高中牛頓第二定律教案

第二章分解因式。

第二章分解因式
1．分解因式
總體說明
因式分解是進行代數恒等變形的重要手段之一，它在以后的代數學習中有著重要的應用，如：多項式除法的簡便運算，分式的運算，解方程（組）以及二次函數的恒等變形等，因此學好因式分解對于代數知識的后繼學習具有相當重要的意義．
本節(jié)是因式分解的第1小節(jié)，占一個課時，它主要讓學生經歷從分解因數到分解因式的過程，讓學生體會數學思想——類比思想，讓學生了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系，感受分解因式在解決相關問題中的作用．

一、學生知識狀況分析
學生的技能基礎：學生已經熟悉乘法的分配律及其逆運算，并且學習了整式的乘法運算，因此，對于因式分解的引入，學生不會感到陌生，它為今天學習分解因式打下了良好基礎．
學生活動經驗基礎：由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對于八年級學生還比較生疏，接受起來還有一定的困難，再者本節(jié)還沒有涉及因式分解的具體方法，所以對于學生來說，尋求因式分解的方法是一個難點．
二、教學任務分析
基于學生在小學已經接觸過因數分解的經驗，但對于因式分解的概念還完全陌生，因此，本課時在讓學生重點理解因式分解概念的基礎上，應有意識地培養(yǎng)學生知識遷移的數學能力，如：類比思想，逆向運算能力等。因此，本課時的教學目標是：
知識與技能：
（1）使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念．
（2）認識因式分解與整式乘法的相互關系——互逆關系，并能運用這種關系尋求因式分解的方法．
數學能力：
（1）由學生自主探索解題途徑，在此過程中，通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，培養(yǎng)學生的觀察能力，進一步發(fā)展學生的類比思想．
（2）由整式乘法的逆運算過渡到因式分解，發(fā)展學生的逆向思維能力．
（3）通過對分解因式與整式的乘法的觀察與比較，培養(yǎng)學生的分析問題能力與綜合應用能力．
情感與態(tài)度：
讓學生初步感受對立統(tǒng)一的辨證觀點以及實事求是的科學態(tài)度．

三、教學過程分析
本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：看誰算得快——看誰想得快——看誰算得準——學生討論——反饋練習——學生反思．

第一環(huán)節(jié)看誰算得快
活動內容：用簡便方法計算：
（1）=
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
（3）992–1=．
活動目的：如果說學生對因式分解還相當陌生的話，相信學生對用簡便方法進行計算應該相當熟悉．引入這一步的目的旨在讓學生通過回顧用簡便方法計算——因數分解這一特殊算法，使學生通過類比很自然地過渡到正確理解因式分解的概念上，從而為因式分解的掌握掃清障礙，本環(huán)節(jié)設計的計算992–1的值是為了降低下一環(huán)節(jié)的難度，為下一環(huán)節(jié)的理解搭一個臺階．
注意事項：學生對于（1）（2）兩小題逆向利用乘法的分配律進行運算的方法是很熟悉，對于第（3）小題的逆向利用平方差公式的運算則有一定的困難，因此，有必要引導學生復習七年級所學過的整式的乘法運算中的平方差公式，幫助他們順利地逆向運用平方差公式．

第二環(huán)節(jié)看誰想得快
活動內容：993–99能被哪些數整除？你是怎么得出來的？
學生思考：從以上問題的解決中，你知道解決這些問題的關鍵是什么？
活動目的：引導學生把這個式子分解成幾個數的積的形式，繼續(xù)強化學生對因數分解的理解，為學生類比因式分解提供必要的精神準備．
注意事項：由于有了第一環(huán)節(jié)的鋪墊，學生對于本環(huán)節(jié)問題的理解則顯得比較輕松，學生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同學還回答出能被33、50、200等整除，此時，教師應有意識地引導，使學生逐漸明白解決這些問題的關鍵是——把一個多項式化為積的形式．

