高中函數(shù)教案

函數(shù)及其表示、解析式（學(xué)生學(xué)案）。

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時能夠胸有成竹，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？以下是小編收集整理的“函數(shù)及其表示、解析式（學(xué)生學(xué)案）”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

函數(shù)及其表示、解析式（學(xué)生學(xué)案）
知識結(jié)構(gòu)：
1．函數(shù)的基本概念
(1)函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.
2．映射的概念
一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．
3．分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)
①如果一個函數(shù)在定義域的不同子集中因?qū)?yīng)關(guān)系不同而用幾個不同的式子來表示，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)的求法是分別求出解析式再組合在一起，但要注意各區(qū)間之間的點不重復(fù)、無遺漏。
②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函數(shù)y=f［g(x)］叫做復(fù)合函數(shù)，其中f(u)叫做外層函數(shù)，g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)。
基礎(chǔ)訓(xùn)練：
1．下列各對函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()．
A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
C．f(u)＝，g(v)＝D．f(x)＝()2，g(x)＝
2．設(shè)函數(shù)，則＝________．

3.設(shè)集合，，從到有四種對應(yīng)如圖所示：

其中能表示為到的函數(shù)關(guān)系的有_________．
4.已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，,則____．
5.設(shè)函數(shù)，，則_________；__________．
6.設(shè)函數(shù)，,則___________；____；____．
7．（1），，；
（2），，；
（3），，．
上述三個對應(yīng)__________________是到的映射．
例題選講：
例1：判斷下列對應(yīng)是否是從集合A到集合B的映射：
(1)A=R,B={x|x0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N?，f:x→|x-2|；(3)A={x|x0},B=R，f:x→x2.
例2：設(shè)有函數(shù)組：①，；②，；③，；④，．其中表示同一個函數(shù)的有_________
例3：(1)已知f＝lgx，求f(x)；
（2）已知函數(shù)，求；
(3)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，試求f(x)的表達(dá)式．
(4)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)．

例4
例4.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程y（km）與時間x（分）的關(guān)系．試寫出的函數(shù)解析式．
例5．矩形的長，寬，動點、分別在、上，且，（1）將的面積表示為的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；
（2）求的最大值．
鞏固作業(yè)：
A組：
一、選擇題：
1．下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的函數(shù)是（）
2．已知集合，映射，在作用下點的象是，則集合（）
二、填空題：
3．給定映射，點的原象是_______．
4．設(shè)有函數(shù)組：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一個函數(shù)的有______．
5．已知，且，則m等于________．
6．已知a，b為常數(shù)，若，，則_______．
第8題
7.設(shè)f(x)＝，則f[f()]＝_____________．
8.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為__________________________．
三、解答題：
9.已知函數(shù)與分別由下表給出：

(1)求的值；(2)若2時，求的值；
10.下列從M到N的各對應(yīng)法則中，哪些是映射？哪些是函數(shù)？哪些不是映射？為什么？
(1)M={直線Ax+By+C=0}，N=R，f1:求直線Ax+By+C=0的斜率;
(2)M={直線Ax+By+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直線Ax+By+C=0的傾斜角;
(3)當(dāng)M=N=R，f3:求M中每個元素的正切；
(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每個元素的算術(shù)平方根.
11．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；
（4）已知滿足，求．
（5）已知，求的解析式
12.已知二次函數(shù)的最小值等于4，且，求的解析式．
B組：
一、選擇題：
1．(2010·陜西)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()．
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
2．(2011·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()．
A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)
二、填空題：
3．(2011·江蘇)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．
4.函數(shù)，其中P，M為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個命題：
①若，則②若，則
③若，則④若，則
其中真命題的序號有______．
5.設(shè)集合對任意實數(shù)x恒成立}，則下列結(jié)論中：
①PQ；②QP；③P=Q；④PQ=．其中正確結(jié)論的序號有____________．
三、解答題：
6.已知函數(shù)與的圖像關(guān)于點對稱，求的解析式．

7.已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數(shù)g(x)的解析式．

8.（1）設(shè)，求函數(shù)的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式．

擴(kuò)展閱讀

函數(shù)的表示法學(xué)案

俗話說，磨刀不誤砍柴工。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“函數(shù)的表示法學(xué)案”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

