小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何。

中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座

第三講動(dòng)態(tài)幾何問題

【前言】從歷年中考來看，動(dòng)態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說，動(dòng)態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機(jī)會(huì)拼高分。在這一講，我們著重研究一下動(dòng)態(tài)幾何問題的解法，

第一部分真題精講

【例1】（2010，密云，一模）如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形．【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同學(xué)看到可能就會(huì)無從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問題，首先就是要找誰在動(dòng)，誰沒在動(dòng)，通過分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來說，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動(dòng)，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時(shí)，就變成了一個(gè)靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，如圖①，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形．jAB88.com

∵，．∴．（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問題）∴．（這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）∴．解得．【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】

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九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽動(dòng)態(tài)幾何問題透視輔導(dǎo)教案

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。對(duì)教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，接下來的工作才會(huì)更順利！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽動(dòng)態(tài)幾何問題透視輔導(dǎo)教案”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。

【例題求解】
【例1】如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到A″B″C″的位置，設(shè)BC=1，AC=，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是．
(黃岡市中考題)
思路點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形準(zhǔn)確分割．RtΔABC的兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120°和90°，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個(gè)扇形面積之和．
【例2】如圖，在⊙O中，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，連結(jié)A′B′，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移到點(diǎn)B時(shí)，A′B′的中點(diǎn)的位置()
A．在平分AB的某直線上移動(dòng)B．在垂直AB的某直線上移動(dòng)
C．在AmB上移動(dòng)D．保持固定不移動(dòng)
(荊州市中考題)
思路點(diǎn)撥畫圖、操作、實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

【例3】如圖，菱形OABC的長為4厘米，∠AOC＝60°，動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P出發(fā)2秒后，動(dòng)點(diǎn)Q從O出發(fā)，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路線運(yùn)動(dòng)，過P、Q兩點(diǎn)分別作對(duì)角線AC的平行線．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請(qǐng)你回答下列問題：
(1)當(dāng)=3時(shí)，的值是多少?
(2)就下列各種情形：
①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
(3)在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系．
(吉林省中考題)
思路點(diǎn)撥本例是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問題，又是一個(gè)“分段函數(shù)”問題，需運(yùn)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，將各段分別討論、畫圖、計(jì)算．

注：動(dòng)與靜是對(duì)立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運(yùn)動(dòng)變化的哪一類問題，都真實(shí)地反映了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形的變與不變兩個(gè)方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略．
建立運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值．
【例4】如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1m／秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A—D—C以2cm／秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為2(秒)．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，線段EF與BC平行?
(2)設(shè)12，當(dāng)為何值時(shí)，EF與半圓相切?
(3)當(dāng)1≤2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)給予證明，并求AP：PC的值．
(江西省中考題)
思路點(diǎn)撥動(dòng)中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對(duì)于(1)、(2)，運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方程；對(duì)于(3)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值．

注：動(dòng)態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想．

【例5】⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)；如圖(1)，連結(jié)O2O1并延長交⊙O1于P點(diǎn)，連結(jié)PA、PB并分別延長交⊙O2于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)CO2并延長交⊙O2于E點(diǎn)．已知⊙O2的半徑為R，設(shè)∠CAD=．
(1)求：CD的長(用含R、的式子表示)；
(2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系，并說明理由；
(3)設(shè)點(diǎn)P′為⊙O1上(⊙O2外)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)P′A、P′B并分別延長交⊙O2于C′、D′，請(qǐng)你探究∠C′AD′是否等于?C′D′與P′Ol的位置關(guān)系如何?并說明理由．
(濟(jì)南市中考題)
思路點(diǎn)撥對(duì)于(1)、(2)，作出圓中常見輔助線；對(duì)于(3)，P點(diǎn)雖為OOl上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但⊙O1、⊙O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運(yùn)用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，將ΔABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積是cm(π=3.14159…，最后結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)．(濟(jì)南市中考題)
2．如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，將ΔABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至ΔABC的位置，且使A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的最短路線的長度是cm．
(黃岡市中考題)
3．一塊等邊三角形的木板，邊長為l，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束走過的路徑長度為()
A．B．C．4D．
(煙臺(tái)市中考題)
4．把ΔABC沿AB邊平移到ΔABC的位置，它們的重疊部分的面積是ΔABC的面積的一半，若AB=，則此三角形移動(dòng)的距離AA是()
A．B．C．1D．
(荊門市中考題)
5．如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，⊙O的半徑為r厘米，當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB—BC—CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)．
(1)若r=厘米，求⊙O首次與BC邊相切時(shí)AO的長；
(2)在O移動(dòng)過程中，從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)設(shè)O在整個(gè)移動(dòng)過程中，在ΔABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S0時(shí)，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍．
(江西省中考題)