第三環(huán)節(jié)看誰算得準
活動內容：
計算下列式子：
（1）3x(x-1)=；
（2）m(a+b+c)=；
（3）（m+4）(m-4)=；
（4）（y-3）2=；
（5）a(a+1)(a-1)=．
根據上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc=；
（2）3x2-3x=；
（3）m2-16=；
（4）a3-a=；
（5）y2-6y+9=．
活動目的：在第一組的整式乘法的計算上，學生通過對第一組式子的觀察得出第二組式子的結果，然后通過對這兩組式子的結果的比較，使學生對因式分解有一個初步的意識，由整式乘法的逆運算逐步過渡到因式分解，發(fā)展學生的逆向思維能力．
注意事項：由于整式的乘法運算是學生在七年級已經學習過的內容，因此，學生能很快得出第一組式子的結果，并能很快發(fā)現(xiàn)第一組式子與第二組式子之間的聯(lián)系，從而得出第二組式子的結果．
第四環(huán)節(jié)學生討論
活動內容：
比較以下兩種運算的聯(lián)系與區(qū)別：
（1）a(a+1)(a-1)=a3-a
（2）a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三環(huán)節(jié)的運算中還有其它類似的例子嗎？除此之外，你還能找到類似的例子嗎？
結論：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．
辨一辨：下列變形是因式分解嗎？為什么？
（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2
活動目的：通過學生的討論，使學生更清楚以下事實：
（1）分解因式與整式的乘法是一種互逆關系；
（2）分解因式的結果要以積的形式表示；
（3）每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低于原來的多項式的次數；
（4）必須分解到每個多項式不能再分解為止．
注意事項：學生通過討論，能找出分解因式與整式的乘法的聯(lián)系與區(qū)別，基本清楚了“分解因式與整式的乘法是一種互逆關系”以及“分解因式的結果要以積的形式表示”這兩種事實，后兩種事實是在老師的引導與啟發(fā)下才能完成．

第五環(huán)節(jié)反饋練習
活動內容：
1、看誰連得準
x2-y2.(x+1)2
9-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)
xy-y2(x+y)(x-y)
2、下列哪些變形是因式分解，為什么？
（1）（a+3）(a-3)=a2-9
（2）a2-4=(a+2)(a-2)
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對因式分解意義的理解是否到位，以便教師能及時地進行查缺補漏．
注意事項：從學生的反饋情況來看，學生對因式分解意義的理解基本到位．

第六環(huán)節(jié)學生反思
活動內容：從今天的課程中，你學到了哪些知識？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
活動目的：通過學生的回顧與反思，強化學生對因式分解意義的理解，進一步清楚地了解分解因式與整式的乘法的互逆關系，加深對類比的數學思想的理解，對矛盾對立統(tǒng)一的觀點有一個初步認識．
注意事項：從學生的反思來看，學生掌握了新的知識，提高了逆向思維的能力，對于類比的數學思想有了一定的理解，對于矛盾對立統(tǒng)一的哲學觀點也有了一個初步認識．
鞏固練習：課本第45頁習題2.1第1，2，3題
思考題：課本第45頁習題2.1第4題（給學有余力的同學做）

四、教學反思
傳統(tǒng)教學中，總是先介紹因式分解的定義，然后通過大量的模仿練習來強化鞏固學生對因式分解概念的記憶與理解，其本質上是對因式分解的概念進行強化記憶．
在新課程的教學中，對因式分解的記憶退到了次要的位置，它把因式分解作為培養(yǎng)學生逆向思維、全面思考、靈活解決矛盾的載體．在教師的指導下，學生通過因數分解類比出因式分解，對學生進行類比的數學思想培養(yǎng)，由整式的乘法與因式分解的對比，對學生的逆向思維能力進行培養(yǎng)，也使得學生對于因式分解概念的引入不至于茫然．
盡管新舊兩種教法的對比上，新課程的教學不一定馬上顯露出強勁的優(yōu)勢，甚至可能因為強化練習較少，在短時間內，學生的成績比不上傳統(tǒng)教法的學生成績，但從長遠目標看來，這種對數學本質的訓練會有效地提高學生的數學素養(yǎng)，培養(yǎng)出學生對數學本質的理解，而不僅僅是停留在對數學的機械模仿記憶的層面上．
總之，教學的著眼點，不是熟練技能，而是發(fā)展思維，使學生在學習的情感態(tài)度與價值觀上發(fā)生深刻的變化．

精選閱讀

北師大八年級數學下第二章分解因式復習學案

第一章《分解因式》復習
課型：復習學生姓名：_______________
一、知識網絡圖

二、思想方法
復習本章知識應注意領會以下幾種思想方法的運用：
1．觀察、試驗的思想方法觀察、試驗是一種基本的研究方法，它可以用來引導數學發(fā)現(xiàn)、啟迪問題解決的思路．用十字相乘法進行分解因式不像整式乘法那樣可按法則計算，而是需要根據所給多項式的特點進行觀察，試驗才能解決。
2．整體思想有些多項式，表面上看較復雜，若能注意到題目中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡，化難為易。
3．逆向思維的方法整式的乘法與分解因式的學習過程中，同學們可以仔細體會。
4．類比思想數學問題的相似性在數學中普遍存在．根據多項式與多項式之間的異同點，抓住其本質特征，運用類比思想去處理，則能將生疏的問題轉化為熟悉的問題。

