高中函數(shù)的應用教案

函數(shù)的表示法。

俗話說，凡事預則立，不預則廢。教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，減輕教師們在教學時的教學壓力。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的教案呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“函數(shù)的表示法”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

§1.2.2函數(shù)的表示法（二）——映射的概念
一、內(nèi)容與解析
（一）內(nèi)容：映射
（二）解析：⑴映射是兩個集合與中，元素之間存在的某種對應關(guān)系.說其是一種特殊的對應，就是因為它只允許存在“一對一”與“多對一”這兩種對應，而不允許存在“一對多”的對應.
⑵映射中只允許“一對一”與“多對一”這兩種對應的特點，從到的映射:→實際是要求集合中的任一元素都必須對應于集合中唯一的元素.但對集合中的元素并無任何要求，即允許集合中的元素在集合中可能有一個元素與之對應，可能有兩個或多個元素與之對應，也可能沒有元素與之對應.
⑶映射中對應法則是有方向的，一般來說從集合到集合的映射與從集合到集合的映射是不同的.
(4)我們可以把對應關(guān)系看成一面鏡子，集合中的元素在這面鏡子中存在一個像，一個相對應的元素，原像則是集合中的元素.這樣像和原像的概念就比較容易理解.并且映射中集合的每一個元素在集合中都有它的像，通過對應關(guān)系——即通過鏡子總存在像，而且像是唯一的，不會“照”出許多的像來，這是映射區(qū)別于一般對應的本質(zhì)特征.
二、目標及其解析：
（一）教學目標
（1）了解映射的概念及表示方法；結(jié)合簡單的對應圖示，了解一一映射的概念．
（2）解析：重點把握映射與函數(shù)的區(qū)別。
三、問題診斷分析
函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系
(1)函數(shù)包括三要素:定義域、值域、兩者之間的對應關(guān)系;映射包括三要素:集合A,集合B,以及A,B之間的對應關(guān)系
(2)函數(shù)定義中的兩個集合為非空數(shù)集;映射中兩個集合中的元素為任意元素,如人、物、命題等都可以.
(3)在函數(shù)中,對定義域中的每一個,在值域中都有唯一確定的函數(shù)值和它對應;在映射中,對集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一確定的像和它對應.
(4)在函數(shù)中,對值域中的每一個確定的函數(shù)值,在定義域中都有確定的自變量的值和它對應;在映射中,對于集合B中的任一元素,在集合A中不一定有原像.
(5)函數(shù)實際上就是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一
個映射
(6)通過右圖我們可以清晰的看到這三者的關(guān)系.

四、教學支持條件分析
在本節(jié)課一次遞推的教學中，準備使用PowerPoint2003。因為使用PowerPoint2003，有利于提供準確、最核心的文字信息，有利于幫助學生順利抓住老師上課思路，節(jié)省老師板書時間，讓學生盡快地進入對問題的分析當中。
五、教學過程
1.教學映射概念：
①先看幾個例子，兩個集合A、B的元素之間的一些對應關(guān)系，并用圖示意
,，對應法則：開平方；
，，對應法則：平方；
,,對應法則：求正弦；
②定義映射：一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應為從集合A到集合B的一個映射（mapping）．記作“”
關(guān)鍵:A中任意，B中唯一；對應法則f.
③分析上面的例子是否映射？舉例日常生活中的映射實例？
④討論：映射的一些對應情況？（一對一；多對一）一對多是映射嗎？
→舉例一一映射的實例（一對一）
2.教學例題：
①出示例1.探究從集合A到集合B一些對應法則，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P|P是數(shù)軸上的點}，B=R；A={三角形}，B={圓}；
A={P|P是平面直角體系中的點}，；A={高一某班學生}，B=？
（師生探究從A到B對應關(guān)系→辨別是否映射？一一映射？→小結(jié)：A中任意，B中唯一）
②討論：如果是從B到A呢？
③練習：判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，對應法則；
，對應法則；
，，；
設(shè)；
，
六、類型題探究
題型一映射的判斷
例1下列集合到集合的對應中，判斷哪些是到的映射?判斷哪些是到的一一映射?
(1)，對應法則．
(2)，，，，．
(3)，，對應法則除以2得的余數(shù)．
(4)，，對應法則
．
【思維導圖】

【解答關(guān)鍵】根據(jù)給出的f分析這個對應是否為“一對一”與“多對一”；若是則為映射，否則不是，再觀察是不是一對一的對應，若是則為一一映射.
【規(guī)范解答】(1)是映射，不是一一映射，因為集合中有些元素(正整數(shù))沒有原像．
(2)是映射，是一一映射．不同的正實數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實數(shù)，任何一個正數(shù)都存在倒數(shù)．
(3)是映射，因為集合中不同元素對應集合中相同的元素．
(4)是映射，不是一一映射，因為集合中的元素(如-4，4)都對應集合中的元素(2)．
【易錯辨析】判斷一個對應是不是映射或一一映射，應觀察對應的特點；說明一個對應不是映射或一一映射，只須找出一個反例．對于一一映射是一種特殊的映射，它的判斷主要考慮：若⑴A中的不同元素在B中有不同的像；⑵B中任何一個元素在A中都有原像，則這個映射就是一一映射.
【活學活用】1.下列集合到集合的對應是映射的是（）
A.：中的數(shù)平方；
B.：中的數(shù)求平方根；
C.：中的數(shù)取倒數(shù)；
D.：中的數(shù)取絕對值；
1．A.解析：B中錯誤在集合A中的元素1在集合B中有兩個元素-1，1與之對應，因此不是映射.C，D中錯誤都在于集合中有0這個元素在集合B中沒有相對應的元素.
題型二映射對應法則的應用
例2已知A={1，2，3，}，B={4，7,,},其中N+.若xA,yB,有對應關(guān)系：是從集合A到集合B的一個映射，且=4,=7,試求的值.

