求線段的長，以及角的度數(shù)，利用圖形的直觀性解決數(shù)的抽象性，能在一定條件下形數(shù)互化，由數(shù)構(gòu)形，以形破數(shù).

2．分類討論思想

直線的交點個數(shù)及位置關(guān)系，角的大小等需要有分類討論的思想，包含多種可能的情況時，應根據(jù)可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論得出各種情況下相應的結(jié)論，不重不漏.

3．化歸與轉(zhuǎn)化思想

在解決利用幾何圖形求線段長度和角的度數(shù)的問題時，常常是將需要解決的問題，通過做輔助線、求和差等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個相對較容易解決的或者已經(jīng)有解決模式的問題，化繁為簡、化難為易，由復雜與簡單的轉(zhuǎn)化.

4．注意觀察、分析、總結(jié)

結(jié)合近幾年中考試卷，幾何基本圖形中的角的計算、與線段和平行有關(guān)的實際問題是當前命題的熱點，常以填空和選擇形式出現(xiàn)，以考查基礎(chǔ)為主；尺規(guī)作圖通常結(jié)合計算和證明出現(xiàn)，要注意弄清概念，認真觀察，總結(jié)規(guī)律，并做到靈活應用.

經(jīng)典例題精析

考點一、直線、射線、線段的概念和性質(zhì)

1．（1）（2010江蘇宿遷）直線上有2010個點,我們進行如下操作：在每相鄰兩點間插入1個點,經(jīng)過3次這樣的操作后,直線上共有__________個點.

答案：16073

（2）下列語句正確的是()

A.延長直線ABB.延長射線OA

C.延長線段AB到C，使AC=BCD.延長線段AB到C，使AC=3AB

考點：直線、射線、線段的性質(zhì).

解析：選項A中直線是向兩方無限延伸的，不能延長，所以A錯；選項B中射線是向一方無限延伸的，而延長射線OA就是指由O向A延長，射線只能反向延長，所以B錯；選項C中AC只能大于BC，線段延長應有方向，而且要符合實際意義，所以C錯.所以選D.

舉一反三

【變式1】下列語句正確的是()

A．如果PA=PB，那么P是線段AB的中點B．線段有一個端點

C．直線AB大于射線ABD．反向延長射線OP(O為端點)

考點：直線、射線、線段的性質(zhì).

解析：在只用幾何語言表達而沒有圖形的情況下，要注意圖形的不同情形，象A中往往容易考慮不到P、A、B三點可能不在同一直線上，要注意線段的中點首先應為線段上一點，而誤選A；線段有兩個端點，所以B錯；直線可以向兩方無限延伸，射線可以向一方無限延伸，所以直線與射線都無法度量長度，不能比較大小，所以C錯.答案選D.

2．(1)數(shù)軸上有兩點A、B分別表示實數(shù)a、b，則線段AB的長度是()

A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│

(2)已知線段AB，在BA的延長線上取一點C，使CA=3AB，則線段CA與線段CB之比為()

A.3：4B.2：3C.3：5D.1：2

考點：數(shù)軸上兩點間的距離和線段的加減.

思路點撥：本類題目注意線段長度是非負數(shù)，若有字母注意使用絕對值.根據(jù)題意，畫圖.

解：(1)中數(shù)軸上兩點間的距離公式為：│a-b│或│b-a│.

(2)如圖，因為CA=3AB，所以CB=4AB，則線段CA與線段CB之比為3AB:4AB=3:4.

答案：(1)C；(2)A

總結(jié)升華：解決本例類型的題目應結(jié)合圖形，即數(shù)形結(jié)合，這樣做起來簡捷.

舉一反三

【變式1】如圖，點A、B、C在直線上，則圖中共有______條線段.

答案：3

【變式2】有一段火車路線，含這段鐵路的首尾兩站在內(nèi)共有5個車站(如圖)，圖中共有幾條線段？在這段線路上往返行車，需印制幾種車票(每種車票要印出上車站與下車站)？

解：線段有10條；車票需要2×10=20種.