三、知識梳理
1．了解分解因式：把一個多項式化成幾個______________的積，這種變形叫做分解因式，它與整式的乘法______________。
如：判斷下列從左邊到右邊的變形是否為分解因式：
①（）②（）
③（）④（）
2．提公因式法分解因式：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式的乘積，這種分解因式的方法叫做___________________。
如：分解因式：=________________；=________________；
3．公式法分解因式：如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做_____________________。
如：分解因式①②

4．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=，用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式：①②
5．分解因式的一般步驟：首先提取公因式；然后運用_____________；
如：①②③
四、常見錯誤：
1．概念不辨，錯誤出現(xiàn)：錯解：．
2．公式不清，錯誤入侵：錯解：（1）；（2）．
3．提公因式后，“1”被遺棄：錯解：．
4．混淆變形，無中生有：錯解：．
5．畫蛇添足，背道而馳：錯解：

五、典型題析
例1把下列各式因式分解
（1）
（2）
分析：（1）若多項式的第一項系數是負數，一般要提出“－”號，使括號內的第一項系數是正數，在提出“－”號后，多項式的各項都要變號。
（2）有時將因式經過符號變換或將字母重新排列后可化為公因式，如：當n為自然數時，，是在因式分解過程中常用的因式變換。
例2簡化計算過程：計算
分析：算式中每一項都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結果

例3把分解因式
分析：多項式有公因式時需先提取公因式，再利用平方差公式分解，且要分解到不能再分解為止

例4運用整體思想解決問題：
不解方程組，求代數式的值
分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數式，發(fā)現(xiàn)每一項都含有，利用提公因式法把代數式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結果

例5證明：對于任意自然數n，一定是10的倍數。
分析：首先利用因式分解把代數式恒等變形，接著只需證明每一項都是10的倍數即可。

例6已知多項式有一個因式是，求的值。
分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算，可假設另一個因式，再用待定系數法即可求出的值。

例7已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。
分析：因為題中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。

五、鞏固練習
1、把下列各式分解因式：

2、把下列各式分解因式：

3、先分解因式，然后計算求值：
①，其中，②，其中，。

4、把下列各式分解因式：

5、利用分解因式解決問題：
（1）①利用分解因式說明：能被120整除；
②可以被60至70之間的某兩個數整除，求這兩個數；

（2）利用分解因式計算：
①②

（3）①如圖在半徑為R的圓形鋼板上，沖去半徑為r的四個小圓，利用分解因式計算當R=7.8cm，r=1.1cm時剩余部分的面積（取3.14，結果保留兩位有效數字）

②如圖，某農場修建一座小型水庫，需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內徑d=45cm，外徑D=75cm，長l=300cm，利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土（取3.14，結果保留兩位有效數字）

③已知正方形面積是（），利用分解因式寫出表示該正方形的邊長的代數式。

④正方形Ⅰ的周長比正方形Ⅱ的周長長96cm，它們的面積相差960，求這兩個正方形的邊長。

（4）①已知，求的值。

②當取何值時，多項式取最小值。

③當取何值時，多項式時一個完全平方式。

④計算下列各式：
你能根據所學知識找到計算上面式子的簡便方法嗎？請你利用你找到的簡便方法計算下式：

⑤已知，求a,b,c的值。
⑥已知x、y都是正整數，且，求x、y
⑦已知：，求的值。

北師大版八年級下第二章分解因式的復習教案

3．4．3分式方程
課型：新授學生姓名：_________
[目標導航]
1、學習目標
（1）知識目標：
①用分式方程的數學模型反映現(xiàn)實情境中的實際問題。
②用分式方程來解決現(xiàn)實情境中的問題。
（2）能力目標：
①經歷運用分式方程解決實際問題的過程，發(fā)展抽象概括、分析問題和解決問題的能力。
②認識運用方程解決實際問題的關鍵是審清題意，尋找等量關系，建立數學模型。
（3）情感目標：
①經歷建立分式方程模型解決實際問題的過程，體會數學模型的應用價值，從而提高學習數學的興趣。
②培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，從中獲得成功的體驗。
2、學習重點：
①審明題意，尋找等量關系，將實際問題轉化成分式方程的數學模型。
②根據實際意義檢驗解的合理性。
3、學習難點：
尋求實際問題中的等量關系，尋求不同的解決問題的方法。
[課前導學]
1、課前復習：

2、課前預習：
某單位將沿街的一部分房屋出租。每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年為9.6萬元，第二年為10.2萬元
（１）找出這一情境的等量關系。

