高中立體幾何教案
發(fā)表時間：2020-11-19高二數(shù)學幾何解析法教案5。
俗話說，凡事預則立，不預則廢。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生更好的消化課堂內容，減輕教師們在教學時的教學壓力。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？小編特地為大家精心收集和整理了“高二數(shù)學幾何解析法教案5”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！
幾何解析法
教學要求：更進一步熟練運用兩點間的距離公式、定比分點的坐標公式、線段的中點坐標公式，掌握用解析法研究幾何問題。
教學重點：解析法的運用。
教學難點：如何抓住幾何特征建系、設點、列式。
教學過程：
一、復習準備：
1.λ＝＝＝；
2.定比分點、中點、重心G
AB
E
F
DC
二、講授新課：
1.教學解析法例題：
①出示例：正方形ABCD中，過頂點D作DE∥CA，|CE|＝|CA|，且CE交邊DA于F，求證：|AE|＝|AF|。
②分析：本題用解析法證明時，如何建立直角坐標系？如何設各點的坐標？
→由幾何特點設A(0,1)、B(1,1)、C(1,0)，E(x，-x)后，如何求F點的坐標？（由所點E、C的坐標及F的x坐標，求出F分的定比，再求F的y坐標）
y
C
ABx
③師生共同寫出證明過程。
④討論：如何用幾何方法證明？
2.練習：
用解析法證明：到三角形三個頂點的距離的平方和最小的點是三角形的重心。
解法：建系設點→列出距離平方和的式子→分拆成兩個二次函數(shù)研究。
3、小結：
解析法步驟（建系設點→列式→求解）；注意抓住幾何特征建系、設點、列式。
三、鞏固練習：
1.已知A(-1,1)、B(2,-1)，求滿足下列條件的點P：
①反向延長到P，使|BP|＝|AB|；
②點P在直線AB上，又在x軸上。
（解法關鍵：計算λ）
2.設P、A、B、C是同一直線上任意四點，求證：PA×BC＋PB×CA＋PC×AB＝0
3.課堂作業(yè)：書P47、1、3題。
相關閱讀
高二數(shù)學數(shù)學歸納法007
俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高二數(shù)學數(shù)學歸納法007”，希望能對您有所幫助，請收藏。
數(shù)學歸納法教學目標
1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．
2.了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟．
3.抽象思維和概括能力進一步得到提高．
教學重點與難點
重點：歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產生過程的分析．
難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解．
教學過程設計
（一）引入
師：從今天開始，我們來學習數(shù)學歸納法．什么是數(shù)學歸納法呢?應該從認識什么是歸納法開始．
（板書課題．數(shù)學歸納法）
（二）什么是歸納法（板書）
師：請看下面幾個問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點．
問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦?
（可準備一袋白球．問題用小黑板或投影幻燈片事先準備好）
生：把它例出來看一看就可以了．
師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做?
生：一個一個拿，拿一個看一個．
師：對．問題的結果是什么呢?
（演示操作過程）
第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．問題2：在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出）
生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）．
師：同學們解決以上兩個問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點嗎?
生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結論的推理方法．
特點是由特殊一般（板書）．
師：很好!其實在中學數(shù)學中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項，求它的一個通項公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列項公式用的也是歸納法，今后的學高考￥資%源~網習還會看到歸納法的運用．
在生活和生產實際中，歸納法也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法．
還應該指出，問題1和問題2運用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個球，全看了，由此而得了結論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然有無數(shù)個，用完全歸納法去推出結論就不可能，它是由前4項體現(xiàn)的規(guī)律，進行推測，得出結論的，這種歸納法稱為不完全歸納法．
（三）歸納法的認識（板書）
歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）．
師；用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3．
問題3：對于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大?。▎栴}由小黑板或投影幻燈片給出）（給學生一定的計算、思考時間）
生：經過計算，我的結論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．
師：你計算了幾個數(shù)得到的結論?
生：4個．
師：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4這4個數(shù)，而得到的結論，是吧?
生：對．
師：有沒有不同意見?
生：我驗了n＝8，這時有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結論不對吧!師：那你的結論是什么呢?
（動員大家思考，糾正）
生：我的結論是：
當n＝1，2，3，4，5時，7n-3＜6（7n+9）；
當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）．
師：由以上的研究過程，我們應該總結什么經驗呢?
