小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)教案

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下第二章分解因式復(fù)習(xí)教案。

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).
2.二次函數(shù)的性質(zhì)
（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸.
（2）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系.
①當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).
（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
3.二次函數(shù)的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.
4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.
6.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).
①的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.
8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.
（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.
（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).
用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.
9.拋物線中，的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
（2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線
，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).
（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.
當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：
①，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.
以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.
10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：
函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)
當(dāng)時(shí)
開口向上
當(dāng)時(shí)
開口向下（軸）
（0,0）

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.
（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.
12.直線與拋物線的交點(diǎn)
（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).
（3）拋物線與軸的交點(diǎn)
二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；
②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；
③沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.
（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)
同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).
（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故www.lvshijia.net

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北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下第二章分解因式全章教案

第二章分解因式
§2.1分解因式
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1．使學(xué)生了解因式分解的意義。
2．知道它與整式乘法在整式變形過(guò)程中的相反關(guān)系。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
1．通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)分解因式與整式乘法的關(guān)系。
2．培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和語(yǔ)言概括能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
1．通過(guò)觀察，推導(dǎo)分解因式與整式乘法的關(guān)系。
2．讓學(xué)生了解事物間的因果聯(lián)系
教學(xué)重點(diǎn)
1．理解因式分解的意義；
2．識(shí)別分解因式與整式乘法的關(guān)系．
教學(xué)難點(diǎn)
通過(guò)觀察，歸納分解因式與整式乘法的關(guān)系．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備
有兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，剪刀.
投影片兩張：
第一張：做一做(記作§2.1.1A)；
第二張：補(bǔ)充練習(xí)(記作§2.1.1B).
教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課
計(jì)算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
這是大家學(xué)過(guò)的平方差公式，我們是在整式乘法中學(xué)習(xí)的．從式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等號(hào)左邊可以推出等號(hào)右邊，那么從等號(hào)右邊能否推出等號(hào)左邊呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推導(dǎo)呢？這就是我們即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容：因式分解的問(wèn)題．
Ⅱ.講授新課
1．討論993－99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流．
93－99能被100整除．因?yàn)?93－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一個(gè)因數(shù)為100，所以993－99能被100整除．
993－99還能被哪些正整數(shù)整除？（99，98，980，990，9702）
從上面的推導(dǎo)過(guò)程看，等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)，而等號(hào)右邊是變成了幾個(gè)數(shù)的積的形式．
2．議一議
你能嘗試把a(bǔ)3－a化成n個(gè)整式的乘積的形式嗎？與同伴交流．
大家可以觀察a3－a與993－99這兩個(gè)代數(shù)式．
a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)
3．做一做
（1）計(jì)算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；
③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；
⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．
（2）根據(jù)上面的算式填空：
①3x2－3x＝()()；②m2－16＝()()；
③ma＋mb＋mc＝()()；④y2－6y＋9＝()2．
⑤a3－a＝()()．
能分析一下兩個(gè)題中的形式變換嗎？
在（1）中我們知道從左邊推右邊是整式乘法；在（2）中由多項(xiàng)式推出整式乘積的形式是因式分解．
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．
4．想一想
由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的變形是什么運(yùn)算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的變形與這種運(yùn)算有什么不同？你還能舉一些類似的例子加以說(shuō)明嗎？
總結(jié)一下：
聯(lián)系：等式（1）和（2）是同一個(gè)多項(xiàng)式的兩種不同表現(xiàn)形式．
區(qū)別：等式（1）是把幾個(gè)整式的積化成一個(gè)多項(xiàng)式的形式，是乘法運(yùn)算．
所以，因式分解與整式乘法是相反方向的變形．
5．例題
下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
Ⅲ.課堂練習(xí)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了因式分解的意義，即把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式；還學(xué)習(xí)了整式乘法與分解因式的關(guān)系是相反方向的變形．
Ⅴ.課后作業(yè)
見(jiàn)作業(yè)本
六、活動(dòng)與探究
已知a＝2，b＝3，c＝5，求代數(shù)式a(a＋b－c)＋b(a＋b－c)＋c(c－a－b)的值．
VI板書設(shè)計(jì)
§2.1分解因式

一、1．討論993－99能被100整除嗎？
2．議一議3．做一做
4．想一想
5．例題講解
二、課堂練習(xí)
三、課時(shí)小結(jié)

