小學一年級數(shù)學的教案

九年級數(shù)學圓的有關性質總復習。

第24講圓的有關性質
[鎖定目標考試]

考標要求考查角度
1.理解圓的有關概念和性質，了解圓心角、弧、弦之間的關系．
2．了解圓心角與圓周角及其所對弧的關系，掌握垂徑定理及推論.中考主要考查圓的有關概念和性質，與垂徑定理有關的計算，與圓有關的角的性質及其應用．題型以選擇題、填空題為主.
[導學必備知識]
知識梳理
一、圓的有關概念及其對稱性
1．圓的定義
(1)圓是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．這個定點叫做________，定長叫做________；
(2)平面內(nèi)一個動點繞一個定點旋轉一周所形成的圖形叫做圓，定點叫做圓心，定點與動點的連線段叫做半徑．
2．圓的有關概念
(1)連接圓上任意兩點的________叫做弦；
(2)圓上任意兩點間的________叫做圓弧，簡稱??；
(3)________相等的兩個圓是等圓；
(4)在同圓或等圓中，能夠互相________的弧叫做等?。?br> 3．圓的對稱性
(1)圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；
(2)圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；
(3)圓是旋轉對稱圖形：圓繞圓心旋轉任意角度，都能和原來的圖形重合．這就是圓的旋轉不變性．
二、垂徑定理及推論
1．垂徑定理
垂直于弦的直徑________這條弦，并且________弦所對的兩條?。?br> 2．推論1
(1)平分弦(________)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過________，并且平分弦所對的________弧；(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br> 3．推論2
圓的兩條平行弦所夾的弧________．
4．(1)過圓心；(2)平分弦(不是直徑)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所對的優(yōu)??；(5)平分弦所對的劣?。粢粭l直線具備這五項中任意兩項，則必具備另外三項．
三、圓心角、弧、弦之間的關系
1．定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧________，所對的弦________．
2．推論
同圓或等圓中：(1)兩個圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等．三項中有一項成立，則其余對應的兩項也成立．
四、圓心角與圓周角
1．定義
頂點在________上的角叫做圓心角；頂點在________上，角的兩邊和圓都________的角叫做圓周角．
2．性質
(1)圓心角的度數(shù)等于它所對的______的度數(shù)．
(2)一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對________的度數(shù)的一半．
(3)同弧或等弧所對的圓周角________，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧________．
(4)半圓(或直徑)所對的圓周角是______，90°的圓周角所對的弦是________．
五、圓內(nèi)接四邊形的性質
圓內(nèi)接四邊形的對角互補．
自主測試
1．(2012重慶)如圖，已知OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為()
A．45°B．35°C．25°D．20°
2．(2012山東泰安)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不成立的是()
A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．(2012浙江湖州)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C＝50°，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)是()
A．45°B．85°C．90°D．95°
4．(2012浙江衢州)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為__________mm.
5．(2012四川成都)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝23，OC＝1，則半徑OB的長為__________．
6．(2012山東青島)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，則∠ABC的度數(shù)是__________°.
[探究重難方法]

考點一、垂徑定理及推論
【例1】在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為()
A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米
分析：如圖，油面AB上升1分米得到油面CD，依題意得AB=6，CD=8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE=12AB=3，CF=12CD=4，設OE=x，則OF=x-1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求得半徑OA，得出直徑MN.
解析：如圖，依題意得AB＝6，CD＝8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE＝12AB＝3，CF＝12CD＝4，設OE＝x，則OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4.
∴半徑OA＝32＋42＝5.∴直徑MN＝2OA＝10(分米)．
故選C．
答案：C
方法總結有關弦長、弦心距與半徑的計算，常作垂直于弦的直徑，利用垂徑定理和解直角三角形來達到求解的目的．
觸類旁通1如圖所示，若⊙O的半徑為13cm，點P是弦AB上一動點，且到圓心的最短距離為5cm，則弦AB的長為__________cm.
考點二、圓心(周)角、弧、弦之間的關系
【例2】如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD．
(1)求證：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的長．
解：(1)證明：∵AB＝BC，
∴＝.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC．
(2)由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB．
∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA．∴ABBE＝BDAB.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BEBD＝3×9＝27.∴AB＝33.
方法總結圓心角、弧、弦之間的關系定理，提供了從圓心角到弧到弦的轉化方式，為我們證明角相等、線段相等和弧相等提供了新思路，解題時要根據(jù)具體條件靈活選擇應用．
觸類旁通2如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，若∠C=40°，則∠ABD的度數(shù)為()
A．40°B．50°C．80°D．90°
考點三、圓周角定理及推論
【例3】如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝()
A．116°B．32°C．58°D．64°
解析：根據(jù)圓周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半)；根據(jù)平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD．還有一種解法，即利用直徑所對的圓周角等于90°，可得∠ADB＝90°，則∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
答案：B
方法總結求圓中角的度數(shù)時，通常要利用圓周角與圓心角或圓心角與弧之間的關系．
觸類旁通3如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD＋∠CAO＝__________.
[品鑒經(jīng)典考題]