1.2.2函數(shù)的表示方法
第一課時函數(shù)的幾種表示方法

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
通過預(yù)習(xí)理解函數(shù)的表示
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
1.列表法：通過列出與對應(yīng)的表來表示的方法叫做列表法
2.圖象法：以為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的為縱坐標(biāo)的點的集合，叫做函數(shù)y=f（x）的圖象，這種用“圖形”表示函數(shù)的方法叫做圖象法.
3.解析法（公式法）：用來表達(dá)函數(shù)y=f（x）（xA）中的f（x），這種表達(dá)函數(shù)的方法叫解析法，也稱公式法。
4.分段函數(shù)：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著，這樣的函數(shù)通常叫做。

三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握函數(shù)的三種主要表示方法
2．能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎揪唧w問題中的函數(shù)關(guān)系
3．會畫簡單函數(shù)的圖像
學(xué)習(xí)重難點：圖像法、列表法、解析法表示函數(shù)
二、學(xué)習(xí)過程
表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種.
⑴解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式.
例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函數(shù)關(guān)系的.
優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值.中學(xué)階段研究的函數(shù)主要是用解析法表示的函數(shù).
⑵列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系.
例如，學(xué)生的身高單位：厘米
學(xué)號123456789
身高125135140156138172167158169
數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表、三角函數(shù)表，銀行里的利息表，列車時刻表等等都是用列表法來表示函數(shù)關(guān)系的.公共汽車上的票價表
優(yōu)點：不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值.
⑶圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系.
例如，氣象臺應(yīng)用自動記錄器描繪溫度隨時間變化的曲線，課本中我國人口出生率變化的曲線，工廠的生產(chǎn)圖象，股市走向圖等都是用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的.
優(yōu)點：能直觀形象地表示出自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢，這樣使得我們可以通過圖象來研究函數(shù)的某些性質(zhì).
三、例題講解
例1某種筆記本每個5元，買x{1,2,3,4}個筆記本的錢數(shù)記為y（元），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像
變式練習(xí)1設(shè)求f[g(x)]。
例2作出函數(shù)的圖象
變式練習(xí)2畫出函數(shù)y=∣x∣與函數(shù)y=∣x－2∣的圖象

三、當(dāng)堂檢測
課本第56頁練習(xí)1，2，3
課后練習(xí)與提高
1.在股票買賣過程中,經(jīng)常用到兩種曲線,一種是即時價格曲線y＝f(x)(實線表示),另一種是平均價格曲線y＝g(x)(虛線表示)〔如f(2)＝3是指開始買賣后兩個小時的即時價格為3元;g(2)＝3表示兩個小時內(nèi)的平均價格為3元〕,下圖給出的四個圖象中,其中可能正確的是()
2.函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),且x＜1時,f(x)＝x2+1,則x＞1時,f(x)的解析式為()
A.f(x)＝x2-4x+4B.f(x)＝x2-4x+5
C.f(x)＝x2-4x-5D.f(x)＝x2+4x+5
3.函數(shù)的圖象的大致形狀是()
4.如圖,設(shè)點A是單位圓上的一定點,動點P從點A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,點P所旋轉(zhuǎn)過的的長為l,弦AP的長為d,則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()
5.用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗),要使這個窗戶通過的陽光最充足,則框架的長與寬應(yīng)分別為_________.
6.已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x.
(1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a);
(2)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0,使得f(x0)＝x0,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.

解答：
1解析:解答該題要注意平均變化率是一個累積平均效應(yīng),因此可以得到正確選項為C.
答案:C
2解析:因為f(x+1)為偶函數(shù),
所以f(-x+1)＝f(x+1),即f(x)＝f(2-x).
當(dāng)x＞1時,2-x＜1,此時,f(2-x)＝(2-x)2+1,即f(x)＝x2-4x+5.
答案:B
3解析:該函數(shù)為一個分段函數(shù),即為當(dāng)x＞0時函數(shù)f(x)＝ax的圖象單調(diào)遞增;當(dāng)x＜0時,函數(shù)f(x)＝-ax的圖象單調(diào)遞減.故選B.
答案:B
4解析:函數(shù)在［0,π］上的解析式為
.
在［π,2π］上的解析式為,
故函數(shù)d＝f(l)的解析式為,l∈［0,2π］.
答案:C
5解析:由題意可知,即是求窗戶面積最大時的長與寬,設(shè)長為xm,則寬為()m,
∴
解得當(dāng)x＝3時,.
∴長為3m,寬為1.5m.
答案:3m,1.5m

