高中幾何的教案

中考數(shù)學(xué)專題：幾何圖形的歸納,猜想,證明問題。

老師會對課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中，大家在認(rèn)真寫教案課件了。只有制定教案課件工作計劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們了解多少教案課件范文呢？下面是由小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)專題：幾何圖形的歸納,猜想,證明問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

中考數(shù)學(xué)專題10幾何圖形的歸納,猜想,證明問題

【前言】實行新課標(biāo)以來，中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯了這一道。對于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的，所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對這種新題型。

第一部分真題精講JAb88.COM

【例1】
如圖，+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)的面積為，的面積為，…，的面積為，則=；=____（用含的式子表示）．
【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯。但是如果不標(biāo)就會有同學(xué)誤以為所求的面積是,這種的,第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先所代表的三角形的底邊是三角形的底邊,而這個三角形和△是相似的.所以邊長的比例就是與的比值.于是.接下來通過總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個最大的共性就是高相等,為（連接上面所有的B點，將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點連線的邊都是平行的，于是自然可以得出自然是所在邊上的n+1等分點.例如就是的一個三等分點.于是(n+1-1是什么意思?為什么要減1?)

【例2】
在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長為1且頂點的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點正方形，如圖，菱形的四個頂點坐標(biāo)分別是，，，，則菱形能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)是_______個；若菱形的四個頂點坐標(biāo)分別為，，，（為正整數(shù)），則菱形能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)為_________（用含有的式子表示）．
【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因為求的是菱形包涵的正方形個數(shù)，所以只需求出被X,Y軸所分的四個三角形包涵的個數(shù)，再乘以4即可。比如我們來看第二象限那個三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0）(0,n),自然可以寫出直線解析式為,斜率意味著什么?看上圖,注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形,這些RT三角形一共有2n/2=n個,他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是?而且這些直角三角形都是全等的,面積均為兩個單位格點正方形的一半.那么整個的△AOB的面積自然就是,所有n個空白小三角形的面積之和為,相減之后自然就是所有格點正方形的面積,也就是數(shù)量了.所以整個菱形的正方形格點就是.

【例3】
如圖，，過上到點的距離分別為的點作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為．則第一個黑色梯形的面積；觀察圖中的規(guī)律，第(為正整數(shù))個黑色梯形的面積．
【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個直角梯形，而因為，所以梯形的上下底長度分別都對應(yīng)了垂足到0點的距離,而高則是固定的2。第一個梯形上底是1，下底是3，所以.第二個梯形面積,第三個是,至此,我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實就是上下底的和.而且各個梯形的上底都是前一個梯形上底加上4。于是第n個梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一個梯形的上底1加上(n-1)個4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.

【例4】
在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點稱為整點．請你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每個正方形四條邊上的整點的個數(shù)．按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點共有個．
【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個關(guān)鍵就可以了。對于來說,每條邊的長度是2n,那么自然整點個數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點一共有(2n+1)x4-4=8n(個)(要減去四個被重復(fù)算的頂點),于是就是80個.

【例5】
如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜邊的中點，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與△ABC的BC邊重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為_____．

【思路分析】本題依然要找出每個三角形和上一個三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個45°。于是繞到第八次就可以和BC重疊了，此時邊長為△ABC的，故而得解。

【例6】
如圖，以等腰三角形的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形，……，如此作下去，若，則第個等腰直角三角形的面積________（n為正整數(shù)）.
【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得，分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是

【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對于這類問題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時，不妨先寫出第一項，第二項，第三項然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項的面積就可以大膽的猜測出來結(jié)果了。這類題目計算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請考生細(xì)心掌握。
第二部分發(fā)散思考

【思考1】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，
，…，以為對角線作第一個正方形，以
為對角線作第二個正方形，以為對角線作第
三個正方形，…，如果所作正方形的對角線都在
y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點都在第一象
限內(nèi)（n≥1，且n為整數(shù)）．那么的縱坐標(biāo)為；用n
的代數(shù)式表示的縱坐標(biāo)：．

【思考2】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點處開始跳動，第一
次跳到點關(guān)于x軸的對稱點處，接著跳到點關(guān)于y軸
的對稱點處，第三次再跳到點關(guān)于原點的對稱點處，…，
如此循環(huán)下去．當(dāng)跳動第2009次時，棋子落點處的坐標(biāo)是
．

【思考3】
對于大于或等于2的自然數(shù)n的平方進行如下“分裂”，分裂成n個連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)72的分裂數(shù)中最大的數(shù)是，自然數(shù)n的分裂數(shù)中最大的數(shù)是.

