高中立體幾何教案

高三數(shù)學立體幾何4。

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務(wù)。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“高三數(shù)學立體幾何4”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

考試要求：1、掌握平面的基本性質(zhì)，會用斜二側(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。2、掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念，掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理。3、理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘。4、了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算。5、掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間距離公式。6、理解直線的方向向量，平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念。7、掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念。對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在坐標表示下的距離。掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理。掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理。8、了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念。9、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖。10、了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會畫正棱錐的直觀圖。11、了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。

相關(guān)知識

立體幾何教案

空間向量與立體幾何

3.1.3空間向量的數(shù)量積運算
教學設(shè)計
教學目標：
知識與技能目標：
知識：1.掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；
2．掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題.
技能：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題
過程與方法目標：
1.培養(yǎng)類比等探索性思維，提高學生的創(chuàng)新能力.
2.培養(yǎng)學生把空間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題的思想.
情感與態(tài)度目標：
1.獲得成功的體驗,激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情；
2.學習向量在空間立體幾何中的應用,感受到數(shù)學的無窮魅力.
教學重點：兩個向量的數(shù)量積的計算方法及其應用.
教學難點：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題.
教輔工具：多媒體課件
教學程序設(shè)計：
程序教師活動學生活動設(shè)計意圖
類比學習
類比平面向量夾角的定義,理解空間向量的夾角.對于思考題,主要是讓學生理解夾角的概念,
類比學習
類比平面向量數(shù)量積的定義.學生集體回答出空間向量的數(shù)量積定義及幾何意義等.
理解空間向量數(shù)量積的定義和幾何意義.特別要理解投影的概念.

對于幾個重要的結(jié)論,主要是讓學生理解幾個重要的結(jié)論,特別是長度和夾角的計算公式.
對于練習1、2和3,學生獨立完成后,同桌間交流.
對于練習1，2和3,主要是讓學生熟悉向量數(shù)量積公式,理解數(shù)量積的概念。

例題1的目的是讓學生理解用向量的方法求異面直線所成的角。

例題2的目的是讓學生理解用向量的方法求線段的長度。

例題3的目的是讓學生理解用向量的方法證明垂直問題。
練習鞏固
學生動手自行解決問題，講解鞏固用向量的方法求異面直線所成的角。

鞏固用向量的方法求線段的長度。
鞏固用向量的方法證明垂直問題。
小結(jié)
師生共同完成。
作業(yè)教材習題3.1A組：第3題，第5題.

立體幾何備考指導

立體幾何備考指導
立體幾何是高考的重點內(nèi)容之一.從近幾年高考試卷來看，題量最少的也要有一大一小兩道題.一道大題是整套試卷得分高低的關(guān)鍵，一般考查線面的平行與垂直，角度和距離的計算.本文就通過對六例高考題的分析，對立體幾何的備考談一些粗淺的建議，供大家參考.
一、線線，線面，面面位置關(guān)系問題
立體幾何知識建立在四個公理的體系之上，因此，在復習時應先整理歸納，把空間線面位置關(guān)系一體化，理解和掌握線線，線面，面面平行和垂直的判定與性質(zhì)，形成熟練的轉(zhuǎn)化推理能力.具體來說，可分為四大塊：①平面的基本性質(zhì)（四個公理）；②線線，線面，面面的平行與垂直；③夾角；④常見的幾何體和球.根據(jù)每部分內(nèi)容，先理解記熟，明確條件和結(jié)論，掌握用法和用途，再通過典型例題總結(jié)解題方法，并進行強化訓練.高*考*資+源-網(wǎng)
例1（天津文）是空間兩條不同直線，是空間兩個不同平面，下面有四個命題：
①；
②；
③；
④.
其中真命題的編號是_____.（寫出所有真命題的編號）