【解答關(guān)鍵】先通過已知條件求得，再通過分析映射的兩個集合中元素之間的關(guān)系，得出m、n之間的方程，解得相應的參數(shù)值.
【規(guī)范解答】由=4,=7,列方程組：故對應法則為：.
由此判斷A中元素3的像是或.若=10，因N+不可能成立,所以=10,解得=2或n=-5(舍去).
又當集合A中的元素的像是時,即=16,解得=5.
當集合A中的元素的像是時,即=10,解得=3.由元素唯一性知,=3舍去.
故=3,q=1,=5,=3或=3,q=1,=5,=2.
【歸納總結(jié)】通過該題，加深對映射的理解，加深對映射中對應法則的理解和應用.解好此題的關(guān)鍵是分清原象和象各是誰，對應法則是什么，對應法則是如何把象與原象聯(lián)系在一起的.映射是一種特殊的對應，函數(shù)是一種特殊的映射.
【活學活用】2.設(shè)f:A→B是A到B的一個映射，其中A=B={（x，y）|x，y∈R}，f:（x，y）→（x－y，x+y），求A中元素（－1，2）的象和B中元素（－1，2）的原象.
2．這是一個映射的問題，由已知（x，y）的象為（x－y，x+y），確定了對應法則.
先求A中元素（－1，2）的象.令x=－1，y=2，
由題意得x－y=－1－2=－3，x+y=－1+2=1，所以（－1，2）的象為（－3，1）;
再求B中元素（－1，2）的原象.令解得
所以（－1，2）的原象是（，）.
題型三利用映射研究函數(shù)問題
例3設(shè)A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)是（）Jab88.COm

【解答關(guān)鍵】本題已知兩個集合為數(shù)集，再根據(jù)圖像觀察是否為映射，便可得出是否為函數(shù).
【規(guī)范解答】首先C圖中，A中同一個元素x（除x=2)與B中兩個元素對應，它不是映射，當然更不是函數(shù)；其次，A、B兩圖中，A所對應的“象”的集合均為{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2}B={y∣1≤y≤2}，故它們均不能構(gòu)成的函數(shù)．從而答案選D．
【易混辨析】本題根據(jù)映射觀點下的函數(shù)定義直接求解．考察函數(shù)圖像與映射之間的關(guān)系，此類問題回到定義中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解決，而關(guān)于映射知識點的考察，一般也是對其概念進行考察.函數(shù)首先必須是映射，是當集合A與B均為非空數(shù)集時的映射．因此，判斷一個對應是否能構(gòu)成函數(shù)，應判斷：①集合A與B是否為非空數(shù)集；②f：A→B能否為一個映射．另外，函數(shù)f：A→B中，象的集合M叫函數(shù)的值域，且MB．
【活學活用】3.圖中表示的是從集合到集合的對應，其中能構(gòu)成映射的是()

3.A解析：到的一個對應能否構(gòu)成到的映射的關(guān)鍵是：集合中的任一元素都必須滿足對應于集合中唯一的元素.因此，圖象中必須滿足對于的每一個值，必須有且只有唯一的值與之對應.不難得知應選A.
(二）小結(jié)
七、目標檢測
一、選擇題
1.設(shè)是集合A到B的映射，下列說法正確的是（）
A、A中每一個元素在B中必有像B、B中每一個元素在A中必有原像
C、B中每一個元素在A中的原像是唯一的D、B是A中所在元素的像的集合
1.A解析：是對映射概念的判斷，對于答案B，D集合B中的元素在集合A中不一定有原像，因此也不是集合A中所在元素的像的集合.答案C自然也錯.
2.下列各對應關(guān)系中,是從A到B的映射的有()

A、（2）（3）B、（1）（4）C、（2）（4）D、（1）（3）
2.D解析：（1）（3）這兩個圖所表示的對應都符合映射的定義，對于（2）中的元素都對應著兩個元素，（4）中的元素沒有元素與之對應.
3.點在映射下的對應元素為，則點在作用下的對應元素為()
A.B.C.D.
3.C解析：，.
4.已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且對任意a∈A，在B中和它們對應的元素是|a|，則集合B中元素的個數(shù)是（）
A．4B．5C．6D．7
4.A解析：依題意，由A→B的對應法則為f：a→|a|．于是，將集合A中的7個不同元素分別取絕對值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互異性可知，B={1，2，3，4}，它有4個元素，答案選A．
二、填空題
5.已知集合A={x∣0≤x≤4}，B={y∣0≤y≤2}，下列從A到B的對應f：①f：x→y=
②f：x→y=③f：x→y=④f：x→y=
（1）其中不是映射的是；（2）其中是一一映射的是．
5．（1）③，（2）①④解析：.③中當x=4時在集合B中找不到對應的像.②中集合B中的像x=2找不到對應的原像.
6.已知集合A=Z,B={x|x=2n＋1,nZ},C=R,且從A到B的映射是x→2x-1,從B到C的映射是x→,則從A到C的映射是____.
6.x→解析：A到C的映射為x→.
7.若映射f：A→B的像的集合是Y，原像的集合是X，則X與A的關(guān)系是______，Y和B的關(guān)系是_____.
7.A=XYB解析：是對映射概念的判斷，顯然X與A的關(guān)系是相等，因為B中每一個元素在A中不一定有原像，所以Y和B的關(guān)系是YB.
三、解答題
8.已知，，且從到的映射滿足，試確定這樣的映射的個數(shù).
8.因為從到的映射滿足，所以
⑴當時，有或或
⑵當時，有
綜上，從到的映射中滿足的映射的個數(shù)是4個.
9.已知映射f：A→B中，A=B={(x，y)∣x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x+2y+2，4x+y)．
（1）求A中元素（5，5）的像；
（2）求B中元素（5，5）的原像；
（3）是否存在這樣的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出這個元素．
9.（1）由題意有A中元素（5，5）的像為
（2）B中元素（5，5）的原像滿足x+2y+2=5，4x+y=5，解得.
所以B中元素（5，5）的原像為(1，1)；
（3）假設(shè)存在這樣的元素(a，b)，使它的像仍是自己
它滿足方程組x=x+2y+2，y=4x+y．解得，此元素為（0，-1）．
高考能力演練
10.設(shè)A={(x，y)∣x∈R，y∈R}．如果由A到A的一一映射，使像集合中的元素(y-1，x+2)和原像集合中的元素(x，y)對應，那么像(3，-4)的原像是（）
A．（-5，5）B．（4，-6）C．（2，-2）D．（-6，4）
10.D解析：由像與原像的概念可知，本題中的對應法則是f：(x，y)→(y-1，x+2)，問題即：當點(y-1，x+2)是（3，-4）時，對應的x，y的值分別是多少？于是由
，即像（-3，4）的原像是（-6，4），選D．
11.已知集合，，其中，.若，，映射:→使中元素和中元素對應.求和的值.
11.∵中元素對應中元素，
∴中元素的象是，的象是，的象是.∴，或.
又，∴，解之，得.
∵的象是，∴，解之，得.
12.現(xiàn)代社會對破譯密文的難度要求越來越高，有一種密碼把英文的明文（真實文）按兩個字母一組分組（如果最后剩一個字母，則任意添一個字母，拼成一組），例如：
Wishy.usuccess，分組為Wi，sh，y.，us，uc，ce，ss得到
,,,,,,,
其中英文的a，b，c，…，z的26個字母（不論大小寫）依次對應的1，2，3，…，26這26個自然數(shù)，見表格：
abcdefghijklm
12345678910111213
n.pqrstuvwxyz
14151617181920212223242526
給出如下一個變換公式將明文轉(zhuǎn)換為密文.如
→→，即ce變成mc（說明：29÷26余數(shù)為3）.
又如→→，即wi變成.a（說明：41÷26余數(shù)為15，105÷26余數(shù)為1）.
（1）按上述方法將明文star譯成密文；
（2）若按上述方法將某明文譯成的密文是kcwi，請你找出它的明文.
12.（1）將star分組：st，ar，對應的數(shù)組分別為，
由得→，→.
∴star翻譯成密文為ggkw.
（2）由得
將kcwi分組：kc，wi，對應的數(shù)組分別為，,由得→→，→.
∴密文kcwi翻譯成明文為g..d.