總結(jié)升華：在直線上確定線段的條數(shù)公式為:(其中n為直線上點的個數(shù)).在求從一個頂點引出的n條射線所形成的小于平角的角的個數(shù)也可用此公式.

【變式3】已知線段AB=8cm，延長AB至C，使AC=2AB，D是AB中點，則線段CD=______.

思路點撥：解決本例類型的題目應結(jié)合圖形，即數(shù)形結(jié)合，本題考查延長線段的方向和線段的中點的概念.

解：如圖，∵AB=8cmAC=2AB∴AC=2×8=16cm

∵D是AB中點∴AD=8×=4cm∴CD=AC-AD=16-4=12cm

考點二、角

3．下列說法正確的是()

A．角的兩邊可以度量.

B．角是由有公共端點的兩條射線構(gòu)成的圖形.

C．平角的兩邊可以看成直線.

D．一條直線可以看成是一個平角.

考點：角的定義

解析：角的兩邊是射線，不能度量，所以A錯；平角的兩邊也是射線，不能是直線，所以C錯；了解直線和平角兩者之間的區(qū)別，角有頂點，所以D錯.故選B.

4．已知OC平分∠AOB，則下列各式:(1)∠AOC=∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正確的是()

A.只有(1)B.只有(1)(2)C.只有(2)(3)D.(1)(2)(3)

思路點撥：角平分線定義的的三種表達形式.

答案：D

5．（1）（2010山東德州）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E等于（）

（A）30°（B）40°

（C）60°（D）70°

考點：平行線的性質(zhì)、三角形外角定理.

答案：A

（2）已知∠與∠互余，且∠=40°，則∠的補角為_______度.

考點：角互余和互補定義.

思路點撥：本題考查互余、互補兩角的定義，互余、互補只與兩角度數(shù)和有關(guān)，與角的位置無關(guān).

解：∵∠與∠互余，∴∠+∠=90°；∵∠=40°，

∴∠=90°-∠=90°-40°=50°.

∴∠的補角=180°-50°=130°.

舉一反三

【變式1】如圖，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，則圖中互余的角有_______對，互補的角有_______對.

考點：互為余角和互為補角的定義.

思路點撥：在本題目中，當圖中角比較多時，就將圖形的角進行歸類，找出每種相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等的性質(zhì)解決問題，注意要不重不漏.

解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4對；

互補的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、

∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7對.

【變式2】已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角.求證：∠ACD=∠B.

證明：∵AC⊥BC(已知)

∴∠ACB=90°()

∴∠BCD是∠DCA的余角()

∵∠BCD是∠B的余角(已知)

∴∠ACD=∠B()

思路點撥：會根據(jù)所給的語句寫出正確的根據(jù).會用所學的定理、公理、推論等真命題概括幾何語言.

答案：垂直定義；余角定義，同角的余角相等.

6．(1)已知∠1=43°27′，則∠1的余角是_______，補角是________；

(2)18.32°=18°()′()″，216°42′=_______°.

考點：掌握角的單位之間的換算關(guān)系.1°=60′，1′=60″.

解：(1)∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；

∠1的補角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；

(2)0.32°=0.32×60′=19.2′0.2′=0.2×60″=12″所以18.32°=18°19′12″；

42′=0.7°所以216°42′=216.7°.

舉一反三

【變式1】計算.

①②

③④

考點：會計算角之間的和、差、倍、分，注意相鄰單位之間是60進制的，相同單位互相加減.

解：①=68°70′=69°10′

②=62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′

③=67°80′-37°33′=30°47′

④=69°60′÷3=23°20′

7．（1）（2010內(nèi)蒙呼和浩特）8點30分時，鐘表的時針與分針的夾角為__________°．

答案：75

（2）時鐘在1點30分時，時針與分針的夾角為_______度.

