小學(xué)數(shù)學(xué)的教案
發(fā)表時(shí)間：2020-11-12高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用008。
一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用008”僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。
7.5數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用一、教學(xué)內(nèi)容分析
1．本小節(jié)的重點(diǎn)是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.教學(xué)時(shí)應(yīng)對(duì)書寫與表達(dá)提出嚴(yán)格的要求.尤其是在證明數(shù)或式的整除性時(shí)，更要注意說理清楚，并以此作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的一個(gè)抓手.
2．本小節(jié)的難點(diǎn)是用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除性.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是在授課時(shí)要重點(diǎn)分析“補(bǔ)項(xiàng)法”的證明思路：通過補(bǔ)項(xiàng)為運(yùn)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件.不要讓學(xué)生單純機(jī)械地模仿.另外還常用作差方法，通過相減后，證明差能被某數(shù)（或某式）整除,再利用歸納假設(shè)可得當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
1．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式；
2．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除；
3．進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟與數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì).
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.
四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1．復(fù)習(xí)回顧：
用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，是缺一不可的.如果只完成步驟（i）而缺少步驟（ii）不能說明命題對(duì)從n0開始的一切正整數(shù)n都成立.
如+1，當(dāng)n=0、1、2、3、4時(shí)都是素?cái)?shù)，而n=5時(shí)，+1=641×6700417不是素?cái)?shù).
同樣只有步驟（ii）而缺少步驟（i），步驟（ii）的歸納假設(shè)就沒有根據(jù)，遞推就沒有基礎(chǔ)，就可能得出不正確的結(jié)論.
如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a為任何數(shù)）
2．講授新課:
用數(shù)學(xué)歸納證明等式
例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2
例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）.
[說明]上述兩例師生共同討論完成.完成兩例討論后向?qū)W生指出：
(1)由于證明當(dāng)n=k+1等式成立時(shí)，需證明的￥資%源~網(wǎng)結(jié)論形式是已知的，只要將原等式中的n換成k+1即得，因此學(xué)生在證明過程中，證明步驟必須完整，不能跳步驟；（2）有些等式證明題在證明當(dāng)n=k+1正確時(shí)，需用恒等變形，技巧較高，對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說完成很困難，這時(shí)可通過左、右邊的多項(xiàng)式乘法來完成.
如求證：…（nN*）.
證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=×1×（4-1）=1等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（kN*）時(shí)等式成立，即,
則n=k+1時(shí)，
又
即等式成立.
由（1）（2）知，等式對(duì)任何nN*都成立.
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式成立時(shí)，在逆推過程中應(yīng)注意等式左右的項(xiàng)數(shù)的變化.由當(dāng)n=k到n=k+1時(shí)項(xiàng)數(shù)的增加量可能多于一項(xiàng)，各項(xiàng)也因n的變化而變化,因此要根據(jù)等式的特點(diǎn)仔細(xì)分析項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)的變化情況.
例如：求證：
（*）.
例3（補(bǔ)充）在1與9之間插入2n-1個(gè)正數(shù)數(shù)，使1，，9成等比數(shù)列，在1與9之間又插入2n-1個(gè)正數(shù)，使1，，9成等差數(shù)列.設(shè)，,
（1）求、
（2）設(shè)，是否存在最大自然數(shù)m，使對(duì)于nN*都有被m整除，試說明理由.
解：（1）
（2）
當(dāng)n=1時(shí)，=64
當(dāng)n=2時(shí)，=320=5×64
當(dāng)n=3時(shí)，=36×64
由此猜想：最大自然數(shù)m=64
用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想：
1.當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立;
2.假設(shè)當(dāng)n=k（kN*）時(shí)成立，即能被64整除，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
由歸納假設(shè)知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除.
由1、2知，能被64整除（nN*）.
又因?yàn)椋源嬖谧畲笞匀粩?shù)64，使能被64整除（nN*）.
[說明]本例是較難的數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的綜合題.在第（1）小題的解題過程中充分利用了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，起到了對(duì)等差、等比數(shù)列知識(shí)的復(fù)習(xí)作用.本例也可以先將等差、等比數(shù)列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可讓學(xué)生完成），同時(shí)本例的第（2）小題既復(fù)習(xí)了用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)式的整除性，又為進(jìn)一步掌握歸納—猜測(cè)—論證的問題提供了保證，是否選用本題教師可根據(jù)學(xué)校學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平?jīng)Q定.