【思考4】
一個質(zhì)點在第一象限及軸、軸上運動，在第一秒鐘，它從原點運動到，然后接著按圖中箭頭所示方向運動,即，且每秒移動一個單位，那么第35秒時質(zhì)點所在位置的坐標(biāo)是_______

【思考5】
如圖，將邊長為的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應(yīng)的正方形的中心依次為A1,A2,A3,….①若擺放前6
個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）
之和為；②若擺放前n（n為大于1的正
整數(shù)）個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為.

第三部分思考題解析

【思考1答案】2；
【思考2答案】（3，－2）
【思考3答案】13；2n-1
【思考4答案】（5，0）
【思考5答案】10，

相關(guān)知識

幾何圖形

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)規(guī)劃教案課件。認(rèn)真做好教案課件的工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們了解多少教案課件范文呢？以下是小編為大家收集的“幾何圖形”僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

1.1幾何圖形
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：通過實物，經(jīng)歷探索物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的過程，能認(rèn)識常見的幾何圖形，并能用自己的語言描述常見幾何圖形的特征。
過程與方法：在探索幾何圖形的形狀、位置和大小的過程中，建立空間觀念，發(fā)展幾何直覺，能從實物中抽象出幾何體。
情感態(tài)度與價值觀：體驗在實際生活中幾何圖形的廣泛存在與應(yīng)用；認(rèn)識幾何圖形與生活的緊密聯(lián)系。
教學(xué)重點：認(rèn)識幾何圖形。
教學(xué)難點：從具體事物中抽象出幾何體。
教材分析：本節(jié)課是七年級第一節(jié)課，所涉及到的幾何圖形是以后繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，為進一步學(xué)習(xí)圈定了范圍。由于學(xué)生的頭腦中，實物與幾何圖形是兩種割裂開的信息，所以在教學(xué)中，應(yīng)建立好兩者之間的聯(lián)系，并進而發(fā)展幾何直覺。
教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，師生互動。
教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、學(xué)生身邊的實物。
課時安排：1課時

環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖
引

入

新

課導(dǎo)語：（略）
提出要求：
1、請大家看章前頁，看誰能畫出北京天壇主體建筑物的圖畫？

2、感到無從下手的同學(xué)，看一下虛景圖形，它們是你小學(xué)學(xué)過的哪種圖形？
教師先引導(dǎo)會畫的學(xué)生口述畫法，之后，用多媒體課件展示，把建筑物的各部分分割成小學(xué)學(xué)過的幾何圖形：圓錐、圓柱、三角形、長方形等。

學(xué)生動手畫圖。

分層教學(xué)

學(xué)生從多渠道增加感知。

激情導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生求知欲。

體會客觀事物與數(shù)學(xué)知識間的關(guān)系。
新

一1、上面各實物圖片中，有多少個物體？
2、這些物體的哪些形狀類似？屬于哪種幾何體？你能說出理由嗎？
3、你能說出現(xiàn)實生活中還有哪些實物具有上面幾何體的特征？
教師歸納：
對于各種物體，如果不考慮它們的顏色、材料、質(zhì)量等，而只注意它們的形狀（如方的、圓的）、大?。ㄈ玳L度、面積、體積等）和位置（如平行、相交、垂直等），就得到我們今后要學(xué)習(xí)的幾何圖形。把下面的實物與相應(yīng)的幾何體用線連接起來：