1.2.2函數(shù)的表示方法
第二課時分段函數(shù)
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
通過預(yù)習(xí)理解分段函數(shù)并能解決一些簡單問題
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
在同一直角坐標(biāo)系中：做出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象。
思考：問題1、所作出R上的圖形是否可以作為某個函數(shù)的圖象？
問題2、是什么樣的函數(shù)的圖象？和以前見到的圖像有何異同？
問題3、如何表示這樣的函數(shù)？

三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．根據(jù)要求求函數(shù)的解析式
2．了解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用
3．理解分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)
學(xué)習(xí)重難點:函數(shù)解析式的求法
二、學(xué)習(xí)過程
1、分段函數(shù)
由實際生活中，上海至港、澳、臺地區(qū)信函部分資費表
重量級別資費（元）
20克及20克以內(nèi)1.50
20克以上至100克4.00
100克以上至250克8.50
250克以上至500克16.70

引出問題：若設(shè)信函的重量（克）應(yīng)支付的資費為元，能否建立函數(shù)的解析式？導(dǎo)出分段函數(shù)的概念。
通過分析課本第46頁的例4、例5進(jìn)一步鞏固分段函數(shù)概念，明確建立分段函數(shù)解析式的一般步驟，學(xué)會分段函數(shù)圖象的作法
可選例：1、動點P從單位正方形ABCD頂點A開始運動，沿正方形ABCD的運動路程為自變量，寫出P點與A點距離與的函數(shù)關(guān)系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，動點P以每秒1m的速度，從A點出發(fā)，沿著矩形的邊按A→D→C→B的順序運動到B，設(shè)點P從點A處出發(fā)經(jīng)過秒后，所構(gòu)成的△ABP面積為m2，求函數(shù)的解析式。
3、以小組為單位構(gòu)造一個分段函數(shù)，并畫出該函數(shù)的圖象。
2、典題
例1國內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，依次類推，每封xg(0x100)的信函應(yīng)付郵資為（單位：分），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像

變式練習(xí)1作函數(shù)y=|x-2|(x＋1)的圖像

例2畫出函數(shù)y=|x|=的圖象.

變式練習(xí)2作出分段函數(shù)的圖像

變式練習(xí)3．作出函數(shù)的函數(shù)圖像

三、當(dāng)堂檢測
教材第47頁練習(xí)A、B
課后練習(xí)與提高
1.定義運算設(shè)F(x)＝f(x)g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,則F(x)的值域為()
A.［-1,1］B.C.D.
2.已知則的值為()
A.-2B.-1C.1D.2
3.設(shè)函數(shù)若f(1)+f(a)＝2,則a的所有可能的值是__________.
4.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm,秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn),當(dāng)時間t＝0時,點A與鐘面上標(biāo)12的點B重合.將A、B兩點間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù),則d＝________,其中t∈［0,60］.
5.對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y＝f(x)、y＝g(x),規(guī)定:函數(shù)h(x)＝
.
(1)若函數(shù),g(x)＝x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式;
(2)求(1)中函數(shù)h(x)的值域;
(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常數(shù),且α∈［0,π］,請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y＝f(x)及一個α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以證明.

解答
1解析:由已知得
即F(x)＝
,kZ時,F(x)∈［-1,］;
F(x)＝cosx,當(dāng),k∈Z時,F(x)∈(-1,),故選C.
答案:C
3解析:由已知可得,①當(dāng)a≥0時,有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②當(dāng)-1＜a＜0時,有1+sin(a2π)＝2,∴sin(a2π)＝1.
∴.
又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1,
∴當(dāng)k＝0時,有,∴.
綜上可知,a＝1或.
答案:1或
4解析:由題意,得當(dāng)時間經(jīng)過t(s)時,秒針轉(zhuǎn)過的角度的絕對值是弧度,因此當(dāng)t∈(0,30)時,,由余弦定理,得
,
;當(dāng)t∈(30,60)時,在△AOB中,,由余弦定理,得,,且當(dāng)t＝0或30或60時,相應(yīng)的d(cm)與t(s)間的關(guān)系仍滿足.
綜上所述,,其中t∈［0,60］.
答案:
5解:(1)
(2)當(dāng)x≠1時,,
若x＞1,則h(x)≥4,當(dāng)x＝2時等號成立;
若x＜1,則h(x)≤0,當(dāng)x＝0時等號成立.
∴函數(shù)h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
(3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x,,
則＝cos2x-sin2x,
于是h(x)＝f(x)f(x+α)
＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x.
解法二:令,,
則,
于是h(x)＝f(x)f(x+α)＝()()
＝1-2sin22x＝cos4x.