§2.2.1提公因式法（一）
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1．讓學(xué)生了解多項(xiàng)式公因式的意義。
2．初步會(huì)用提公因式法分解因式。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
1．通過(guò)找公因式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
1．在用提公因式法分解因式時(shí)，先讓學(xué)生自己找公因式，然后大家討論結(jié)果的正確性。
2．讓學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)。
3．還能使學(xué)生初步感到因式分解在簡(jiǎn)化計(jì)算中將會(huì)起到很大的作用．
教學(xué)重點(diǎn)
能觀察出多項(xiàng)式的公因式，并根據(jù)分配律把公因式提出來(lái)．
教學(xué)難點(diǎn)
讓學(xué)生識(shí)別多項(xiàng)式的公因式
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課
一塊場(chǎng)地由三個(gè)矩形組成，矩形的長(zhǎng)分別為，，，寬都是，求這塊場(chǎng)地的面積．
從兩種不同的解答過(guò)程看，解法一是按運(yùn)算順序：先算乘，再算和進(jìn)行的，解法二是先逆用分配律算和，再計(jì)算一次乘，由此可知解法二要簡(jiǎn)單一些．這個(gè)事實(shí)說(shuō)明，有時(shí)我們需要將多項(xiàng)式化為積的形式，而提取公因式就是化積的一種方法．
Ⅱ.講授新課
1．公因式與提公因式法分解因式的概念．
若將剛才的問(wèn)題一般化，即三個(gè)矩形的長(zhǎng)分別為a、b、c，寬都是m，則這塊場(chǎng)地的面積為ma＋mb＋mc，或m(a＋b＋c)，可以用等號(hào)來(lái)連接．
從上面的等式中，大家注意觀察等式左邊的每一項(xiàng)有什么特點(diǎn)？各項(xiàng)之間有什么聯(lián)系？等式右邊的項(xiàng)有什么特點(diǎn)？
由于m是左邊多項(xiàng)式ma＋mb＋mc的各項(xiàng)ma、mb、mc的一個(gè)公共因式，因此m叫做這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)的公因式．
由上式可知，把多項(xiàng)式ma＋mb＋mc寫成m與(a＋b＋c)的乘積的形式，相當(dāng)于把公因式m從各項(xiàng)中提出來(lái)，作為多項(xiàng)式ma＋mb＋mc的一個(gè)因式，把m從多項(xiàng)式ma＋mb＋mc各項(xiàng)中提出后形成的多項(xiàng)式(a＋b＋c)，作為多項(xiàng)式ma＋mb＋mc的另一個(gè)因式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例題講解
例1將下列各式分解因式：
（1）3x＋6；（2）7x2－21x；（3）8a3b2－12ab3c＋abc；（4）－24x3－12x2＋28x．
分析：首先要找出各項(xiàng)的公因式，然后再提取出來(lái)．
3．議一議
通過(guò)剛才的練習(xí)，下面大家互相交流，總結(jié)出找公因式的一般步驟．
首先找各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，如8和12的最大公約數(shù)是4．其次找各項(xiàng)中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab，相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．
4．想一想
從例1中能否看出提公因式法分解因式與單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式有什么關(guān)系？
提公因式法分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的形式．
Ⅲ.課堂練習(xí)
1．寫出下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．
（1）ma＋mb；（2）4kx－8ky；（3）5y3＋20y2；（4）a2b－2ab2＋ab。
2．把下列各式分解因式
（1）8x－72＝8(x－9)（2）a2b－5ab＝ab(a－5)
（3）4m3－6m2＝2m2(2m－3)（4）a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)
（5）－a2＋ab－ac＝－(a2－ab＋ac)＝－a(a－b＋c)
（6）－2x3＋4x2－2x＝－(2x3－4x2＋2x)＝－2x(x2－2x＋1)
3．把3x2－6xy＋x分解因式。3x2－6xy＋x＝x(3x－6y＋1)。
將x寫成x1，這樣可知提出一個(gè)因式x后，另一個(gè)因式是1．
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
這里的字母a、b、c、m可以是一個(gè)系數(shù)不為1的、多字母的、冪指數(shù)大于1的單項(xiàng)式．
2．提公因式法分解因式，關(guān)鍵在于觀察、發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的公因式．
3．找公因式的一般步驟
（1）若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；
（2）取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；
（3）取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取較低的．
（4）所有這些因式的乘積即為公因式．
4．初學(xué)提公因式法分解因式，最好先在各項(xiàng)中將公因式分解出來(lái)，如果這項(xiàng)就是公因式，也要將它寫成乘1的形式，這樣可以防范錯(cuò)誤，即漏項(xiàng)的錯(cuò)誤發(fā)生．
5．公因式相差符號(hào)的，如(x－y)與(y－x)要先統(tǒng)一公因式，同時(shí)要防止出現(xiàn)符號(hào)問(wèn)題．
Ⅴ.課后作業(yè)
利用分解因式計(jì)算：（1）32004－32003；（2）(－2)101＋(－2)100．
VI板書設(shè)計(jì)
§2.2.1提公因式法（一）
一、1．公因式與提公因式法分解因式的概念
2．例題講解（例1）
3．議一議（找公因式的一般步驟）4．想一想
二、課堂練習(xí)（1．隨堂練習(xí)，2．補(bǔ)充練習(xí)）
三、課時(shí)小結(jié)

