小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

九年級數(shù)學(xué)《圓的基本性質(zhì)》知識點(diǎn)復(fù)習(xí)。

九年級數(shù)學(xué)《圓的基本性質(zhì)》知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓

1、圓的定義

在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

二、圓形的旋轉(zhuǎn)

1.圖形的旋轉(zhuǎn)

(1)定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點(diǎn)沿某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

(2)生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動等;另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

(3)圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。

(4)會找對應(yīng)點(diǎn)，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。

三、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

四、圓心角

(1)把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1°的角.

(2)因?yàn)樵谕瑘A中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份，這時，把每一份這樣得到的弧叫做1°的弧.

(3)圓心角的度數(shù)和它們對的弧的度數(shù)相等.

五、圓周角

有關(guān)計算公式

①L(弧長)=n/180Xπr(n為圓心角度數(shù)，以下同)；

②S(扇形面積)=n/360Xπr

③扇形圓心角n=(180L)/(πr)(度)。

④K=2Rsin(n/2)K=弦長；n=弦所對的圓心角，以度計。

六、圓內(nèi)接四邊形

四邊形的四個頂點(diǎn)均在同一個圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。

性質(zhì)

1、圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

3、圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。(托勒密定理)

七、正多邊形

重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系.

難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系.

正多邊形的中心：所有對稱軸的交點(diǎn);

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。

八、弧長及扇形的面積

弧長公式：n是圓心角度數(shù)，r是半徑，α是圓心角弧度。

l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r

在半徑是R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的弧長就等于圓周長C=2πR，所以n°圓心角所對的弧長為l=n°πR÷180°。

在弧度制下，若弧所對的圓心角為θ，則有公式L=Rθ。

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【例題求解】

【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為和，則∠BAC度數(shù)為．

作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系．

注：由圓的對稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結(jié)

合起來．

圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性．

【例2】如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為()

A．B．C．D．

思路點(diǎn)撥所作最小圓圓心應(yīng)在對稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點(diǎn)，通過設(shè)未知數(shù)求解．

【例3】如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．

思路點(diǎn)撥用截長(截AM)或補(bǔ)短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它．

【例4】如圖甲，⊙O的直徑為AB，過半徑OA的中點(diǎn)G作弦CE⊥AB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M．

(1)求∠COA和∠FDM的度數(shù)；

(2)求證：△FDM∽△COM；

(3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，試判斷：此時是否有△FDM∽△COM?證明你的結(jié)論．

思路點(diǎn)撥(1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)證明∠COM=∠FDM，∠CMO=

∠FMD；(3)利用圖甲的啟示思考．

注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認(rèn)識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題時常用到直線形的知識與方法(主要是指全等與相似)．

【例5】已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．

(1)求證：AF＝DF；

(2)求∠AED的余弦值；

(3)如果BD＝10，求△ABC的面積．

思路點(diǎn)撥(1)證明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D＝3x，利用有關(guān)知識把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值．

注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OD＝3cm，則過點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB=．

2．閱讀下面材料：

對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．

對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．

例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋．

回答下列問題：

(1)邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；

(2)邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；

(3)長為2cm，寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm．

(2003年南京市中考題)

3．世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬物才顯得富有生機(jī)，以下來自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對稱和中心對稱性．

(1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有，是中心對稱圖形的有

(分別用下面三個圖的代號a，b，c填空)．

(2)請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)．

a．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．

b．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．

4．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為()

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

5．一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為()

A．2B．C．3D．

6．如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（）

A．AB+CD＝EFB．AB+CD=FC．AB+CDEFD．不能確定

7．電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”．現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圓片的直徑為10．05cm，問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請說明你的方法和理由(不計切割損耗)．

8．如圖，已知⊙O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度數(shù)．

9．不過圓心的直線交⊙O于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥，垂足為E，BF⊥，垂足為F．

(1)在下面三個圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；

(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；

(3)請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．

10．以AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2＝AC×BC，

則∠CAB=．

11．如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上，若BC=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE長為．

12．如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，則MC—ND=．

13．如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96°，BD的度數(shù)為36°，動點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為．