學(xué)生思考，小組交流，討論完成三個題目。

獨立完成，
動手操作。
從學(xué)生生活中的實物入手，充分利用學(xué)生的知識經(jīng)驗。

把數(shù)學(xué)知識具體化為生活實物，使學(xué)生展開聯(lián)想。
新
課
探
究
二1、各組討論，上邊練習(xí)中的六種幾何體可以分哪幾類？
2、總結(jié)出這樣分類的理由。
引導(dǎo)學(xué)生分兩類：一類是長方體、棱柱、立方體；另一類是球體、圓柱、圓錐。
分類依據(jù)：第一類表面都是平面，第二類表面有曲面。（用課件展示平面與曲面）分組討論，組內(nèi)選一名代表回答，各組在全班交流結(jié)果。使學(xué)生接觸分類思想，加深學(xué)生對幾何體認(rèn)識。

新

課

探

究

三1、把下面幾何圖形分成幾類？
2、說出分類理由：
用課件展示幾何圖形：

歸納：幾何圖形包括立體圖形和平面圖形。有些立體圖形中含有平面圖形，有些立體圖形不含平面圖形。
你能用六根火柴和小量橡皮泥組成4個三角形嗎？能組成4個正方形嗎？學(xué)生主動思考，踴躍作答。

學(xué)生總結(jié)

學(xué)生們積極思考，來回答這一具有挑戰(zhàn)性的問題。便于學(xué)生主動學(xué)習(xí)。
使學(xué)生交流各自學(xué)習(xí)結(jié)果。
加強知識間聯(lián)系。

激勵學(xué)生學(xué)習(xí)。
課

堂

總

結(jié)1、怎樣從實物抽象出幾何圖形？
2、幾何圖形可分為哪兩類？
3、平面圖形與立體圖形有何關(guān)系？
教師簡要點評，從實物抽象幾何圖形時，去掉顏色、材料、質(zhì)量等特征，而只考慮形狀、大小和位置等方面。有些立體圖形含有平面圖形，而有些立體圖形不含平面圖形。學(xué)生各組討論，相互交流各自看法。

教師參與，師生互動，激勵學(xué)生回答、反思。學(xué)生嘗試小結(jié)，疏理知識，養(yǎng)成反思習(xí)慣，提高概括能力。
課
堂
反
饋1、課堂檢測（包括基礎(chǔ)題和能力提高題）
2、用幾何圖形設(shè)計一個機器人的圖畫。獨立完成

學(xué)習(xí)致用鞏固新知。
建立教學(xué)知識與實物間聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力。
板書設(shè)計
1.1幾何圖形

立體圖形
去(顏色，材料)取(形狀、大小、位置)
實物幾何圖形含或不含
加(顏色、材料)取(形狀、大小、位置)
平面圖形
教學(xué)反思：
本課有兩個“依據(jù)”：1、依據(jù)學(xué)生已有知識經(jīng)驗，讓學(xué)生動手畫天壇主體建筑草圖，讓學(xué)生從實物中抽象出小學(xué)學(xué)習(xí)過的幾何體；2、依據(jù)教材，充分利用課體，充分利用課本的每一組素材，并適時適度的賦予素材新的利用價值。在教學(xué)過程中，由于問題的客觀原因，亦或?qū)W生本身的主觀原因，總有一些學(xué)生主動性不強。

中考數(shù)學(xué)專題：線段角的計算證明問題

老師工作中的一部分是寫教案課件，大家在著手準(zhǔn)備教案課件了。是時候?qū)ψ约航贪刚n件工作做個新的規(guī)劃了，才能使接下來的工作更加有序！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)專題：線段角的計算證明問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

中考數(shù)學(xué)專題1線段角的計算證明問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，梯形中，，．求的長．

【思路分析】線段，角的計算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識點進行考察的。所以這就要求我們對梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知條件當(dāng)中去考察.做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中.于是有解如下.

【解析】

作于于

，

四邊形是矩形．

是的邊上的中線．

在中，

【例2】已知：如圖，在直角梯形中，∥，，于點O，，求的長.

【思路分析】這道題給出了梯形兩對角線的關(guān)系.求梯形上底.對于這種對角線之間或者和其他線段角有特殊關(guān)系(例如對角線平分某角)的題,一般思路是將對角線提出來構(gòu)造一個三角形.對于此題來說,直接將AC向右平移,構(gòu)造一個以D為直角頂點的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一,而另一條線段BC是已知的.于是問題迎刃而解.

