小學(xué)二年級數(shù)學(xué)教案

北師大八年級數(shù)學(xué)下第二章分解因式復(fù)習(xí)學(xué)案。

第一章《分解因式》復(fù)習(xí)
課型：復(fù)習(xí)學(xué)生姓名：_______________
一、知識網(wǎng)絡(luò)圖

二、思想方法
復(fù)習(xí)本章知識應(yīng)注意領(lǐng)會以下幾種思想方法的運用：
1．觀察、試驗的思想方法觀察、試驗是一種基本的研究方法，它可以用來引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、啟迪問題解決的思路．用十字相乘法進行分解因式不像整式乘法那樣可按法則計算，而是需要根據(jù)所給多項式的特點進行觀察，試驗才能解決。
2．整體思想有些多項式，表面上看較復(fù)雜，若能注意到題目中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡，化難為易。
3．逆向思維的方法整式的乘法與分解因式的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們可以仔細體會。
4．類比思想數(shù)學(xué)問題的相似性在數(shù)學(xué)中普遍存在．根據(jù)多項式與多項式之間的異同點，抓住其本質(zhì)特征，運用類比思想去處理，則能將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。

三、知識梳理
1．了解分解因式：把一個多項式化成幾個______________的積，這種變形叫做分解因式，它與整式的乘法______________。
如：判斷下列從左邊到右邊的變形是否為分解因式：
①（）②（）
③（）④（）
2．提公因式法分解因式：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式的乘積，這種分解因式的方法叫做___________________。
如：分解因式：=________________；=________________；
3．公式法分解因式：如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做_____________________。
如：分解因式①②

4．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=，用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式：①②
5．分解因式的一般步驟：首先提取公因式；然后運用_____________；
如：①②③
四、常見錯誤：
1．概念不辨，錯誤出現(xiàn)：錯解：．
2．公式不清，錯誤入侵：錯解：（1）；（2）．
3．提公因式后，“1”被遺棄：錯解：．
4．混淆變形，無中生有：錯解：．
5．畫蛇添足，背道而馳：錯解：

五、典型題析
例1把下列各式因式分解
（1）
（2）
分析：（1）若多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正數(shù)，在提出“－”號后，多項式的各項都要變號。
（2）有時將因式經(jīng)過符號變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時，，是在因式分解過程中常用的因式變換。
例2簡化計算過程：計算
分析：算式中每一項都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結(jié)果

例3把分解因式
分析：多項式有公因式時需先提取公因式，再利用平方差公式分解，且要分解到不能再分解為止

例4運用整體思想解決問題：
不解方程組，求代數(shù)式的值
分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項都含有，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結(jié)果

例5證明：對于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。
分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，接著只需證明每一項都是10的倍數(shù)即可。

例6已知多項式有一個因式是，求的值。
分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算，可假設(shè)另一個因式，再用待定系數(shù)法即可求出的值。

例7已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。
分析：因為題中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。

五、鞏固練習(xí)
1、把下列各式分解因式：

2、把下列各式分解因式：

3、先分解因式，然后計算求值：
①，其中，②，其中，。

4、把下列各式分解因式：

5、利用分解因式解決問題：
（1）①利用分解因式說明：能被120整除；
②可以被60至70之間的某兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)；

（2）利用分解因式計算：
①②

（3）①如圖在半徑為R的圓形鋼板上，沖去半徑為r的四個小圓，利用分解因式計算當(dāng)R=7.8cm，r=1.1cm時剩余部分的面積（取3.14，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

②如圖，某農(nóng)場修建一座小型水庫，需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑d=45cm，外徑D=75cm，長l=300cm，利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土（取3.14，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