（２）根據這一情境，你能提出哪些問題？

（３）利用方程求出這兩年每間房屋的租金各是多少？
設第一年每間租金為x元，則第二年每間租金為元。
于是：第一年出租房屋的間數是，第二年出租房屋的間數是。
當然，第一年、第二年出租房屋的間數不會發(fā)生變化，于是可得方程：
3、課前學記（課前學習疑難點、教學要求建議）

[課堂研討]
1、新知探究，例題講解
例1、某市從今年１月１日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲。小麗家去年１２份的水費是１５元，而今年７月份的水費則是３０元。已知小麗家今年７月份的用水量比去年１２份的用水量多５，求該市今年居民的用水價格。
分析：請列出此題中的兩個等量關系：
；
。
解：設該市去年居民用水的價格是，則該市今年居民的用水價格是
根據題意：可列方程：
解之得：x=
檢驗：
答：
小結：列分式方程解應用題的一般步驟是：
。

2、隨堂練習，鞏固提高（要求列分式方程）
（1）小明和同學一起去書店買書。他們先用１５元買了一種科普書，又用１５元買了一種文學書。科普書的價格比文學書的價格高出一半，因此他們買的科普書比文學書少１本。問這種科普書和文學書的價格各是多少？

（2）某商店銷售一批服裝，每件售價１５０元，可獲利２５%，求這種服裝的成本價。

（3）甲種原料和乙種原料的單價比是２：３，將價值２０００元的甲種原料和價值１０００元的乙種原料混合后，單價是９元，求甲種原料的單價。

[課外拓展]
1、課后記（收獲、體會、困惑）

2、分層作業(yè)（班級：_____________，學生姓名：____________）
A、必做題（限時12分鐘，實際完成時間：_______分鐘）
一、列分式方程解決以下問題
某商店甲種糖果的單價是每千克20元，乙種糖果的單價是每千克１６元。為了促銷，現(xiàn)將１０千克乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價定為每千克１７.５元，那么分開銷售和混合銷售的銷售額相同。問這包甲種糖果有多少千克？

B、選做題
如圖，小明家、王老師家、學校在同一條路上.小明家到王老師家路程為3km，王老師家到學校的路程為0.5km,由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接小明上學。已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？
C：選做題
某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過5m3，則每立方米收費1.5元；若每戶每月用水超過5m3，則超出部分每立方米收取較高的定額費用。1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當月水費是17.5元，李家當月水費是27.5元。超出5m3的部分每立方米收費多少元

八年級數學下冊第二章分解因式回顧與思考學案

一般給學生們上課之前，老師就早早地準備好了教案課件，大家都在十分嚴謹的想教案課件。只有規(guī)劃好教案課件計劃，新的工作才會更順利！你們清楚有哪些教案課件范文呢？小編收集并整理了“八年級數學下冊第二章分解因式回顧與思考學案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

回顧與思考
學習目標：
（1）提高因式分解的基本運算技能
（2）能熟練進行因式分解方法的綜合運用．
學習重難點:
幾種因式分解方法的綜合運用．
學習準備：
1、把一個多項式化成的形式，叫做把這個多項式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念，應把握如下特點：
（1）結果一定是的形式；
（2）每個因式都是；
（3）各因式一定要分解到為止。
2、分解因式與是互逆關系。
3、分解因式常用的方法有：
（1）提公因式法：
（2）應用公式法：①平方差公式：②完全平方公式：
（3）分組分解法：am+an+bm+bn=
(4)十字相乘法：=
4、分解因式步驟：
（1）首先考慮提取，然后再考慮套公式；
（2）對于二次三項式聯(lián)想到平方差公式因式分解；
（3）對于二次三項式聯(lián)想到完全平方公式，若不行再考慮十字相乘法分解因式；
（4）超過三項的多項式考慮分組分解；
（5）分解完畢不要大意，檢查是否分解徹底。
辨析題：
1、下列哪些式子的變形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2=2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
2、把下列各式分解因式：
（1）7x2–63（2）（x+y）2–14（x+y）+49

（3）（4）（a2+4）2–16a2

想一想
計算：
1、32004–320032、（–2）101+（–2）100

3、已知，求的值．

例1：把下列各式因式分解(分組后能提公因式)
（1）a2-ab+ac-bc（2）2ax-10ay+5by-bx

(3)3ax+4by+4ay+3bx(4)m2+5n-mn-5m
點撥：1、用分組分解法時，一定要想想分組后能否繼續(xù)進行，完成因式分解，
由此合理選擇分組的方法
2、運算律（如加法交換律、分配律）在因式分解中起著重要的作用