精選閱讀

函數(shù)的表示法教學設(shè)計

教學設(shè)計
1.2.2函數(shù)的表示法
整體設(shè)計
教學分析
課本從引進函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法．函數(shù)的不同表示方法能豐富對函數(shù)的認識，幫助理解抽象的函數(shù)概念．特別是在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn)，使學生通過函數(shù)的學習更好地體會數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學思想方法．因此，在研究函數(shù)時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用．在研究圖象時，又要注意代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性．課本將映射作為函數(shù)的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化．這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學習，讓學生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念，同時，也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程．
三維目標
1．了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、解析法)，會根據(jù)不同實際情境選擇合適的方法表示函數(shù)，樹立應用數(shù)形結(jié)合的思想．
2．通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用，提高應用函數(shù)解決實際問題的能力，增加學習數(shù)學的興趣．
3．會用描點法畫一些簡單函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學生應用函數(shù)的圖象解決問題的能力．
4．了解映射的概念及表示方法，會利用映射的概念來判斷“對應關(guān)系”是否是映射，感受對應關(guān)系在刻畫函數(shù)和映射概念中的作用，提高對數(shù)學高度抽象性和廣泛應用性的進一步認識．
重點難點
教學重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)和映射的概念．
教學難點：分段函數(shù)的表示及其圖象，映射概念的理解．
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：張新軍
導入新課
思路1．語言是溝通人與人之間的聯(lián)系的，同樣的祝福又有著不同的表示方法．例如，簡體中文中的“生日快樂！”用繁體中文為：生日快樂！英文為：HappyBirthday！法文是BonAnniversaire！德文是AllesGuteZumGeburtstag！印度尼西亞文是SelamatUlangTahun！……那么對于函數(shù)，又有什么不同的表示方法呢？引出課題：函數(shù)的表示法．
思路2．我們前面已經(jīng)學習了函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)值的求法，兩個函數(shù)是否相同的判定方法，那么函數(shù)的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來研究這個問題(板書課題)．
推進新課
新知探究
提出問題
初中學過的三種表示法：解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數(shù)的？
討論結(jié)果：(1)解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫做解析法，這個數(shù)學表達式叫做函數(shù)的解析式．
(2)圖象法：以自變量x的取值為橫坐標，對應的函數(shù)值y為縱坐標，在平面直角坐標系中描出各個點，這些點構(gòu)成了函數(shù)的圖象，這種用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法．
(3)列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應的函數(shù)值，這種用表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法．
應用示例
例1某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f(x)．
活動：學生思考函數(shù)的表示法的規(guī)定．注意本例的設(shè)問，此處“y＝f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應值表．本題的定義域是有限集，且僅有5個元素．
解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5}，
用解析法可將函數(shù)y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可將函數(shù)y＝f(x)表示為
筆記本數(shù)x12345
錢數(shù)y510152025
用圖象法可將函數(shù)y＝f(x)表示為圖1.
圖1
點評：本題主要考查函數(shù)的三種表示法．解析法的特點是：簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系，可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數(shù)值，便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)，還有利于我們求函數(shù)的值域；圖象法的特點是：直觀、形象地表示自變量變化時相應的函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數(shù)的某些性質(zhì)，圖象法在生產(chǎn)和生活中有許多應用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢圖等；列表法的特點是：不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應的函數(shù)值，列表法在實際生產(chǎn)和生活中也有廣泛的應用，如銀行利率表、列車時刻表等等．并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示，只有函數(shù)值隨自變量的變化發(fā)生有規(guī)律的變化時，這樣的函數(shù)才可能有解析式，否則寫不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：張丹的年齡n(n∈N*)每取一個值，那么他的身高y(單位：cm)總有唯一確定的值與之對應，因此身高y是年齡n的函數(shù)y＝f(n)，但是這個函數(shù)的解析式不存在，函數(shù)y＝f(n)不能用解析法來表示．
注意：①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等；
②解析法：必須注明函數(shù)的定義域，否則使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍是函數(shù)的定義域；
③圖象法：根據(jù)實際情境來決定是否連線；
④列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.
變式訓練
1．如圖所示為y＝ax2＋bx＋c的圖象，下列結(jié)論正確的是()
圖2
A．a(chǎn)bc＞0B．a(chǎn)＋b＋c＜0
C．a(chǎn)－b＋c＞0D．2c＜3b
解析：由圖象研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)，易知a＜0，b＞0，c＞0.當x＝1時，y＝a＋b＋c＞0；當x＝－1時，a－b＋c＜0，故A，B，C都錯．
答案：D
2．已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，則f(x)＝________.
解析：由題意得
把f(x)和f(－x)看成未知數(shù)，解方程即得．
答案：3x＋23