【解析】

過點作交的延長線于點.

∴.

∵于點,

∴四邊形為平行四邊形.

∴

此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個銳角互余關(guān)系，證明△ACD和△DBC相似，從而利用比例關(guān)系直接求出CD。有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究。

【例3】如圖，在梯形中，，，，為中點，．求的長度

．

【思路分析】這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過D做垂線之類的方法不行.那該怎樣做輔助線呢?答案就隱藏在E是中點這個條件中.在梯形中,一腰中點是很特殊的.一方面中點本身是多對全等三角形的公共點,另一方面中點和其他底,腰的中點連線就是一些三角形的中線,利用中點的比例關(guān)系就可以將已知條件代入.比如這道題,過中點E做BC的垂線,那么這條垂線與AD延長線,BC就構(gòu)成了兩個全等的直角三角形.并且這兩個直角三角形的一個銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.

【解析】

過點作的垂線交于點，交的延長線于點.

在梯形中，，是的中點，

∴

∵，∴.

在中，，

∴.

在中，

【總結(jié)】以上三道真題,都是在梯形中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達(dá)到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類:

1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+一矩形

2、平移一腰，分梯形為平行四邊形+三角形

3、延長梯形兩腰交于一點構(gòu)造三角形

4、平移對角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形

5、連接頂點與中點延長線交于另一底延長線構(gòu)筑兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線構(gòu)筑兩個全等的直角三角形

以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對于角度問題，其實思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關(guān)的計算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計算與證明問題。

【例4】如圖，在梯形中，，平分，過

點作，交的延長線于點，且，，，

求的長．

【思路分析】此題相對比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對角線平分某角，然后有角度之間的關(guān)系。面對這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角C與角1，2，3以及角E的關(guān)系。于是一系列轉(zhuǎn)化過后，發(fā)現(xiàn)角C=60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解。

【解析】：

∵

∴

∴梯形是等腰梯形

【例5】已知：，，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB

的兩側(cè).

如圖，當(dāng)∠APB=45°時，求AB及PD的長；

【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計算出現(xiàn)在中間部分，往往意味著難度并不會太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手。這題求AB比較容易，過A做BP垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將△APB分成兩個有很多已知量的RT△。但是求PD時候就很麻煩了。PD所在的三角形PAD是個鈍角三角形，所以就需要我們將PD放在一個直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含PD的直角三角形，最簡單的就是過P做DA延長線的垂線交DA于F，DF交PB于G。這樣一來，得到了△PFA△AGE等多個RT△。于是與已求出的AB等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解。

【解析】：

如圖，作AE⊥PB于點E．

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴．

如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設(shè)DA的延長線交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

，

（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個小直角三角形的角度關(guān)系）

，．

在Rt△PFG中，可得，．

【總結(jié)】由此我們可以看出，在涉及到角度的計算證明問題時，一般情況下都是要將已知角度通過平行，垂直等關(guān)系過度給未知角度。所以，構(gòu)建輔助線一般也是從這個思路出發(fā)，利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來達(dá)到求解的目的。

第二部分發(fā)散思考

通過以上的一模真題，我們對線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認(rèn)識。接下來我們自己動手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案。

【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，．若AC⊥BD，

AD+BC=，且，求CD的長．

【思路分析】前面我已經(jīng)分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個RT三角形中。另外遇到對角線垂直這類問題，一般都是平移某一條對角線以構(gòu)造更大的一個RT三角形，所以此題需要兩條輔助線。在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運用，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。

[解法見后文]

【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點，已知BC=7，MN=3，求EF

【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計算方法，也對三點共線提出了要求。若求EF，因為BC已知，所以只需求出AD即可。由題目所給角B，角C的度數(shù)，應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。

（解法見后）

【思考3】已知，延長到，使．取的中點，連結(jié)交于點．

⑴求的值；

⑵若，，求的長．

【思路分析】求比例關(guān)系，一般都是要利用相似三角形來求解。此題中有一個等量關(guān)系BC=CD，又有F中點，所以需要做輔助線，利用這些已知關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個相似三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵。