6．已知：如圖，⊙O韻直徑為10，弦AC=8，點(diǎn)B在圓周上運(yùn)動(dòng)(與A、C兩點(diǎn)不重合)，連結(jié)BC、BA，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．設(shè)CB的長為，CD的長為．
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時(shí)，求的值；
(2)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時(shí)的取值范圍；
(3)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，如果過B作BE⊥AC于E，那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長．
(太原市中考題)
7．如圖，已知A為∠POQ的邊OQ上一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn)，且∠MAN=∠POQ=(為銳角)．當(dāng)∠MAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(∠MAN保持不變)時(shí)，M、N兩點(diǎn)在射線OP上同時(shí)以不同的速度向右平移移動(dòng)．設(shè)OM=，ON=(≥0)，ΔAOM的面積為S，若cos、OA是方程的兩個(gè)根．
(1)當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OAM=30°)時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離；
(2)求證：AN2=ONMN；
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；
(4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍．
(河北省中考題)
8．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．
(1)求BC、AD的長度；
(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(青島市中考)

9．已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S．
(1)當(dāng)n=l、2時(shí)，如圖②、③，觀察運(yùn)動(dòng)情況，寫出四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使?
(2)當(dāng)n=3時(shí)，如圖④，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使；
(3)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請(qǐng)說明理由．
(福建省三明市中考題)
10．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位／秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位／秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，B(4，2)，以BE為直徑作⊙O1．
(1)若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與⊙O1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)在(1)的條件下，連結(jié)FB，幾秒時(shí)FB與⊙O1相切?
(3)如圖2，若E點(diǎn)提前2秒出發(fā)，點(diǎn)F再出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后，E點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)BA⊥軸于A點(diǎn)，連結(jié)AF交⊙O1于點(diǎn)P，試問PAFA的值是否會(huì)發(fā)生變化?若不變，請(qǐng)說明理由，并求其值；若變化，請(qǐng)求其值的變化范圍．
(武漢市中考題)

參考答案

中考數(shù)學(xué)專題：動(dòng)態(tài)幾何問題

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，規(guī)劃教案課件的時(shí)刻悄悄來臨了。在寫好了教案課件計(jì)劃后，這樣我們接下來的工作才會(huì)更加好！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？小編特地為您收集整理“中考數(shù)學(xué)專題：動(dòng)態(tài)幾何問題”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

中考數(shù)學(xué)專題3動(dòng)態(tài)幾何問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形．

【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同學(xué)看到可能就會(huì)無從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問題，首先就是要找誰在動(dòng)，誰沒在動(dòng)，通過分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來說，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動(dòng)，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時(shí)，就變成了一個(gè)靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果。

【解析】

解：（1）由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，如圖①，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形．

∵，．

∴．（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問題）

∴．（這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）

∴．解得．

【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解

【解析】

（2）分三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，如圖②作交于，則有即．（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）

∵，

②當(dāng)時(shí)，如圖③，過作于H．

則，

③當(dāng)時(shí)，

則．

．

綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45．點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如圖①，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）如果AB≠AC，如圖②，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC＝，，CD=，求線段CP的長．（用含的式子表示）

【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止，而本題并未給出那個(gè)“靜止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動(dòng)的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解。

【解析】：

（1）結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：AB=AC，∠ACB=45，∴∠ABC=45．

由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90，

∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD．

【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。

（2）CF⊥BD．(1)中結(jié)論成立．

理由是：過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD

【思路分析3】這一問有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.