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)及其表示學(xué)案帶答案

第二章函數(shù)
學(xué)案4函數(shù)及其表示

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法等)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．
自主梳理
1．函數(shù)的基本概念
(1)函數(shù)定義
設(shè)A，B是非空的，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的,在集合B中，稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的__________，__________________叫做函數(shù)的值域．
(2)函數(shù)的三要素
__________、________和____________．
(3)函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有：________、________、________.
(4)函數(shù)相等
如果兩個函數(shù)的定義域和__________完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判定兩函數(shù)相等的依據(jù)．
(5)分段函數(shù)：在函數(shù)的________內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的____________，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
分段函數(shù)是一個函數(shù)，它的定義域是各段取值區(qū)間的________，值域是各段值域的________．
2．映射的概念
(1)映射的定義
設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的.?
（2）由映射的定義可以看出，映射是概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個集合，A、B必須是數(shù)集.
自我檢測
1．(2011佛山模擬)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列4個圖形，其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的有()
A．0個B．1個
C．2個D．3個
2．(2010湖北)函數(shù)y＝1log0.54x－3的定義域為()
A．(34，1)B．(34，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(34，1)∪(1，＋∞)
3．(2010湖北)已知函數(shù)f(x)＝log3x，x02x，x≤0，則f(f(19))等于()
A．4B.14
C．－4D．－14
4．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相同的函數(shù)是()
A．y＝x2xB．y＝(x)2
C．y＝lg10xD．y＝2log2x
5．(2011衡水月考)函數(shù)y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，求a的取值范圍．
探究點一函數(shù)與映射的概念
例1(教材改編)下列對應(yīng)關(guān)系是集合P上的函數(shù)的是________．
(1)P＝Z，Q＝N*，對應(yīng)關(guān)系f：對集合P中的元素取絕對值與集合Q中的元素相對應(yīng)；
y＝x2，x∈P，y∈Q；
（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，對應(yīng)關(guān)系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;?
(3)P={三角形}，Q={x|x0}，對應(yīng)關(guān)系f:對P中三角形求面積與集合Q中元素對應(yīng).

變式遷移1已知映射f:A→B.其中B．其中A＝B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝－x2＋2x，對于實數(shù)k∈B，在集合A中不存在元素與之對應(yīng)，則k的取值范圍是()
A．k1B．k≥1
C．k1D．k≤1
探究點二求函數(shù)的定義域
例2(1)求函數(shù)y＝x＋1＋x－10lg2－x的定義域；
(2)已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(0,1)，求f(x)的定義域．

變式遷移2已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，那么g(x)＝fx21＋lgx＋1的定義域是________________________________________________________________________．
探究點三求函數(shù)的解析式
例3(1)已知f(2x＋1)＝lgx，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)滿足2f(x)＋f(1x)＝3x，求f(x)．
變式遷移3(2011武漢模擬)給出下列兩個條件：
(1)f(x＋1)＝x＋2x；
(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試分別求出f(x)的解析式．
探究點四分段函數(shù)的應(yīng)用
例4設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
變式遷移4(2010江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，則滿足不等式f(1－x2)f(2x)的x的范圍是________________．

1．與定義域有關(guān)的幾類問題
第一類是給出函數(shù)的解析式，這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；
第二類是實際問題或幾何問題，此時除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題或幾何問題有意義；
第三類是不給出函數(shù)的解析式，而由f(x)的定義域確定函數(shù)f[g(x)]的定義域或由f[g(x)]的定義域確定函數(shù)f(x)的定義域．
第四類是已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決．
2．解析式的求法
求函數(shù)解析式的一般方法是待定系數(shù)法和換元法，除此還有代入法、拼湊法和方程組法．