§2.2.2提公因式法（二）
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1．進(jìn)一步讓學(xué)生掌握用提公因式法分解因式的方法。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
1．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和類比推理能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
通過(guò)觀察能合理地進(jìn)行分解因式的推導(dǎo)，并能清晰地闡述自己的觀點(diǎn)．
教學(xué)重點(diǎn)
能觀察出公因式是多項(xiàng)式的情況，并能合理地進(jìn)行分解因式．
教學(xué)難點(diǎn)
準(zhǔn)確找出公因式，并能正確進(jìn)行分解因式．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用提公因式法分解因式，知道了一個(gè)多項(xiàng)式可以分解為一個(gè)單項(xiàng)式與一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式，那么是不是所有的多項(xiàng)式分解以后都是同樣的結(jié)果呢？本節(jié)課我們就來(lái)揭開這個(gè)謎．
Ⅱ.講授新課
1．例題講解
例2把a(bǔ)(x－3)＋2b(x－3)分解因式．
分析：這個(gè)多項(xiàng)式整體而言可分為兩大項(xiàng)，即a(x－3)與2b(x－3)，每項(xiàng)中都含有(x－3)，因此可以把(x－3)作為公因式提出來(lái)．
例3把下列各式分解因式：
（1）a(x－y)＋b(y－x)；（2）6(m－n)3－12(n－m)2．
分析：雖然a(x－y)與b(y－x)看上去沒(méi)有公因式，但仔細(xì)觀察可以看出(x－y)與(y－x)是互為相反數(shù)，如果把其中一個(gè)提取一個(gè)“－”號(hào)，則可以出現(xiàn)公因式，如y－x＝－(x－y)(m－n)3與(n－m)2也是如此．
2．做一做
請(qǐng)?jiān)谙铝懈魇降忍?hào)右邊的括號(hào)前填入“＋”或“－”號(hào)，使等式成立：
（1）2－a＝________(a－2)；（2）y－x＝________(x－y)；
（3）b＋a＝________(a＋b)；（4）(b－a)2＝________(a－b)2；
（5）－m－n＝________－(m＋n)；（6）－s2＋t2＝________(s2－t2)．
Ⅲ.課堂練習(xí)
1．把下列各式分解因式：
（1）x(a＋b)＋y(a＋b)；（2）3a(x－y)－(x－y)；
（3）6(p＋q)2－12(q＋p)；（4）a(m－2)＋b(2－m)；
（5）2(y－x)2＋3(x－y)；（6）mn(m－n)－m(n－m)2．
2．補(bǔ)充練習(xí)
把下列各式分解因式
5(x－y)3＋10(y－x)2；m(a－b)－n(b－a)
m(m－n)＋n(n－m)；m(m－n)－n(m－n)
m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)；(b－a)2＋a(a－b)＋b(b－a)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用提公因式法分解因式，公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要認(rèn)真觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而能準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行多項(xiàng)式的分解因式．
Ⅴ.課后作業(yè)
見(jiàn)作業(yè)本
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式．
參考練習(xí)
把下列各式分解因式：
1．a(chǎn)(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)；2．x2y－3xy2＋y3；
3．2(x－y)2＋3(y－x)；4．5(m－n)2＋2(n－m)3．
參考答案：
1．(x－y)(a＋b＋c)；2．y(x2－3xy＋y2)；
3．(x－y)(2x－2y－3)；4．(m－n)2(5－2m＋2n)．
VI板書設(shè)計(jì)
§2.2.2提公因式法（二）