③已知正方形面積是（），利用分解因式寫出表示該正方形的邊長的代數(shù)式。

④正方形Ⅰ的周長比正方形Ⅱ的周長長96cm，它們的面積相差960，求這兩個正方形的邊長。

（4）①已知，求的值。

②當(dāng)取何值時，多項式取最小值。

③當(dāng)取何值時，多項式時一個完全平方式。

④計算下列各式：
你能根據(jù)所學(xué)知識找到計算上面式子的簡便方法嗎？請你利用你找到的簡便方法計算下式：

⑤已知，求a,b,c的值。
⑥已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y
⑦已知：，求的值。

精選閱讀

北師大版八年級數(shù)學(xué)下第二章分解因式全章教案

第二章分解因式
§2.1分解因式
知識與技能目標(biāo)：
1．使學(xué)生了解因式分解的意義。
2．知道它與整式乘法在整式變形過程中的相反關(guān)系。
過程與方法目標(biāo)：
1．通過觀察，發(fā)現(xiàn)分解因式與整式乘法的關(guān)系。
2．培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和語言概括能力。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
1．通過觀察，推導(dǎo)分解因式與整式乘法的關(guān)系。
2．讓學(xué)生了解事物間的因果聯(lián)系
教學(xué)重點
1．理解因式分解的意義；
2．識別分解因式與整式乘法的關(guān)系．
教學(xué)難點
通過觀察，歸納分解因式與整式乘法的關(guān)系．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備
有兩個邊長為1的正方形，剪刀.
投影片兩張：
第一張：做一做(記作§2.1.1A)；
第二張：補充練習(xí)(記作§2.1.1B).
教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
計算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
這是大家學(xué)過的平方差公式，我們是在整式乘法中學(xué)習(xí)的．從式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等號左邊可以推出等號右邊，那么從等號右邊能否推出等號左邊呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推導(dǎo)呢？這就是我們即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容：因式分解的問題．
Ⅱ.講授新課
1．討論993－99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流．
93－99能被100整除．因為993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一個因數(shù)為100，所以993－99能被100整除．
993－99還能被哪些正整數(shù)整除？（99，98，980，990，9702）
從上面的推導(dǎo)過程看，等號左邊是一個數(shù)，而等號右邊是變成了幾個數(shù)的積的形式．
2．議一議
你能嘗試把a3－a化成n個整式的乘積的形式嗎？與同伴交流．
大家可以觀察a3－a與993－99這兩個代數(shù)式．
a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)
3．做一做
（1）計算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；
③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；
⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．
（2）根據(jù)上面的算式填空：
①3x2－3x＝()()；②m2－16＝()()；
③ma＋mb＋mc＝()()；④y2－6y＋9＝()2．
⑤a3－a＝()()．
能分析一下兩個題中的形式變換嗎？
在（1）中我們知道從左邊推右邊是整式乘法；在（2）中由多項式推出整式乘積的形式是因式分解．
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式．
4．想一想
由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的變形是什么運算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的變形與這種運算有什么不同？你還能舉一些類似的例子加以說明嗎？
總結(jié)一下：
聯(lián)系：等式（1）和（2）是同一個多項式的兩種不同表現(xiàn)形式．
區(qū)別：等式（1）是把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算．
所以，因式分解與整式乘法是相反方向的變形．
5．例題
下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
Ⅲ.課堂練習(xí)
Ⅳ.課時小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了因式分解的意義，即把一個多項式化成幾個整式的積的形式；還學(xué)習(xí)了整式乘法與分解因式的關(guān)系是相反方向的變形．
Ⅴ.課后作業(yè)
見作業(yè)本
六、活動與探究
已知a＝2，b＝3，c＝5，求代數(shù)式a(a＋b－c)＋b(a＋b－c)＋c(c－a－b)的值．
VI板書設(shè)計
§2.1分解因式

一、1．討論993－99能被100整除嗎？
2．議一議3．做一做
4．想一想
5．例題講解
二、課堂練習(xí)
三、課時小結(jié)