（解法見后）

【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長．

【思路分析】中點問題是中考幾何中的大熱點，幾乎年年考。有中點自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線延長一倍，剛好可以構(gòu)造出兩個全等三角形，很多問題就可以輕松求解。本題中，D為中點，所以大家可以看看如何在這個里面構(gòu)造倍長中線。

（解法見后）

【思考5】如圖，在四邊形中，為上一點，和都是等邊三角形，、、、的中點分別為、、、，試判斷四邊形為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

【思路分析】此題也是中點題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題需要考生對各個特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。

（解法見后）

第三部分思考題答案

思考1

【解析】：作DE⊥BC于E，過D作DF∥AC交BC延長線于F．

則四邊形ADFC是平行四邊形，∴，DF=AC．

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD．∴

又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．

∴ΔBDF是等腰直角三角形

∴

在中，

思考2

【解析】：

延長BA，CD交于點H，連接HN，

因為∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°

所以HN=DN（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）

∠NHD=∠NDH=60°

連接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。

所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三點共線（這一點容易被遺漏，很多考生會想當(dāng)然認(rèn)為他們共線，其實還是要證明一下）

所以HM=3.5，NH=0.5AN=0.5

所以AD=1EF=（1+7）/2=4

思考3

【解析】⑴過點作，交于點．

∵為的中點

∴為的中點，

由，得，

∴

⑵∵，∴

又，∴

∵，∴．

思考4

【解析】：

延長ED至點G，使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G．

則△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．

因為∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．

因為DF垂直平分EG，所以FG=EF．

在Rt△FCG中，由勾股定理得，所以EF=5．

思考5

【解析】：

證明：如圖，連結(jié)、．

∵為的中位線，

∴，．

同理，．

∴，，

∴四邊形為平行四邊形．（有些同學(xué)做到這一步就停了，沒有繼續(xù)發(fā)現(xiàn)三角形全等這一特點，從而漏掉了菱形的情況，十分可惜）

在和中，

，，，

即．

∴．

∴．

∴

∴四邊形為菱形．

中考數(shù)學(xué)歸納猜想型問題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

2012年中考復(fù)習(xí)二輪材料

歸納猜想型問題

一．專題詮釋

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實情況相吻合，必要時可以進行驗證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實際意義。

二．解題策略和解法精講

歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識新生事物的一般過程。相對而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。

由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點。

三．考點精講

考點一：猜想數(shù)式規(guī)律

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。

例1．（2011云南曲靖）將一列整式按某種規(guī)律排成x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…則排在第六個位置的整式為．

【分析】符號的規(guī)律：n為奇數(shù)時，單項式為正號，n為偶數(shù)時，符號為負(fù)號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第n個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是2n﹣1．指數(shù)的規(guī)律：第n個對應(yīng)的指數(shù)是n．

【解答】根據(jù)分析的規(guī)律，得：第六個位置的整式為：﹣26x6=﹣32x6．

故答案為：﹣32x6．

【評注】此題考查的知識點是單項式，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵．

例2．（2011山東濟寧）觀察下面的變形規(guī)律：

＝1－；＝－；＝－；……

解答下面的問題：

（1）若n為正整數(shù)，請你猜想＝；

（2）證明你猜想的結(jié)論；

（3）求和：＋＋＋…＋.

【分析】（1）根據(jù)的定義規(guī)則，可知，，，．則有．

（2）觀察數(shù)表可知，第1問中的恰是的具體形式，若將賦值于不同的行與列，我們不難發(fā)現(xiàn)．

【解答】（1）

（2）證明：－＝－＝＝

（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝

【評注】歸納猜想題，提供的信息是一種規(guī)律，但它隱含在題目中，有待挖掘和開發(fā)，一般只要注重觀察數(shù)字（式）變化規(guī)律，經(jīng)歸納便可猜想出結(jié)論．本題屬于典型的開放性探究題，其中的分?jǐn)?shù)形式、分母中相鄰兩數(shù)相差1，都給答案探究提供了蛛絲馬跡。問題設(shè)置層次感較強，遵循了從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律．從培養(yǎng)學(xué)生不完全歸納能力的角度看，不失為一道訓(xùn)練思維的好題．