首先要仔細地占有準確的材料，不能隨便算幾個數(shù)，就作推測．請把你們計算結果填入下表內：
師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜．要注意對數(shù)據(jù)作出謹慎地分析．由上表可看到，當n依1，2，3，4，…變動時，相應的7n-3的值以后一個是前一個的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認，當n取較大值時，7n-3＞6（7n+9）會成立的．
師：對問題3推測有誤的同學完全不必過于自責，接受教訓就可以了．其實在數(shù)學史上，一些世界級的數(shù)學大師在運用歸納法時，也曾有過失誤．
資料1（事先準備好，由學生閱讀）
費馬（Fermat）是17世紀法國著名數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻．
但是，費馬曾認為，當n∈N+時，+1一定都是質數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．
18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了+1＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費馬的推測．
師：有的同學說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢?今天我們是無法回答的．但是要告訴同學們，失誤的關鍵不在于多算一個上!
再請看數(shù)學史上的另一個資料（仍由學生閱讀）：
資料2
f（n）＝n2+n+41,當n∈N+時，f（n）是否都為質數(shù)?
f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61,
f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131,
f（10）＝151，…f（39）＝1601．
但f（40）＝1681＝412是合數(shù)．
師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行!我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來．
師：歸納法為什么會出錯呢?
生：完全歸納法不會出錯．
師：對!但運用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢?
生：由于用不完全歸納法時，一般結論的得出帶有猜測的成份．
師：完全同意．那么怎么辦呢?
生：應該予以證明．
師：大家同意吧?對于生活、生產中的實際問題，得出的結論的正確性，應接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準．對于數(shù)學問題，應尋求數(shù)學證明．
（四）歸納與證明（板書）
師：怎么證明呢?請結合以下問題1思考．
生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了．
師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明．數(shù)學上稱這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想．
師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢?（稍作醞釀，使學生把注意力更集中起來）
師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學史上也經歷了多年的醞釀．第一個正式研究此課題的是意大利科學家莫羅利科．他運用遞推的思想予以證明．
結合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球．
然后再構造一個命題予以證明．命題的條件是：“設某一次拿出來的是白球”，結論是“下一次拿出來的也是白球”．這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性．
大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢?
生：是．第一次拿出的是白球已確認，反復運用上述構造的命題，可得第二次、第三次、第四次、……拿出的都是白球．
師：對．它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想得到了證明．生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎?
生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排．
生：再例如多米諾骨牌游戲．
（有條件可放一段此種游戲的錄相）
師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：
（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；
（2）第一張牌被推倒．
用這種思想設計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學歸納法．
（五）數(shù)學歸納法（板書）
師：用數(shù)學歸納法證明以上推測問題而得的命題，應該證明什么呢?
生：先證n＝1時，公式成立（第一步）；
再證明：若對某個自然數(shù)（n＝k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n＝k+1）公式也成立（第二步）．
師：這兩步的證明自己會進行嗎?請先證明第一步．
生：當n＝1時，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此時公式成立．
（應追問各步計算推理的依據(jù)）
師：再證明第二步．先明確要證明什么?
生：設n＝k時，公式成立，即ak＝．以此為條件來證明n＝k+1時，公式也成立，即ak+1＝也成立．
師：應注意，這里是證明遞推關系成立，證明ak+1＝成立時，必須用到ak＝這個條件生：依已知條件，ak+1＝．
師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學歸納法進行的證明的基本要求．
師：請小結一下用數(shù)學歸納法作證明應有的基本步驟．
生：共兩步（學生說，教師板書）：
（1）n＝1時，命題成立；
（2）設n＝k時命題成立，則當n＝k+1時，命題也成立．
師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）．第一步應證明n＝6時，不等式成立．
（若有時間還可討論此不等關系證明的第二步，若無時間可布置學生課下思考）
（六）小結
師：把本節(jié)課內容歸納一下：
（1）本節(jié)的中心內容是歸納法和數(shù)學歸納法．
（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種．
（3）由于不完全歸納法中推測所得結論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學歸納法進行．