一、1．例題講解
2．做一做
二、課堂練習(xí)
三、課時(shí)小結(jié)
§2.3.1運(yùn)用公式法（一）
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1．使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義。
2．使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式。
3．使學(xué)生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
1．通過(guò)對(duì)平方差公式特點(diǎn)的辨析，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。
2．訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平方差公式的運(yùn)用能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
1．在引導(dǎo)學(xué)生逆用乘法公式的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)。
2．同時(shí)讓學(xué)生了解換元的思想方法。
教學(xué)重點(diǎn)
讓學(xué)生掌握運(yùn)用平方差公式分解因式．
教學(xué)難點(diǎn)
將某些單項(xiàng)式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養(yǎng)學(xué)生多步驟分解因式的能力．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備
教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課
在前兩節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了因式分解的定義，即把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，還學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式，即在一個(gè)多項(xiàng)式中，若各項(xiàng)都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式乘積的形式．
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當(dāng)然不是，只要我們記住因式分解是多項(xiàng)式乘法的相反過(guò)程，就能利用這種關(guān)系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)另外的一種因式分解的方法——公式法．
Ⅱ.講授新課
1．請(qǐng)看乘法公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2（1）
左邊是整式乘法，右邊是一個(gè)多項(xiàng)式，把這個(gè)等式反過(guò)來(lái)就是
a2－b2＝(a＋b)(a－b)（2）
左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是整式的乘積．判斷，第二個(gè)式子從左邊到右邊是否是因式分解？
2．公式講解
觀察式子a2－b2，找出它的特點(diǎn)．
是一個(gè)二項(xiàng)式，每項(xiàng)都可以化成整式的平方，整體來(lái)看是兩個(gè)整式的平方差．
如果一個(gè)二項(xiàng)式，它能夠化成兩個(gè)整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個(gè)整式的和與差的積．
如x2－16＝(x)2－42＝(x＋4)(x－4)；9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝(3m＋2n)(3m－2n)。
3．例題講解
例1把下列各式分解因式：
（1）25－16x2；（2）9a2－b2．
例2把下列各式分解因式：
（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．
說(shuō)明：例1是把一個(gè)多項(xiàng)式的兩項(xiàng)都化成兩個(gè)單項(xiàng)式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個(gè)二項(xiàng)式化成兩個(gè)多項(xiàng)式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當(dāng)一個(gè)題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時(shí)，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法．
補(bǔ)充例題：判斷下列分解因式是否正確．
（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2；（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)(a2－1)．
Ⅲ.課堂練習(xí)
（一）隨堂練習(xí)
1．判斷正誤
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)；（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)．
2．把下列各式分解因式
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4。
3．見(jiàn)課本。
（二）補(bǔ)充練習(xí)
把下列各式分解因式
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
我們已學(xué)習(xí)過(guò)的因式分解方法有提公因式法和運(yùn)用平方差公式法．如果多項(xiàng)式各項(xiàng)含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若符合則繼續(xù)進(jìn)行．
第一步分解因式以后，所含的多項(xiàng)式還可以繼續(xù)分解，則需要進(jìn)一步分解因式，直到每個(gè)多項(xiàng)式都不能分解為止．
Ⅴ.課后作業(yè)
把(a＋b＋c)(bc＋ca＋ab)－abc分解因式
見(jiàn)作業(yè)本
VI板書設(shè)計(jì)
§2.3.1運(yùn)用公式法（一）
一、1．由整式乘法中的平方差公式推導(dǎo)因式分解中的平方差公式．
2．公式講解
3．例題講解補(bǔ)充例題
二、課堂練習(xí)
三、課時(shí)小結(jié)
§2.3.2運(yùn)用公式法（二）
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1．使學(xué)生會(huì)用完全平方公式分解因式。
2．使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟，多方法的分解因式。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
1．在導(dǎo)出完全平方公式及對(duì)其特點(diǎn)進(jìn)行辨析的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和逆向思維的能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
1．通過(guò)綜合運(yùn)用提公因式法、完全平方公式，分解因式，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察和聯(lián)想能力．
教學(xué)重點(diǎn)
讓學(xué)生掌握多步驟、多方法分解因式方法．
教學(xué)難點(diǎn)
讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)匕才挪襟E，恰當(dāng)?shù)剡x用不同方法分解因式．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課
因式分解是整式乘法的反過(guò)程，倒用乘法公式，我們找到了因式分解的兩種方法：提取公因式法、運(yùn)用平方差公式法．現(xiàn)在，大家自然會(huì)想，還有哪些乘法公式可以用來(lái)分解因式呢？
在前面我們不僅學(xué)習(xí)了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，而且還學(xué)習(xí)了完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2。本節(jié)課，我們就要學(xué)習(xí)用完全平方公式分解因式．
Ⅱ.講授新課
1．推導(dǎo)用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點(diǎn)．
由因式分解和整式乘法的關(guān)系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
將完全平方公式倒寫：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
什么樣的多項(xiàng)式才可以用這個(gè)公式分解因式呢？互相交流，找出這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)．
左邊的特點(diǎn)有：（1）多項(xiàng)式是三項(xiàng)式；（2）其中有兩項(xiàng)同號(hào)，且此兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式；（3）另一項(xiàng)是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍．
右邊的特點(diǎn)：這兩數(shù)或兩式和（差）的平方．
用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子稱為完全平方式．
由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法．
練一練：下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a＋4；（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋b2；
（4）a2－ab＋b2；（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25．
2．例題講解
例1把下列完全平方式分解因式：
（1）x2＋14x＋49；（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9．
分析：大家先把多項(xiàng)式化成符合完全平方公式特點(diǎn)的形式，然后再根據(jù)公式分解因式．公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．
例2把下列各式分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－x2－4y2＋4xy．
分析：對(duì)一個(gè)三項(xiàng)式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時(shí)，要仔細(xì)觀察它是否有公因式，若有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式．
如果三項(xiàng)中有兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號(hào)不是“＋”號(hào)時(shí)，可以先提取“－”號(hào)，然后再用完全平方公式分解因式．
Ⅲ.課堂練習(xí)
a．隨堂練習(xí)
b．補(bǔ)充練習(xí)
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab＋b2；（2）a2b2＋8abc＋16c2；
（3）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；（4）4(2a＋b)2－12(2a＋b)＋9；
（5）－＋n2；（6）x2y－x4－。
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用完全平方公式分解因式．它與平方差公式不同之處是：
（1）要求多項(xiàng)式有三項(xiàng)．
（2）其中兩項(xiàng)同號(hào)，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項(xiàng)則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號(hào)可正可負(fù)．
同時(shí)，我們還學(xué)習(xí)了若一個(gè)多項(xiàng)式有公因式時(shí)，應(yīng)先提取公因式，再用公式分解因式．
Ⅴ.課后作業(yè)
寫出一個(gè)三項(xiàng)式，再把它分解因式（要求三項(xiàng)式含有字母a和b，分?jǐn)?shù)、次數(shù)不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式．
見(jiàn)作業(yè)本
VI板書設(shè)計(jì)
§2.3.2運(yùn)用公式法（二）
一、1．推導(dǎo)用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點(diǎn)
2．例題講解（例1、例2）