解析：時鐘上時針和分針是實際生活中常見的角，分針1小時旋轉(zhuǎn)360度，1分鐘旋轉(zhuǎn)6度；時針1小時旋轉(zhuǎn)30度，1分鐘旋轉(zhuǎn)0.5度.在相同時間下，分針旋轉(zhuǎn)的角度是時針的12倍.鐘表上1和6的夾角為150°，過了半小時，時針轉(zhuǎn)了15°，所以1點30分時，時針與分針的夾角為150°-15°=135°.

舉一反三

【變式1】某火車站的時鐘樓上裝有一個電子報時鐘，在鐘面的邊界上，每一分鐘的刻度處都裝有一只小彩燈，晚上9時35分20秒時，時針與分針所夾的角內(nèi)裝有多少只小彩燈？

解析：9時35分20秒時，時針與分針的夾角間的小格數(shù)為個小格，中間有12個分鐘刻度處，而每一個分鐘刻度處有一只小彩燈，所以它們之間有12個小彩燈.

8．表示O點南偏東15°方向和北偏東25°方向的兩條射線組成的角等于______度.

考點：方位角.

解析：如圖，南北方向上的線與OA、OB的夾角分別為25°和15°，

所以∠AOB=180°-25°-15°=140°.

舉一反三

【變式1】如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°，甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西________度.

考點：方位角在實際中的應用

思路點撥：結(jié)合圖形，在求方位角時，掌握甲和乙之間方向相反的規(guī)律，甲觀察乙是北偏東48°，乙觀察甲就是南偏西48°.

答案：48°.

9．如圖，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，則∠BOD=_________°.

思路點撥：通過觀察圖形，找出各角之間的聯(lián)系，關(guān)鍵是看清角所在的位置，結(jié)合圖形進行計算.

解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠BOC=40°，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，

∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOC=×130°=65°，

∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°.

舉一反三

【變式1】用一副三角板畫角，不能畫出的角的度數(shù)是()

A.15°B.75°C.145°D.165°

思路點撥：了解一副三角板中各角的度數(shù)，總結(jié)規(guī)律：用一副三角板畫角，能畫出的角都是15°的整數(shù)倍.

答案：C

【變式2】以∠AOB的頂點O為端點作射線OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù).

思路點撥：當題目中包含多種可能的情況時，應根據(jù)可能出現(xiàn)的所有情況進行分類，要做到無遺漏、無重復.

答案：(1)第一種情形:OC在∠AOB的外部，

可設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，

則∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.

∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.

第二種情形:OC在∠AOB的內(nèi)部，

可設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，

則∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，

∴9x=18°，即x=2°.

∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.

(2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC=m°，∠BOC=m°.

知識點三、尺規(guī)作圖

10．只用無刻度直尺就能作出的是()

A.延長線段AB至C，使BC=AB；B.過直線上一點A作的垂線

C.作已知角的平分線；D.從點O再經(jīng)過點P作射線OP

解析：A中直尺應有刻度或利用尺規(guī)作圖，B、C是尺規(guī)作圖，但還需要圓規(guī).應選D.

11．已知線段MN，畫一條線段AC=MN的步驟是:第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要畫的線段.

考點：這是尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段的步驟，必須掌握.

答案:第一步:作射線AP；第二步:在射線AP上，以A為圓心，以MN為長為半徑截取AC=MN.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，請把線段AB四等分，簡述步驟.

考點：作線段AB的垂直平分線的方法.

作法：步驟:(1)作AB的垂直平分線MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分線EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分線GH交AB于O3，則O1、O2、O3即為線段AB的四等分點.

12．如圖所示，在圖中作出點C，使得C是∠MON平分線上的點，且AC=OA，并簡述步驟.

思路點撥：用尺規(guī)作圖作已知角的平分線，再用圓規(guī)截取AC=OA.

作法:作法如下:

(1)作∠MON的平分線OB；

(2)以A點為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交OB于C，連結(jié)AC，則C點即為所求.