(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為()
(1)y1＝x＋3x－5x＋3，y2＝x－5；
(2)y1＝x＋1x－1，y2＝x＋1x－1；
(3)f(x)＝x，g(x)＝x2；
(4)f(x)＝3x4－x3，F(xiàn)(x)＝x3x－1；
(5)f1(x)＝(2x－5)2，f2(x)＝2x－5.
A．(1)(2)B．(2)(3)
C．(4)D．(3)(5)
2．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的公共點數(shù)目是()
A．1B．0
C．0或1D．1或2
3．(2011洛陽模擬)已知f(x)＝x＋2x≤－1，x2－1x2，2xx≥2，若f(x)＝3，則x的值是()
A．1B．1或32
C．1，32或±3D.3
4．(2009江西)函數(shù)y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定義域為()
A．(－4，－1)B．(－4,1)
C．(－1,1)D．(－1,1]
5.（2011臺州模擬）設(shè)f:x→x2是從集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，則A∩B為()
A．B．{1}
C．或{2}D．或{1}
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．下列四個命題：(1)f(x)＝x－2＋1－x有意義；(2)函數(shù)是其定義域到值域的映射；(3)函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線；(4)函數(shù)y＝x2，x≥0，－x2，x0的圖象是拋物線．其中正確的命題個數(shù)是________．
7．設(shè)f(x)＝3x＋1x≥0x2x0，g(x)＝2－x2x≤12x1，
則f[g(3)]＝________，g[f(－12)]＝________.
8．(2010陜西)已知函數(shù)f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，則實數(shù)a＝______.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表達(dá)式；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表達(dá)式；
(3)若函數(shù)f(x)＝xax＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表達(dá)式．

10．(12分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用圖象法表示函數(shù)g(x)＝fx＋|fx|2，并寫出g(x)的解析式．

11．(14分)(2011湛江模擬)某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺)，其總成本為G(x)萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)，銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)＝－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，10.2，x5.假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律：
(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？
(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？