二、課堂練習(xí)
a．隨堂練習(xí)
b．補(bǔ)充練習(xí)
§2.4回顧與思考
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1．復(fù)習(xí)因式分解的概念，以及提公因式法，運(yùn)用公式法分解因式的方法，使學(xué)生進(jìn)一步理解有關(guān)概念，能靈活運(yùn)用上述方法分解因式。
2．熟悉本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
1．通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。
2．在例題的教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
1．通過(guò)因式分解綜合練習(xí)，提高學(xué)生觀察、分析能力。
2．通過(guò)應(yīng)用因式分解方法進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn)
復(fù)習(xí)綜合應(yīng)用提公因式法，運(yùn)用公式法分解因式．
教學(xué)難點(diǎn)
利用分解因式進(jìn)行計(jì)算及討論．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課
前面我們已學(xué)習(xí)了因式分解概念，提公因式法分解因式，運(yùn)用公式法分解因式的方法，并做了一些練習(xí)．今天，我們來(lái)綜合總結(jié)一下．
Ⅱ.講授新課
（一）討論推導(dǎo)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
請(qǐng)大家先回憶一下我們這一章所學(xué)的內(nèi)容有哪些?
（1）有因式分解的意義，提公因式法和運(yùn)用公式法的概念．（2）分解因式與整式乘法的關(guān)系．（3）分解因式的方法．
能否把本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖繪出來(lái)呢?（若學(xué)生有困難，給予幫助）
（二）重點(diǎn)知識(shí)講解
1．舉例說(shuō)明什么是分解因式．
如15x3y2＋5x2y－20x2y3＝5x2y(3xy＋1－4y2)
把多項(xiàng)式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解成為因式5x2y與3xy＋1－4y2的乘積的形式，就是把多項(xiàng)式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解因式．
學(xué)習(xí)因式分解的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）因式分解是一種恒等變形，即變形前后的兩式恒等．
（2）把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式應(yīng)分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止．
2．分解因式與整式乘法有什么關(guān)系?
分解因式與整式乘法是兩種方向相反的變形．如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，從左到右是因式分解，從右到左是整式乘法．
3．分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和運(yùn)用公式法．
4．例題講解
例1下列各式的變形中，哪些是因式分解?哪些不是?說(shuō)明理由．
（1）x2＋3x＋4＝(x＋2)(x＋1)＋2；（2）6x2y3＝3xy2xy2；
（3）(3x－2)(2x＋1)＝6x2－x－2；（4）4ab＋2ac＝2a(2b＋c)。
例2將下列各式分解因式．
（1）8a4b3－4a3b4＋2a2b5；（2）－9ab＋18a2b2－27a3b3；
（3）－x2；（4）9(x＋y)2－4(x－y)2；
（5）x4－25x2y2；（6）4x2－20xy＋25y2；
（7）(a＋b)2＋10c(a＋b)＋25c2．
例3把下列各式分解因式：
（1）x7y3－x3y3；（2）16x4－72x2y2＋81y4。
從上面的例題中，大家能否總結(jié)一下分解因式的步驟呢?
分解因式的一般步驟為：
（1）若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，則先提取公因式．
（2）若多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式，則根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)，選用平方差公式或完全平方公式．
（3）每一個(gè)多項(xiàng)式都要分解到不能再分解為止．
Ⅲ.課堂練習(xí)
1．把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2；（2）(x2＋4)2－(x＋3)2；
（3）－4a2－9b2＋12ab；（4）(x＋y)2＋25－10(x＋y)
2．利用因式分解進(jìn)行計(jì)算
（1）9x2＋12xy＋4y2，其中x＝，y＝－；
（2）()2－()2，其中a＝－，b＝2．
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
1．共同回顧，總結(jié)因式分解的意義，因式分解的方法及一般步驟，其中要特別指出：必須使每一個(gè)因式都不能再進(jìn)行因式分解．
2．利用因式分解簡(jiǎn)化某些計(jì)算．
Ⅴ.課后作業(yè)
復(fù)習(xí)題A組
求滿足4x2－9y2＝31的正整數(shù)解．
VI板書設(shè)計(jì)
2.6回顧與思考

一、1．討論推導(dǎo)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
2．重點(diǎn)知識(shí)講解
（1）舉例說(shuō)明什么是因式分解．
（2）分解因式與整式乘法有什么關(guān)系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例題講解（例1、例2、例3）
（5）分解因式的一般步驟
二、課堂練習(xí)
四、課后作業(yè)