總結(jié)升華：用尺規(guī)作圖中直尺只起到畫線(直線、射線、線段)的作用.而不能用來量取.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，已知∠AOB和兩點M、N，畫一點P，使得點P到∠AOB的兩邊距離相等，且PM=PN，簡述步驟.

考點：角平分線定理和垂直平分線定理.

作法:

(1)作∠AOB的平分線OC；

(2)連結(jié)MN，并作MN的垂直平分線EF，交OC于P，連結(jié)PM、PN，則P點即為所求.

知識點四、相交線、平行線

13．（1）（2010湖北襄樊）如圖1，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（）

A．150°B．130°C．120°D．100°

圖1．

答案：C

（2）如圖，AD∥BC，AC與BD相交于O，則圖中相等的角有_________對.

思路點撥：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線相交，所得的對頂角相等.

解析：∵AD∥BC∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，

不要忽略對頂角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故應填4對.

14．（1）如圖所示，下列條件中，不能判斷的是()

A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°

考點：平行線的判定.

解析：根據(jù)平行線的判定，A中∠1和∠3是內(nèi)錯角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁內(nèi)角.不難得到：∠2=∠3不能判斷.應選B.

（2）（2010福建寧德）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果∠1=35°，那么∠2是_______°．

考點：平行線的性質(zhì).

答案：55

舉一反三：

【變式1】(1)如圖，若AB∥CD，則∠A、∠E、∠D之間的關(guān)系是().

A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A-∠E+∠D=180°

C.∠A+∠E-∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°

(2)如圖所示，∥，∠1=120°，∠2=100°，則∠3=().

A.20°B.40°C.50°D.60°

考點：平行線的性質(zhì)

思路點撥：通過觀察圖形，可作出一條輔助線，從而把問題化難為易.

(1)(2)

解析：(1)如(1)圖，過E作EF∥AB，則也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180°∠FED=∠D

∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故選C.

(2)如(2)圖，過O作，則OB也平行于，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，

∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°.

15．（1）兩平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線()

A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交

考點：平行線的性質(zhì)和判定.

思路點撥：利用平行線的性質(zhì)和判定，結(jié)合角平分線的定義解決問題.如圖，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分線互相平行.

答案：選B.

（2）(2010重慶市)如圖，點B是△ADC的邊AD的延長線上一點，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，則∠CDB的度數(shù)等于（）

A．70°B．100°C．110°D．120°

思路點撥：由DE∥BC，得∠CDE＝∠C＝50°，所以∠CDB=∠CDE+∠BDE=110°

答案：C

舉一反三：

【變式1】如圖，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度數(shù).

思路點撥：由平行線的性質(zhì)和角平分線定義求出結(jié)果.

解：∵DE∥BC，∠AED=80°

∴∠ACB=∠AED=80°∠EDC=∠DCB

∵CD平分∠ACB

∴∠DCB=∠ACB=40°

∴∠EDC=∠DCB.

【變式2】如圖，已知AB∥CD，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求證:AE∥FC.

思路點撥：這類問題可由題設(shè)出發(fā)找結(jié)論，也可由結(jié)論出發(fā)找題設(shè).

證明：∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°

∵∠DAB=∠BCD∴∠ABC+∠DAB=180°

∴AD∥BC∴∠DAE=∠BEA

∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB

∴∠DAE=∠DAB，∠FCB=∠BCD

∴∠DAE=∠FCB∴∠BEA=∠FCB

∴AE∥FC.

【變式3】已知：如圖，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，

求證：DA⊥AB.

思路點撥：這考查學生整體考慮問題的能力，可以從已知推出結(jié)論，也可以從結(jié)論入手，找出和已知相對應的條件.

證明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA

∴∠1=∠ADC，∠2=∠BCD

∵∠1+∠2=90°

∴∠ADC+∠BCD=180°∴AD∥BC∴∠A+∠B=180°

∵CB⊥AB∴∠B=90°∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90°∴DA⊥AB.

【變式4】求證：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相平行.

思路點撥:考查學生解決這種證明題要先根據(jù)題意畫出圖形，再改寫成已知、求證的幾何語言形式的命題.