14．如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P′，使得OP×OP′=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)．

(1)如圖2，⊙O內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為A′和B′，求證：∠A′=∠B；

(2)如果一個圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．

①選擇：如果不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與⊙O相交，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是()

A．一個圓B．一條直線C．一條線段D．兩條射線

②填空：如果直線與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是，該圖形與圓O的位置關(guān)系是．

15．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點(diǎn)為P，AB=BD，且PC=0．6，求四邊形ABCD的周長．

16．如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，ABAC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2-AD2=AB×AC．

17．將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素，精確到0．1cm)

18．如圖，直徑為13的⊙O′，經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB(OAOB)的長分別是方程的兩根．

(1)求線段OA、OB的長；

(2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2=CD×CB時，求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在⊙O，上是否存在點(diǎn)P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)圓的基本性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案(湘教版)

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第31課圓的基本性質(zhì)

【知識梳理】

1．圓的有關(guān)概念：（1）圓：（2）圓心角：（3）圓周角：（4）弧：（5）弦：

2．圓的有關(guān)性質(zhì)：

（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．（2）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的?。?/p>

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。?/p>

（3）弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是直角；900的圓周角所對的弦是直徑．

3．三角形的內(nèi)心和外心:

（1）確定圓的條件：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓．

（2）三角形的外心：（3）三角形的內(nèi)心：

4.圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)一半．

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

【例題精講】

例題1.如圖，公園的一座石拱橋是圓弧形（劣弧），其跨度為24米，拱的半徑為13米，則拱高為（）A．5米B．8米C．7米D．5米

例題2.如圖⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點(diǎn)，則OM不可能為（）

A．2B．3C．4D．5

例題1圖例題2圖例題3圖例題4圖

例題3.如圖⊙O弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，則⊙O半徑為（）

A．5B．4C．3D．2

例題4.如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB=，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

例題5．AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠CDB＝30°,⊙O的半徑為，則弦CD的長為（）A．B．C．D．

例題6.如圖，是以線段為直徑的的切線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作弦垂足為點(diǎn)，連接．（1）仔細(xì)觀察圖形并寫出四個不同的正確結(jié)論：①______，②________，③______，④________（不添加其它字母和輔助線）（2）=，=，求的半徑

【當(dāng)堂檢測】

1.如圖，⊙P內(nèi)含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點(diǎn)C，且AB∥OP．若陰影部分的面積為，則弦AB的長為（）A．3B．4C．6D．9

2.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB＝28°，則∠C的大小為（）

A．28°B．56°C．60°D．62°

第1題圖第2題圖第3題圖第5題圖第6題圖

3.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E,∠CDB＝30°,⊙O的半徑為，則弦CD的長為（）A．B．C．D．

4.⊙O的半徑為10cm，弦AB＝12cm，則圓心到AB的距離為（）

A．2cmB．6cmC．8cmD．10cm

5.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)OC，若OC＝5，CD＝8，

則tan∠COE＝（）A．B．C．D．

6．如圖，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為H，且CD＝，BD＝，則AB的長為（）

A．2B．3C．4D．5

7.如圖，小量角器的零度線在大量角器的零度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上．如果它們外緣邊上的公共點(diǎn)在小量角器上對應(yīng)的度數(shù)為，那么在大量角器上對應(yīng)的度數(shù)為__________（只需寫出～的角度）．

第7題圖第8題圖第9題圖

8.如圖，⊙O的半徑為5，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，P點(diǎn)到圓心O的距離為4，則過P點(diǎn)的弦長的最小值是_______．

9.如圖，AB是⊙0的直徑，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，則∠ADC＝______.