3.鞏固練習(xí):
練習(xí)7.6(2)1,2,3
4．課后習(xí)題：
習(xí)題7.5A組習(xí)題7.5B組
5.課堂小結(jié):
（1）本節(jié)中心內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關(guān)的命題；
（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明;歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結(jié)論的推理方法，它屬于歸納推理.而數(shù)學(xué)歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是！
(3)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結(jié)；數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：
①驗(yàn)證P()成立.
②假設(shè)P(k)成立(k∈N*且k≥)，推證P(k+1)成立.
數(shù)學(xué)歸納法的核心，是在驗(yàn)證P()正確的基礎(chǔ)上，證明P(n)的正確具有遞推性(n≥).第一步是遞推的基礎(chǔ)或起點(diǎn)，第二步是遞推的依據(jù).因此，兩步缺一不可，證明中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是關(guān)鍵.
(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想從這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你有何感想？你能否體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法的魅力？
六．教學(xué)設(shè)計(jì)說明
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題，等等．為此，我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．
數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開始，到對(duì)不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束．
把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試．
2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究?jī)?nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究．
3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件．
即n=k+1時(shí)等式也成立．
這是不正確的．因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為
以上理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向．
相關(guān)知識(shí)
數(shù)學(xué)歸納法
每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計(jì)劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會(huì)寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“數(shù)學(xué)歸納法”，相信能對(duì)大家有所幫助。
1.4數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境，啟動(dòng)思維
情境一、財(cái)主兒子學(xué)寫字的笑話、“小明弟兄三個(gè)，大哥叫大毛……”的腦筋急轉(zhuǎn)彎等；
教師總結(jié)：財(cái)主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么？以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法，這就是今天的課題.人們通常也會(huì)用歸納法思考問題，小孩也會(huì)由此總結(jié)出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.
情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”
1、這里有一袋球共12個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問怎么判斷？
啟發(fā)回答:
方法一：把它全部倒出來看一看．特點(diǎn)：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．
方法二：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)．
比如結(jié)果為：第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，……，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點(diǎn)：有順序，有過程．
2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無(wú)限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？
情境三:回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程：
設(shè)計(jì)意圖：首先設(shè)計(jì)情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進(jìn)入正題.再通過情境二的交流激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．情境三點(diǎn)出兩種歸納法的不同特點(diǎn).通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆.
二、師生互動(dòng)，探究問題
承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法？歸納法特點(diǎn)是什么？上述歸納法有什么不同呢？
學(xué)生回答以上問題，得出結(jié)論：
1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點(diǎn)：由特殊→一般；
2.完全歸納法:把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；
3.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法.
在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法有著廣泛的應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，地震預(yù)測(cè)用的就是歸納法．
4.引導(dǎo)學(xué)生舉例：
⑴不完全歸納法實(shí)例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立體圖形的歐拉公式:(V為頂點(diǎn)數(shù),E為棱數(shù),F為面數(shù))
⑵完全歸納法實(shí)例：如證明圓周角定理時(shí)，分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況討論．
設(shè)計(jì)意圖：從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，并在這里我安排學(xué)生舉完全歸納法的實(shí)例和不完全歸納法實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納法，并引導(dǎo)學(xué)生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中.
三、借助史料,引申思辨
問題1：已知＝（n∈N），
(1)分別求；；；．
(2)由⑴你會(huì)有怎樣的一個(gè)猜想？這個(gè)猜想正確嗎？
問題2：費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)．他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立．
教師總結(jié):有人說，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無(wú)法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)數(shù)上！
問題3：,當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？
驗(yàn)證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝，是合數(shù)．
承上啟下：這里算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還是不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來,尋求數(shù)學(xué)證明.
教師設(shè)問：,不完全歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)？如何彌補(bǔ)不足？怎么給出證明呢？
設(shè)計(jì)意圖：在生活引例與已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大師都有可能如此．那么，不完全歸納法價(jià)值體現(xiàn)在哪里？不足之處如何去彌補(bǔ)呢？結(jié)論正確性怎樣給出證明？學(xué)生一定會(huì)帶著許多問題進(jìn)入下一階段探究.
四、實(shí)例再現(xiàn)，激發(fā)興趣
1、演示多米諾骨牌游戲視頻.
師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：
⑴第一塊要倒下;
⑵當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下;
當(dāng)滿足這兩個(gè)條件后，多米諾骨牌全部都倒下.
再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊(duì)對(duì)齊等．
2、學(xué)生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）.