已知：如圖，AB∥CD，EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線.

求證：EG∥FR.

證明：∵AB∥CD(已知)

∴∠BEF=∠EFC(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∵EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線(已知)

∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分線定義)

∴2∠1=2∠2(等量代換)

∴∠1=∠2(等式性質(zhì))

∴EG∥FR(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

知識點五、命題、定理

16．（1）（2010浙江溫州）下列命題中，屬于假命題的是()

A．三角形三個內(nèi)角的和等于l80°B．兩直線平行，同位角相等

C．矩形的對角線相等D．相等的角是對頂角．

答案：D

（2）判斷下列語句是不是命題

①延長線段AB()

②兩條直線相交，只有一交點()

③畫線段AB的中點()

④若|x|=2，則x=2()

⑤角平分線是一條射線()

思路點撥：本題考查學生理解命題的概念，判斷語句是否是命題有兩個關(guān)鍵，首先觀察是不是一個完整的句子，再觀察是否作出判斷.

解析：①兩個語句都沒有作出判斷.

答案：①不是②是③不是④是⑤是.

舉一反三：

【變式1】下列語句不是命題的是()

A.兩點之間，線段最短B.不平行的兩條直線有一個交點

C.x與y的和等于0嗎？D.對頂角不相等.

解析:理解命題概念，C答案雖然是句子，但沒有作出判斷，D答案是假命題但也是命題.故選C.

17．下列命題中真命題是()

A.兩個銳角之和為鈍角B.兩個銳角之和為銳角

C.鈍角大于它的補角D.銳角小于它的余角

思路點撥：命題分為真命題、假命題.正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題.

解析：A、B中兩個銳角之和可能是銳角、直角和鈍角；D中的銳角不一定小于它的余角，如50°的余角是40°.應選C

舉一反三：

【變式1】命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等.其中假命題有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：③中，應掌握相等的角不一定是對頂角，但對頂角一定相等；④中只有兩平行直線被第三條直線所截，同位角才能相等.故③④是假命題.應選B.

18．分別寫出下列各命題的題設(shè)和結(jié)論.

(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；

(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

思路點撥：命題分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，可以寫成“如果……，那么……”的形式.

答案：(1)題設(shè)：a∥b，b∥c，結(jié)論：a∥c；

(2)題設(shè)：兩條直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角互補，

結(jié)論：這兩條直線平行.

舉一反三：

【變式1】分別把下列命題寫成“如果……，那么……”的形式.

(1)兩點確定一條直線；(2)等角的補角相等；(3)內(nèi)錯角相等.

答案：(1)如果有兩個定點，那么過這兩點有且只有一條直線

(2)如果兩個角分別是兩個等角的補角，那么這兩個角相等.

(3)如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等.

中考題萃

一、考試目標：

了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實際問題；了解角的概念和表示方法，會把角進行分類以及角的度量和計算；掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質(zhì)和判定；了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題.

二、中考真題：

1.（2010山東威海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，則∠CAE的度數(shù)是（）

A．40°B．60°C．70°D．80°

2．(巴中市)如圖，“吋”是電視機常用尺寸，1吋約為大拇指第一節(jié)的長，則7吋長相當于()

A.一支粉筆的長度B.課桌的長度

C.黑板的寬度D.數(shù)學課本的長度

3．(青海省西寧市)(3分)如果和互補，且，則下列表示的余角的式子中：

①；②；③；④.正確的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

4．(湖南省湘西自治州)(3分)如圖，直線AB、CD相交于O點，若，則∠2、∠3的度數(shù)分別為()

A.120°、60°B.130°、50°

C.140°、40°D.150°、30°

5．（2010四川內(nèi)江）將一副三角板如圖放置，使點A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數(shù)為（）

A．45°B．50°C．60°D．75°

6．(四川樂山市)(3分)如圖，直線相交于點O，OM⊥，若，則等于()