（3）過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q，

①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，

易證△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．

過A作交CB延長線于點(diǎn)G，則．CF⊥BD，

△AQD∽△DCP，∴，∴，

【例3】已知如圖，在梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形．

（1）求證：梯形是等腰梯形；

（2）動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且保持不變．設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說明理由．

【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過程中什么東西是不變的。題目給定∠MPQ=60°，這個(gè)度數(shù)的意義在哪里？其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢?當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

（1）證明：∵是等邊三角形

∴

∵是中點(diǎn)

∴

（2）解：在等邊中，

∴(這個(gè)角度傳遞非常重要,大家要仔細(xì)揣摩)

∵∴

∴∴(設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)

【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對(duì)稱軸的值時(shí)Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求△PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點(diǎn)，于是問題輕松求解。

（3）解：為直角三角形

∵

∴當(dāng)取最小值時(shí)，

∴是的中點(diǎn)，而

以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn)，而是一些具體的圖形時(shí)，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.

【例4】已知正方形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，連接，為中點(diǎn)，連接．

（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點(diǎn)，連接，．

你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

（3）將圖1中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）

【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系。第一問自不必說，兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將△BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊形ADFE，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的方法，自然想到過G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了。

（1）

（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即．

證明：連接，過點(diǎn)作于，與的延長線交于點(diǎn)．

在與中，

∵，

∴．

∴．

在與中，

∵，

∴．

∴

在矩形中，

在與中，

∵，

∴．

∴．

∴

【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動(dòng)態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果△BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個(gè)思路供參考：在△BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)?？梢匝娱L一倍EG到H，從而構(gòu)造一個(gè)和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個(gè)等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．

【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．

（1）當(dāng)=1時(shí)，CF=______cm，

（2）當(dāng)=2時(shí)，求sin∠DAB′的值；

（3）當(dāng)=x時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合），請(qǐng)寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）．

【思路分析】動(dòng)態(tài)問題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對(duì)稱）也是一大熱點(diǎn)。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延長之后一眼看出，EAZY）

（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長AB′交DC于點(diǎn)M，

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．

∵=2，∴CF=3．

∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．

設(shè)MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=(9-k)2+62，解得k=MA=．∴DM=．（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方法）

∴sin∠DAB′=；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，延長AD交B′E于點(diǎn)N，

同①可得NA=NE．

設(shè)NA=NE=m，則B′N=12-m．

在Rt△AB′N中，由勾股定理，得

m2=(12-m)2+62，解得m=AN=．∴B′N=．

∴sin∠DAB′=．

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，y=；

（所求△AB′E的面積即為△ABE的面積，再由相似表示出邊長）

②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，y=．

【總結(jié)】通過以上五道例題，我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形動(dòng)這么幾種可能的方式。動(dòng)態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因?yàn)闊o論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個(gè)個(gè)將條件抽出來,將大問題化成若干個(gè)小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：

第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的，哪些量是不動(dòng)的。針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量，要分析它是如何運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)過程是否需要分段考慮，分類討論。針對(duì)不動(dòng)的量，要分析它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。

第二、畫出圖形，進(jìn)行分析，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。

第三、做題過程中時(shí)刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持，且．

（1）求證：∽；

（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；

（3）設(shè)，請(qǐng)?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的周長；若無關(guān)，請(qǐng)說明理由．

【思路分析】本題動(dòng)點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個(gè)直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計(jì)算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個(gè)定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。