答案自主梳理
1．(1)數(shù)集任意一個數(shù)x都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)定義域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}(2)定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系(3)解析法列表法圖象法(4)對應(yīng)關(guān)系(5)定義域?qū)?yīng)關(guān)系并集并集2.(1)都有唯一一個映射(2)函數(shù)非空
自我檢測
1．B[對于題圖(1)：M中屬于(1,2]的元素，在N中沒有象，不符合定義；
對于題圖(2)：M中屬于(43，2]的元素的象，不屬于集合N，因此它不表示M到N的函數(shù)關(guān)系；對于題圖(3)：符合M到N的函數(shù)關(guān)系；對于題圖(4)：其象不唯一，因此也不表示M到N的函數(shù)關(guān)系．]
2．A3.B4.C
5．解函數(shù)y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，即ax2－ax＋10恒成立．
①當(dāng)a＝0時，10恒成立；
②當(dāng)a≠0時，應(yīng)有a0，Δ＝a2－4a0，
∴0a4.
綜上所述，a的取值范圍為0≤a4.
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)，要檢驗給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只需要檢驗：①定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；②根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量在其定義域中的每一個值，是否都有唯一確定的函數(shù)值．
(2)
解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中沒有對應(yīng)元素，并且(3)中集合P不是數(shù)集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函數(shù)．由題意知，(2)正確．
變式遷移1A[由題意知，方程－x2＋2x＝k無實數(shù)根，即x2－2x＋k＝0無實數(shù)根．∴Δ＝4(1－k)0，∴k1時滿足題意．]
例2解題導(dǎo)引在(2)中函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(0,1)是指x的取值范圍還是2x＋1的取值范圍？f(x)中的x與f(2x＋1)中的2x＋1的取值范圍有什么關(guān)系？
解(1)要使函數(shù)有意義，
應(yīng)有x＋1≥0，x－1≠0，2－x0，2－x≠1，即x≥－1，x≠1，x2，
解得－1≤x2，x≠1.
所以函數(shù)的定義域是{x|－1≤x1或1x2}．
(2)∵f(2x＋1)的定義域為(0,1)，
∴12x＋13，
所以f(x)的定義域是(1,3)．
變式遷移2(－1，－910)∪(－910，2]
解析由0≤x2≤2x＋101＋lgx＋1≠0得－1x≤2且x≠－910.
即定義域為(－1，－910)∪(－910，2]．
例3解題導(dǎo)引函數(shù)解析式的類型與求法
(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法．
(2)已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意變量的取值范圍．
(3)已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如f(－x)、f(1x)等，要根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
解(1)令2x＋1＝t，則x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，
∴f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．
(2)設(shè)f(x)＝ax＋b，(a≠0)
則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＋5a＝17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)2f(x)＋f(1x)＝3x，①
把①中的x換成1x，得
2f(1x)＋f(x)＝3x，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－3x，
∴f(x)＝2x－1x.
變式遷移3解(1)令t＝x＋1，
∴t≥1，x＝(t－1)2.
則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴4a＝4，4a＋2b＝2.∴a＝1，b＝－1.
又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.
例4解題導(dǎo)引①本題可以先確定解析式，然后通過解方程f(x)＝x來確定解的個數(shù)；也可利用數(shù)形結(jié)合，更為簡潔．
②對于分段函數(shù)，一定要明確自變量所屬的范圍，以便于選擇與之相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系．
③分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想，相應(yīng)的問題處理應(yīng)分段解決．
C[方法一若x≤0，則f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴－42＋b－4＋c＝c，－22＋b－2＋c＝－2，
解得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.
當(dāng)x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
當(dāng)x0時，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3個解．
方法二由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的對稱軸是x＝－2，且頂點為(－2，－2)，于是可得到f(x)的簡圖(如圖所示)．方程f(x)＝x的解的個數(shù)就是函數(shù)圖象y＝f(x)與y＝x的圖象的交點的個數(shù)，所以有3個解．]
變式遷移4(－1，2－1)
解析函數(shù)f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0的圖象如圖所示：
f(1－x2)f(2x)1－x22x1－x20，
解得－1x2－1.
課后練習(xí)區(qū)
1．C[(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對應(yīng)關(guān)系不同；(4)定義域相同，且對應(yīng)關(guān)系相同；(5)定義域不同．]
2．C[有可能是沒有交點的，如果有交點，那么對于x＝1僅有一個函數(shù)值．]
3．D[該分段函數(shù)的三段各自的值域為(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±3，而－1x2，∴x＝3.]
4．C
5．D[由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±2，若1∈A，則A∩B＝{1}，若1A，則A∩B＝，
故A∩B＝或{1}．]
6．1
解析(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函數(shù)是特殊的映射；(3)該圖象是由離散的點組成的；(4)該圖象是兩個不同的拋物線的兩部分組成的，不是拋物線．故只有(2)正確．
7．73116
8．2
9．解(1)令t＝x＋1，則x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替換式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，……(6分)
即有2fx－f－x＝x＋12f－x－fx＝－x＋1，
解方程組消去f(－x)，得f(x)＝x3＋1.……………………………………………………(8分)
(3)由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，變形得x(1ax＋b－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，…(10分)
又∵方程有唯一解，
∴1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
∴f(x)＝2xx＋2.……………………………………………………………………………(12分)
10．解函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，
……………………………………(6分)
g(x)＝x2＋2x－3x≤－3或x≥10－3x1…………………………………………………(12分)
11．解依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤函數(shù)為f(x)，則
f(x)＝－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，8.2－x，x5.………………………………………………(4分)
(1)要使工廠贏利，則有f(x)0.
當(dāng)0≤x≤5時，有－0.4x2＋3.2x－2.80，
得1x7，所以1x≤5.………………………………………………………………(8分)
當(dāng)x5時，有8.2－x0，
得x8.2，所以5x8.2.
綜上所述，要使工廠贏利，應(yīng)滿足1x8.2，即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺小于820臺的范圍內(nèi)．……………………………………………………………………………………(10分)
(2)當(dāng)0≤x≤5時，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6.
故當(dāng)x＝4時，f(x)有最大值3.6.…………………………………………………………(12分)
而當(dāng)x5時，f(x)8.2－5＝3.2.
所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最大，x＝4時，每臺產(chǎn)品售價為R44＝2.4(萬元/百臺)＝240(元/臺)．……………………………………………………………………………(14分)

高三數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)：函數(shù)解析式

高三數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)3----函數(shù)解析式
【高考要求】：函數(shù)的有關(guān)概念(B).
【教學(xué)目標(biāo)】：1.理解函數(shù)的三種表示方法（圖象法、列表法、解析法）,會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞唵吻榫持械暮瘮?shù).
2.了解簡單的分段函數(shù)；能寫出簡單情境中的分段函數(shù),并能求出給定自變量所對應(yīng)的函數(shù)值,會畫函數(shù)的圖象（不要求根據(jù)函數(shù)值求自變量的范圍）.
【教學(xué)重難點】：求函數(shù)解析式的方法.
【知識復(fù)習(xí)與自學(xué)質(zhì)疑】
1、已知則____.._____..=.
2、設(shè)則的表達(dá)式為.
3、函數(shù)，則.
4、若，則.
5、設(shè)，則.
6、對記，則的最小值為.
【交流展示與互動探究】
1、已知，求的解析式.