1．(2012湖南湘潭)如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，則∠BOD＝()
A．20°B．40°C．50°D．80°
2．(2012湖南益陽)如圖，點A，B，C在圓O上，∠A＝60°，則∠BOC＝__________.
3．(2012湖南婁底)如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠AOC＝48°，則∠BDC＝__________.
4.(2012湖南長沙)如圖，點A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求證：△ABC是等邊三角形；
(2)求圓心O到BC的距離OD．
5.(2012湖南懷化)如圖，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，點C是弦AB上任意一點(不與A，B重合)，連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD，DB．
(1)當∠ADC＝18°時，求∠DOB的度數(shù)；
(2)若AC＝23，求證：△ACD∽△OCB．
[研習預測試題]

1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=10，CD=8，那么線段OE的長為()
A．5B．4C．3D．2
2.如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0,5)和點O(0,0)，B是y軸右側⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為()
A．12B．34C．32D．45
3.一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的截面圓半徑OB=10，截面圓圓心O到水面的距離OC是6，則水面寬AB是()
A．16B．10C．8D．6
4．如圖，小華同學設計了一個圓直徑的測量器，標有刻度的尺子OA，OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個單位，OF＝6個單位，則圓的直徑為()
A．12個單位B．10個單位C．4個單位D．15個單位
5．如圖，已知在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝30°，則∠D＝________.
6．如圖，過A，C，D三點的圓的圓心為E，過B，F(xiàn)，E三點的圓的圓心為D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.
7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，則⊙O的直徑等于________．
8.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于點E.求證：
(1)△ABD為等腰三角形；
(2)ACAF=DFFE.
參考答案
【知識梳理】
一、1.(1)圓心半徑
2．(1)線段(2)部分(3)半徑(4)重合
二、1.平分平分
2．(1)不是直徑(2)圓心兩條
3．相等
三、1.相等相等
四、1.圓心圓相交
2．(1)弧(2)圓心角(3)相等相等(4)直角直徑
導學必備知識
自主測試
1．A∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝45°.故選A.
2．D∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，
∴M為CD的中點，即CM＝DM，選項A成立；
B為的中點，即CB＝DB，選項B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，
∴△ACM≌△ADM(SAS)，
∴∠ACD＝∠ADC，選項C成立；
而OM與MD不一定相等，選項D不成立．
故選D.
3．B∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，
∴∠D＝50°，∴∠BAD的度數(shù)是180°－45°－50°＝85°.
4．8如圖所示，在⊙O中，連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB＝2AD.
∵鋼珠的直徑是10mm，
∴鋼珠的半徑是5mm.
∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，
∴OD＝3mm.
在Rt△AOD中，
∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)．
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
故答案為8.
5．2∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23，
∴BC＝12AB＝3.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，
OB＝OC2＋BC2＝12＋(3)2＝2.
故答案為2.
6．150因為∠AOC＝60°，則它所對的弧度為60°，所以∠ABC所對的弧度為300°.因為∠ABC是圓周角，所以∠ABC＝150°.
探究考點方法
觸類旁通1.24連接OA，當OP⊥AB時，OP最短，此時OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝OA2－OP2＝132－52＝12，所以AB＝24cm.
觸類旁通2.B由題意，得∠A＝∠C＝40°，由直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余或三角形內(nèi)角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，從而得∠ABD＝50°.
觸類旁通3.48°因為的度數(shù)等于84°，所以∠COD＝84°.因為OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因為CA是∠OCD的平分線，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因為OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因為∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.
品鑒經(jīng)典考題
1．D∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝40°.
∴∠BOD＝2∠C＝2×40°＝80°.
2．120°∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°.
3．24°連接OB，∵CD⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝48°.
∴∠BDC＝12∠BOC＝12×48°＝24°.
4．(1)證明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC是等邊三角形．
(2)解：如圖，連接OB，則OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于點D，∴OD＝12OB＝4.
5.(1)解：連接OA.
∵∠ADC=18°，
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)證明：過點O作OE⊥AB于點E.
在Rt△OBE中，OB＝4，∠OBC＝30°，
∴BE＝OBcos30°＝4×32＝23.
∵OE⊥AB，∴AB＝2BE＝43.
∵AC＝23，∴C，E重合．
∴∠ACD＝∠OCB＝90°，
∠AOC＝∠COB＝90°－∠OBC＝60°.
∴∠ADC＝12∠AOC＝30°.
∴∠ADC＝∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研習預測試題
1．C2.C3.A4.B
5．150°6.18°
7.52連接AO并延長交圓于點E，連接BE.(如圖)
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD=AEAC.∵在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，
∴AD=4.∴AE=52.
8．證明：(1)由圓的性質知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，
∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD為等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴＝.
又∵BC＝AF，∴＝，∠CDB＝∠FDA，
∴＝，∴CD＝DF.
由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知，
∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①
∠FAE＝∠BDE.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE＝CDAF，
∴ACAF＝CDFE.
而CD＝DF，∴ACAF＝DFFE.