例2下面是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數(shù)學測試的成績及班級平均分表：
第一次第二次第三次第四次第五次第六次
王偉988791928895
張城907688758680
趙磊686573727582
班平均分88.278.385.480.375.782.6
請你對這三位同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做一個分析．
活動：學生思考做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本題利用表格給出了四個函數(shù)，它們分別表示王偉、張城、趙磊的考試成績及各次考試的班級平均分．由于表格區(qū)分三位同學的成績高低不直觀，故采用圖象法來表示．做學情分析，具體要分析學習成績是否穩(wěn)定，成績變化趨勢．
解：把“成績”y看成“測試序號”x的函數(shù)，用圖象法表示函數(shù)y＝f(x)，如圖3所示．
圖3
由圖3可看到：
王偉同學的數(shù)學成績始終高于班級平均分，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀；
張城同學的數(shù)學成績不穩(wěn)定，總是在班級平均分水平上下波動，而且波動幅度較大；
趙磊同學的數(shù)學學習成績呈上升趨勢，表明他的數(shù)學成績穩(wěn)步提高．
點評：本題主要考查根據(jù)實際情境需要選擇恰當?shù)暮瘮?shù)表示法的能力，以及應用函數(shù)解決實際問題的能力．通過本題可見，圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數(shù)值的變化趨勢．
注意：本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣便于研究成績的變化特點.
變式訓練
1．函數(shù)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________．
答案：[2,11)
2．將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域和值域，作出函數(shù)的圖象．
分析：解此題的關(guān)鍵是先把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即把面積y表示為x的函數(shù)，用數(shù)學的方法解決，然后再回到實際中去．
解：設(shè)矩形一邊長為x，則另一邊長為12(a－2x)，則面積y＝12(a－2x)x＝－x2＋12ax.又得0＜x＜a2，即定義域為0，a2.由于y＝－x－a42＋116a2≤116a2，如圖4所示，結(jié)合函數(shù)的圖象得值域為0，116a2.
圖4
3．向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖5所示，那么水瓶的形狀是()
圖5
圖6
解析：要求由水瓶的形狀識別容積V和高度h的函數(shù)關(guān)系，突出了對思維能力的考查．
觀察圖象，根據(jù)圖象的特點發(fā)現(xiàn)：取水深h＝H2，注水量V′＞V02，
即水深為一半時，實際注水量大于水瓶總水量的一半．
A中V′＜V02，C、D中V′＝V02，故排除A，C，D.
答案：B
知能訓練
課本本節(jié)練習2,3.
【補充練習】
1．等腰三角形的周長是20，底邊長y是一腰長x的函數(shù)，則()
A．y＝10－x(0＜x≤10)
B．y＝10－x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
解析：根據(jù)等腰三角形的周長列出函數(shù)解析式．
∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.則20－2x＞0.∴x＜10.由構(gòu)成三角形的條件(兩邊之和大于第三邊)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函數(shù)的定義域為{x|5＜x＜10}．
∴y＝20－2x(5＜x＜10)．
答案：D
2．定義在R上的函數(shù)y＝f(x)的值域為[a，b]，則y＝f(x＋1)的值域為()
A．[a，b]B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1]D．無法確定
解析：將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移一個單位得函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象，由于定義域均是R，則這兩個函數(shù)圖象上點的縱坐標的取值范圍相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．
答案：A
3．函數(shù)f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()
A．(0,1)B．(0,1]
C．[0,1)D．[0,1]
解析：(觀察法)定義域是R，由于x2≥0，則1＋x2≥1，從而0＜11＋x2≤1.
答案：B
拓展提升
問題：變換法畫函數(shù)的圖象都有哪些？
解答：變換法畫函數(shù)的圖象有三類：
1．平移變換：
(1)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移a(a＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移a(a＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x－a)的圖象；
(3)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向上平移b(b＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象；
(4)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向下平移b(b＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x)－b的圖象．
簡記為“左加(＋)右減(－)，上加(＋)下減(－)”．
2．對稱變換：
(1)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0即y軸對稱；
(2)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0即x軸對稱；
(3)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點對稱．
3．翻折變換：
(1)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象可以將函數(shù)y＝f(x)的圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y＝f(x)的x軸上方部分即可得到．
(2)函數(shù)y＝f(|x|)的圖象可以將函數(shù)y＝f(x)的圖象位于y軸右邊部分翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y＝f(x)在y軸右邊部分圖象即可得到．
函數(shù)的圖象是對函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示，可以直觀地顯示出函數(shù)的變化狀況及其特性，它是研究函數(shù)性質(zhì)時的重要參考，也是運用數(shù)形結(jié)合思想研究和運用函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)．另一方面，函數(shù)的一些特性又能指導作圖，函數(shù)與圖象是同一事物的兩個方面，是函數(shù)的不同表現(xiàn)形式．函數(shù)的圖象可以比喻成人的相片，觀察函數(shù)的圖象可以解決研究其性質(zhì)，當然，也可以由函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的特點．借助函數(shù)的圖象來解決函數(shù)問題，函數(shù)的圖象問題是高考的熱點之一，應引起重視．
課堂小結(jié)
本節(jié)課學習了：函數(shù)的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當?shù)谋硎痉▉肀硎竞瘮?shù)．
作業(yè)
課本習題1.2A組7,8,9.
設(shè)計感想
本節(jié)教學設(shè)計容量較大，盡量借助于信息技術(shù)來完成．本節(jié)的設(shè)計重點是函數(shù)的三種表示方法，提出了表示法的應用，特別是用圖象法求函數(shù)的值域，并對求函數(shù)值域的方法進行了總結(jié)以滿足高考的要求．
第2課時
作者：劉菲
導入新課
思路1．當x＞1時，f(x)＝x＋1；當x≤1時，f(x)＝－x，請寫出函數(shù)f(x)的解析式．這個函數(shù)的解析式有什么特點？教師指出本節(jié)課題．
思路2．化簡函數(shù)y＝|x|的解析式，說說此函數(shù)解析式的特點，教師指出本節(jié)課題．
推進新課
新知探究
提出問題
①函數(shù)h(x)＝x，－x＋1，x－1，x≥－1與f(x)＝x－1，g(x)＝x2在解析式上有什么區(qū)別？
②請舉出幾個分段函數(shù)的例子．
活動：學生討論交流函數(shù)解析式的區(qū)別．所謂“分段函數(shù)”，習慣上指在定義域的不同部分，有不同對應法則的函數(shù)．
討論結(jié)果：①函數(shù)h(x)是分段函數(shù)，在定義域的不同部分，其解析式不同．說明：分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等．
②例如：y＝0，1，x0，x0等．
應用示例
例1畫出函數(shù)y＝|x|的圖象．
活動：學生思考函數(shù)圖象的畫法：①化簡函數(shù)的解析式為基本初等函數(shù)；②利用變換法畫出圖象，根據(jù)絕對值的概念來化簡解析式．
解法一：由絕對值的概念，我們有y＝x，－x，x≥0，x0.
所以，函數(shù)y＝|x|的圖象如圖7所示．
圖7
解法二：畫函數(shù)y＝x的圖象，將其位于x軸下方的部分對稱到x軸上方，與函數(shù)y＝x的圖象位于x軸上方的部分合起來得函數(shù)y＝|x|的圖象如圖7所示．
點評：函數(shù)y＝f(x)的圖象位于x軸上方的部分和y＝|f(x)|的圖象相同，函數(shù)y＝f(x)的圖象位于x軸下方的部分對稱到x軸上方就是函數(shù)y＝|f(x)|圖象的一部分．利用函數(shù)y＝f(x)的圖象和函數(shù)y＝|f(x)|的圖象的這種關(guān)系，由函數(shù)y＝f(x)的圖象畫出函數(shù)y＝|f(x)|的圖象.
變式訓練
1．已知函數(shù)y＝
(1)求f{f[f(5)]}的值；
(2)畫出函數(shù)的圖象．
分析：本題主要考查分段函數(shù)及其圖象．f(x)是分段函數(shù)，要求f{f[f(5)]}，需要確定f[f(5)]的取值范圍，為此又需確定f(5)的取值范圍，然后根據(jù)所在定義域代入相應的解析式，逐步求解．畫出函數(shù)在各段上的圖象，再合起來就是分段函數(shù)的圖象．
解：(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3＜0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.∵0＜1＜4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f{f[f(5)]}＝－1.
(2)圖象如圖8所示：
圖8
2．課本本節(jié)練習3.
3．畫出函數(shù)y＝的圖象．
步驟：①畫整個二次函數(shù)y＝(x＋1)2的圖象，再取其在區(qū)間(－∞，0]上的圖象，其他部分刪去不要；②畫一次函數(shù)y＝－x的圖象，再取其在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象，其他部分刪去不要；③這兩部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象．如圖9所示．
圖9
例2某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：
(1)乘坐汽車5千米以內(nèi)(含5千米)，票價2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票價增加1元(不足5千米按5千米計算)，
如果某條線路的總里程為20千米，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象．
活動：學生討論交流題目的條件，弄清題意．本例是一個實際問題，有具體的實際意義，由于里程在不同的范圍內(nèi)，票價有不同的計算方法，故此函數(shù)是分段函數(shù)．
圖10
解：設(shè)里程為x千米時，票價為y元，根據(jù)題意得x∈(0,20]．
由“招手即停”公共汽車票價制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：
y＝2，3，4，5，0x≤5，5x≤10，10x≤15，15x≤20.
根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如圖10所示．
點評：本題主要考查分段函數(shù)的實際應用，以及應用函數(shù)解決問題的能力．生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等．在列出其解析式時，要充分考慮實際問題的規(guī)定，根據(jù)規(guī)定來求得解析式．
注意：
①本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義；
②分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數(shù)值不同的幾種表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.
變式訓練
某客運公司確定車票價格的方法是：如果行程不超過100千米，票價是每千米0.5元，如果超過100千米，超過部分按每千米0.4元定價，則客運票價y(元)與行程x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式是________．
解析：根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式．
答案：y＝