10．如圖，半圓的直徑，點(diǎn)C在半圓上，．

（1）求弦的長；（2）若P為AB的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，求長．

初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)

初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)

一）運(yùn)用公式法：
我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項(xiàng)式分解因式。于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。
（二）平方差公式
1．平方差公式
（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）語言：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。這個公式就是平方差公式。
（三）因式分解
1．因式分解時，各項(xiàng)如果有公因式應(yīng)先提公因式，再進(jìn)一步分解。
2．因式分解，必須進(jìn)行到每一個多項(xiàng)式因式不能再分解為止。
（四）完全平方公式
（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反過來，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或者差）的平方。
把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。
上面兩個公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特點(diǎn)
①項(xiàng)數(shù)：三項(xiàng)
②有兩項(xiàng)是兩個數(shù)的的平方和，這兩項(xiàng)的符號相同。
③有一項(xiàng)是這兩個數(shù)的積的兩倍。
（3）當(dāng)多項(xiàng)式中有公因式時，應(yīng)該先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式。這里只要將多項(xiàng)式看成一個整體就可以了。
（5）分解因式，必須分解到每一個多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。
（五）分組分解法
我們看多項(xiàng)式am+an+bm+bn，這四項(xiàng)中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．
如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式．
原式=(am+an)+(bm+bn)
＝a(m+n)+b(m+n)
做到這一步不叫把多項(xiàng)式分解因式，因?yàn)樗环弦蚴椒纸獾囊饬x．但不難看出這兩項(xiàng)還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以
原式=(am+an)+(bm+bn)
＝a(m+n)+b(m+n)
＝(m+n)?(a+b)．
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法．從上面的例子可以看出，如果把一個多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式．
（六）提公因式法
1.在運(yùn)用提取公因式法把一個多項(xiàng)式因式分解時，首先觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定多項(xiàng)式的公因式．當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式是一個多項(xiàng)式時，可以用設(shè)輔助元的方法把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式，也可以把這個多項(xiàng)式因式看作一個整體，直接提取公因式；當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式是隱含的時候，要把多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或改變符號，直到可確定多項(xiàng)式的公因式．
2.運(yùn)用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進(jìn)行因式分解要注意：
1．必須先將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和等于
一次項(xiàng)的系數(shù)．
2．將常數(shù)項(xiàng)分解成滿足要求的兩個因數(shù)積的多次嘗試，一般步驟：
①列出常數(shù)項(xiàng)分解成兩個因數(shù)的積各種可能情況；
②嘗試其中的哪兩個因數(shù)的和恰好等于一次項(xiàng)系數(shù)．
3．將原多項(xiàng)式分解成(x+q)(x+p)的形式．
（七）分式的乘除法
1.把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
2.分式進(jìn)行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式．
3.如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式．如果分子或分母中的多項(xiàng)式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項(xiàng)單獨(dú)約分．
4.分式約分中注意正確運(yùn)用乘方的符號法則，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．
5．分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負(fù)來處理．當(dāng)然，簡單的分式之分子分母可直接乘方．
6．注意混合運(yùn)算中應(yīng)先算括號，再算乘方，然后乘除，最后算加減．
（八）分?jǐn)?shù)的加減法
1．通分與約分雖都是針對分式而言，但卻是兩種相反的變形．約分是針對一個分式而言，而通分是針對多個分式而言；約分是把分式化簡，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統(tǒng)一起來．
2．通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形，其共同點(diǎn)是保持分式的值不變．
3．一般地，通分結(jié)果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項(xiàng)式，為進(jìn)一步運(yùn)算作準(zhǔn)備．
4．通分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)．
5．通分的關(guān)鍵：確定幾個分式的公分母．
通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．
6.類比分?jǐn)?shù)的通分得到分式的通分：
把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
7．同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
同分母的分式加減運(yùn)算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為整式運(yùn)算。
8．異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
9．同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運(yùn)算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號．
10．對于整式和分式之間的加減運(yùn)算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分．
11．異分母分式的加減運(yùn)算，首先觀察每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運(yùn)算簡化．
12．作為最后結(jié)果，如果是分式則應(yīng)該是最簡分式．
(九)含有字母系數(shù)的一元一次方程
1．含有字母系數(shù)的一元一次方程
引例：一數(shù)的a倍（a≠0）等于b，求這個數(shù)。用x表示這個數(shù)，根據(jù)題意，可得方程ax=b（a≠0）
在這個方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。對x來說，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。這個方程就是一個含有字母系數(shù)的一元一次方程。
含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。