北師大版八年級(jí)下第二章分解因式的復(fù)習(xí)教案

3．4．3分式方程
課型：新授學(xué)生姓名：_________
[目標(biāo)導(dǎo)航]
1、學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）知識(shí)目標(biāo)：
①用分式方程的數(shù)學(xué)模型反映現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)際問(wèn)題。
②用分式方程來(lái)解決現(xiàn)實(shí)情境中的問(wèn)題。
（2）能力目標(biāo)：
①經(jīng)歷運(yùn)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，發(fā)展抽象概括、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
②認(rèn)識(shí)運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是審清題意，尋找等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。
（3）情感目標(biāo)：
①經(jīng)歷建立分式方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
②培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，從中獲得成功的體驗(yàn)。
2、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
①審明題意，尋找等量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成分式方程的數(shù)學(xué)模型。
②根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)解的合理性。
3、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
尋求實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，尋求不同的解決問(wèn)題的方法。
[課前導(dǎo)學(xué)]
1、課前復(fù)習(xí)：

2、課前預(yù)習(xí)：
某單位將沿街的一部分房屋出租。每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年為9.6萬(wàn)元，第二年為10.2萬(wàn)元
（１）找出這一情境的等量關(guān)系。

（２）根據(jù)這一情境，你能提出哪些問(wèn)題？

（３）利用方程求出這兩年每間房屋的租金各是多少？
設(shè)第一年每間租金為x元，則第二年每間租金為元。
于是：第一年出租房屋的間數(shù)是，第二年出租房屋的間數(shù)是。
當(dāng)然，第一年、第二年出租房屋的間數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，于是可得方程：
3、課前學(xué)記（課前學(xué)習(xí)疑難點(diǎn)、教學(xué)要求建議）

[課堂研討]
1、新知探究，例題講解
例1、某市從今年１月１日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲。小麗家去年１２份的水費(fèi)是１５元，而今年７月份的水費(fèi)則是３０元。已知小麗家今年７月份的用水量比去年１２份的用水量多５，求該市今年居民的用水價(jià)格。
分析：請(qǐng)列出此題中的兩個(gè)等量關(guān)系：
；
。
解：設(shè)該市去年居民用水的價(jià)格是，則該市今年居民的用水價(jià)格是
根據(jù)題意：可列方程：
解之得：x=
檢驗(yàn)：
答：
小結(jié)：列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟是：
。

2、隨堂練習(xí)，鞏固提高（要求列分式方程）
（1）小明和同學(xué)一起去書店買書。他們先用１５元買了一種科普書，又用１５元買了一種文學(xué)書?？破諘膬r(jià)格比文學(xué)書的價(jià)格高出一半，因此他們買的科普書比文學(xué)書少１本。問(wèn)這種科普書和文學(xué)書的價(jià)格各是多少？

（2）某商店銷售一批服裝，每件售價(jià)１５０元，可獲利２５%，求這種服裝的成本價(jià)。

（3）甲種原料和乙種原料的單價(jià)比是２：３，將價(jià)值２０００元的甲種原料和價(jià)值１０００元的乙種原料混合后，單價(jià)是９元，求甲種原料的單價(jià)。

[課外拓展]
1、課后記（收獲、體會(huì)、困惑）

2、分層作業(yè)（班級(jí)：_____________，學(xué)生姓名：____________）
A、必做題（限時(shí)12分鐘，實(shí)際完成時(shí)間：_______分鐘）
一、列分式方程解決以下問(wèn)題
某商店甲種糖果的單價(jià)是每千克20元，乙種糖果的單價(jià)是每千克１６元。為了促銷，現(xiàn)將１０千克乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價(jià)定為每千克１７.５元，那么分開銷售和混合銷售的銷售額相同。問(wèn)這包甲種糖果有多少千克？

B、選做題
如圖，小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上.小明家到王老師家路程為3km，王老師家到學(xué)校的路程為0.5km,由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時(shí)到校，王老師每天騎自行車接小明上學(xué)。已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問(wèn)王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？
C：選做題
某自來(lái)水公司水費(fèi)計(jì)算辦法如下：若每戶每月用水不超過(guò)5m3，則每立方米收費(fèi)1.5元；若每戶每月用水超過(guò)5m3，則超出部分每立方米收取較高的定額費(fèi)用。1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當(dāng)月水費(fèi)是17.5元，李家當(dāng)月水費(fèi)是27.5元。超出5m3的部分每立方米收費(fèi)多少元