考點二：猜想圖形規(guī)律

根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論。

例1．（2011重慶）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，…則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（）

A、55B、42C、41D、29

【分析】規(guī)律的歸納：通過觀察圖形可以看到每轉(zhuǎn)動4次后便可重合，即4次一個循環(huán)，10÷4＝2…2，所以應(yīng)和圖②相同．

【解答】∵圖②平行四邊形有5個=1+2+2，

圖③平行四邊形有11個=1+2+3+2+3，

圖④平行四邊形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴圖⑥的平行四邊形的個數(shù)為1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．

故選C．

【評注】本題是規(guī)律的歸納題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題歸納出規(guī)律，然后套用題目提供的對應(yīng)關(guān)系解決問題，具有一定的區(qū)分度．根據(jù)圖形進行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．

例2．（2011浙江舟山）一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）

A、2010B、2011C、2012D、2013

【分析】該紙鏈?zhǔn)?的倍數(shù)，中間截去的是剩下3+5n，從選項中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．

【解答】由題意設(shè)被截去部分為5n+2+1=5n+3，從其選項中看，故選D．

【評注】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．

考點三：猜想數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在猜想這種問題時，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進行類比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。

例1．（2011江西南昌，25，10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：

設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上.

活動一：

如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.

①=度；

②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）.

圖甲

活動二：

如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則=，=，=；（用含的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

圖乙

【分析】（1）顯而易見，能。

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【解答】（1）能

（2）①22.5°

②an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【評注】這是一道典型的歸納猜想型問題，以物理學(xué)中反射的知識作為命題載體，而三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解決問題的主干數(shù)學(xué)知識。

例2．（2011浙江衢州）是一張等腰直角三角形紙板，.

要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由.

圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為(如圖3)；繼續(xù)操作下去…則第10次剪取時，.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.

【分析】解決問題的關(guān)鍵看內(nèi)接正方形的一邊與三角形重合的邊落在三角形的哪條邊上，通過對例題的分析，直角三角形的內(nèi)接正方形有兩種，比較兩者的大小，可知，直角邊上的內(nèi)接正方形的邊長比斜邊上的內(nèi)接正方形的邊長大。

【解答】(1)解法1：如圖甲，由題意得.如圖乙，設(shè)，則由題意，得

又

甲種剪法所得的正方形的面積更大

說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為的中點，

解法2：如圖甲，由題意得

如圖乙，設(shè)

甲種剪法所得的正方形的面積更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索規(guī)律可知：‘

剩余三角形的面積和為：

解法2：由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為

第二次剪取后剩余三角形面積和為

第三次剪取后剩余三角形面積和為

……

第十次剪取后剩余三角形面積和為

【評注】類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種數(shù)學(xué)方法，它可以使一些數(shù)學(xué)問題簡單化，也可以使我們的思維更加廣闊。數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)形式是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求在教學(xué)過程中，有目的地進行思維訓(xùn)練，通過思維類比，不斷在解決問題中深化引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會得到相應(yīng)的提高。

考點四：猜想變化情況

隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律是“位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負(fù)號要互換”。這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。

例1．（2010河北）將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6-1．在圖6-2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是

A．6B．5C．3D．2

【分析】不妨把立體圖形用平面的形式表現(xiàn)出來。如右圖所示。

前三次變換過程為下圖所示：

可以發(fā)現(xiàn)，三次變換可還原成初始狀態(tài)。十次意味著三輪還原后又變換了一次，所以狀態(tài)為上圖所示，骰子朝上一面的點數(shù)是5。

【解答】B。

【評注】歷年以“骰子”形式出現(xiàn)的中考題不在少數(shù)。本題以考查學(xué)生空間想象能力為出發(fā)點，將空間轉(zhuǎn)化融入到正方體的旋轉(zhuǎn)中。正方體表面展開圖識別對面本不難，但這樣一來難度陡然上升。三次變換循環(huán)的規(guī)律也要煞費周折。有點動手操作題的味道。題目呈現(xiàn)方式靈活，考查形式新穎，使日常熟悉的東西平中見奇。要求考生有很強的空間感，給平時靠死記硬背得分的同學(xué)一個下馬威，也給教學(xué)中不重視動手探究的老師敲響了警鐘。

