小學(xué)數(shù)學(xué)說課教案

高中數(shù)學(xué)必修四2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義導(dǎo)學(xué)案。

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義
編審：周彥魏國慶
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義；
2．理解兩個(gè)向量共線的含義，并能證明簡單的平行及共線問題；3.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義；
【新知自學(xué)】
知識(shí)回顧：
已知非零向量，求作和．

新知梳理：
1．實(shí)數(shù)與向量的積的定義：
一般地，實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：
（1）；
（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向；
當(dāng)時(shí)，的方向與的方向；
當(dāng)時(shí)，．
2．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：
（1）（結(jié)合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
對(duì)點(diǎn)練習(xí)
1、下面給出四個(gè)命題：
①對(duì)于實(shí)數(shù)和向量,,恒有
(—)=—；
②對(duì)于實(shí)數(shù),和向量，恒有
(—)=m—n；
③若=(∈R),則有
=；
④若=(,∈R,≠0→),則有=.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
2、將化簡成最簡形式為()
A.B.
C.D.
3．向量共線定理：
定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使（），那么向量與是共線向量；反之，如果向量與（）是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得．
對(duì)點(diǎn)練習(xí)3、
與非零向量同向的單位向量是；
與非零向量反向的單位向量是；
與非零向量共線的單位向量是.
【合作探究】
典型精析
例1計(jì)算：（1）

變式練習(xí)：1
化簡：

例2．已知向量和向量，求作向量和

例3．判斷并證明：向量，是否共線？

變式練習(xí)：2

例4．已知兩個(gè)非零向量和不共線，，，
.
求證：三點(diǎn)共線.

變式練習(xí)：3設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，若，，
.求證：、、三點(diǎn)共線.

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.若3—2(—)=0→，則=()
A.2a→B.-2a→
C.25a→D.-25a→

2.設(shè),是兩個(gè)不共線的向量，下列情況下，向量，共線的有（）
①，；
②，；
③，
④，
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①②③④
3.已知向量,,且AB→=+2,BC→=—5+6,CD→=7—2,則一定共線的三點(diǎn)是()
A.A、B、DB.A、B、C
C.B、C、DD.A、C、D

4.已知向量與反向，且，，，則的值等于().
A.B.C.D.

【課時(shí)作業(yè)】
1.設(shè)，下面敘述不正確的是（）
A.
B.
C.
D.與的方向相同（）
2.已知向量與不共線，且，則點(diǎn)三點(diǎn)共線應(yīng)滿足（）
A.
B.
C.
D.

*3.已知O是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2OA→+OB→+OC→=0→，那么()
A.AO→=OD→B.AO→=2OD→
C.AO→=3OD→D.2AO→=OD→

4.在ΔABC中，,,,三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)依次是D,E,F，則AD→+BE→+CF→=.

5.若a→=m→+2n→,b→=3m→—4n→，且m→,n→共線，則a→與b→的關(guān)系是.

6.若,為平面上任意一點(diǎn)，則=(用OA→,OB→表示).

7.已知x，y是實(shí)數(shù)，向量,不共線，若，則____，_______.

*8.設(shè),是兩個(gè)不共線的向量，已知,,
.若三點(diǎn)A,B,D共線，求的值.

*9.在四邊形ABCD中，，，，且，不共線，試判斷四邊形ABCD的形狀.
【延伸探究】
在ΔABC中，D為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，求證:AD→=23AB→+13AC→

精選閱讀

高中數(shù)學(xué)必修四2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義導(dǎo)學(xué)案

2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解相反向量的概念；
1.2.理解向量減法的幾何意義，掌握向量的減法運(yùn)算；會(huì)作兩個(gè)向量的差向量，并能和向量的加法綜合運(yùn)用.
【新知自學(xué)】
知識(shí)回顧：
1.如何用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩向量的和？2.向量加法的運(yùn)算律：新知梳理：
1、“相反向量”的定義：與向量長度相同、方向相反的向量.記作
2、規(guī)定：
（1）零向量的相反向量仍是零向量.
（2）()=.
（3）任一向量與它的相反向量的和是零向量.
即+()=
(4)如果、互為相反向量，則=，=，+=
3、向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做，即：
=
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
向量減法的幾何意義是
4、若+x=，則x叫做與的差，記作
求作差向量：已知向量，，求作向量
作法：