§2.2.1提公因式法（一）
知識與技能目標(biāo)：
1．讓學(xué)生了解多項式公因式的意義。
2．初步會用提公因式法分解因式。
過程與方法目標(biāo)：
1．通過找公因式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
1．在用提公因式法分解因式時，先讓學(xué)生自己找公因式，然后大家討論結(jié)果的正確性。
2．讓學(xué)生養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣，同時培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識。
3．還能使學(xué)生初步感到因式分解在簡化計算中將會起到很大的作用．
教學(xué)重點
能觀察出多項式的公因式，并根據(jù)分配律把公因式提出來．
教學(xué)難點
讓學(xué)生識別多項式的公因式
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
一塊場地由三個矩形組成，矩形的長分別為，，，寬都是，求這塊場地的面積．
從兩種不同的解答過程看，解法一是按運算順序：先算乘，再算和進行的，解法二是先逆用分配律算和，再計算一次乘，由此可知解法二要簡單一些．這個事實說明，有時我們需要將多項式化為積的形式，而提取公因式就是化積的一種方法．
Ⅱ.講授新課
1．公因式與提公因式法分解因式的概念．
若將剛才的問題一般化，即三個矩形的長分別為a、b、c，寬都是m，則這塊場地的面積為ma＋mb＋mc，或m(a＋b＋c)，可以用等號來連接．
從上面的等式中，大家注意觀察等式左邊的每一項有什么特點？各項之間有什么聯(lián)系？等式右邊的項有什么特點？
由于m是左邊多項式ma＋mb＋mc的各項ma、mb、mc的一個公共因式，因此m叫做這個多項式的各項的公因式．
由上式可知，把多項式ma＋mb＋mc寫成m與(a＋b＋c)的乘積的形式，相當(dāng)于把公因式m從各項中提出來，作為多項式ma＋mb＋mc的一個因式，把m從多項式ma＋mb＋mc各項中提出后形成的多項式(a＋b＋c)，作為多項式ma＋mb＋mc的另一個因式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例題講解
例1將下列各式分解因式：
（1）3x＋6；（2）7x2－21x；（3）8a3b2－12ab3c＋abc；（4）－24x3－12x2＋28x．
分析：首先要找出各項的公因式，然后再提取出來．
3．議一議
通過剛才的練習(xí)，下面大家互相交流，總結(jié)出找公因式的一般步驟．
首先找各項系數(shù)的最大公約數(shù)，如8和12的最大公約數(shù)是4．其次找各項中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab，相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．
4．想一想
從例1中能否看出提公因式法分解因式與單項式乘以多項式有什么關(guān)系？
提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式．
Ⅲ.課堂練習(xí)
1．寫出下列多項式各項的公因式．
（1）ma＋mb；（2）4kx－8ky；（3）5y3＋20y2；（4）a2b－2ab2＋ab。
2．把下列各式分解因式
（1）8x－72＝8(x－9)（2）a2b－5ab＝ab(a－5)
（3）4m3－6m2＝2m2(2m－3)（4）a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)
（5）－a2＋ab－ac＝－(a2－ab＋ac)＝－a(a－b＋c)
（6）－2x3＋4x2－2x＝－(2x3－4x2＋2x)＝－2x(x2－2x＋1)
3．把3x2－6xy＋x分解因式。3x2－6xy＋x＝x(3x－6y＋1)。
將x寫成x1，這樣可知提出一個因式x后，另一個因式是1．
Ⅳ.課時小結(jié)
1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
這里的字母a、b、c、m可以是一個系數(shù)不為1的、多字母的、冪指數(shù)大于1的單項式．
2．提公因式法分解因式，關(guān)鍵在于觀察、發(fā)現(xiàn)多項式的公因式．
3．找公因式的一般步驟
（1）若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；
（2）取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；
（3）取相同的多項式，多項式的指數(shù)取較低的．
（4）所有這些因式的乘積即為公因式．
4．初學(xué)提公因式法分解因式，最好先在各項中將公因式分解出來，如果這項就是公因式，也要將它寫成乘1的形式，這樣可以防范錯誤，即漏項的錯誤發(fā)生．
5．公因式相差符號的，如(x－y)與(y－x)要先統(tǒng)一公因式，同時要防止出現(xiàn)符號問題．
Ⅴ.課后作業(yè)
利用分解因式計算：（1）32004－32003；（2）(－2)101＋(－2)100．
VI板書設(shè)計
§2.2.1提公因式法（一）
一、1．公因式與提公因式法分解因式的概念
2．例題講解（例1）
3．議一議（找公因式的一般步驟）4．想一想
二、課堂練習(xí)（1．隨堂練習(xí)，2．補充練習(xí)）
三、課時小結(jié)