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初三數(shù)學圓的有關計算總復習

第26講圓的有關計算
[鎖定目標考試]

考標要求考查角度
1.會計算圓的弧長和扇形的面積．
2．會計算圓柱和圓錐的側面積和全面積．
3．了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.能運用弧長公式、扇形面積公式進行相關的計算，會借助分割與轉化的方法探求陰影部分的面積是中考考查的熱點，利用圓的面積公式、周長公式、弧長公式、扇形的面積公式求圓錐的側面積和全面積是考查的重點，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).
[導學必備知識]

知識梳理
一、弧長、扇形面積的計算
1．如果弧長為l，圓心角的度數(shù)為n°，圓的半徑為r，那么弧長的計算公式為l＝__________.
2．由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對弧圍成的圖形叫做扇形．若扇形的圓心角為n°，所在圓半徑為r，弧長為l，面積為S，則S＝__________或S＝12lr；扇形的周長＝2r＋l.
二、圓柱和圓錐
1．圓柱的側面展開圖是__________，這個矩形的長等于圓柱的底面圓的__________，寬等于圓柱的__________．如果圓柱的底面半徑是r，則S側＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圓錐的軸截面為由母線、底面直徑組成的等腰三角形．圓錐的側面展開圖是一個__________，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的__________，扇形的半徑等于圓錐的__________．因此圓錐的側面積：S側＝12l2πr＝πrl(l為母線長，r為底面圓半徑)；圓錐的全面積：S全＝S側＋S底＝πrl＋πr2.
三、正多邊形和圓
1．正多邊形：各邊__________、各角__________的多邊形叫做正多邊形．
2．多邊形的外接圓：經(jīng)過多邊形__________的圓叫做多邊形的外接圓，這個多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形．
3．正多邊形的__________的圓心叫做正多邊形的中心，__________的半徑叫做正多邊形的半徑．
4．中心到正多邊形的一邊的__________叫做正多邊形的邊心距．
5．正多邊形每一邊所對的__________的圓心角叫做正多邊形的中心角，正n邊形的每個中心角都等于__________．
溫馨提示(1)正多邊形的各邊、各角都相等．
(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．
(3)邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的中心是對稱中心．
(4)邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
四、不規(guī)則圖形面積的計算
求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解．
3．將陰影中某些圖形等積變形后移位，重組成規(guī)則圖形求解．
4．將所求面積分割后，利用旋轉將部分陰影圖形移位后，組成規(guī)則圖形求解．
5．將陰影圖形看成是一些基本圖形覆蓋而成的重疊部分，用整體和差法求解．
自主測試
1．已知圓柱的底面半徑為2cm，高為5cm，則圓柱的側面積是()
A．20cm2B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm2
2．(2012浙江舟山)已知一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為10cm，則這個圓錐的側面積為()
A．15πcm2B．30πcm2C．60πcm2D．391cm2
3．(2012四川南充)一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則圓錐側面展開圖的扇形的圓心角是()
A．120°B．180°C．240°D．300°
4．已知扇形的圓心角為150°，它所對應的弧長為20πcm，則此扇形的半徑是__________cm，面積是__________cm2.(結果保留π)
5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝60°，OC＝2.
(1)求OE和CD的長；
(2)求圖中陰影部分的面積．
[探究重難方法]