（4）數(shù)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步．
數(shù)學歸納法在數(shù)學中有廣泛的應用，將從下節(jié)課開始學習．
（七）課外作業(yè)
（1）閱讀課本
（2）書面作業(yè)課堂教學設計說明
1.數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢?于是教師反復舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n＝k時命題成立呢?教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數(shù)學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數(shù)學歸納法產生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機．
數(shù)學歸納法產生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結束．
把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學歸納法的實質帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內容中的數(shù)學思想的一種嘗試．
2.在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當?shù)膯栴}，把課題的研究內容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究．3.理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n＝k+1命題成立時必須用到n＝k時命題成立這個條件．
例如用數(shù)學歸納法證明：（n∈N+）時，其中第二步采用下面證法：
設n＝k時，等式成立，即，則當n＝k+1時，
，
即n＝k+1時等式也成立．
這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n＝k，n＝k+1時命題到底成立不成立，而是n＝k時命題成立作為條件能否保證n＝k+1時命題成立這個結論正確，即要求的這種邏輯關系是否成立．證明的主要部分應改為
以下理解不僅是正確認識數(shù)學歸納法的需要，也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維方向
高三數(shù)學解析幾何綜合問題
高考數(shù)學專題復習解析幾何綜合問題
一．高考要求
解析幾何歷來是高考的重要內容之一，所占分值在30分以上，大題小題同時有，除了本身知識的綜合，還會與其它知識如向量、函數(shù)、不等式等知識構成綜合題，多年高考壓軸題是解析幾何題．
二．兩點解讀
重點：①運用方程（組）求圓錐曲線的基本量；②運用函數(shù)、不等式研究圓錐曲線有關量的范圍；③運用“計算”的方法證明圓錐曲線的有關性質．
難點：①對稱性問題；②解析幾何中的開放題、探索題、證明題；③數(shù)學思想的運用．
三．課前訓練
1．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值（D）
（A）（B）（C）（D）
2．已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是(C)
（A）（B）6（C）（D）12
3．橢圓的內接矩形的面積最大值為
4．兩點，動點P在線段AB上運動，則xy的最大值為3
四．典型例題
例1和圓關于直線對稱的圓的方程是（）(A)(B)
(C)(D)
解：只要求圓心關于直線的對稱點的坐標為，半徑不變，故選A
例2橢圓的一個焦點是，那么
解：橢圓化為，解得：
例3直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（）
（A）（B）（C）（D）
解：由得，，
，中點
，選B
例4設直線關于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使的面積為1的點P的個數(shù)為()
（A）1(B)2(C)3(D)4
解：直線為，觀察圖形可知在直線右側不可能存在點，在左側有兩個點，故選B
例5已知三點P（5，2）、（-6，0）、（6，0）
（Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程．
解：（I）由題意，可設所求橢圓的標準方程為+，其半焦距
，∴，
，故所求橢圓的標準方程為+；
（II）點P（5，2）、（-6，0）、（6，0）關于直線y＝x的對稱點分別為：
、（0，-6）、（0，6）
設所求雙曲線的標準方程為-，由題意知半焦距，
，∴，
，故所求雙曲線的標準方程為
例6如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若點P在直線上運動，求∠F1PF2的最大值．
解：解：(Ⅰ)設橢圓方程為，半焦距為，則
高二數(shù)學數(shù)學歸納法的應用008
一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助教師能夠井然有序的進行教學。寫好一份優(yōu)質的教案要怎么做呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學數(shù)學歸納法的應用008”僅供您在工作和學習中參考。
7.5數(shù)學歸納法的應用一、教學內容分析
1．本小節(jié)的重點是用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.教學時應對書寫與表達提出嚴格的要求.尤其是在證明數(shù)或式的整除性時，更要注意說理清楚，并以此作為培養(yǎng)學生邏輯推理能力的一個抓手.
2．本小節(jié)的難點是用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除性.突破難點的關鍵是在授課時要重點分析“補項法”的證明思路：通過補項為運用歸納假設創(chuàng)造條件.不要讓學生單純機械地模仿.另外還常用作差方法，通過相減后，證明差能被某數(shù)（或某式）整除,再利用歸納假設可得當n=k+1時命題成立.
二、教學目標設計
1．會用數(shù)學歸納法證明等式；
2．會用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除；
3．進一步掌握數(shù)學歸納法的證明步驟與數(shù)學歸納法的實質.
三、教學重點及難點：
用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.
四、教學流程設計
五、教學過程設計
1．復習回顧：
用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，是缺一不可的.如果只完成步驟（i）而缺少步驟（ii）不能說明命題對從n0開始的一切正整數(shù)n都成立.
如+1，當n=0、1、2、3、4時都是素數(shù)，而n=5時，+1=641×6700417不是素數(shù).
同樣只有步驟（ii）而缺少步驟（i），步驟（ii）的歸納假設就沒有根據(jù)，遞推就沒有基礎，就可能得出不正確的結論.