第二章分解因式

第二章分解因式
1．分解因式
總體說(shuō)明
因式分解是進(jìn)行代數(shù)恒等變形的重要手段之一，它在以后的代數(shù)學(xué)習(xí)中有著重要的應(yīng)用，如：多項(xiàng)式除法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，分式的運(yùn)算，解方程（組）以及二次函數(shù)的恒等變形等，因此學(xué)好因式分解對(duì)于代數(shù)知識(shí)的后繼學(xué)習(xí)具有相當(dāng)重要的意義．
本節(jié)是因式分解的第1小節(jié)，占一個(gè)課時(shí)，它主要讓學(xué)生經(jīng)歷從分解因數(shù)到分解因式的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想——類比思想，讓學(xué)生了解分解因式與整式的乘法運(yùn)算之間的互逆關(guān)系，感受分解因式在解決相關(guān)問(wèn)題中的作用．

一、學(xué)生知識(shí)狀況分析
學(xué)生的技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)熟悉乘法的分配律及其逆運(yùn)算，并且學(xué)習(xí)了整式的乘法運(yùn)算，因此，對(duì)于因式分解的引入，學(xué)生不會(huì)感到陌生，它為今天學(xué)習(xí)分解因式打下了良好基礎(chǔ)．
學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過(guò)程，而逆向思維對(duì)于八年級(jí)學(xué)生還比較生疏，接受起來(lái)還有一定的困難，再者本節(jié)還沒(méi)有涉及因式分解的具體方法，所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，尋求因式分解的方法是一個(gè)難點(diǎn)．
二、教學(xué)任務(wù)分析
基于學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過(guò)因數(shù)分解的經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)于因式分解的概念還完全陌生，因此，本課時(shí)在讓學(xué)生重點(diǎn)理解因式分解概念的基礎(chǔ)上，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的數(shù)學(xué)能力，如：類比思想，逆向運(yùn)算能力等。因此，本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是：
知識(shí)與技能：
（1）使學(xué)生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念．
（2）認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——互逆關(guān)系，并能運(yùn)用這種關(guān)系尋求因式分解的方法．
數(shù)學(xué)能力：
（1）由學(xué)生自主探索解題途徑，在此過(guò)程中，通過(guò)觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數(shù)分解之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的類比思想．
（2）由整式乘法的逆運(yùn)算過(guò)渡到因式分解，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力．
（3）通過(guò)對(duì)分解因式與整式的乘法的觀察與比較，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題能力與綜合應(yīng)用能力．
情感與態(tài)度：
讓學(xué)生初步感受對(duì)立統(tǒng)一的辨證觀點(diǎn)以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．

三、教學(xué)過(guò)程分析
本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：看誰(shuí)算得快——看誰(shuí)想得快——看誰(shuí)算得準(zhǔn)——學(xué)生討論——反饋練習(xí)——學(xué)生反思．

第一環(huán)節(jié)看誰(shuí)算得快
活動(dòng)內(nèi)容：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：
（1）=
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
（3）992–1=．
活動(dòng)目的：如果說(shuō)學(xué)生對(duì)因式分解還相當(dāng)陌生的話，相信學(xué)生對(duì)用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算應(yīng)該相當(dāng)熟悉．引入這一步的目的旨在讓學(xué)生通過(guò)回顧用簡(jiǎn)便方法計(jì)算——因數(shù)分解這一特殊算法，使學(xué)生通過(guò)類比很自然地過(guò)渡到正確理解因式分解的概念上，從而為因式分解的掌握掃清障礙，本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的計(jì)算992–1的值是為了降低下一環(huán)節(jié)的難度，為下一環(huán)節(jié)的理解搭一個(gè)臺(tái)階．
注意事項(xiàng)：學(xué)生對(duì)于（1）（2）兩小題逆向利用乘法的分配律進(jìn)行運(yùn)算的方法是很熟悉，對(duì)于第（3）小題的逆向利用平方差公式的運(yùn)算則有一定的困難，因此，有必要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)七年級(jí)所學(xué)過(guò)的整式的乘法運(yùn)算中的平方差公式，幫助他們順利地逆向運(yùn)用平方差公式．

第二環(huán)節(jié)看誰(shuí)想得快
活動(dòng)內(nèi)容：993–99能被哪些數(shù)整除？你是怎么得出來(lái)的？
學(xué)生思考：從以上問(wèn)題的解決中，你知道解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？
活動(dòng)目的：引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)式子分解成幾個(gè)數(shù)的積的形式，繼續(xù)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)因數(shù)分解的理解，為學(xué)生類比因式分解提供必要的精神準(zhǔn)備．
注意事項(xiàng)：由于有了第一環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生對(duì)于本環(huán)節(jié)問(wèn)題的理解則顯得比較輕松，學(xué)生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同學(xué)還回答出能被33、50、200等整除，此時(shí)，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)，使學(xué)生逐漸明白解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是——把一個(gè)多項(xiàng)式化為積的形式．