考點一、弧長、扇形的面積
【例1】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，將△ABC繞頂點C順時針方向旋轉至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的最短路線的長為()
A．43cmB．8cmC．163πcmD．83πcm
解析：點A所經(jīng)過的最短路線是以點C為圓心、CA為半徑的一段弧線，運用弧長公式計算求解．求解過程如下：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三點在同一條直線上，
∴∠ACA′＝120°.
又AC＝4，
∴的長l＝120×π×4180＝83π(cm)．故選D．
答案：D
方法總結當已知半徑r和圓心角的度數(shù)求扇形面積時，應選用S扇＝nπr2360，當已知半徑r和弧長求扇形的面積時，應選用公式S扇＝12lr，當已知半徑r和圓心角的度數(shù)求弧長時，應選用公式l＝nπr180.
觸類旁通1如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩根竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為9，貼紙部分的寬BD為6，則貼紙部分面積(貼紙部分為兩面)是()
A．24πB．36πC．48πD．72π
考點二、圓柱和圓錐
【例2】一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是()
A．5πB．4πC．3πD．2π
解析：側面積是：12×π×22＝2π.底面的周長是2π.則底面圓半徑是1，面積是π.則該圓錐的全面積是：2π＋π＝3π.故選C．
答案：C
方法總結圓錐的側面展開圖是扇形，半圓的面積就是圓錐的側面積，根據(jù)半圓的弧長等于圓錐底面圓的周長，即可求得圓錐底面圓的半徑，進而求得面積和全面積，正確理解圓錐的底面的周長等于展開圖中扇形的弧長是解題的關鍵．
觸類旁通2如圖，把一個半徑為12cm的圓形硬紙片等分成三個扇形，用其中一個扇形制作成一個圓錐形紙筒的側面(銜接處無縫隙且不重疊)，則圓錐底面半徑是______cm.
考點三、陰影面積的計算
【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF，EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半徑；
(2)求圖中陰影部分的面積．
解：(1)∵直徑AB⊥DE，∴CE＝12DE＝3.
∵DE平分AO，∴CO＝12AO＝12OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.
在Rt△COE中，OE＝CEcos30°＝332＝2.
∴⊙O的半徑為2.
(2)連接OF，如圖所示．
在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°.
∴∠EOF＝2∠D＝90°.
∵S扇形OEF＝90360×π×22＝π，S△OEF＝12×OE×OF＝12×2×2＝2.
∴S陰影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
方法總結陰影面積的計算方法很多，靈活性強，常采用轉化的數(shù)學思想：
(1)將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解．
(2)將陰影中某些圖形等積變形后移位，重組成規(guī)則圖形求解．
(3)將所求面積分割后，利用旋轉將部分陰影圖形移位后，組成規(guī)則圖形求解．
(4)將陰影圖形看成是一些基本圖形覆蓋而成的重疊部分，用整體和差法求解．
[品鑒經(jīng)典考題]

1.(2012湖南婁底)如圖，正方形MNEF的四個頂點在直徑為4的大圓上，小圓與正方形各邊都相切，AB與CD是大圓的直徑，AB⊥CD，CD⊥MN，則圖中陰影部分的面積是()
A．4πB．3πC．2πD．π
2．(2012湖南長沙)在半徑為1cm的圓中，圓心角為120°的扇形的弧長是__________cm.
3．(2012湖南張家界)已知圓錐的底面直徑和母線長都是10cm，則圓錐的側面積為__________．
4．(2012湖南郴州)圓錐底面圓的半徑為3cm，母線長為9cm，則這個圓錐的側面積為__________cm2.(結果保留π)
5．(2012湖南衡陽)如圖，已知⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點為B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，是劣弧的長為__________cm.
6.(2012湖南岳陽)如圖所示，在⊙O中，，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與弦AB交于點F，連接BC．
(1)求證：AC2＝ABAF；
(2)若⊙O的半徑為2cm，∠B＝60°，求圖中陰影部分的面積．
[研習預測試題]

