高中向量的教案

高一數學向量的加法運算及其幾何意義029。

老師職責的一部分是要弄自己的教案課件，大家在認真準備自己的教案課件了吧。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計劃，新的工作才會如魚得水！你們知道適合教案課件的范文有哪些呢？下面是小編幫大家編輯的《高一數學向量的加法運算及其幾何意義029》，歡迎您參考，希望對您有所助益！

相關知識

高二數學向量加法運算及其幾何意義1

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，幫助授課經驗少的教師教學。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？小編為此仔細地整理了以下內容《高二數學向量加法運算及其幾何意義1》，供您參考，希望能夠幫助到大家。

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義
教學目標：
1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；
2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數形結合解決問題的能力；
3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法；
教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.
教學難點：理解向量加法的定義.
教學思路：
一、設置情景：
1、復習：向量的定義以及有關概念
強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景設置：
（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：
（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和：
（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移和：
（4）船速為，水速為，則兩速度和：

二、探索研究：
１、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規(guī)定：a+0-=0+a
探究：（1）兩向量的和與兩個數的和有什么關系？兩向量的和仍是一個向量；
（2）當向量與不共線時，|+|||+||；什么時候|+|=||+||，什么時候|+|=||－||，
當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|||+||；
當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，
當與反向時，若||||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；
若||||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面內取一點，作，則.
４．加法的交換律和平行四邊形法則
問題：上題中+的結果與+是否相同？驗證結果相同
從而得到：１）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）
２）向量加法的交換律：+=+
５．你能證明：向量加法的結合律：(+)+=+(+)嗎？
6．由以上證明你能得到什么結論？多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
三、應用舉例：
例二（P83—84）略
變式1、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行速度的大小為，求水流的速度.
變式2、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和.
練習：P84面1、2、3、4題
四、小結
1、向量加法的幾何意義；２、交換律和結合律；３、|+|≤||+||，當且僅當方向相同時取等號.
五、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)十八。
六、備用習題思考：你能用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？

向量的減法運算及其幾何意義

向量的減法運算及其幾何意義
教學目標：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；
3.通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想.
教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.
教學難點：減法運算時方向的確定.
學法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.
教具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學思路：
一、復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運算定律：
例：在四邊形中，.
解：
二、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a
（2）規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互為相反向量，則a=b，b=a，a+b=0
（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

2用加法的逆運算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
3求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法：在平面內取一點O，
作=a，=b
則=ab
即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
注意：1表示ab.強調：差向量“箭頭”指向被減數
2用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)
顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.

2．探究：
１）如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？
三、例題：
例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一點O，作=a，=b，=c，=d，
作，，則=ab，=cd

例二、平行四邊形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四邊形法則得：
=a+b，==ab
變式一：當a，b滿足什么條件時，a+b與ab垂直？（|a|=|b|）
變式二：當a，b滿足什么條件時，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）
變式三：a+b與ab可能是相當向量嗎？（不可能，∵對角線方向不同）
練習：Ｐ98
四、小結：向量減法的定義、作圖法|
五、作業(yè)：P103第4、５題
六、板書設計（略）
七、備用習題：
1.在△ABC中，=a，=b，則等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設=a，=b，=c，=d，則
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
３.如圖，在四邊形ABCD中，根據圖示填空：?
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?
４、如圖所示，O是四邊形ABCD內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.

高一數學向量的減法及其幾何意義030

第3課時
§2.2.2向量的減法運算及其幾何意義
教學目標：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；
3.通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想.
教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.
教學難點：減法運算時方向的確定.
學法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.
教具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學思路：
一、復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運算定律：
例：在四邊形中，.
解：
二、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a
（2）規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互為相反向量，則a=b，b=a，a+b=0
（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法：在平面內取一點O，
作=a，=b
則=ab
即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
注意：1表示ab.強調：差向量“箭頭”指向被減數
2用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)
顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.
4．探究：
１）如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？
三、例題：
例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一點O，作=a，=b，=c，=d，
作，，則=ab，=cd

例二、平行四邊形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四邊形法則得：
=a+b，==ab
變式一：當a，b滿足什么條件時，a+b與ab垂直？（|a|=|b|）
變式二：當a，b滿足什么條件時，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）
變式三：a+b與ab可能是相當向量嗎？（不可能，∵對角線方向不同）
練習：Ｐ98
四、小結：向量減法的定義、作圖法|
五、作業(yè)：P103第4、５題
六、板書設計（略）
七、備用習題：
1.在△ABC中，=a，=b，則等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設=a，=b，=c，=d，則A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
３.如圖，在四邊形ABCD中，根據圖示填空：?
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?
４、如圖所示，O是四邊形ABCD內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.

第二章2.22．2.1向量加法運算及其幾何意義講義

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，教師要準備好教案，這是每個教師都不可缺少的。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內容，讓教師能夠快速的解決各種教學問題。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？小編經過搜集和處理，為您提供第二章2.22．2.1向量加法運算及其幾何意義講義，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

平面向量的線性運算
2．2.1向量加法運算及其幾何意義
預習課本P80～83，思考并完成以下問題
(1)向量的加法如何定義？
(2)在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？
(3)向量加法的運算律有哪兩條？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之間的大小有何關系？

[新知初探]
1．向量加法的定義及運算法則
定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法
法則三角形法則前提已知非零向量a，b
作法在平面內任取一點A，作＝a，＝b，再作向量

結論向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝

圖形

法則平行四邊形法則前提已知不共線的兩個向量a，b
作法在平面內任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB
結論對角線就是a與b的和

圖形

規(guī)定零向量與任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.