如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a為任何數(shù)）
2．講授新課:
用數(shù)學歸納證明等式
例1:用數(shù)學歸納法證明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2
例2：用數(shù)學歸納法證明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）.
[說明]上述兩例師生共同討論完成.完成兩例討論后向學生指出：
(1)由于證明當n=k+1等式成立時，需證明的￥資%源~網結論形式是已知的，只要將原等式中的n換成k+1即得，因此學生在證明過程中，證明步驟必須完整，不能跳步驟；（2）有些等式證明題在證明當n=k+1正確時，需用恒等變形，技巧較高，對基礎較差的學生來說完成很困難，這時可通過左、右邊的多項式乘法來完成.
如求證：…（nN*）.
證明：
（1）當n=1時，左邊=1，右邊=×1×（4-1）=1等式成立.
（2）假設當n=k（kN*）時等式成立，即,
則n=k+1時，
又
即等式成立.
由（1）（2）知，等式對任何nN*都成立.
(3)用數(shù)學歸納法證明恒等式成立時，在逆推過程中應注意等式左右的項數(shù)的變化.由當n=k到n=k+1時項數(shù)的增加量可能多于一項，各項也因n的變化而變化,因此要根據(jù)等式的特點仔細分析項數(shù)及各項的變化情況.
例如：求證：
（*）.
例3（補充）在1與9之間插入2n-1個正數(shù)數(shù)，使1，，9成等比數(shù)列，在1與9之間又插入2n-1個正數(shù)，使1，，9成等差數(shù)列.設，,
（1）求、
（2）設，是否存在最大自然數(shù)m，使對于nN*都有被m整除，試說明理由.
解：（1）
（2）
當n=1時，=64
當n=2時，=320=5×64
當n=3時，=36×64
由此猜想：最大自然數(shù)m=64
用數(shù)學歸納法證明上述猜想：
1.當n=1時，猜想顯然成立;
2.假設當n=k（kN*）時成立，即能被64整除，
則當n=k+1時，
由歸納假設知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除.
由1、2知，能被64整除（nN*）.
又因為，所以存在最大自然數(shù)64，使能被64整除（nN*）.
[說明]本例是較難的數(shù)列與數(shù)學歸納法的綜合題.在第（1）小題的解題過程中充分利用了等差、等比數(shù)列的性質，起到了對等差、等比數(shù)列知識的復習作用.本例也可以先將等差、等比數(shù)列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可讓學生完成），同時本例的第（2）小題既復習了用數(shù)學歸納法證明數(shù)式的整除性，又為進一步掌握歸納—猜測—論證的問題提供了保證，是否選用本題教師可根據(jù)學校學生的實際數(shù)學學習水平決定.
3.鞏固練習:
練習7.6(2)1,2,3
4．課后習題：
習題7.5A組習題7.5B組
5.課堂小結:
（1）本節(jié)中心內容是數(shù)學歸納法的應用，數(shù)學歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關的命題；
（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明;歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結論的推理方法，它屬于歸納推理.而數(shù)學歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是！
(3)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結；數(shù)學歸納法證題的步驟：
①驗證P()成立.
②假設P(k)成立(k∈N*且k≥)，推證P(k+1)成立.
數(shù)學歸納法的核心，是在驗證P()正確的基礎上，證明P(n)的正確具有遞推性(n≥).第一步是遞推的基礎或起點，第二步是遞推的依據(jù).因此，兩步缺一不可，證明中，恰當?shù)剡\用歸納假設是關鍵.