知能訓練
1．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()
圖11
解析：方法一：函數(shù)的解析式化為y＝x－1，1－x，x≥1，x1.畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.
方法二：將函數(shù)f(x)＝x－1位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，與f(x)＝x－1位于x軸上方部分合起來，即可得到函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象，故選B.
方法三：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A，C，D，故選B.
答案：B
2．已知函數(shù)f(x)＝x2，x0，1，x＝0，－1x，x0.
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)求f(1)，f(－1)，f[f(－1)]的值．
解：分別作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0上的圖象，合在一起得函數(shù)的圖象．
(1)如圖12所示，畫法略．
圖12
(2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－1－1＝1，f[f(－1)]＝f(1)＝1.
3．某人驅(qū)車以52千米/時的速度從A地駛往260千米遠處的B地，到達B地并停留1.5小時后，再以65千米/時的速度返回A地．試將此人驅(qū)車走過的路程s(千米)表示為時間t的函數(shù)．
分析：本題中的函數(shù)是分段函數(shù)，要由時間t屬于哪個時間段，得到相應的解析式．
解：從A地到B地，路上的時間為26052＝5(小時)；從B地回到A地，路上的時間為26065＝4(小時)．所以走過的路程s(千米)與時間t的函數(shù)關(guān)系式為
s＝52t，260，260＋65(t－6.5)，0≤t5，5≤t≤6.5，6.5t≤10.5.
拓展提升
問題：已知函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋2，n∈N*.
(1)求：f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；
(2)猜想f(n)，n∈N*.
探究：(1)由題意得f(1)＝1，則有
f(2)＝f(1)＋2＝1＋2＝3，
f(3)＝f(2)＋2＝3＋2＝5，
f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7，
f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9.
(2)由(1)得
f(1)＝1＝2×1－1，
f(2)＝3＝2×2－1，
f(3)＝5＝2×3－1，
f(4)＝7＝2×4－1，
f(5)＝9＝2×5－1.
因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N*.
課堂小結(jié)
本節(jié)課學習了：畫分段函數(shù)的圖象；求分段函數(shù)的解析式以及分段函數(shù)的實際應用．
作業(yè)
課本習題1.2B組3,4.
設(shè)計感想
本節(jié)教學設(shè)計容量較大，特別是例題涉及圖象，建議使用信息技術(shù)來完成．本節(jié)重點為分段函數(shù)，這是課標明確要求也是高考的重點，通過分段函數(shù)問題能夠區(qū)分學生的思維層次，因此教學中應予以重視．
第3課時
作者：林大華
導入新課
思路1．復習初中常見的對應關(guān)系
1．對于任何一個實數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的點P和它對應．
2．對于坐標平面內(nèi)任何一個點A，都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)和它對應．
3．對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應．
4．某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應．
5．函數(shù)的概念．
我們已經(jīng)知道，函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關(guān)系，這種對應就叫映射(板書課題)．
思路2．前面學習了函數(shù)的概念是：一般地，設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應．
(1)對于任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上都有唯一的點與之對應．
(2)班級里的每一位同學在教室里都有唯一的座位與之對應．
(3)對于任意的三角形，都有唯一確定的面積與之對應．
那么這些對應又有什么特點呢？
這種對應稱為映射，引出課題．
推進新課
新知探究
提出問題
①給出以下對應關(guān)系：
圖13
這三個對應關(guān)系有什么共同特點？
②像問題①中的對應我們稱為映射，請給出映射的定義？
③“都有唯一”是什么意思？
④函數(shù)與映射有什么關(guān)系？
討論結(jié)果：①集合A，B均為非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素與之對應．
②一般地，設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射，記作“f：A→B”．
如果集合A中的元素x對應集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．
③包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思，即是一對一或多對一．
④函數(shù)是特殊的映射，映射是函數(shù)的推廣．
應用示例
例題下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是數(shù)軸上的點}，集合B＝R，對應關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐標系中的點}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應關(guān)系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圓}，對應關(guān)系f：每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓；
(4)集合A＝{x|x是新華中學的班級}，集合B＝{x|x是新華中學的學生}，對應關(guān)系f：每一個班級都對應班里的學生．
活動：學生思考映射的定義．判斷一個對應是否是映射，要緊扣映射的定義．
(1)中數(shù)軸上的點對應著唯一的實數(shù)；
(2)中平面直角坐標系中的點對應著唯一的有序?qū)崝?shù)對；
(3)中每一個三角形都有唯一的內(nèi)切圓；
(4)中新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生．
解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；
(4)不是映射．新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生，是一對多，不符合映射的定義.
變式訓練
1．圖14(1)，(2)，(3)用箭頭所標明的A中元素與B中元素的對應法則，是不是映射？
圖14
答案：(1)不是；(2)是；(3)是．
2．在圖15中的映射中，A中元素60°對應的元素是什么？在A中的什么元素與B中元素22對應？
圖15
答案：A中元素60°對應的元素是32，在A中的元素45°與B中元素22對應.