思考感悟：
（1）向量的起點(diǎn)與向量的起點(diǎn)相同時(shí)，如果從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是
（2）若∥，如何作出？

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：
1.化簡OP→-QP→+PS→+SP→的結(jié)果是()
A.QP→B.OQ→
C.SP→D.SQ→
2.下列四式中不能化簡為AD→的是(）
A.AB→+CD→+BC→
B.AD→+MB→+BC→+CM→
C.OC→-OA→+CD→
D.MB→+AD→-BM→
3.如圖四邊形ABCD中，設(shè)，，，則（）
A．
B．
C．
D．
4.如圖，D、E、F分別是的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則（）
A．
B．
C．
D．

【合作探究】
典例精析：
例1、已知向量、、、，求作向量、.

變式練習(xí)：1課本練習(xí)1.

例2、平行四邊形中，，，用、表示向量、.

變式練習(xí)：2已知，，且，則=
【課堂小結(jié)】
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、在△ABC中，=，=，則等于()?
A.+?B.-+(-)?
C.-?D.-?
2.可以寫成：①；②；③；④,其中正確的是（）
A.①②B.②③
C.③④D.①④
3.如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC與BD交于O點(diǎn)，則_______

4、化簡
【課時(shí)作業(yè)】
1、在△ABC中，向量可表示為①②；③；④；中的是（）
A．①②③B．①③④
C．②③④D．①②④
2.在ABCD中，|AB→+AD→|=|AB→-AD→|，則必有()
A.AD→=0→B.AB→=0→或AD→=0→
C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形

*3.設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則()
A.B.
C.D.

4.若非零向量和互為相反向量，則錯(cuò)誤的是（）
A、B、
C、D、

5.已知中，，，則下列等式成立的是______________。
（1）
（2）
（3）
（4）

6.若，下列結(jié)論正確的是______________________。
（1）
（2）
（3）
（4）

*7.中，是的中點(diǎn)，設(shè)，則
；.

*8.如圖，已知OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→,OD→=d→,OE→=e→,OF→=f→,試用a→,b→,c→,d→,e→,f→表示下列向量.
(1)AD→-AB→;
(2)AB→+CF→;
(3)BF→-BD→.

9.如圖，在ABCD中，設(shè)AB→=a→,AD→=b→,則
(1)當(dāng)a→,b→滿足什么條件時(shí)，a→+b→與a→-b→垂直？
(2)當(dāng)a→,b→滿足什么條件時(shí)，|a→+b→|=|a→-b→|？
(3)a→+b→與a→-b→可能是相等向量嗎？
(4)當(dāng)a→,b→滿足什么條件時(shí)，a→+b→平分a→與b→所夾的角?

【延伸探究】
已知|AB→|=8,|AC→|=5,，則|BC→|的取值范圍是.

第二章2.22．2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？以下是小編為大家精心整理的“第二章2.22．2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”，僅供參考，希望能為您提供參考！

2．2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義
預(yù)習(xí)課本P87～90，思考并完成以下問題
(1)向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？
(2)向量數(shù)乘運(yùn)算滿足哪三條運(yùn)算律？
(3)向量共線定理是怎樣表述的？
(4)向量的線性運(yùn)算是指的哪三種運(yùn)算？

[新知初探]
1．向量的數(shù)乘運(yùn)算
(1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度和方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝|λ||a|；
②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；
當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．
(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
[點(diǎn)睛](1)實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ＋a，λ－a均無法運(yùn)算．
(2)λa的結(jié)果為向量，所以當(dāng)λ＝0時(shí)，得到的結(jié)果為0而不是0.
2．向量共線的條件
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
[點(diǎn)睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0時(shí)，雖有a與b共線，但不存在實(shí)數(shù)λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a與b顯然共線，但實(shí)數(shù)λ不唯一，任一實(shí)數(shù)λ都能使b＝λa成立．
(2)a是非零向量，b可以是0，這時(shí)0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不為零的實(shí)數(shù)．
3．向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向量a，b及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)λa的方向與a的方向一致．()
(2)共線向量定理中，條件a≠0可以去掉．()
(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b.()
答案：(1)×(2)×(3)×
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是()
A．b＝2aB．b＝－2a
C．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)＝－2b
答案：A
3．在四邊形ABCD中，若＝－12，則此四邊形是()
A．平行四邊形B．菱形
C．梯形D．矩形
答案：C
4．化簡：2(3a＋4b)－7a＝______.
答案：－a＋8b