§2.2.2提公因式法（二）
知識與技能目標(biāo)：
1．進一步讓學(xué)生掌握用提公因式法分解因式的方法。
過程與方法目標(biāo)：
1．進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和類比推理能力。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
通過觀察能合理地進行分解因式的推導(dǎo)，并能清晰地闡述自己的觀點．
教學(xué)重點
能觀察出公因式是多項式的情況，并能合理地進行分解因式．
教學(xué)難點
準(zhǔn)確找出公因式，并能正確進行分解因式．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用提公因式法分解因式，知道了一個多項式可以分解為一個單項式與一個多項式的積的形式，那么是不是所有的多項式分解以后都是同樣的結(jié)果呢？本節(jié)課我們就來揭開這個謎．
Ⅱ.講授新課
1．例題講解
例2把a(x－3)＋2b(x－3)分解因式．
分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a(x－3)與2b(x－3)，每項中都含有(x－3)，因此可以把(x－3)作為公因式提出來．
例3把下列各式分解因式：
（1）a(x－y)＋b(y－x)；（2）6(m－n)3－12(n－m)2．
分析：雖然a(x－y)與b(y－x)看上去沒有公因式，但仔細觀察可以看出(x－y)與(y－x)是互為相反數(shù)，如果把其中一個提取一個“－”號，則可以出現(xiàn)公因式，如y－x＝－(x－y)(m－n)3與(n－m)2也是如此．
2．做一做
請在下列各式等號右邊的括號前填入“＋”或“－”號，使等式成立：
（1）2－a＝________(a－2)；（2）y－x＝________(x－y)；
（3）b＋a＝________(a＋b)；（4）(b－a)2＝________(a－b)2；
（5）－m－n＝________－(m＋n)；（6）－s2＋t2＝________(s2－t2)．
Ⅲ.課堂練習(xí)
1．把下列各式分解因式：
（1）x(a＋b)＋y(a＋b)；（2）3a(x－y)－(x－y)；
（3）6(p＋q)2－12(q＋p)；（4）a(m－2)＋b(2－m)；
（5）2(y－x)2＋3(x－y)；（6）mn(m－n)－m(n－m)2．
2．補充練習(xí)
把下列各式分解因式
5(x－y)3＋10(y－x)2；m(a－b)－n(b－a)
m(m－n)＋n(n－m)；m(m－n)－n(m－n)
m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)；(b－a)2＋a(a－b)＋b(b－a)
Ⅳ.課時小結(jié)
本節(jié)課進一步學(xué)習(xí)了用提公因式法分解因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式，要認(rèn)真觀察多項式的結(jié)構(gòu)特點，從而能準(zhǔn)確熟練地進行多項式的分解因式．
Ⅴ.課后作業(yè)
見作業(yè)本
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式．
參考練習(xí)
把下列各式分解因式：
1．a(chǎn)(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)；2．x2y－3xy2＋y3；
3．2(x－y)2＋3(y－x)；4．5(m－n)2＋2(n－m)3．
參考答案：
1．(x－y)(a＋b＋c)；2．y(x2－3xy＋y2)；
3．(x－y)(2x－2y－3)；4．(m－n)2(5－2m＋2n)．
VI板書設(shè)計
§2.2.2提公因式法（二）