知能訓練
1．下列對應是從集合S到T的映射的是()
A．S＝N，T＝{－1,1}，對應法則是(－1)n，n∈S
B．S＝{0,1,4,9}，T＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，對應法則是開平方
C．S＝{0,1,2,5}，T＝{1，12，15}，對應法則是取倒數(shù)
D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，對應法則是x→y＝1＋x1－x
解析：判斷映射的方法簡單地說應考慮A中的元素是否都可以受對應法則f的作用，作用的結(jié)果是否一定在B中，作用的結(jié)果是否唯一這三個方面．很明顯A符合定義；B是一對多的對應；C中集合S中的元素0沒有象；D中集合S中的元素1也無象．
答案：A
2．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，則下列對應關(guān)系中不能看作從M到P的映射的是()
A．f：x→y＝12x
B．f：x→y＝13x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝16x
解析：選項C中，集合M中部分元素沒有象，其他均是映射．
答案：C
3．已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a與B中元素2a－1對應，則與B中元素17對應的A中元素是()
A．3B．5C．17D．9
解析：利用對應法則轉(zhuǎn)化為解方程．由題意得2a－1＝17，解得a＝9.
答案：D
4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，則X與A的關(guān)系是________；Y與B的關(guān)系是________．
解析：根據(jù)映射的定義，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，YB.
答案：X＝AYB
5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，則從M到P能建立不同映射的個數(shù)是________．
解析：集合M中有4個元素，集合P中有3個元素，則從M到P能建立34＝81個不同的映射．
答案：81
6．下列對應哪個是集合M到集合N的映射？哪個不是映射？為什么？
(1)設(shè)M＝{矩形}，N＝{實數(shù)}，對應法則f為矩形到它的面積的對應．
(2)設(shè)M＝{實數(shù)}，N＝{正實數(shù)}，對應法則f為x→1|x|.
(3)設(shè)M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，對應法則f為開方再乘10.
解：(1)是M到N的映射，因為它是多對一的對應．
(2)不是映射，因為當x＝0時，集合N中沒有元素與之對應．
(3)是映射，因為它是一對一的對應．
7．設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，則在映射f下，A中的元素________對應B中的元素3.()
A．1B．3C．9D．11
解析：對應法則為f：n→2n＋n，根據(jù)選項驗證2n＋n＝3，可得n＝1.
答案：A
8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x對應，求a及k的值．
分析：先從集合A和對應法則f入手，同時考慮集合中元素的互異性，可以分析出此映射必為一一映射，再由3→10，求得a值，進而求得k值．
解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x對應，
∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.
∵a∈N，
∴由a2＋3a＝10，得a＝2.
∵k的象是a4，
∴3k＋1＝16，得k＝5.
∴a＝2，k＝5.
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＜3，x∈N，y∈N}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，則這個對應是否為映射？是否為函數(shù)？請說明理由．
解：是映射，不是函數(shù)．由題意得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，顯然對于A中的每一個有序?qū)崝?shù)對，它們的和是0或1或2，則在B中都有唯一一個數(shù)與它對應，所以是映射，因為集合A不是數(shù)集而是點集，所以不是函數(shù)．
拓展提升
問題：集合M中有m個元素，集合N中有n個元素，則從M到N能建立多少個不同的映射？
探究：當m＝1，n＝1時，從M到N能建立1＝11個不同的映射；
當m＝2，n＝1時，從M到N能建立1＝12個不同的映射；
當m＝3，n＝1時，從M到N能建立1＝13個不同的映射；
當m＝2，n＝2時，從M到N能建立4＝22個不同的映射；
當m＝2，n＝3時，從M到N能建立9＝32個不同的映射．
集合M中有m個元素，集合N中有n個元素，則從M到N能建立nm個不同的映射．
課堂小結(jié)
本節(jié)課學習了：
(1)映射的對應是一種特殊的對應，元素之間的對應必須滿足“一對一或多對一”．
(2)映射由三個部分組成：集合A，集合B及對應法則f，稱為映射的三要素．
(3)映射中集合A，B中的元素可以為任意的．
作業(yè)
課本本節(jié)練習4.
補充作業(yè)：
已知下列集合A到B的對應，請判斷哪些是A到B的映射，并說明理由．
(1)A＝N，B＝Z，對應法則f為“取相反數(shù)”；
(2)A＝{－1,0,2}，B＝－1，0，12，對應法則：“取倒數(shù)”；
(3)A＝{1,2,3,4,5}，B＝R，對應法則：“求平方根”；
(4)A＝{0,1,2,4}，B＝{0,1,4,9,64}，對應法則f：a→b＝(a－1)2；
(5)A＝N*，B＝{0,1}，對應法則：除以2所得的余數(shù)．
答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．
設(shè)計感想
本節(jié)教學設(shè)計的內(nèi)容拓展較深，在實際教學中根據(jù)學生實際選取例題和練習．本節(jié)重點為映射的概念，對于映射來說，只需要掌握概念即可，不要求拓展其內(nèi)容，以免加重學生的負擔，也偏離了課標要求和高考的方向．
備課資料
【備選例題】
【例1】區(qū)間[0，m]在映射f：x→2x＋m下所得的象集區(qū)間為[a，b]，若區(qū)間[a，b]的長度比區(qū)間[0，m]的長度大5，則m等于()
A．5B．10C．2.5D．1
解析：函數(shù)f(x)＝2x＋m在區(qū)間[0，m]上的值域是[m,3m]，
則有[m,3m]＝[a，b]，則a＝m，b＝3m，
又區(qū)間[a，b]的長度比區(qū)間[0，m]的長度大5，
則有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5，
所以3m－m＝m＋5，
解得m＝5.
答案：A
【例2】設(shè)x∈R，對于函數(shù)f(x)滿足條件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么對所有的x∈R，f(x2－1)＝________.
解析：(換元法)設(shè)x2＋1＝t，
則x2＝t－1，
則f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7，
即f(x)＝x2＋3x－7.
所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9.
答案：x4＋x2－9
【知識總結(jié)】
1．函數(shù)與映射的知識記憶口訣：
函數(shù)新概念，記準要素三；定義域值域，關(guān)系式相連；
函數(shù)表示法，記住也不難；圖象和列表，解析最常見；
對應變映射，只是變唯一；映射變函數(shù)，集合變數(shù)集．
2．映射到底是什么？怎樣理解映射的概念？
剖析：對于映射這個概念，可以從以下幾點來理解：(1)映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的；(3)映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應，而這個與之對應的元素是唯一的，這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心；(4)映射允許集合B中存在元素在A中沒有元素與其對應；(5)映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的對應元素，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”；(6)映射是特殊的對應，函數(shù)是特殊的映射．
3．函數(shù)與映射的關(guān)系
函數(shù)是特殊的映射，對于映射f：A→B，當兩個集合A，B均為非空數(shù)集時，則從A到B的映射就是函數(shù)，所以函數(shù)一定是映射，而映射不一定是函數(shù)．