1.如圖，⊙O半徑是1，A，B，C是圓周上的三點，∠BAC=36°，則劣弧的長為()
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
2．已知圓錐底面圓的半徑為6cm，高為8cm，則圓錐的側面積為()
A．48cm2B．48πcm2C．120πcm2D．60πcm2
3．如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6cm，點P是母線BC上一點且PC＝23BC．一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是()
A．4＋6πcmB．5cmC．35cmD．7cm
4．如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去13圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的高為()
A．6cmB．35cmC．8cmD．53cm
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分別以A，B，C為圓心，以12AC為半徑畫弧，三條弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積是__________．
6．如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是2cm，則圖中三個扇形(即陰影部分)面積之和是__________cm2.
7．如圖，AB為半圓O的直徑，C，D，E，F(xiàn)是AB的五等分點，P是AB上的任意一點．若AB＝4，則圖中陰影部分的面積為__________．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足為E.
(1)求OE的長；
(2)求劣弧AC的長(結果精確到0.1)．
參考答案
【知識梳理】
一、1.nπr1802.nπr2360
二、1.矩形周長高h
2．扇形周長母線長
三、1.相等也相等
2．各個頂點
3．外接圓外接圓
4．距離
5．外接圓360°n
導學必備知識
自主測試
1．B
2．B因為底面半徑為3cm，則周長為6πcm，
所以圓錐的側面積為6π×10÷2＝30π(cm2)．
3．B設圓錐的底面半徑為r，母線為R，圓錐側面展開圖的扇形的圓心角為n，則扇形的面積為12×2πr×R＝πrR.由題意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，則R＝2r，
所以n＝180°.
4．24240π
5．解：(1)在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝12OC＝1，∴CE＝32OC＝3，
∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝23.
(2)∵S△ABC＝12ABCE＝12×4×3＝23，
∴S陰影＝12π×22－23＝2π－23.
探究考點方法
觸類旁通1.CS＝120π(92－32)360×2＝72π3×2＝48π.
觸類旁通2.4因為扇形的弧長為13×2×12π＝8π，即底面周長為8π，則底面半徑為8π2π＝4(cm)．
品鑒經(jīng)典考題
1．D由題意知，陰影部分的面積正好是圓面積的14，即14π422＝π.
2.23πl(wèi)＝nπr180＝120π1180＝23π.
3．50πS側＝πrl＝π×5×10＝50π.
4．27πS側＝πrl＝π×3×9＝27π.
5．2π連接AO，∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.∴∠BOC＝180°－2×60°＝60°，∴弧BC的長為60π×6180＝2πcm.
6．解：(1)證明：∵，∴∠ACF＝∠ABC.
∵∠A＝∠A，∴△ACF∽△ABC.∴ACAB＝AFAC.
∴AC2＝ABAF.
(2)連接OA，OC，作OE⊥AC，垂足為點E，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°.
∴∠OAE=∠OCE=30°.
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2，
∴OE＝1，AE＝3.
∴AC＝2AE＝23.
∴S陰影＝S扇形OAC－S△AOC＝120×π×22360－12×23×1＝43π－3.
研習預測試題
1．B2.D3.B
4．B留下的扇形的弧長為1－13×2×π×9＝12π，
所以圍成一個圓錐的底面圓的周長為12π.
則底面圓的半徑為12π＝2πr，所以r＝6.
而圓錐的母線長為9，
所以由勾股定理，得到圓錐的高為92－62＝35(cm)．
5．8－2π6.2π7.25π
8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足為E，∴AE＝EC.
∵AO＝BO，∴OE＝12BC＝2.5.
(2)∠A＝12∠BOC＝25°，
在Rt△AOE中，sinA＝OEOA，∴OA＝2.5sin25°.
∵∠AOC＝180°－50°＝130°，
∴劣弧AC的長＝130×2.5π180sin25°≈13.4.