一、1．例題講解
2．做一做
二、課堂練習(xí)
三、課時小結(jié)
§2.3.1運用公式法（一）
知識與技能目標(biāo)：
1．使學(xué)生了解運用公式法分解因式的意義。
2．使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式。
3．使學(xué)生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式。
過程與方法目標(biāo)：
1．通過對平方差公式特點的辨析，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。
2．訓(xùn)練學(xué)生對平方差公式的運用能力。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
1．在引導(dǎo)學(xué)生逆用乘法公式的過程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識。
2．同時讓學(xué)生了解換元的思想方法。
教學(xué)重點
讓學(xué)生掌握運用平方差公式分解因式．
教學(xué)難點
將某些單項式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養(yǎng)學(xué)生多步驟分解因式的能力．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備
教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
在前兩節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，還學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式，即在一個多項式中，若各項都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式．
如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當(dāng)然不是，只要我們記住因式分解是多項式乘法的相反過程，就能利用這種關(guān)系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)另外的一種因式分解的方法——公式法．
Ⅱ.講授新課
1．請看乘法公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2（1）
左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是
a2－b2＝(a＋b)(a－b)（2）
左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積．判斷，第二個式子從左邊到右邊是否是因式分解？
2．公式講解
觀察式子a2－b2，找出它的特點．
是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差．
如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的和與差的積．
如x2－16＝(x)2－42＝(x＋4)(x－4)；9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝(3m＋2n)(3m－2n)。
3．例題講解
例1把下列各式分解因式：
（1）25－16x2；（2）9a2－b2．
例2把下列各式分解因式：
（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．
說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當(dāng)一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法．
補充例題：判斷下列分解因式是否正確．
（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2；（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)(a2－1)．
Ⅲ.課堂練習(xí)
（一）隨堂練習(xí)
1．判斷正誤
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)；（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)．
2．把下列各式分解因式
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4。
3．見課本。
（二）補充練習(xí)
把下列各式分解因式
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．
Ⅳ.課時小結(jié)
我們已學(xué)習(xí)過的因式分解方法有提公因式法和運用平方差公式法．如果多項式各項含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，若符合則繼續(xù)進行．
第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續(xù)分解，則需要進一步分解因式，直到每個多項式都不能分解為止．
Ⅴ.課后作業(yè)
把(a＋b＋c)(bc＋ca＋ab)－abc分解因式
見作業(yè)本
VI板書設(shè)計
§2.3.1運用公式法（一）
一、1．由整式乘法中的平方差公式推導(dǎo)因式分解中的平方差公式．
2．公式講解
3．例題講解補充例題
二、課堂練習(xí)
三、課時小結(jié)
§2.3.2運用公式法（二）
知識與技能目標(biāo)：
1．使學(xué)生會用完全平方公式分解因式。
2．使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟，多方法的分解因式。
過程與方法目標(biāo)：
1．在導(dǎo)出完全平方公式及對其特點進行辨析的過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和逆向思維的能力。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
1．通過綜合運用提公因式法、完全平方公式，分解因式，進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察和聯(lián)想能力．
教學(xué)重點
讓學(xué)生掌握多步驟、多方法分解因式方法．
教學(xué)難點
讓學(xué)生學(xué)會觀察多項式的特點，恰當(dāng)?shù)匕才挪襟E，恰當(dāng)?shù)剡x用不同方法分解因式．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
因式分解是整式乘法的反過程，倒用乘法公式，我們找到了因式分解的兩種方法：提取公因式法、運用平方差公式法．現(xiàn)在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？
在前面我們不僅學(xué)習(xí)了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，而且還學(xué)習(xí)了完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2。本節(jié)課，我們就要學(xué)習(xí)用完全平方公式分解因式．
Ⅱ.講授新課
1．推導(dǎo)用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點．
由因式分解和整式乘法的關(guān)系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
將完全平方公式倒寫：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
什么樣的多項式才可以用這個公式分解因式呢？互相交流，找出這個多項式的特點．
左邊的特點有：（1）多項式是三項式；（2）其中有兩項同號，且此兩項能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式；（3）另一項是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍．
右邊的特點：這兩數(shù)或兩式和（差）的平方．
用語言敘述為：兩個數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方．
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子稱為完全平方式．
由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法．
練一練：下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a＋4；（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋b2；
（4）a2－ab＋b2；（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25．
2．例題講解
例1把下列完全平方式分解因式：
（1）x2＋14x＋49；（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9．
分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解因式．公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式．
例2把下列各式分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－x2－4y2＋4xy．
分析：對一個三項式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公因式，若有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式．
如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是“＋”號時，可以先提取“－”號，然后再用完全平方公式分解因式．
Ⅲ.課堂練習(xí)
a．隨堂練習(xí)
b．補充練習(xí)
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab＋b2；（2）a2b2＋8abc＋16c2；
（3）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；（4）4(2a＋b)2－12(2a＋b)＋9；
（5）－＋n2；（6）x2y－x4－。
Ⅳ.課時小結(jié)
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用完全平方公式分解因式．它與平方差公式不同之處是：
（1）要求多項式有三項．
（2）其中兩項同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號可正可負．
同時，我們還學(xué)習(xí)了若一個多項式有公因式時，應(yīng)先提取公因式，再用公式分解因式．
Ⅴ.課后作業(yè)
寫出一個三項式，再把它分解因式（要求三項式含有字母a和b，分?jǐn)?shù)、次數(shù)不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式．
見作業(yè)本
VI板書設(shè)計
§2.3.2運用公式法（二）
一、1．推導(dǎo)用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點
2．例題講解（例1、例2）