(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想從這節(jié)課的學習中你有何感想？你能否體會到數(shù)學歸納法的魅力？
六．教學設計說明
1．數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數(shù)學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數(shù)學歸納法產生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機．
數(shù)學歸納法產生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結束．
把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學歸納法的實質帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內容中的數(shù)學思想的一種嘗試．
2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當?shù)膯栴}，把課題的研究內容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究．
3．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件．
即n=k+1時等式也成立．
這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n=k，n=k+1時命題到底成立不成立，而是n=k時命題成立作為條件能否保證n=k+1時命題成立這個結論正確，即要求的這種邏輯關系是否成立．證明的主要部分應改為
以上理解不僅是正確認識數(shù)學歸納法的需要，也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維方向．
高二數(shù)學《導數(shù)的幾何意義》學案
高二數(shù)學《導數(shù)的幾何意義》學案
教學目標
知識與技能目標：
本節(jié)的中心任務是研究導數(shù)的幾何意義及其應用，概念的形成分為三個層次：
(1)通過復習舊知“求導數(shù)的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關系”，解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導數(shù)的幾何意義可以依據(jù)導數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑。
(2)從圓中割線和切線的變化聯(lián)系，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。
(3)依據(jù)割線與切線的變化聯(lián)系，數(shù)形結合探究函數(shù)導數(shù)的幾何意義教案在導數(shù)的幾何意義教案處的導數(shù)導數(shù)的幾何意義教案的幾何意義，使學生認識到導數(shù)導數(shù)的幾何意義教案就是函數(shù)導數(shù)的幾何意義教案的圖象在導數(shù)的幾何意義教案處的切線的斜率。即：
導數(shù)的幾何意義教案＝曲線在導數(shù)的幾何意義教案處切線的斜率k
在此基礎上，通過例題和練習使學生學會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，加深對導數(shù)內涵的理解。在學習過程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數(shù)學思想方法。
過程與方法目標：
(1)學生通過觀察感知、動手探究，培養(yǎng)學生的動手和感知發(fā)現(xiàn)的能力。
(2)學生通過對圓的切線和割線聯(lián)系的認識，再類比探索一般曲線的情況，完善對切線的認知，感受逼近的思想，體會相切是種局部性質的本質，有助于數(shù)學思維能力的提高。
(3)結合分層的探究問題和分層練習，期望各種層次的學生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面，獨立解決問題和發(fā)現(xiàn)新知、應用新知。
情感、態(tài)度、價值觀：
(1)通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想，使學生了解近似與精確間的辨證關系；通過有限來認識無限，體驗數(shù)學中轉化思想的意義和價值；
(2)在教學中向他們提供充分的從事數(shù)學活動的機會，如：探究活動，讓學生自主探究新知，例題則采用練在講之前，講在關鍵處。在活動中激發(fā)學生的學習潛能，促進他們真正理解和掌握基本的數(shù)學知識技能、數(shù)學思想方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗，提高綜合能力，學會學習，進一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面得到良好的發(fā)展。
教學重點與難點
重點：理解和掌握切線的新定義、導數(shù)的幾何意義及應用于解決實際問題，體會數(shù)形結合、以直代曲的思想方法。
難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應用導數(shù)的幾何意義。
教學過程
一、復習提問
1．導數(shù)的定義是什么？求導數(shù)的三個步驟是什么？求函數(shù)y＝x2在x＝2處的導數(shù)．
定義：函數(shù)在導數(shù)的幾何意義教案處的導數(shù)導數(shù)的幾何意義教案就是函數(shù)在該點處的瞬時變化率。
求導數(shù)的步驟：
第一步：求平均變化率導數(shù)的幾何意義教案；
第二步：求瞬時變化率導數(shù)的幾何意義教案.
（即導數(shù)的幾何意義教案，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點導數(shù)）
2.觀察函數(shù)導數(shù)的幾何意義教案的圖象，平均變化率導數(shù)的幾何意義教案在圖形中表示什么？
生：平均變化率表示的是割線PQ的斜率.導數(shù)的幾何意義教案
師：這就是平均變化率(導數(shù)的幾何意義教案)的幾何意義，
3．瞬時變化率(導數(shù)的幾何意義教案)在圖中又表示什么呢？
如圖2－1，設曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象，點P(x0，y0)是曲線C上一點．點Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲線C上與點P鄰近的任一點，作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線．
導數(shù)的幾何意義教案