【思考2】△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，

且∠PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA，

（1）當(dāng)BP與BA重合時(shí)（如圖1），∠BPD=°；

（2）當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖2），求∠BPD的度數(shù)；

（3）當(dāng)BP在∠ABC的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形．

【思路分析】本題中，和動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)的動(dòng)量有∠PBC，以及D點(diǎn)的位置，但是不動(dòng)的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實(shí)上，P點(diǎn)的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個(gè)圓，那D點(diǎn)是什么呢？留給大家思考一下~

【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．

點(diǎn)O為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點(diǎn)P，交線段OD于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN．

（1）當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長；

（2）點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)BO為多長時(shí)BP=MN；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中，以點(diǎn)C為圓心，CN為半徑作⊙C，請(qǐng)直接寫出當(dāng)⊙C存在時(shí)，⊙O與⊙C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的⊙C半徑CN的取值范圍。

【思路分析】這道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問題。在和圓有關(guān)的問題當(dāng)中，時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計(jì)算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。

【思考4】在中，過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)

（1）在圖1中畫圖探究：

①當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P1不與C重合）時(shí)，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.

（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的條件下，設(shè)CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.

【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實(shí)際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

（1）證明：∵，∴．∴．

又∵，∴．

∴．∴∽．

（2）證明：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

∵是的中點(diǎn)，容易證明．

在中，∵，∴．

∴．

∴．

（3）解：的周長，．

設(shè)，則．

∵，∴．即．

∴．

由（1）知∽，

∴．

∴的周長的周長．

∴的周長與值無關(guān)．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD=30°；

（2）如圖8，連結(jié)CD．

解一：∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上，

∴∠1=∠2．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC=AC，∠ACB=60°．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵BD=BD，

∴△PBD≌△CBD．

∴∠BPD=∠3．-----------------3分

∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，

∴△BCD≌△ACD．

∴．

∴∠BPD=30°．

解二：∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC=AC．

∵DB=DA，

∴CD垂直平分AB．

∴．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上，

∴△PBD與△CBD關(guān)于BD所在直線對(duì)稱．

∴∠BPD=∠3．

∴∠BPD=30°．

（3）∠BPD=30°或150°．

圖形見圖9、圖10．

【思考3解析】

解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．

∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，

∴AD=EC=BC－BE=3．

當(dāng)BO=AD=3時(shí)，在⊙O中，過點(diǎn)O作OH⊥AB,則BH=HP

∵,∴BH=．

∴BP=．

（2）不存在BP=MN的情況-

假設(shè)BP=MN成立，

∵BP和MN為⊙O的弦，則必有∠BOP=∠DOC.

過P作PQ⊥BC，過點(diǎn)O作OH⊥AB,

∵CD⊥BC，則有△PQO∽△DOC-

設(shè)BO=x，則PO=x,由，得BH=,

∴BP=2BH=.

∴BQ=BP×cosB=，PQ=．

∴OQ=．

∵△PQO∽△DOC，∴即，得．

當(dāng)時(shí)，BP==＞5=AB，與點(diǎn)P應(yīng)在邊AB上不符，

∴不存在BP=MN的情況.

（3）情況一：⊙O與⊙C相外切，此時(shí)，0＜CN＜6；------7分

情況二：⊙O與⊙C相內(nèi)切，此時(shí)，0＜CN≤.-------8分

【思考4解析】

解：（1）①直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直．

證明：如圖1，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為．

∵線段分別繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段，

②按題目要求所畫圖形見圖1，直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直．

（2）∵四邊形是平行四邊形，

∴．

∴．

可得．

由（1）可得四邊形為正方形．

∴．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，

∵，

∴．

∴．

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不與兩點(diǎn)重合）時(shí)，

∵，

∴．

③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即時(shí)，不存在．

綜上所述，與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍是或．

中考數(shù)學(xué)專題：動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問題

做好教案課件是老師上好課的前提，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計(jì)劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《中考數(shù)學(xué)專題：動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問題》，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