2．向量加法的運算律
運算律交換律a＋b＝b＋a
結合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量相加結果可能是一個數量．()
(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．()
(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．()
答案：(1)×(2)×(3)×
2．對任意四邊形ABCD，下列式子中不等于的是()
A．＋B．＋＋
C．＋＋D．＋＋
答案：C
3．邊長為1的正方形ABCD中，|＋|＝()
A．2B．2
C．1D．22
答案：B
4．＋＋＋＝______.
答案：0

向量加法及其幾何意義

[典例]如圖1，圖2，圖3所示，求作向量和．
[解]如圖中①，②所示，
首先作＝a，然后作AB＝b，則＝a＋b.
如圖③所示，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.

應用三角形法則和平行四邊形法則應注意的問題
(1)三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即n個首尾相連的向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量．
(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合．
(3)求作三個或三個以上的向量和時，用三角形法則更簡單．

[活學活用]
如圖，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面內任取一點O，如圖所示，作＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c.

向量加法運算

[例2]化簡或計算：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
[解](1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
解決向量加法運算時應關注兩點
(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算．
(2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.

[活學活用]
如圖，在正六邊形ABCDEF中，O是其中心．
則①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
答案：①②③
層級一學業(yè)水平達標
1．下列等式錯誤的是()
A．a＋0＝0＋a＝aB．＋＋＝0
C．＋＝0D．＋＝＋＋
解析：選B由向量加法可知＋＋＝＋＝2.
2．(＋)＋(＋)＋等于()
A．B．
C．D．
解析：選C原式＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋)
＝＋0＝.
3．下列各式不一定成立的是()
A．a＋b＝b＋aB．0＋a＝a
C．＋＝D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：選DA成立，為向量加法交換律；B成立，這是規(guī)定；C成立，即三角形法則；D不一定成立，只有a，b同向或有一者為零向量時，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，則向量＋＋的長度等于()
A．25B．45
C．12D．6
解析：選B因為＋＝，所以＋＋的長度為的模的2倍，故答案是45.
5．已知平行四邊形ABCD，設＋＋＋＝a，且b是一非零向量，則下列結論：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正確的是()
A．①③B．②③
C．②④D．①②
解析：選A∵在平行四邊形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a為零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，∴①③正確，②④錯誤．
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝c，＝b，則|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝22.
答案：22
8.如圖，在平行四邊形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
解析：(1)由平行四邊形法則可知為.
(2)＋＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1)(2)(3)(4)0
9.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．如圖所示，中心為O的正八邊形A1A2…A7A8中，ai＝(i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，試化簡a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因為＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
層級二應試能力達標
1.已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中不正確的是()
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．,＋＝
D．＋＝
解析：選D由向量加法的平行四邊形法則可知，＋＝≠.
2．下列命題錯誤的是()
A．兩個向量的和仍是一個向量
B．當向量a與向量b不共線時，a＋b的方向與a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b|
C．當向量a與向量b同向時，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起點和終點
解析：選D根據向量的和的意義、三角形法則可判斷A、B、C都正確；D錯誤，如平行四邊形ABCD中，有＝，起點和終點都不相同．
3．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足＋＝，則下列結論中正確的是()
A．P在△ABC的內部
B．P在△ABC的邊AB上
C．P在AB邊所在的直線上
D．P在△ABC的外部
解析：選D＋＝，根據平行四邊形法則，如圖，則點P在△ABC外部．
4．下列命題正確的是()
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，則A，B，C為三角形的三個頂點
C．設a≠0，若a∥(a＋b)，則a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，則b＝0
解析：選C當a＋b＝0時，A選項不正確；若＋＋＝0，則A，B，C三點共線或A，B，C為三角形的三個頂點，故B選項不正確；若a與b不共線，則a＋b與a不共線，故C選項正確；若|a|－|b|＝|a＋b|，則b＝0或b≠0(a與b反向共線，且|a|＞|b|)，故D選項不正確．
5．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范圍為________．
解析：根據公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接來計算．
答案：[3,13]
6．若a等于“向東走8km”，b等于“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如圖所示，設＝a，＝b，則＝a＋b，且△ABC為等腰直角三角形，則||＝82，∠BAC＝45°.
答案：82km北偏東45°
7.如圖所示，P，Q是三角形ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC.求證：＋＝＋.
證明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵與大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋AQ.
8.如圖，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)設|a|＝2，e為單位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面內任取一點O，作＝a，＝b，＝c，＝d，則＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面內任取一點O，作＝a，＝e，
則a＋e＝＋＝，
因為e為單位向量，
所以點B在以A為圓心的單位圓上(如圖所示)，
由圖可知當點B在點B1時，O，A，B1三點共線，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.