解：如圖1，，過A在平面內(nèi)作，
∵，從而m⊥n，故①對.
②錯，如圖1，n可能會平移至內(nèi).
③錯，如圖2，n可能會在內(nèi).
④對，兩條平行直線中的一條垂直兩平行平面的一個，則另一條也垂直于另一個平面.
其中真命題的編號是①④.
點評：線線，線面，面面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理，是解決此類問題的依據(jù)，實物的演示，構(gòu)造特例法是常用方法！
二、空間角與空間距離問題
空間角與距離問題，難度可大可小，主觀，客觀題都有，是高考的必考內(nèi)容，復習過程中要多加訓練，熟練掌握，達到爐火純青的程度.
例2（安徽文）平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：①1；②2；③3；④4.
以上結(jié)論正確的為_____.（寫出所有正確結(jié)論的編號）
（安徽理）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相
鄰的.如圖3，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在
的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為
1，2和4.Ｐ是正方體的其余四個頂點的一個，則Ｐ到平面的
距離可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上結(jié)論正確的為_____.（寫出所有正確結(jié)論的編號）
解：（文）①③.如果已知兩點與頂點A相鄰，則剩下的一個頂點（平行四邊形的與A在一條對角線上的頂點）到平面的距離必定是3；如果已知兩點有一個與頂點A不相鄰，則剩下的一個頂點到平面的距離只能是1.
（理）①③④⑤.在2－A－1，1－A－4，2－A－4分別對應距離為3，5，6，在3－A－4中對應距離是7，所以選①③④⑤.
點評：從上面解答看，文科試題涉及兩類問題（借用理科試題中的定義，與頂點A相鄰或不相鄰），需要分類討論，如果已知兩頂點與頂點A相鄰時，平行四邊形的兩條對角線都不與平面平行，所求距離必定是3；如果已知兩頂點有一個與頂點A不相鄰，則平行四邊形的一條對角線與平面平行，所求距離只能是1.解決了文科試題將平行四邊形特殊化為正方形，再分別使已知兩頂點與頂點A相鄰，可得到2－A－1，1－A－4，2－A－4，3－A－4組合，對應距離可輕而易舉地寫出來.
三、簡單幾何體的組合問題
高考題中，常出現(xiàn)將兩種簡單幾何體組合起來進行考查的題型.如正方體，長方體或棱錐內(nèi)接于一個球；一個球內(nèi)切于正方體，正四面體；幾個球堆壘在一起等.解答這類題，有時直觀圖是很難畫的，我們可以通過思考加工后畫出對我們解題有幫助的，容易畫出來的立體圖或者截面圖即可.
例3（湖南卷）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖4所示，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）.
（A）（B）（C）（D）

解：先畫出立體圖形如圖5所示，注意到截面有兩點在大圓上，所以截面過四面體的一條棱（不妨設(shè)為AB），又截面過球心，于是，截面過棱CD的中點.從而可知，截面為等腰三角形，該三角形底邊是四面體的棱，長為2，兩腰是四面體表面三角形的高，長為.故答案為（C）.
點評：本題以截面形式考查空間能力.求解關(guān)鍵是要理清截面圖形與原幾何體的位置關(guān)系，然后利用面積公式求解.如果沒有抓住圖形特征，一味地設(shè)法求球的半徑容易陷入困境.
四、折疊與展開問題
平面圖形的折疊問題是高考的老話題，解答這類題應抓住折疊前后兩個圖形中相關(guān)元素之間的大小或者位置關(guān)系.對折疊前后未發(fā)生變化的量應放在折疊前的圖形中進行計算，這樣做顯得直觀易懂.求解空間幾何體兩個或幾個側(cè)面上的折線長之和的最小值，其方法是將側(cè)面展開成平面圖形.
1.折疊問題
例4（山東卷）如圖6，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點P，則三棱錐
P－DCE的外接球的體積為（）.
（A）（B）（C）（D）
解：折疊后形成棱長為1的正四面體，將正四面體的棱作為正方體的面對角線，則該正四面體的外接球就是正方體的外接球，正方體的棱長為，其體對角線長為，外接球的半徑為，體積是，選（C）.

點評：折疊以后成為正四面體需要足夠的想象能力和推理能力，再把正四面體轉(zhuǎn)化到正方體內(nèi)，從外接球處理，則是“奇思妙想”！計算自然簡單，“轉(zhuǎn)化”功不可沒！
2.展開問題
例5（江西卷）如圖8，已知正三棱柱
的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面
繞行兩周到達點的最短路線的長為_____.
解：將正三棱柱的兩個底面剪開，把側(cè)面沿側(cè)棱剪開，
將側(cè)面展開成平面圖形，如圖9所示.質(zhì)點繞側(cè)面兩周的行程應是
折線與的長度之和，欲求與的長度之和的最小值，可在展開圖的右邊補一個與之全等的展開圖，如圖10所示.由對稱性可知，當處在對角線位置的兩條折線與在同一條直線上時，折線與的長度之和最小.最小值為.

點評：本題考查空間中求最短路線問題，解這類問題的關(guān)鍵是化空間問題為平面問題.
五，定義型問題
例6（江西文）如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是（）.
（A）等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等
（B）等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補
（C）等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓
（D）等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上
解：由等腰四棱錐的定義可知，（A），（C），（D）正確，而等腰四棱錐的底面未確定，所以側(cè)面底邊上的高不能確定，從而側(cè)面與底面所成的角不能確定.故選（B）.
點評：本題考查四棱錐的概念.讀懂題中提供的信息，即“等腰四棱錐”的定義是解題的關(guān)鍵.