中考數(shù)學(xué)專題8動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問題

【前言】

在第三講中我們已經(jīng)研究了動(dòng)態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時(shí)候沒有對(duì)其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個(gè)側(cè)重，第一個(gè)是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識(shí)來考察。而另一個(gè)則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個(gè)引入點(diǎn)，更多的考察了考生的計(jì)算功夫。但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴(yán)格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點(diǎn)放在了對(duì)函數(shù)，方程的應(yīng)用上。其中通過圖中已給幾何圖形構(gòu)建函數(shù)是重點(diǎn)考察對(duì)象。不過從近年中考的趨勢(shì)上看，要求所構(gòu)建的函數(shù)為很復(fù)雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個(gè)較為簡單的函數(shù)式，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)的考試說明當(dāng)中“減少復(fù)雜性”“增大靈活性”的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復(fù)雜計(jì)算題僅供參考。

【例1】

如圖①所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與軸負(fù)半軸上.過點(diǎn)B、C作直線.將直線平移，平移后的直線與軸交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E.

（1）將直線向右平移，設(shè)平移距離CD為（t≥0），直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.

（2）當(dāng)時(shí)，求S關(guān)于的函數(shù)解析式.

【思路分析】本題雖然不難，但是非?？简?yàn)考生對(duì)于函數(shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學(xué)感覺，反應(yīng)不上來那個(gè)M點(diǎn)是何含義，于是無從下手。其實(shí)M點(diǎn)就表示當(dāng)平移距離為2的時(shí)候整個(gè)陰影部分面積為8，相對(duì)的，N點(diǎn)表示移動(dòng)距離超過4之后陰影部分面積就不動(dòng)了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D移動(dòng)過了0點(diǎn)的時(shí)候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式則需要看出當(dāng)時(shí)，陰影部分面積就是整個(gè)梯形面積減去△ODE的面積，于是根據(jù)這個(gè)構(gòu)造函數(shù)式即可。動(dòng)態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動(dòng)與函數(shù)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系去分段求解。

【解】

（1）由圖（2）知，點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，8）

∴由此判斷：；

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，是平行于軸的射線，

∴

∴直角梯形的面積為：.....(3分)

（2）當(dāng)時(shí)，

陰影部分的面積=直角梯形的面積的面積(基本上實(shí)際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補(bǔ)關(guān)系)

∴

∵

∴.

∴

.

【例2】

已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值為多少？

（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)，使得將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【思路分析】本題看似幾何問題，但是實(shí)際上△AOE和△FOB這兩個(gè)直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，而這個(gè)乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù)K。所以直接設(shè)點(diǎn)即可輕松證出結(jié)果。第二問有些同學(xué)可能依然糾結(jié)這個(gè)△EOF的面積該怎么算，事實(shí)上從第一問的結(jié)果就可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)矩形中的三個(gè)RT△面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個(gè)小RT△面積即可，經(jīng)過一系列化簡即可求得表達(dá)式，利用對(duì)稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設(shè)這個(gè)點(diǎn)存在，看看能不能證明出來。因?yàn)槭欠蹎栴}，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就OK.

【解析】

（1）證明：設(shè)，，與的面積分別為，，

由題意得，．

，．

，即與的面積相等．

（2）由題意知：兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(想不到這樣設(shè)點(diǎn)也可以直接用X去代入,麻煩一點(diǎn)而已)

，

．

當(dāng)時(shí)，有最大值．

．

（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)，將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．

由題意得：，，，

，．

又，

．(將已知和所求的量放在這一對(duì)有關(guān)聯(lián)的三角形當(dāng)中)

