高中必修一函數(shù)教案

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)《冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像》知識(shí)點(diǎn)滬教版。

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高一數(shù)學(xué)上冊(cè)《冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像》知識(shí)點(diǎn)滬教版

定義:
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域:
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì):
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù);
排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。
(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。www.lvshijia.net

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高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：冪函數(shù)的性質(zhì)

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：冪函數(shù)的性質(zhì)

定義：
形如y=x^a（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^（p/q）=q次根號(hào)（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x；0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x；0和x；0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)重要知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)重要知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)

冪函數(shù)定義：

形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

高一數(shù)學(xué)《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來(lái)，減輕教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫(xiě)呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“高一數(shù)學(xué)《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

高一數(shù)學(xué)《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

1.反函數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=φ(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)，習(xí)慣表示為y=f-1(x)．注意：函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù)y=f-1(x)的值域和定義域，
例如：f(x)的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)定義域?yàn)閇0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函數(shù)存在的條件
按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素x，都唯一地對(duì)應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個(gè)元素y也有定義域中的唯一的一個(gè)元素x和它相對(duì)應(yīng)，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則y=f(x)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．例如：函數(shù)y=x2,x∈R，定義域中的元素±1，都對(duì)應(yīng)著值域中的同一個(gè)元素1，所以，沒(méi)有反函數(shù)．而y=x2,x≥1表示定義域到值域的一一對(duì)應(yīng)，因而存在反函數(shù)．
3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系
函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱．若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．
4．反函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單命題
（1）一個(gè)奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù)．
（2）一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù)．

定義：
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。
(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0)；a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

1冪函數(shù)解析式的右端是個(gè)冪的形式。冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，可以為任何實(shí)數(shù)；與指數(shù)函數(shù)的形式正好相反。
2冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較復(fù)雜，高考只要求掌握指數(shù)為1、2、3、-1、時(shí)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。
3了解其它冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，主要有：
①當(dāng)自變量為正數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的圖像都在第一象限。指數(shù)為負(fù)數(shù)的冪函數(shù)都是過(guò)點(diǎn)(1，1)的減函數(shù)，以坐標(biāo)軸為漸近線，指數(shù)越小越靠近
x軸。指數(shù)為正數(shù)的冪函數(shù)都是過(guò)原點(diǎn)和(1，1)的增函數(shù)；在x=1的右側(cè)指數(shù)越大越遠(yuǎn)離x軸。
②冪函數(shù)的定義域可以根據(jù)冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對(duì)稱性可以畫(huà)出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對(duì)不會(huì)有圖像。
③定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的冪函數(shù)一定具有奇偶性。當(dāng)指數(shù)是偶數(shù)或分子是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)是偶函數(shù)；否則是奇函數(shù)。
4冪函數(shù)奇偶性的一般規(guī)律：
⑴指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù)。
⑵指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)。
⑶指數(shù)是分母為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，定義域x0或x≥0，沒(méi)有奇偶性。
⑷指數(shù)是分子為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)。
⑸指數(shù)是分子分母為奇數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇數(shù)函數(shù)。

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：冪函數(shù)

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高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：冪函數(shù)

定義：
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。
(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0)；a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。