二、課堂練習(xí)
a．隨堂練習(xí)
b．補充練習(xí)
§2.4回顧與思考
知識與技能目標(biāo)：
1．復(fù)習(xí)因式分解的概念，以及提公因式法，運用公式法分解因式的方法，使學(xué)生進一步理解有關(guān)概念，能靈活運用上述方法分解因式。
2．熟悉本章的知識結(jié)構(gòu)圖。
過程與方法目標(biāo)：
1．通過知識結(jié)構(gòu)圖的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。
2．在例題的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
1．通過因式分解綜合練習(xí)，提高學(xué)生觀察、分析能力。
2．通過應(yīng)用因式分解方法進行簡便運算，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識。
教學(xué)重點
復(fù)習(xí)綜合應(yīng)用提公因式法，運用公式法分解因式．
教學(xué)難點
利用分解因式進行計算及討論．
教學(xué)方法
師生共同討論法.
教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.
教具準(zhǔn)備

教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
前面我們已學(xué)習(xí)了因式分解概念，提公因式法分解因式，運用公式法分解因式的方法，并做了一些練習(xí)．今天，我們來綜合總結(jié)一下．
Ⅱ.講授新課
（一）討論推導(dǎo)本章知識結(jié)構(gòu)圖
請大家先回憶一下我們這一章所學(xué)的內(nèi)容有哪些?
（1）有因式分解的意義，提公因式法和運用公式法的概念．（2）分解因式與整式乘法的關(guān)系．（3）分解因式的方法．
能否把本章的知識結(jié)構(gòu)圖繪出來呢?（若學(xué)生有困難，給予幫助）
（二）重點知識講解
1．舉例說明什么是分解因式．
如15x3y2＋5x2y－20x2y3＝5x2y(3xy＋1－4y2)
把多項式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解成為因式5x2y與3xy＋1－4y2的乘積的形式，就是把多項式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解因式．
學(xué)習(xí)因式分解的概念應(yīng)注意以下幾點：
（1）因式分解是一種恒等變形，即變形前后的兩式恒等．
（2）把一個多項式分解因式應(yīng)分解到每一個多項式都不能再分解為止．
2．分解因式與整式乘法有什么關(guān)系?
分解因式與整式乘法是兩種方向相反的變形．如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，從左到右是因式分解，從右到左是整式乘法．
3．分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和運用公式法．
4．例題講解
例1下列各式的變形中，哪些是因式分解?哪些不是?說明理由．
（1）x2＋3x＋4＝(x＋2)(x＋1)＋2；（2）6x2y3＝3xy2xy2；
（3）(3x－2)(2x＋1)＝6x2－x－2；（4）4ab＋2ac＝2a(2b＋c)。
例2將下列各式分解因式．
（1）8a4b3－4a3b4＋2a2b5；（2）－9ab＋18a2b2－27a3b3；
（3）－x2；（4）9(x＋y)2－4(x－y)2；
（5）x4－25x2y2；（6）4x2－20xy＋25y2；
（7）(a＋b)2＋10c(a＋b)＋25c2．
例3把下列各式分解因式：
（1）x7y3－x3y3；（2）16x4－72x2y2＋81y4。
從上面的例題中，大家能否總結(jié)一下分解因式的步驟呢?
分解因式的一般步驟為：
（1）若多項式各項有公因式，則先提取公因式．
（2）若多項式各項沒有公因式，則根據(jù)多項式特點，選用平方差公式或完全平方公式．
（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止．
Ⅲ.課堂練習(xí)
1．把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2；（2）(x2＋4)2－(x＋3)2；
（3）－4a2－9b2＋12ab；（4）(x＋y)2＋25－10(x＋y)
2．利用因式分解進行計算
（1）9x2＋12xy＋4y2，其中x＝，y＝－；
（2）()2－()2，其中a＝－，b＝2．
Ⅳ.課時小結(jié)
1．共同回顧，總結(jié)因式分解的意義，因式分解的方法及一般步驟，其中要特別指出：必須使每一個因式都不能再進行因式分解．
2．利用因式分解簡化某些計算．
Ⅴ.課后作業(yè)
復(fù)習(xí)題A組
求滿足4x2－9y2＝31的正整數(shù)解．
VI板書設(shè)計
2.6回顧與思考