設(shè)計(jì)意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．另外，這個(gè)環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、類比概括能力方面實(shí)踐的不夠好．應(yīng)該讓學(xué)生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說出數(shù)學(xué)歸納法原理，教師給予肯定和補(bǔ)充即可。事實(shí)上，情境的設(shè)計(jì)都是為學(xué)生更好的知識(shí)遷移而服務(wù)的。概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，突破口就是學(xué)生的概括過程．
五、類比聯(lián)想，形成概念
1、類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式(師生共同完成,教師強(qiáng)調(diào)步驟及注意點(diǎn))
(1)當(dāng)n＝1時(shí)等式成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立,即,
則=,即n＝k＋1時(shí)等式也成立．
于是,我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)任何n∈都成立．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理(學(xué)生表述,教師補(bǔ)正)：
（1）（遞推奠基）：n取第一個(gè)值(例如)時(shí)命題成立；
（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）
利用它證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.（歸納證明）
由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
3、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無(wú)窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）
設(shè)計(jì)意圖：至此，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過程.教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點(diǎn).數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無(wú)窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法.
六、討論交流，深化認(rèn)識(shí)
例1、數(shù)列中,＝1,(n∈),通項(xiàng)公式是什么？你是怎么得到的？
探討一：觀察數(shù)列特點(diǎn)，變形解出.
探討二：先計(jì)算，，的值，再推測(cè)通項(xiàng)的公式,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．
設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題使學(xué)生探究嘗試，一方面體驗(yàn)“觀察—?dú)w納—猜想—證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能使他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力．不同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.
七、反饋練習(xí),鞏固提高
（請(qǐng)兩位同學(xué)板演以下兩題，教師指正）
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
2、首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，下列推證是否正確，說出理由？
證明：假設(shè)時(shí)，等式成立
就是成立
那么
=
這就是說當(dāng)時(shí)等式成立，
所以時(shí)等式成立.
4、判斷下列推證是否正確，若是不對(duì)，如何改正.
求證：
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝，等式成立.
②設(shè)n=k時(shí)，有
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有
，即n=k+1時(shí)，命題成立
根據(jù)①②可知，對(duì)n∈N＊，等式成立.
設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)，對(duì)例題是一個(gè)很好的對(duì)比與補(bǔ)充．通過3，4的易錯(cuò)辨析，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.
八、總結(jié)歸納，加深理解
1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；
2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；
3、數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；
4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證思想．
九、布置作業(yè),課外延伸
十、書面作業(yè)：見教材P56
課后思考題：
1.是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：
對(duì)一切自然數(shù)n都成立并證明你的結(jié)論.
2.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1
對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論（a=3,b=11,c=10）
設(shè)計(jì)意圖:思考題則起著承上啟下的作用,它既是“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的完整思維探究過程的再體驗(yàn)，也是對(duì)下節(jié)課內(nèi)容的鋪墊與伏筆．
高二上冊(cè)數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)
一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道教案要怎么寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《高二上冊(cè)數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)》，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！
高二上冊(cè)數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)
教材分析：
“數(shù)學(xué)歸納法”既是高中數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)方法。它貫通了高中數(shù)學(xué)的幾大知識(shí)點(diǎn)：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)……在教學(xué)過程中，教師應(yīng)著力解決的內(nèi)容是：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用）。只有真正了解了數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握了證題步驟，學(xué)生才能信之不疑，才能用它靈活證明相關(guān)問題。本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，有兩大難點(diǎn)：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中歸納假設(shè)的利用。不突破以上難點(diǎn)，學(xué)生往往會(huì)懷疑數(shù)學(xué)歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會(huì)對(duì)以后的學(xué)習(xí)造成極大的阻礙。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際水平，本節(jié)課采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”和“講練結(jié)合法”。通過課件的動(dòng)畫模擬展示，引發(fā)和開啟學(xué)生的探究熱情，通過“師生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深層實(shí)質(zhì)。
教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)和技能目標(biāo)
(1)了解數(shù)學(xué)推理的常用方法（歸納法）
(2)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及使用范圍。
(3)初步掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論。
(4)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的等式問題。
2、過程與方法目標(biāo)
通過多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)加深對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的原理的理解，使學(xué)生理解理論與實(shí)際的辨證關(guān)系。在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)，解決問題和數(shù)學(xué)交流的能力,學(xué)會(huì)用總結(jié)、歸納、演繹類比探求新知識(shí)。