，，

．

，，解得．

．

存在符合條件的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為．

【例3】

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）。

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【思路分析】本題是一道和一元二次方程結(jié)合較為緊密的代幾綜合題，大量時(shí)間都在計(jì)算上。第三講的時(shí)候我們已經(jīng)探討過解決動(dòng)點(diǎn)問題的思路就是看運(yùn)動(dòng)過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化。對(duì)于該題來說，當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPQ的高的長度始終不變，即為CD長，所以只需關(guān)注變化的底邊BQ即可，于是列出函數(shù)式。第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個(gè)條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學(xué)畫出圖形以后就不知如何下手，此時(shí)不要忘記這個(gè)題目中貫穿始終的不動(dòng)量—高，過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利用角度互余關(guān)系就可以證明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立兩個(gè)直角三角形直角邊的比例關(guān)系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。這道題放在這里是想讓各位體會(huì)一下那個(gè)不動(dòng)量高的作用，每一小問都和它休戚相關(guān)，利用這個(gè)不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組乃至比例關(guān)系才能拿到全分。

【解析】

解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。

∴PM＝DC＝12

∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t

（2）由圖可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。熱以B、P、Q三點(diǎn)

為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2

得，解得t＝；

②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：

即。

由于Δ＝－704＜0

∴無解，∴PB≠BQ…

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得

整理，得。解得（舍）（想想看為什么要舍？函數(shù)自變量的取值范圍是多少？）

綜合上面的討論可知：當(dāng)t＝秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。

（3）設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD。如圖2，過點(diǎn)Q作QE⊥ADS，垂足為E。由Rt△BDC∽R(shí)t△QPE，

得，即。解得t＝9

所以，當(dāng)t＝9秒時(shí)，PQ⊥BD。

【例4】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=，點(diǎn)Q到AC的距離是；

（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求△APQ的面積S與

t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）

（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成

為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說明理由；

（4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當(dāng)中的函數(shù)題。但是本題略有不同的是動(dòng)點(diǎn)有一個(gè)折返的動(dòng)作，所以加大了思考的難度,但是這個(gè)條件基本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應(yīng)當(dāng)注意到的是在運(yùn)動(dòng)過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因?yàn)榻o出了AC和CB的長度,據(jù)此估計(jì)出運(yùn)動(dòng)可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關(guān)系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE//QB和PQ//BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關(guān)系去求解.

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖3，AQ=CP=t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

（3）能．

①當(dāng)DE∥QB時(shí)，如圖4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．

此時(shí)∠AQP=90°．

由△APQ∽△ABC，得，

即．解得．

②如圖5，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．

此時(shí)∠APQ=90°．

由△AQP∽△ABC，得，

即．解得．

（4）或．

【注：①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C．

方法一、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖6．

，．

由，得，解得．

方法二、由，得，進(jìn)而可得

，得，∴．∴．

②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖7．

，

【例5】

如圖，在中，，，，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于

，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)，．

（1）求點(diǎn)到的距離的長；

（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實(shí)就是重要暗示，算DH的長度實(shí)際上就是后面PQ的長度，在構(gòu)建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最重要的是找到y(tǒng)(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現(xiàn)RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例關(guān)系得出結(jié)果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構(gòu)成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.

解：（1），，，．

點(diǎn)為中點(diǎn)，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，則．

，，

．

，，

，．

②當(dāng)時(shí)，，

．

③當(dāng)時(shí)，則為中垂線上的點(diǎn)，

于是點(diǎn)為的中點(diǎn)，

．

，

，．

綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形．

【總結(jié)】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動(dòng)態(tài)幾何題是偏難的，不光對(duì)幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗(yàn)考生的方程、函數(shù)的計(jì)算能力。解決這類問題需要注意這么幾個(gè)點(diǎn)：首先和純動(dòng)態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動(dòng)的量將函數(shù)的變量放在同一組關(guān)系中建立聯(lián)系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)系起來的相似三角形組來構(gòu)造比例關(guān)系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計(jì)算環(huán)節(jié)認(rèn)真細(xì)心，做好每一步。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】

如圖所示，菱形的邊長為6厘米，．從初始時(shí)刻開始，點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以1厘米/秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以2厘米/秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，與重疊部分的面積為平方厘米（這里規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為的三角形），解答下列問題：

（1）點(diǎn)、從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是秒；

（2）點(diǎn)、從開始運(yùn)動(dòng)到停止的過程中，當(dāng)是等邊三角形時(shí)的值是秒；

（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

【思路分析】此題一二問不用多說，第三問是比較少見的分段函數(shù)。需要將x運(yùn)動(dòng)分成三個(gè)階段,第一個(gè)階段是0≤X≤3，到3時(shí)剛好Q到B.第二階段是3≤X≤6，Q從B返回來.第三階段則是再折回去.根據(jù)各個(gè)分段運(yùn)動(dòng)過程中圖形性質(zhì)的不同分別列出函數(shù)式即可.