一、1．討論推導(dǎo)本章知識結(jié)構(gòu)圖
2．重點知識講解
（1）舉例說明什么是因式分解．
（2）分解因式與整式乘法有什么關(guān)系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例題講解（例1、例2、例3）
（5）分解因式的一般步驟
二、課堂練習(xí)
四、課后作業(yè)

北師大版八年級下第二章分解因式的復(fù)習(xí)教案

3．4．3分式方程
課型：新授學(xué)生姓名：_________
[目標(biāo)導(dǎo)航]
1、學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）知識目標(biāo)：
①用分式方程的數(shù)學(xué)模型反映現(xiàn)實情境中的實際問題。
②用分式方程來解決現(xiàn)實情境中的問題。
（2）能力目標(biāo)：
①經(jīng)歷運用分式方程解決實際問題的過程，發(fā)展抽象概括、分析問題和解決問題的能力。
②認(rèn)識運用方程解決實際問題的關(guān)鍵是審清題意，尋找等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。
（3）情感目標(biāo)：
①經(jīng)歷建立分式方程模型解決實際問題的過程，體會數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
②培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，從中獲得成功的體驗。
2、學(xué)習(xí)重點：
①審明題意，尋找等量關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化成分式方程的數(shù)學(xué)模型。
②根據(jù)實際意義檢驗解的合理性。
3、學(xué)習(xí)難點：
尋求實際問題中的等量關(guān)系，尋求不同的解決問題的方法。
[課前導(dǎo)學(xué)]
1、課前復(fù)習(xí)：

2、課前預(yù)習(xí)：
某單位將沿街的一部分房屋出租。每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年為9.6萬元，第二年為10.2萬元
（１）找出這一情境的等量關(guān)系。

（２）根據(jù)這一情境，你能提出哪些問題？

（３）利用方程求出這兩年每間房屋的租金各是多少？
設(shè)第一年每間租金為x元，則第二年每間租金為元。
于是：第一年出租房屋的間數(shù)是，第二年出租房屋的間數(shù)是。
當(dāng)然，第一年、第二年出租房屋的間數(shù)不會發(fā)生變化，于是可得方程：
3、課前學(xué)記（課前學(xué)習(xí)疑難點、教學(xué)要求建議）

[課堂研討]
1、新知探究，例題講解
例1、某市從今年１月１日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲。小麗家去年１２份的水費是１５元，而今年７月份的水費則是３０元。已知小麗家今年７月份的用水量比去年１２份的用水量多５，求該市今年居民的用水價格。
分析：請列出此題中的兩個等量關(guān)系：
；
。
解：設(shè)該市去年居民用水的價格是，則該市今年居民的用水價格是
根據(jù)題意：可列方程：
解之得：x=
檢驗：
答：
小結(jié)：列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟是：
。