3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)
通過對(duì)問題的探究活動(dòng)，親歷知識(shí)的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想；體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)他們手腦并用，多思勤練的好習(xí)慣和勇于探索的治學(xué)精神。初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：（1）使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)。
（2）掌握數(shù)學(xué)歸納法證題步驟,尤其是遞推步驟中歸納假設(shè)和恒等變換的運(yùn)用。
教學(xué)難點(diǎn)：
（1）數(shù)學(xué)歸納法的原理；
教學(xué)方法：講授法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、類比探究法、講練結(jié)合法
教學(xué)過程：
（一）:
如何通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？
（二）新課講解
1、多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)
要使所有的多米諾骨牌一一倒下？需要幾個(gè)步驟才能做到？
（1）第一張牌被推倒（奠基作用）
（2）任意一張牌倒下必須保證它的下一張牌倒下（遞推作用）
于是可以獲得結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)全部倒下。
2、類比總結(jié)（板書）
板書例1
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法步驟：
第二步的證明沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法
注意：遞推基礎(chǔ)不可少，
歸納假設(shè)要用到，
結(jié)論寫明莫忘掉。
用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：
①明確首取值n0并驗(yàn)證真假。（必不可少）
②“假設(shè)n=k時(shí)命題正確”并寫出命題形式。
③分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)
命題形式的差別。弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。
④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因
式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)。
課堂練習(xí)
①用數(shù)學(xué)歸納法證明：在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是（C）
A．1B.C．D.
②用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，假設(shè)那么
③課本37頁(yè)練習(xí)1,2,3
（三）、課堂小結(jié)
1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？
一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題
2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？
兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可
3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？
關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確
4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？
遞推思想，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無(wú)限”的問題
注意類比思想的運(yùn)用
（四）、作業(yè):39頁(yè)習(xí)題2-3A組1,2,3
（五）、板書設(shè)計(jì):
數(shù)學(xué)歸納法（一）例1：……學(xué)生板演
數(shù)學(xué)歸納法：證明：…………
1.…………
2.……
…………
歸納法
俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？小編收集并整理了“歸納法”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。
普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)選修2-2[人教版B]
2.3.1數(shù)學(xué)歸納法
教學(xué)目標(biāo)：
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。
教學(xué)重點(diǎn)：
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)：推理與證明方法
二、引入新課
1、數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法
2、數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N*)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立.
3、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：
(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.
由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確
4、例子
例1
用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n－1)d對(duì)一切n∈N*都成立.
例2用數(shù)學(xué)歸納法證明
例3判斷下列推證是否正確，若是不對(duì)，如何改正.
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝，等式成立
②設(shè)n=k時(shí)，有
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有
即n=k+1時(shí)，命題成立
根據(jù)①②問可知，對(duì)n∈N＊，等式成立
課堂練習(xí)：第80頁(yè)練習(xí)
課后作業(yè)：第82頁(yè)A:1,2,3
高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案練習(xí)題
§2.3數(shù)學(xué)歸納法（1）
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.數(shù)學(xué)歸納法原理：
2.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步驗(yàn)證初始值可稱為“初始步”，第二步運(yùn)用歸納假設(shè)可稱為“遞推步”，這兩個(gè)步驟缺一不可。
二、典型例題
例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項(xiàng)，為公差，則通項(xiàng)公式為.
例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；
例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.
三、鞏固練習(xí)
1.什么是數(shù)學(xué)歸納法？在用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，為什么步驟⑴和步驟⑵兩者缺一不可？
分析下列各題（2～3）用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的錯(cuò)誤：
2.設(shè)，求證：.
證明：假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即
那么，當(dāng)時(shí)，有
因此，對(duì)于任何等式都成立.
3.設(shè)，求證：.
證明：⑴當(dāng)時(shí)，，不等式顯然成立.
⑵假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，有
.
這就是說，當(dāng)時(shí)不等式也成立.根據(jù)⑴和⑵，可知對(duì)任何不等式都成立.
四、課堂小結(jié)
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法注意兩點(diǎn)：
1.驗(yàn)證的初始值至關(guān)重要，且初始值未必是1，要看清題目；
2.第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由“到”時(shí)命題的變化(項(xiàng)的增加或減少).
五、課后反思
六、課后作業(yè)
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步驗(yàn)證=.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步即證不等式
成立.
3.當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，求證被整除，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證=時(shí)，命題亦真.
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為.
5.用數(shù)列歸納法證明，第二步證明從“到”，左端增加的項(xiàng)數(shù)為.
用數(shù)學(xué)歸納法證明下列各題
6..