第三環(huán)節(jié)看誰(shuí)算得準(zhǔn)
活動(dòng)內(nèi)容：
計(jì)算下列式子：
（1）3x(x-1)=；
（2）m(a+b+c)=；
（3）（m+4）(m-4)=；
（4）（y-3）2=；
（5）a(a+1)(a-1)=．
根據(jù)上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc=；
（2）3x2-3x=；
（3）m2-16=；
（4）a3-a=；
（5）y2-6y+9=．
活動(dòng)目的：在第一組的整式乘法的計(jì)算上，學(xué)生通過(guò)對(duì)第一組式子的觀察得出第二組式子的結(jié)果，然后通過(guò)對(duì)這兩組式子的結(jié)果的比較，使學(xué)生對(duì)因式分解有一個(gè)初步的意識(shí)，由整式乘法的逆運(yùn)算逐步過(guò)渡到因式分解，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力．
注意事項(xiàng)：由于整式的乘法運(yùn)算是學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，因此，學(xué)生能很快得出第一組式子的結(jié)果，并能很快發(fā)現(xiàn)第一組式子與第二組式子之間的聯(lián)系，從而得出第二組式子的結(jié)果．
第四環(huán)節(jié)學(xué)生討論
活動(dòng)內(nèi)容：
比較以下兩種運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別：
（1）a(a+1)(a-1)=a3-a
（2）a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三環(huán)節(jié)的運(yùn)算中還有其它類似的例子嗎？除此之外，你還能找到類似的例子嗎？
結(jié)論：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．
辨一辨：下列變形是因式分解嗎？為什么？
（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2
活動(dòng)目的：通過(guò)學(xué)生的討論，使學(xué)生更清楚以下事實(shí)：
（1）分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系；
（2）分解因式的結(jié)果要以積的形式表示；
（3）每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)的多項(xiàng)式的次數(shù)；
（4）必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式不能再分解為止．
注意事項(xiàng)：學(xué)生通過(guò)討論，能找出分解因式與整式的乘法的聯(lián)系與區(qū)別，基本清楚了“分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系”以及“分解因式的結(jié)果要以積的形式表示”這兩種事實(shí)，后兩種事實(shí)是在老師的引導(dǎo)與啟發(fā)下才能完成．

第五環(huán)節(jié)反饋練習(xí)
活動(dòng)內(nèi)容：
1、看誰(shuí)連得準(zhǔn)
x2-y2.(x+1)2
9-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)
xy-y2(x+y)(x-y)
2、下列哪些變形是因式分解，為什么？
（1）（a+3）(a-3)=a2-9
（2）a2-4=(a+2)(a-2)
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活動(dòng)目的：通過(guò)學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對(duì)因式分解意義的理解是否到位，以便教師能及時(shí)地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏．
注意事項(xiàng)：從學(xué)生的反饋情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)因式分解意義的理解基本到位．

第六環(huán)節(jié)學(xué)生反思
活動(dòng)內(nèi)容：從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識(shí)？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
活動(dòng)目的：通過(guò)學(xué)生的回顧與反思，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)因式分解意義的理解，進(jìn)一步清楚地了解分解因式與整式的乘法的互逆關(guān)系，加深對(duì)類比的數(shù)學(xué)思想的理解，對(duì)矛盾對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)．
注意事項(xiàng)：從學(xué)生的反思來(lái)看，學(xué)生掌握了新的知識(shí)，提高了逆向思維的能力，對(duì)于類比的數(shù)學(xué)思想有了一定的理解，對(duì)于矛盾對(duì)立統(tǒng)一的哲學(xué)觀點(diǎn)也有了一個(gè)初步認(rèn)識(shí)．
鞏固練習(xí)：課本第45頁(yè)習(xí)題2.1第1，2，3題
思考題：課本第45頁(yè)習(xí)題2.1第4題（給學(xué)有余力的同學(xué)做）

四、教學(xué)反思
傳統(tǒng)教學(xué)中，總是先介紹因式分解的定義，然后通過(guò)大量的模仿練習(xí)來(lái)強(qiáng)化鞏固學(xué)生對(duì)因式分解概念的記憶與理解，其本質(zhì)上是對(duì)因式分解的概念進(jìn)行強(qiáng)化記憶．
在新課程的教學(xué)中，對(duì)因式分解的記憶退到了次要的位置，它把因式分解作為培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、全面思考、靈活解決矛盾的載體．在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)因數(shù)分解類比出因式分解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行類比的數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)，由整式的乘法與因式分解的對(duì)比，對(duì)學(xué)生的逆向思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，也使得學(xué)生對(duì)于因式分解概念的引入不至于茫然．
盡管新舊兩種教法的對(duì)比上，新課程的教學(xué)不一定馬上顯露出強(qiáng)勁的優(yōu)勢(shì)，甚至可能因?yàn)閺?qiáng)化練習(xí)較少，在短時(shí)間內(nèi)，學(xué)生的成績(jī)比不上傳統(tǒng)教法的學(xué)生成績(jī)，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)看來(lái)，這種對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的訓(xùn)練會(huì)有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，而不僅僅是停留在對(duì)數(shù)學(xué)的機(jī)械模仿記憶的層面上．
總之，教學(xué)的著眼點(diǎn)，不是熟練技能，而是發(fā)展思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的情感態(tài)度與價(jià)值觀上發(fā)生深刻的變化．