2、隨堂練習(xí)，鞏固提高（要求列分式方程）
（1）小明和同學(xué)一起去書店買書。他們先用１５元買了一種科普書，又用１５元買了一種文學(xué)書?？破諘膬r格比文學(xué)書的價格高出一半，因此他們買的科普書比文學(xué)書少１本。問這種科普書和文學(xué)書的價格各是多少？

（2）某商店銷售一批服裝，每件售價１５０元，可獲利２５%，求這種服裝的成本價。

（3）甲種原料和乙種原料的單價比是２：３，將價值２０００元的甲種原料和價值１０００元的乙種原料混合后，單價是９元，求甲種原料的單價。

[課外拓展]
1、課后記（收獲、體會、困惑）

2、分層作業(yè)（班級：_____________，學(xué)生姓名：____________）
A、必做題（限時12分鐘，實際完成時間：_______分鐘）
一、列分式方程解決以下問題
某商店甲種糖果的單價是每千克20元，乙種糖果的單價是每千克１６元。為了促銷，現(xiàn)將１０千克乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價定為每千克１７.５元，那么分開銷售和混合銷售的銷售額相同。問這包甲種糖果有多少千克？

B、選做題
如圖，小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上.小明家到王老師家路程為3km，王老師家到學(xué)校的路程為0.5km,由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接小明上學(xué)。已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？
C：選做題
某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過5m3，則每立方米收費1.5元；若每戶每月用水超過5m3，則超出部分每立方米收取較高的定額費用。1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當(dāng)月水費是17.5元，李家當(dāng)月水費是27.5元。超出5m3的部分每立方米收費多少元

八年級數(shù)學(xué)下冊第二章分解因式回顧與思考學(xué)案

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家都在十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南虢贪刚n件。只有規(guī)劃好教案課件計劃，新的工作才會更順利！你們清楚有哪些教案課件范文呢？小編收集并整理了“八年級數(shù)學(xué)下冊第二章分解因式回顧與思考學(xué)案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

回顧與思考
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
（1）提高因式分解的基本運算技能
（2）能熟練進行因式分解方法的綜合運用．
學(xué)習(xí)重難點:
幾種因式分解方法的綜合運用．
學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：
1、把一個多項式化成的形式，叫做把這個多項式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念，應(yīng)把握如下特點：
（1）結(jié)果一定是的形式；
（2）每個因式都是；
（3）各因式一定要分解到為止。
2、分解因式與是互逆關(guān)系。
3、分解因式常用的方法有：
（1）提公因式法：
（2）應(yīng)用公式法：①平方差公式：②完全平方公式：
（3）分組分解法：am+an+bm+bn=
(4)十字相乘法：=
4、分解因式步驟：
（1）首先考慮提取，然后再考慮套公式；
（2）對于二次三項式聯(lián)想到平方差公式因式分解；
（3）對于二次三項式聯(lián)想到完全平方公式，若不行再考慮十字相乘法分解因式；
（4）超過三項的多項式考慮分組分解；
（5）分解完畢不要大意，檢查是否分解徹底。
辨析題：
1、下列哪些式子的變形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2=2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
2、把下列各式分解因式：
（1）7x2–63（2）（x+y）2–14（x+y）+49

（3）（4）（a2+4）2–16a2

想一想
計算：
1、32004–320032、（–2）101+（–2）100

3、已知，求的值．

例1：把下列各式因式分解(分組后能提公因式)
（1）a2-ab+ac-bc（2）2ax-10ay+5by-bx

(3)3ax+4by+4ay+3bx(4)m2+5n-mn-5m
點撥：1、用分組分解法時，一定要想想分組后能否繼續(xù)進行，完成因式分解，
由此合理選擇分組的方法
2、運算律（如加法交換律、分配律）在因式分解中起著重要的作用