九年級數(shù)學圓復習

九年級數(shù)學期末復習（3）---圓

班級學號姓名

【導學提綱】

1.若⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為4cm，那么點A與⊙O的位置關系是（）

A.點A在圓外B.點A在圓上C.點A在圓內(nèi)D.不能確定

2.小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好是半圓形，下列幾個圖形是半圓形的是（）

3.如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（）

A.8B.4C.10D.5

4.如圖，已知CD為⊙O的直徑，過點D的弦DE∥OA，∠D=50°，則∠C的度數(shù)是（）

A.25°B.40°C.30°D.50°

5.如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，若∠DEF=52°，則∠A的度數(shù)是（）

A.52°B.76°C.26°D.128°

6.如圖，AB是半圓O的直徑，OD⊥AC，OD=2，則弦BC的長為．

7.如圖，已知AB是⊙O的一條直徑，延長AB至C點，使得AC＝3BC，CD與⊙O相切，切點為D．若CD＝，則線段BC的長度等于．

【展示交流】

例1.如圖，AB為⊙O的直徑，劣弧，BD∥CE，連接AE并延長交BD于D.求證：（1）BD是⊙O的切線（2）

例2.如圖，AB是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙與⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足為E．（l）求證：AD＝DC；（2）求證：DE是⊙的切線.

例3.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．

（1）求證：BC=CD；

（2）求證：∠ADE=∠ABD；

（3）設AD=2，AE=1，求⊙O直徑的長．

【反饋練習】

1.⊙O的半徑r=10cm，圓心到直線a的距離OM=8cm，在直線a上有一點P，且PM=6cm，則點P（）

A．在⊙O內(nèi)B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能⊙O內(nèi)也可能在外

2.三角形內(nèi)切圓的圓心是這個三角形的()

A．三條中線的交點B.三條角平分線的交點

C．三條高的交點D.三邊的垂直平分線的交點

3.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AB=3，則AD的值為（）

A.6B.35C.5D.33

4.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，BC=OB，CE是⊙O的切線，切點為D，過點A作AE⊥CE，垂足為E，則CD：DE的值是（）

A.12B.1C.2D.3

5.已知O半徑為5，圓心O到直線AB的距離為2，則O上有且只有個點到直線AB的距離為3.

6.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是⊙O上（不與B、C重合）的一個動點，∠BPC=.

7.已知圓O的半徑為5，AB是圓O的直徑，D是AB延長線上一點，DC是圓O的切線，C是切點，連接AC，若∠CAB=30°，則BD的長為.

8.如圖，AM為⊙O的切線，A為切點，BD⊥AM于點D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度數(shù).

9.如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．

（1）求證：∠ACO=∠BCD；

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

10.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，

求證：（l）AC是⊙D的切線；（2）AB＋EB＝AC．

11.已知：如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．

（1）求證：∠DAC＝∠DBA；

（2）求證：是線段AF的中點；

（3）若⊙O的半徑為5，AF＝，求tan∠ABF的值．

九年級數(shù)學《圓的基本性質》知識點復習

九年級數(shù)學《圓的基本性質》知識點復習

一、圓

1、圓的定義

在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

二、圓形的旋轉

1.圖形的旋轉

(1)定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。

(2)生活中的旋轉現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等;另一類則是由某一基本圖形通過旋轉而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

(3)圖形的旋轉不改變圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心可以在圖形上也可以在圖形外。

(4)會找對應點，對應線段和對應角。

三、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

四、圓心角

(1)把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1°的角.

(2)因為在同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份，這時，把每一份這樣得到的弧叫做1°的弧.

(3)圓心角的度數(shù)和它們對的弧的度數(shù)相等.

五、圓周角

有關計算公式

①L(弧長)=n/180Xπr(n為圓心角度數(shù)，以下同)；

②S(扇形面積)=n/360Xπr

③扇形圓心角n=(180L)/(πr)(度)。

④K=2Rsin(n/2)K=弦長；n=弦所對的圓心角，以度計。

六、圓內(nèi)接四邊形

四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。

性質

1、圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

3、圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。(托勒密定理)

七、正多邊形

重點：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系.

難點：使學生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系.

正多邊形的中心：所有對稱軸的交點;

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。

八、弧長及扇形的面積

弧長公式：n是圓心角度數(shù)，r是半徑，α是圓心角弧度。

l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r

在半徑是R的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長就等于圓周長C=2πR，所以n°圓心角所對的弧長為l=n°πR÷180°。

在弧度制下，若弧所對的圓心角為θ，則有公式L=Rθ。