2012屆高考數(shù)學備考立體幾何復習教案

專題四：立體幾何
階段質(zhì)量評估（四）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形，俯視圖是一個直徑為的圓，那么這個幾何體的全面積為（）
A．B．
C．D．
2．下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖
有且僅有兩個視圖相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如圖，設(shè)平面，垂足分別為，若增加一個條件，就能推出.
現(xiàn)有①②與所成的角相等;
③與在內(nèi)的射影在同一條直線上;④∥.
那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數(shù)是（）
個個個個
4．已知直線和平面，則下列命題正確的是()
AB
CD
5．空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標是（）
A．B．C．D．
6．給定下列四個命題：
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
②若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和另一個平面垂直；
③若一條直線和兩個互相垂直的平面中的一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中，為真命題的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
8．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是()
A.B.
C.直線∥D.直線所成的角為45°
9．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（）
..∥截面
..異面直線與所成的角為
11．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（）
A.B.
C.D.
12．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）異面直線與所成的角為

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．圖2中實線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是。
14．已知一圓錐的底面半徑與一球的半徑相等，且全面積也相等，則圓錐的母線與底面所成角的大小為．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
15．如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點，作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是．
16．已知點O在二面角α－AB－β的棱上，點P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對于β內(nèi)異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．如圖，在長方體，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C1，所爬的最短路程為.
（1）求證：D1E⊥A1D；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角
。若存在，確定
點E的位置；若不存在，請說明理由.

18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論.

19．如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，
是線段的中點。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足
（I）證明：
（II）當取何值時，直線PN與平面ABC
所成的角最大？并求該角最大值的正切值；
（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角
為45°，試確定點P的位置。

21．（本小題滿分12分）
如圖，四面體中，是的中點，和均為等邊三角形，．
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

22．如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點在斜邊上．
（I）求證：平面平面；
（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大??；
（III）求與平面所成角的最大值．

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選A.。
2.【解析】選D.①三個都相同，②正視圖和側(cè)視圖相同，③三個視圖均不同，④正視圖和側(cè)視圖相同。
3.C
4.【解析】選B.對A，，
對C畫出圖形可知，對D，缺少條件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】選C.由于G是PB的中點,故P－GAC的體積等于B－GAC的體積
在底面正六邊形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】選.由∥，∥，⊥可得⊥，故正確；由∥可得∥截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的.

11.【解析】選D.連與交于O點,再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】選D．顯然異面直線與所成的角為。
二、填空題
13.【解析】向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，設(shè)長方體的高為x，則，所以，所以長方體的體積為3。
答案：3

14.
15.【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，，隨著F點到C點時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點P向平面作垂線,設(shè)垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角
的平面角.根據(jù)題意得，由于對于β內(nèi)異于O的任意一點
Q，都有∠POQ≥45°，∴，設(shè)PO=，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中應有
PCPH,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角的范圍是。
若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結(jié)合圖形容易判斷對于β內(nèi)異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范圍是。
答案：

三、解答題
17.【解析】（1）證明：連結(jié)AD1，由長方體的性質(zhì)可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）
（2）設(shè)AB=x，
點C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
如圖乙的最短路程為
（3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，
設(shè)平面D1EC的法向量，則
由題意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
設(shè)是平面BDE的一個法向量，
則由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，
又是平面DEC的一個法向量.
設(shè)二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵∴
假設(shè)棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，
則，
由
∴
即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，
∴又點，，∴
∴，且與不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴為平面的法向量．
∵，，
∴為平面的法向量．
∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為．

20.解：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為軸，建立空間直角坐標系
則2分
從而
所以…………3分
（II）平面ABC的一個法向量為
則
（※）…………5分
而
由（※）式，當…………6分
（III）平面ABC的一個法向量為
設(shè)平面PMN的一個法向量為
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
解得11分
故點P在B1A1的延長線上，且…………12分

21.解法一：（I）證明：連結(jié)，為等邊三角形，為的中點，
，和為等邊三角形，為的中點，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）過作于連結(jié)，
平面，在平面上的射影為
為二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值為
（Ⅲ）解：設(shè)點到平面的距離為，
，
在中，，
而
點到平面的距離為．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則
平面，平面的法向量
設(shè)平面的法向量，
由
設(shè)與夾角為，則
∴二面角的余弦值為．
（Ⅲ）解：設(shè)平面的法向量為又
設(shè)與夾角為，則
設(shè)到平面的距離為，
到平面的距離為．

22.【解析】解法一：
（I）由題意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
異面直線與所成角的大小為．
（III）由（I）知，平面，
是與平面所成的角，且．
當最小時，最大，
這時，，垂足為，，，
與平面所成角的最大值為．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，
，，
．
異面直線與所成角的大小為．
（III）同解法一