第二課時（2.1函數(shù),2.2函數(shù)的表示法）

第二課時（2.1函數(shù),2.2函數(shù)的表示法）

教學目的：

1.理解函數(shù)的概念，映射的概念；

2.初步掌握函數(shù)的表示法.

教學重點難點：函數(shù)，映射的“三要素”，分段表示函數(shù)的解析式.

教學過程：

一、復習：函數(shù)的概念，映射的概念，函數(shù)的表示法

二、例題

例1已知函數(shù)=3-5x+2，求f(3),f(-),f(a+1).

例2下列函數(shù)中哪個與函數(shù)是同一個函數(shù)？

⑴；⑵；⑶

例3下列各組中的兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？

①

②

③

4

例5某種筆記本每個5元，買x{1,2,3,4}個筆記本的錢數(shù)記為y（元），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，定義域，值域，并畫出這個函數(shù)的圖像。

例6國內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，依次類推，每封xg(0x100)的信函應付郵資為（單位：分），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，定義域，值域，并畫出這個函數(shù)的圖像。

三、課堂練習：課本P51練習1，5，6；P56練習1，2，3

四、作業(yè)習題2.14，5，6（3）（4）（6）8

函數(shù)的表示

1.2.2函數(shù)的表示
一、內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容：函數(shù)的表示。
（二）解析：本節(jié)課要學的內(nèi)容函數(shù)的表示指的是列表法、圖象法、解析法，理解它關(guān)鍵就是，體會三種表示方法的特點，能夠根據(jù)實際問題情境選擇恰當?shù)姆椒ū硎疽粋€函數(shù)以獲得一個函數(shù)的游泳信息，培養(yǎng)學生的靈活運用知識的能力。學生已經(jīng)學過了函數(shù)的概念并且在初中的時候接觸過函數(shù)的三種表示法本節(jié)課的內(nèi)容函數(shù)的表示法就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于它還與實際問題有必要的聯(lián)系,所以在本學科有著很重要的地位，是學習后面知識的基礎(chǔ),是本學科的核心內(nèi)容。教學的重點是函數(shù)的三種表示方法及根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎疽粋€函數(shù)，所以解決重點的關(guān)鍵是結(jié)合實例讓學生加深理解。
二、目標及其解析
（一）教學目標
1．理解函數(shù)的三種表示方法；
2．理解分段函數(shù)以及表示和映射的概念；
3.理解映射的概念；
（二）解析
1．理解函數(shù)的三種表示方法就是指能夠根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎疽粋€函數(shù)；
2．理解分段函數(shù)以及表示和映射的概念就是指了解分段函數(shù)在解決實際問題中的應用，及分段函數(shù)解析式的建立及圖象的描繪；
3.理解映射的概念就是指要學生體會由特殊到一般的思維方法，掌握映射的概念，會判斷一個對應關(guān)系是否是映射，并且體驗用映射刻畫函數(shù)的方法，理解函數(shù)式一種特殊的映射。
三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學中，學生可能遇到的問題是根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎疽粋€函數(shù)和分段函數(shù)解析式的建立及圖象的描繪，產(chǎn)生這一問題的原因是：學生根據(jù)實際問題情境獲取有用信息和靈活運用知識的能力還有待提高；。要解決這一問題，就要在多結(jié)合實際問題其中關(guān)鍵是理論聯(lián)系實際。
四、教學過程設(shè)計
一、導入新課
在學習函數(shù)概念時，三個實例分別是怎樣去表示它是函數(shù)的？
二、提出問題
問題1：某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用適當?shù)姆绞奖硎竞瘮?shù)y=f(x)．
1.該函數(shù)用解析法怎樣表示？
2.該函數(shù)用列表法怎樣表示？
3.該函數(shù)用圖象法怎樣表示？
問題2：下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度六次數(shù)學測試的成績及
班級平均分表：