例2.（2011湖南邵陽）數(shù)學(xué)課堂上，徐老師出示了一道試題：

如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點，若∠AMN=60°，求證：AM=MN。

（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補充完整。

證明：在AB上截取EA=MC，連結(jié)EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°?！?/p>

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM為等邊三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°?！?/p>

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵_(dá)_________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”(如圖)，N1是∠D1C1P1的平分線上一點，則當(dāng)∠A1M1N1=90°時，結(jié)論A1M1=M1N1是否還成立？（直接給出答案，不需要證明）

（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請你猜想：當(dāng)∠AnMnNn=______°時，結(jié)論AnMn=MnNn仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

【分析】證明線段相等，三角形全等是一種重要的方法。根據(jù)題目條件，結(jié)合圖形，對應(yīng)邊角還是不難找的。關(guān)鍵是到正方形、正多邊形，哪些條件變了，哪些沒變。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）結(jié)論成立；

（3）。

【評注】三角形全等的判定是初中數(shù)學(xué)中的重點知識，第一問明顯考查“角邊角”方法的條件尋找。而從三角形到正方形的變化，抓住不變的東西，透視問題的本質(zhì)，也不難得到正確答案。再到正多邊形，是一個質(zhì)的飛躍。在這道題中，先探討簡單情景下存在的某個結(jié)論，然后進一步推廣到一般情況下，原來結(jié)論是否成立，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，難度不算大，具有一定的區(qū)分度．

四．真題演練

1.（2011四川成都）設(shè),,,…,

設(shè)，則S=_________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．

2.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第n個圖形有個小圓.（用含n的代數(shù)式表示）

3．（2011河北）如圖9，給正五邊形的頂點依次編號為1，2，3，4，5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，頂點編號的數(shù)字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”.

如：小宇在編號為3的頂點時，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時他到達(dá)編號為1的頂點；然后從1→2為第二次“移位”.

若小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”后，則他所處頂點的編號是____________.

4.（2010四川內(nèi)江）閱讀理解：

我們知道，任意兩點關(guān)于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)的對稱中心的坐標(biāo)為（x1＋x22，y1＋y22）.

觀察應(yīng)用：

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點P1(0，－1)、P2(2，3)的對稱中心是點A，則點A的坐標(biāo)為；

（2）另取兩點B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一電子青蛙從點P1處開始依次關(guān)于點A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P1關(guān)于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關(guān)于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關(guān)于點C的對稱點P4處，第四次再跳到點P4關(guān)于點A的對稱點P5處，…．則P3、P8的坐標(biāo)分別為，;

拓展延伸：

（3）求出點P2012的坐標(biāo)，并直接寫出在x軸上與點P2012、點C構(gòu)成等腰三角形的點的坐標(biāo).

答案：

1.．

==

=

∴S=+++…+.

接下去利用拆項法即可求和．

2.或

3.根據(jù)“移位”的特點，然后根據(jù)例子尋找規(guī)律，從而得出結(jié)論．

∵小宇在編號為3的頂點上時，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時他到達(dá)編號為1的頂點；然后從1→2為第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五個頂點五次移位為一個循環(huán)返回頂點3，

同理可得：小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”，即連續(xù)循環(huán)兩次，故仍回到頂點3．

故答案為：3．

4.設(shè)A、P3、P4、…、Pn點的坐標(biāo)依次為(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且為正整數(shù)).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x＝0＋22＝1，y＝－1＋32＝1，

∴A（1，1）

（2）∵點P3與P2關(guān)于點B成中心對稱，且B(－1.6，2.1),

∴2＋x32＝－1.6，3＋y32＝2.1，

解得x3＝－5.2，y3＝1.2，

∴P3(－5.2，1.2).

∵點P4與P3關(guān)于點C成中心對稱，且C(－1，0),

∴－5.2＋x42＝－1，1.2＋y32＝0，

解得x4＝3.2，y4＝－1.2，

∴P4(3.2，－1.2).