向量的線性運(yùn)算

[例1]化簡下列各式：
(1)3(6a＋b)－9a＋13b；
(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量線性運(yùn)算的方法
向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，共線向量可以合并，即“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指的是向量．

[活學(xué)活用]
化簡下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)1622a＋8b－44a－2b.
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
用已知向量表示未知向量
[典例]如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.
[解]由三角形中位線定理，知DE綊12BC，故＝12，即＝12a.
＝＋＋＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.
＝＋＋＝12＋＋12
＝－14a－b＋12a＝14a－b.
用已知向量表示未知向量的方法
用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實(shí)質(zhì)是向量的線性運(yùn)算的反復(fù)應(yīng)用．

[活學(xué)活用]
如圖，四邊形OADB是以向量＝a，＝b為邊的平行四邊形．又＝13，＝13，試用a，b表示，，.
解：∵＝13＝16＝16(－)＝16(a－b)，
∴＝＋
＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
∵＝13＝16，
∴＝＋＝12＋16
＝23＝23(＋)＝23(a＋b)．
∴＝－
＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.

共線向量定理的應(yīng)用
題點(diǎn)一：判斷或證明點(diǎn)共線
1．已知兩個(gè)非零向量a與b不共線，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．
證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共線，
又∵它們有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
題點(diǎn)二：利用向量的共線確定參數(shù)
2．已知a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，當(dāng)8a＋kb與ka＋2b共線時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．
解：∵8a＋kb與ka＋2b共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a與b不共線，∴8－λk＝0，k－2λ＝0，
解得λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
題點(diǎn)三：幾何圖形形狀的判定
3.如圖所示，正三角形ABC的邊長為15，＝13＋25，＝15＋25AC.
求證：四邊形APQB為梯形．
證明：因?yàn)椋剑剑?3－25＋＋15＋25＝1315，所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠|(zhì)|，于是四邊形APQB為梯形．
用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合．例如，若向量＝λ，則，共線，又與有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝()
A．57bB．－57b
C．75bD．－75b
解析：選Bb與a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，則5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a＝57b.
2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，則2a－3b＋c＝()
A．5eB．－5e
C．23eD．－23e
解析：選C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.

3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，則()
A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線
C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線
解析：選B＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．
4．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且＝23＋13，又＝t，則t的值為()
A．13B．23
C．12D．53
解析：選A由題意可得＝－＝23＋13－＝13(－)＝13，又＝t，∴t＝13.
5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線交DC于點(diǎn)F，若＝a，＝b，則＝()
A．13a＋bB．12a＋b
C．a(chǎn)＋13bD．a(chǎn)＋12b
解析：選A由已知條件可知BE＝3DE，∴DF＝13AB，∴＝＋＝＋13＝13a＋b.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．下列向量中a，b共線的有________(填序號(hào))．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－25e2＝4e1－110e2＝4b；④中，當(dāng)e1，e2不共線時(shí)，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實(shí)數(shù)m的值為________．
解析：因?yàn)橄蛄縨a－3b與a＋(2－m)b共線且向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因?yàn)閍與b不共線，所以m＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
9．計(jì)算：
(1)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)；
(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n為實(shí)數(shù))．
解：(1)原式＝25－23＋415a＋－25－43＋2615b＝0.
(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb
＝ma－nb.
10．已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值．
解：∵a與b是共線向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴λk＝2，λ＝－1，
∴k＝－2，λ＝－1，
∴k＝－2.
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()
A．a(chǎn)與λa的方向相同
B．a(chǎn)與－λa的方向相反
C．a(chǎn)與λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
解析：選C只有當(dāng)λ0時(shí)，a與λa的方向相同，a與－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因?yàn)棣?0，所以a與λ2a的方向相同．
2．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為邊BC的中點(diǎn)，且2＋＋＝0，則()
A．＝B．＝2
C．＝3D．2＝
解析：選A∵在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，從而＝.
3．已知向量a，b不共線，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)λ1，λ2一定成立的關(guān)系式為()
A．λ1＝λ2＝1B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1D．λ1＋λ2＝1
解析：選C∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴＝k(k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共線，
∴λ1＝k，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.
4．已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)△ABC，若＋＋＝，則()
A．點(diǎn)P在△ABC外部B．點(diǎn)P在線段AB上
C．點(diǎn)P在線段BC上D．點(diǎn)P在線段AC上
解析：選D∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，
∴2＝，∴點(diǎn)P在線段AC上．
5．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝______.
解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴k＝8λ，2＝λk，解得λ＝12，k＝4或λ＝－12，k＝－4.
∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，
∴λ＝－12，k＝－4.
答案：－4
6.如圖所示，在ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M為BC的中點(diǎn)，則＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝12－14
＝12b－14(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)．
答案：14(b－a)
7．已知：在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求證：四邊形ABCD為梯形．
證明：如圖所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴與共線，且||＝2||.
又∵這兩個(gè)向量所在的直線不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四邊形ABCD是以AD，BC為兩條底邊的梯形．
8.如圖，已知△OCB中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，D是將OB分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中點(diǎn)，則有＝12(＋)，
從而＝2－＝2a－b.
由D是將OB分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，得＝23，
從而＝－＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2)由于C，E，D三點(diǎn)共線，則＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－53b，
從而(2－λ)a－b＝μ2a－53b，
又a，b不共線，則2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.