【思考2】

已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)填空：菱形ABCD的邊長是、面積是、高BE的長是；

(2)探究下列問題：

①若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；

②若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過程中,任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時(shí)的情形，并求出k的值.

【思路分析】依然是面積和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，依然是先做垂線，然后利用三角形的比例關(guān)系去列函數(shù)式。注意這里這個(gè)函數(shù)式的自變量取值范圍是要去求的，然后在范圍中去求得S的最大值。最后一問翻折后若要構(gòu)成菱形，則需三角形APQ為等腰三角形即可，于是繼續(xù)分情況去討論就行了。

【思考3】

已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；

（2）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形的面積為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．求四邊形的面積隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

【思路分析】第一問就是看運(yùn)動(dòng)到特殊圖形那一瞬間的靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)成正常的幾何題去求解。因?yàn)橐蔀榫匦沃挥幸环N情況就是PM=QN，所以此時(shí)MN剛好被三角形的高線垂直平分，不難。第二問也是較為明顯的分段函數(shù)問題。首先是N過AB中點(diǎn)之前，其次是N過中點(diǎn)之后同時(shí)M沒有過中點(diǎn)，最后是M,N都過了中點(diǎn)，按照這三種情況去分解題目討論。需要注意的就是四邊形始終是個(gè)梯形，且高M(jìn)N是不變的，所以PM和QN的長度就成為了求面積S中變化的部分。

這一類題目計(jì)算繁瑣，思路多樣，所以希望大家仔細(xì)琢磨這8個(gè)經(jīng)典題型就可以了，中考中總逃不出這些題型的。只要研究透了，面對(duì)它們的時(shí)候思路上來的就快，做題自然不在話下了。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）6．

（2）8．

（3）①當(dāng)0時(shí)，

．

②當(dāng)3時(shí)，

=

③當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)．

(解法一)

過作則為等邊三角形．

．

（解法二）

如右圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，于點(diǎn)

過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．

【思考2解析】

解：（1）5,24,

（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.

如圖1,過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=,…………………………1分

∴(≤t≤5).

……1分

∵(≤t≤5).（這個(gè)自變量的范圍很重要）

∴當(dāng)t=時(shí)，S最大值為6.

②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組

成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可.

當(dāng)t=4秒時(shí)，∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，∴AP=.

以下分兩種情況討論:

第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí),∵PQ≥BEPA，∴只存在點(diǎn)Q1,使Q1A=Q1P.

如圖2,過點(diǎn)Q1作Q1M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q1M交AC于點(diǎn)

F,則AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得

,∴,

∴.

∴CQ1==.則,∴.

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí),存在兩點(diǎn)Q2,Q3,

分別使AP=AQ2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如圖3,CB+BQ2=10-4=6.

則,∴.

②若PA=PQ3，如圖4,過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE=,∴AN＝.

∴AQ3=2AN=,∴BC+BQ3=10-

則.∴.

綜上所述，當(dāng)t=4秒，以所得的等腰三角形APQ

沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.

【思考3解析】

過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，

在中，

若不小于，

則

即

踏板離地面的高度至少等于3.5cm．

26．（10分）

（1）過點(diǎn)作，垂足為．

則，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到被垂直平分時(shí)，四邊形是矩形，

即時(shí)，四邊形是矩形，

秒時(shí)，四邊形是矩形．

，

（2）當(dāng)時(shí)，