第1次第2次第3次第4次第5次第6次
王偉988791928895
張誠907688758680
趙磊686573727582
班級平均分88.278.385.480.375.782.6
1.上表反映了幾個函數(shù)關(guān)系？這些函數(shù)的自變量是什么？定義域是什么？
2.上述4個函數(shù)能用解析法表示嗎？能用圖象法表示嗎？
3.若分析、比較每位同學的成績變化情況，用哪種表示法為宜？
問題3：某市某條公交線路的總里程是20公里，在這條線路上公交車“招手即?！?，其票價如下：
（1）5公里以內(nèi)（含5公里），票價2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按照5公里計算）.
1.里程與票價之間的對應關(guān)系是否為函數(shù)？若是，函數(shù)的自變量是什么？定義域是什么？
2.該函數(shù)用解析法怎樣表示？
3.該函數(shù)用列表法怎樣表示？
4.該函數(shù)用圖象法怎樣表示？
問題4：映射的定義是什么？
1.函數(shù)一定是映射嗎？映射一定是函數(shù)嗎？
2.映射有哪幾種對應形式？
3.設(shè)集合A=N，B={x|x是非負偶數(shù)}，你能給出一個對應關(guān)系f，使從集合A到集合B的對應是一個映射嗎？并指出其對應形式.
4.有人說映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，對此你是怎樣理解的？
三．概念的鞏固和應用
例1、設(shè)周長為20cm的矩形的一邊長為xcm，面積為Scm2,那么x與S的對應關(guān)系是否為函數(shù)？若是,試用適當?shù)姆椒ū硎境鰜?
例2、畫出函數(shù)y=|x|的圖象.
例3、試判斷下面給出的對應是否為從集合A到集合B的映射？
(1)集合A={P|P是數(shù)軸上的點}，集合B=R，對應關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應；
(2)集合A={P|P是平面直角坐標系中的點}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，對應關(guān)系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應；
(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圓},對應關(guān)系f：每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓；
(4)集合A={x|x是師大附中的班級}，集合B={x|x是師大附中的學生}，對應關(guān)系f：每一個班級都對應班里的學生;
(5)集合A={1,2,3,4},B={3，4，5，6，7，8，9}，對應關(guān)系f：x→2x+1

例2、已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}.
（1）試建立一個從集合A到集合B的映射？
（2）一共可建立多少個從集合A到集合B的映射？
例3、下列對應關(guān)系f是否為從集合A到集合B的函數(shù)？
四．課堂目標檢測
優(yōu)化設(shè)計：隨堂練習.
五．小結(jié)
1、函數(shù)的三種表示方法及各自的特點；
2、分段函數(shù)解析式的建立及圖象的描繪；
3、映射的概念，并且體驗用映射刻畫函數(shù)的方法，理解函數(shù)式一種特殊的映射。

函數(shù)的表示方法

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，高中教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助高中教師緩解教學的壓力，提高教學質(zhì)量。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？以下是小編收集整理的“函數(shù)的表示方法”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

§2.1.2函數(shù)的表示方法(一)
【學習目標】：
掌握函數(shù)的三種表示方法（列表法，解析法，圖象法），及其互相轉(zhuǎn)化；理解分段函數(shù)的概念。

【教學過程】：
一、復習引入：回顧初中學過的函數(shù)及其表示方法

二、新課講授：
函數(shù)的三種表示方法：
列表法：
解析法：
圖象法：

三、典例欣賞
例1．購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元。若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將y表示為x（x∈{1，2，3，4}）的函數(shù)，并指出函數(shù)的值域。

例2．某市出租汽車收費標準如下：在以內(nèi)（含）路程按起步價7元收費，超過以外的路程按2.4元收費，試寫出收費額關(guān)于路程的函數(shù)的解析式。

回顧小結(jié)：分段函數(shù)
（1）概念：
（2）理解：

練習與思考：考慮例2中所求得的函數(shù)解析式，
回答下列問題：
（1）函數(shù)的定義域是_______________.
（2）若x=8，則y=_______________；若y=11.8，則x=_______________.
（3）畫出函數(shù)的圖像.
（4）函數(shù)的值域是_______________.
例3．（1）已知，求。

（2）已知函數(shù)，若。

例4.如圖是邊長為2的正三角形，這個三角形在直線左側(cè)部分的面積為y,求函數(shù)的解析式，并畫出的圖象.

例5．作出函數(shù)的圖象，并求函數(shù)的定義域與值域。

【反思小結(jié)】：
【針對訓練】：班級姓名學號
1.物體從靜止開始下落，下落的距離與下落時間的平方成正比。已知開始下落的內(nèi)，物體下落了，則開始下落的內(nèi)物體下落的距離是
2.已知函數(shù)，則=
3．已知函數(shù)則
4.已知，試寫出從集合A到集合B的兩個函數(shù)
5.請寫出三個不同的函數(shù)解析式，滿足。
6.建造一個容積為、深為的長方形無蓋水池，如果池底與池壁的造價分別為和，則總造價（元）與關(guān)于底面一邊長（）的函數(shù)解析式是
，且此函數(shù)的定義域是
7.函數(shù)的定義域為
8.設(shè)函數(shù)，則＝．
9．若一個函數(shù)滿足，則滿足該條件的一個函數(shù)解析式是
10．（1）作出函數(shù)y=2x2+|x2-1|的圖象。（2）作出函數(shù)y=|x-2|(x+1)的圖象。

11.某公司將進貨單價為8元一個的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個，若這個商品的銷售價每個上漲1元，則銷售量就減少10個。
（1）求銷售價為13元時的銷售利潤；（2）如果銷售利潤為360元，那么銷售價上漲了幾元？

12.國內(nèi)投寄信函的郵資標準是：每封信的質(zhì)量不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，超過40g而不超過60g付郵資240分，依此類推。試寫出每封不超過90g的信函應付郵資y分與信函的質(zhì)量xg之間的函數(shù)關(guān)系并畫出圖象。

13．函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，當時，寫出的解析式，并作出函數(shù)的圖象.

14．已知函數(shù).
（1）求的值；（2）計算：.

【拓展提高】
15．已知兩個函數(shù)，
（1）當時，求的解析式；（2）當時，求的解析式；
(3)解不等式。