向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

向量的減法運(yùn)算及其幾何意義
教學(xué)目標(biāo)：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；
3.通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.
教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法.
教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.
學(xué)法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量.
教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學(xué)思路：
一、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運(yùn)算定律：
例：在四邊形中，.
解：
二、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a
（2）規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互為相反向量，則a=b，b=a，a+b=0
（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：ab=a+(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

2用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
3求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，
作=a，=b
則=ab
即ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.
注意：1表示ab.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)
2用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)
顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.

2．探究：
１）如果從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？
三、例題：
例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一點(diǎn)O，作=a，=b，=c，=d，
作，，則=ab，=cd

例二、平行四邊形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四邊形法則得：
=a+b，==ab
變式一：當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，a+b與ab垂直？（|a|=|b|）
變式二：當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）
變式三：a+b與ab可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，∵對(duì)角線方向不同）
練習(xí)：Ｐ98
四、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法|
五、作業(yè)：P103第4、５題
六、板書設(shè)計(jì)（略）
七、備用習(xí)題：
1.在△ABC中，=a，=b，則等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O為平行四邊形ABCD平面上的點(diǎn)，設(shè)=a，=b，=c，=d，則
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
３.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空：?
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?
４、如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.

向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

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向量的加法運(yùn)算及其幾何意義
教學(xué)目標(biāo)：
1、掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；
2、會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力；
3、通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；
教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.
教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義.
學(xué)法：
數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律.
教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學(xué)思路：
一、設(shè)置情景：
1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念
強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景設(shè)置：
（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，
則兩次的位移和：
（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，
則兩次的位移和：
（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，
則兩次的位移和：
（4）船速為，水速為，則兩速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規(guī)定：a+0-=0+a

探究：（1）兩相向量的和仍是一個(gè)向量；
（2）當(dāng)向量與不共線時(shí)，+的方向不同向，且|+|||+||；
（3）當(dāng)與同向時(shí)，則+、、同向，且|+|=||+||，當(dāng)與反向時(shí)，若||||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個(gè)向量連加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作，則.

４．加法的交換律和平行四邊形法則
問題：上題中+的結(jié)果與+是否相同？驗(yàn)證結(jié)果相同
從而得到：１）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）
２）向量加法的交換律：+=+
５．向量加法的結(jié)合律：(+)+=+(+)
證：如圖：使，，
則(+)+=，+(+)=
∴(+)+=+(+)
從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.
三、應(yīng)用舉例：
例二（P94—95）略
練習(xí)：P95
四、小結(jié)
1、向量加法的幾何意義；
２、交換律和結(jié)合律；
３、注意：|+|≤||+||，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào).
五、課后作業(yè)：
P103第２、３題
六、板書設(shè)計(jì)（略）
七、備用習(xí)題
1、一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的速度的大小為，求水流的速度.
2、一艘船距對(duì)岸，以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.
3、一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，船的實(shí)際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h，則船的實(shí)際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角是直角，且已知它們的合力F與F1的夾角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形