同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3)…

∴P7的坐標(biāo)和P1的坐標(biāo)相同，P8的坐標(biāo)和P2的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6為周期循環(huán)，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐標(biāo)與P2的坐標(biāo)相同，為P2012(2，3);

在x軸上與點P2012、點C構(gòu)成等腰三角形的點的坐標(biāo)為

（－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分練習(xí)部分

1.（2011湖南常德）先找規(guī)律，再填數(shù)：

2.（2011四川內(nèi)江）同學(xué)們，我們曾經(jīng)研究過n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為12+22+32+…+n2．但n為100時，應(yīng)如何計算正方形的具體個數(shù)呢?下面我們就一起來探究并解決這個問題．首先，通過探究我們已經(jīng)知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)時，我們可以這樣做：

(1)觀察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)

12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

=(1+2+3+4)+()

……

(2)歸納結(jié)論：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=()+

=+

=×

(3)實踐應(yīng)用：

通過以上探究過程，我們就可以算出當(dāng)n為100時，正方形網(wǎng)格中正方形的總個數(shù)是．

3.（2011廣東肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第（是大于0的整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．

4.（2011廣東東莞）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為.

5．（2011廣東汕頭）如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.

（1）表中第8行的最后一個數(shù)是，它是自然數(shù)的平方，第8行共有個數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是，最后一個數(shù)是，第n行共有個數(shù)；

（3）求第n行各數(shù)之和．

6.（2011四川涼山）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例。如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中的系數(shù);第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中的系數(shù)等等。

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式。

（2）利用上面的規(guī)律計算：

7.（2011江蘇南通）如圖，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線y＝33x相切．設(shè)三個半圓的半徑依次為r1、r2、r3，則當(dāng)r1＝1時，r3＝．

8.（2010年湖北恩施）(1)計算:如圖10①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點分別為A、B、C，求OA的長（用含的代數(shù)式表示）.

（2）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.

（3）應(yīng)用:現(xiàn)有長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數(shù)最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）

答案：

1.

2.（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4

1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

n(n+1)(n—1)

n(n+1)(2n+1)

3.

4.

5.（1）64，8，15；

（2），，；

（3）第2行各數(shù)之和等于3×3；第3行各數(shù)之和等于5×7；第4行各數(shù)之和等于7×7-13；類似的，第n行各數(shù)之和等于=.

6.⑴

⑵原式=

7.設(shè)直線y＝33x與三個半圓分別切于A，

B，C，作AEX軸于E，則在RtAEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。則。同理，。

8.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

3．方案二裝運鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1.（1）

=1260

2.根據(jù)如圖所示的運算程序，分情況列出算式，當(dāng)x為偶數(shù)時，結(jié)果為；當(dāng)x為奇數(shù)時，結(jié)果為，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24，第二次輸出的結(jié)果為12，第三次輸出的結(jié)果為6，第四次輸出的結(jié)果為3，第五次輸出的結(jié)果為3，以后每次輸出的結(jié)果都是3．所以選擇B。

3.圖案是一圈一圈的。可以根據(jù)每圈中棋子的個數(shù)得出規(guī)律。第1個圖案需要7＝1＋6枚棋子，第2個圖案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3個圖案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此規(guī)律可得第6個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×＝枚棋子。所以，擺第6個圖案需要127枚棋子，擺第n個圖案需要枚棋子．

4.正△A1B1C1的面積，第二個正三角形的面積是前一個正三角形面積的四分之一，第8個正△A8B8C8的面積是第一個正方形面積的，所以，第8個正△A8B8C8的面積是，選擇C。

5.當(dāng)OAn與軸正半軸重合時，度數(shù)為360m＋90是10的倍數(shù)，從2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必須是8的倍數(shù)或是8的倍數(shù)多4，當(dāng)m為1，2，3時，無解，當(dāng)m為4時，360m＋90＝1530，符合題意。故答案選B。

7.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

（2）=

=

4．方案二裝運鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

4.（2010年浙江紹興中考題）(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,

CD上,AE,BF交于點O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的長.

(3)已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)如圖2,過點A作AM//GH交BC于M，

過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n。