追問：怎樣確定曲線C在點P的切線呢？因為P是給定的，根據(jù)平面解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了．設割線PQ的傾斜角為導數(shù)的幾何意義教案，切線PT的傾斜角為導數(shù)的幾何意義教案，易知割線PQ的斜率為導數(shù)的幾何意義教案。既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線，所以割線PQ斜率的極限就是切線PT的斜率導數(shù)的幾何意義教案，即導數(shù)的幾何意義教案。
由導數(shù)的定義知導數(shù)的幾何意義教案導數(shù)的幾何意義教案。
導數(shù)的幾何意義教案
由上式可知：曲線f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率就是y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)．今天我們就來探究導數(shù)的幾何意義。
Ｃ類學生回答第1題，Ａ，Ｂ類學生回答第２題在學生回答基礎上教師重點講評第3題，然后逐步引入導數(shù)的幾何意義．
二、新課
1、導數(shù)的幾何意義：
函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率．
即：導數(shù)的幾何意義教案
口答練習：
（1）如果函數(shù)y＝f(x)在已知點x0處的導數(shù)分別為下列情況f(x0)=1，f(x0)=1，f(x0)=-1，f(x0)=2.試求函數(shù)圖像在對應點的切線的傾斜角，并說明切線各有什么特征。
（Ｃ層學生做）
(2)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象(如圖2－2)，分別為以下三種情況的直線，通過觀察確定函數(shù)在各點的導數(shù)．（Ａ、Ｂ層學生做）
導數(shù)的幾何意義教案
2、如何用導數(shù)研究函數(shù)的增減？
小結：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數(shù)在該點處的瞬時變化率，也就是導數(shù)。導數(shù)的正負即對應函數(shù)的增減。作出該點處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負即導數(shù)的正負，就可以判斷函數(shù)的增減性，體會導數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。
同時，結合以直代曲的思想，在某點附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數(shù)的增減性。都反應了導數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。
例1函數(shù)導數(shù)的幾何意義教案上有一點導數(shù)的幾何意義教案，求該點處的導數(shù)導數(shù)的幾何意義教案，并由此解釋函數(shù)的增減情況。
導數(shù)的幾何意義教案
函數(shù)在定義域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數(shù)在定義域內單調遞增。(此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)
3、利用導數(shù)求曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程．
例2求曲線y＝x2在點M(2，4)處的切線方程．
解：導數(shù)的幾何意義教案
∴y|x=2=2×2=4．
∴點M(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4=0．
由上例可歸納出求切線方程的兩個步驟：
(1)先求出函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)．
(2)根據(jù)直線方程的點斜式，得切線方程為y－y0=f(x0)(x－x0)．
提問：若在點(x0，f(x0))處切線ＰＴ的傾斜角為導數(shù)的幾何意義教案導數(shù)的幾何意義教案，求切線方程。（因為這時切線平行于ｙ軸，而導數(shù)不存在，不能用上面方法求切線方程。根據(jù)切線定義可直接得切線方程導數(shù)的幾何意義教案）
(先由Ｃ類學生來回答，再由Ａ，Ｂ補充．)
例3已知曲線導數(shù)的幾何意義教案上一點導數(shù)的幾何意義教案，求：（１）過Ｐ點的切線的斜率；
（２）過Ｐ點的切線的方程。
解：（1）導數(shù)的幾何意義教案，
導數(shù)的幾何意義教案
y|x=2=22=4．∴在點P處的切線的斜率等于4．
（２）在點Ｐ處的切線方程為導數(shù)的幾何意義教案即12x－3y－16＝0．
練習：求拋物線y＝x2＋2在點M(2，6)處的切線方程．
(答案：y＝2x，y|x=2＝4切線方程為4x－y－2=0)．
B類學生做題，A類學生糾錯。
三、小結
1．導數(shù)的幾何意義．（C組學生回答）
2．利用導數(shù)求曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程的步驟．
（B組學生回答）
四、布置作業(yè)
1．求拋物線導數(shù)的幾何意義教案在點（1,1）處的切線方程。
2．求拋物線y=4x－x2在點A(4，0)和點B(2，4)處的切線的斜率，切線的方程．
3.求曲線y＝2x－x3在點(－1，－1)處的切線的傾斜角
*4．已知拋物線y=x2－4及直線y＝x＋2，求：（1）直線與拋物線交點的坐標；(2)拋物線在交點處的切線方程；
（C組學生完成1,2題；B組學生完成1,2,3題；A組學生完成2,3，4題）
教學反思：
本節(jié)內容是在學習了“變化率問題、導數(shù)的概念”等知識的基礎上，研究導數(shù)的幾何意義,由于新教材未設計極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學生通過動手作圖,自我感受整個逼近的過程，讓學生更加深刻地體會導數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。
本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義”和“利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開。先回憶導數(shù)的實際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率——瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數(shù)形結合的角度思考，獲得導數(shù)的幾何意義——“導數(shù)是曲線上某點處切線的斜率”。
完成本節(jié)課第一階段的內容學習后，教師點明，利用導數(shù)的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數(shù)與切線斜率的關系，并感受導數(shù)應用的廣泛性。本節(jié)課注重以學生為主體,每一個知識、每一個發(fā)現(xiàn)，總設法由學生自己得出，課堂上給予學生充足的思考時間和空間，讓學生在動手操作、動筆演算等活動后，再組織討論，本教師只是在關鍵處加以引導。從學生的作業(yè)看來，效果較好。