2、設(shè)二次函數(shù)的最小值為4，且求的解析式.

3、如圖，是邊長為2的正三角形，設(shè)直線截這個三角形所得到的位于此直線上方的圖形（陰影部分）的面積為，求的解析式.

【矯正反饋】
1、若則..
2、已知則的解析式為.
3、設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，則=.
4、一次函數(shù)在上的最小值為1，最大值為3，則的解析式為.
5、設(shè)，則的解析式為.
【遷移應(yīng)用】
6、某超市經(jīng)銷某種牙膏，其年銷售額為6000盒，每盒進(jìn)價2.8元，銷售價3.4元，全年分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨均為盒，已知每次運輸勞務(wù)費62.5元，全年的保管費元
（1）把該超市經(jīng)銷牙膏一年的利潤元表示為每次進(jìn)貨是的函數(shù).
（2）為使利潤最大，每次應(yīng)進(jìn)多少盒？

7、已知函數(shù)有兩個實根，求的解析式.

8、已知定義域為R的函數(shù)滿足
（1）若求又若.
（2）設(shè)有且僅有一個實數(shù)求的解析式.

高中數(shù)學(xué)必修一《函數(shù)及其表示》教案

高中數(shù)學(xué)必修一《函數(shù)及其表示》教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型．高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依

賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，高中階段更注重函數(shù)模型化的思想與意識．

2、過程與方法：

（1）通過實例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；

（2）了解構(gòu)成函數(shù)的要素；

（3）會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

（4）能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示函數(shù)的定義域；

3、情感態(tài)度與價值觀，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性和重要性，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性.

2.教學(xué)重點/難點

重點：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)；

難點：符號“y=f(x)”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

函數(shù)及其表示

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1、復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的概念，強調(diào)函數(shù)的模型化思想；

2、閱讀課本引例，體會函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的思想：

（1）炮彈的射高與時間的變化關(guān)系問題；

（2）南極臭氧空洞面積與時間的變化關(guān)系問題；

（3）“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時間的變化關(guān)系問題.

3、分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同點；

4、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合與對應(yīng)的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關(guān)系；

5、根據(jù)初中所學(xué)函數(shù)的概念，判斷各個實例中的兩個變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系．

（二）研探新知

1、函數(shù)的有關(guān)概念

（1）函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function）．

記作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）．

注意：

①“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x．

（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么？

定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

（3）區(qū)間的概念

①區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

②無窮區(qū)間；

③區(qū)間的數(shù)軸表示．

（4）初中學(xué)過哪些函數(shù)？它們的定義域、值域、對應(yīng)法則分別是什么？

通過三個已知的函數(shù)：y=ax+b(a≠0)

y=ax2+bx+c(a≠0)

y=(k≠0)比較描述性定義和集合，與對應(yīng)語言刻畫的定義，談?wù)勼w會.

師：歸納總結(jié)

（三）質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維。

1、如何求函數(shù)的定義域

例1：已知函數(shù)f(x)=+

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）求f（－3），f()的值；

（3）當(dāng)a＞0時，求f（a）,f(a－1)的值.

分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定，如前所述的三個實例.如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合，函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

例2、設(shè)一個矩形周長為80，其中一邊長為x，求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并寫出定義域.

分析：由題意知，另一邊長為x，且邊長x為正數(shù)，所以0＜x＜40.

所以s==（40－x）x（0＜x＜40）

引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：

（1）如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

2）如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.

（3）如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.

（4）如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合.（即求各集合的交集）

（5）滿足實際問題有意義.

鞏固練習(xí)：課本P19第1

2、如何判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)

例3、下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？

分析：

1構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）

2兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

解：

課本P18例2

（四）歸納小結(jié)

①從具體實例引入了函數(shù)的概念，用集合與對應(yīng)的語言描述了函數(shù)的定義及其相關(guān)概念；②初步介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的基本方法，同時引出了區(qū)間的概念.

（五）設(shè)置問題，留下懸念

1、課本P24習(xí)題1．2（A組）第1—7題（B組）第1題

2、舉出生活中函數(shù)的例子（三個以上），并用集合與對應(yīng)的語言來描述函數(shù)，同時說出函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

課堂小結(jié)