A.56°B.46°C.45°D.44°

7．(海南省)(2分)如圖，AB、CD相交于點O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度數(shù)為()

A.80°B.90°C.100°D.110°

8．(湖北省荊州市)(3分)將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：(1)∠1=∠2；

(2)∠3=∠4；(3)∠2+∠4=90°；(4)∠4+∠5=180°，其中正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

9．(四川宜賓市)(3分)如圖，AB∥CD，直線PQ分別交AB、CD于點F、E，EG是∠FED的平分線，交AB于點

G.若∠QED=40°，那么∠EGB等于()

A.80°B.100°C.110°D．120°

10．(綿陽市)(3分)已知，如圖，∠1=∠2=∠3=55°，則∠4的度數(shù)等于()

A.115°B.120°C.125°D.135°

11．(新疆自治區(qū))(5分)如圖，下列推理不正確的是()

A.∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°B.∵∠1=∠2∴AD∥BC

C.∵AD∥BC∴∠3=∠4D.∵∠A+∠ADC=180°∴AB∥CD

12．（2010山東荷澤）如圖，直線PQ∥MN，C是MN上一點，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，

如果∠FBQ＝50°，則∠ECM的度數(shù)為（）

A．60°B．50°C．40°D．30°

13.（2010江西）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD＝

_____________度．

14．(湖南省株洲市)(3分)已知A、B、C三點在同一條直線上，M、N分別為線段AB、BC的中點，且

AB=60，BC=40，則MN的長為___________.

15．(內(nèi)蒙古)(3分)已知：，則的補角是_________度.

16．(湖南省)(3分)如圖，與相交于點，，，則_____度.

17．(廣州)(3分)如圖，∠1=70°，若m∥n，則∠2=________.

18．(寧夏回族自治區(qū))(3分)如圖，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，則∠BCD=________度.

19．(浙江義烏)(5分)如圖，若，與分別相交于點，與的平

分線相交于點，且，________度.

20．(湛江市)(4分)如圖，請寫出能判定CE∥AB的一個條件_________.

21．(四川省資陽市)如圖，在地面上有一個鐘，鐘面的12個粗線段刻度是整點時時針(短針)所指的位

置.根據(jù)圖中時針與分針(長針)所指的位置，該鐘面所顯示的時刻是______時_______分.

22．(湖北省襄樊市)(3分)如圖，在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可

得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；……照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角_____個.

23．(杭州市)如圖，已知，用直尺和圓規(guī)求作一個，使得.

(只須作出正確圖形，保留作圖痕跡，不必寫出作法)

24.（2010廣東茂名）如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=70o，則∠2的度數(shù)是（）

A．80oB．110oC．120oD．140o

答案解析：

1.C2.D3.B4.D5.D6.B7.C8.D9.C10.C11.C12.C

13.270°14．10或5015．12016．36°17．70°18．2519．60

20．∠CDE=∠A、∠BCE=∠B、∠ACE+∠A=180°(不唯一)21．9，1222．66

23．作圖如下，即為所求作的.

24.B

中考數(shù)學二輪專題復習：幾何綜合題

中考數(shù)學專題復習之十二幾何綜合題

幾何綜合題一般以圓為基礎(chǔ)，涉及相似三角形等有關(guān)知識；這類題雖較難，但有梯度，一般題目中由淺入深有1～3個問題，解答這種題一般用分析綜合法．

【范例講析】：

1.⊿ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點E，點F是BE的中點．

（1）求證：DF是⊙O的切線．

（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的長．

2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線與⊙O相切于點C，過點A作直線的垂線，垂足為點D，連結(jié)AC.

(1)求證：AC平分∠DAB；

(2)若AD=3，AC=，求直徑AB的長。

【闖關(guān)奪冠】

1.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC于點E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．

4.如圖，已知⊙O的兩條弦AC、BD相交于點Q，OA⊥BD．

（1）求證：AB2=AQAC：

（2）若過點C作⊙O的切線交DB的延長線于點P，

求證：PC=PQ．