高中向量的教案

第4課時2.2向量的數(shù)乘教案。

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務(wù)。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《第4課時2.2向量的數(shù)乘教案》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第4課時§2.2向量的數(shù)乘
【教學目標】
一、知識與技能
（1）向量數(shù)乘定義。
（2）向量數(shù)乘的運算律。
二、過程與方法
在對有關(guān)數(shù)乘問題的解決中理解數(shù)乘概念和實際意義.
三、情感、態(tài)度與價值觀
聯(lián)系生活實際學習向量的數(shù)乘讓學生感受數(shù)學美
【教學重點難點】向量的數(shù)乘的定義和運算律
一、復習：
已知非零向量，求作和．
如圖：，
二、講解新課：
1．實數(shù)與向量的積的定義：
一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：
（1）；
（2）當時，的方向與的方向相同；
當時，的方向與的方向相反；
當時，．
2．實數(shù)與向量的積的運算律：
（1）（結(jié)合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．向量共線定理：
內(nèi)容：
三、例題分析：
例1、計算：（1）；
（2）；
（3）
例2、如圖，已知，．試判斷與是否共線．

例3、判斷下列各題中的向量是否共線：
（1），；
（2），，且，共線．
（3）當，中至少有一個為零向量時，顯然與共線．jAb88.COm

例4、設(shè)是兩個不共線的向量，已知，，，
若，，三點共線，求的值．

五、課時小結(jié)：
1．掌握實數(shù)與向量的積的定義；
2．掌握實數(shù)與向量的積的運算律，并進行有關(guān)的計算；
3．理解向量共線定理，并會判斷兩個向量是否共線

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第二章平面向量第2課時2.2向量的加法教案

第2課時§2.2向量的加法
【教學目標】
一、知識與技能
（1）理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和；
（2）掌握兩個向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量運算
二、過程與方法
從物體位移變化規(guī)律的探知中總結(jié)出向量加法規(guī)律
三、情感、態(tài)度與價值觀
感受數(shù)學和生活的聯(lián)系，增強學習數(shù)學的興趣
【教學重點難點】：：1．如何作兩向量的和向量；
2．向量加法定義的理解。
【教學過程】
一、復習：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知點是正六邊形的中心，則下列向量組中含有相等向量的是（）
（）、、、（）、、、
（）、、、（）、、、

二、創(chuàng)設(shè)情景
利用向量的表示，從景點O到景點A的位移為OA，從景點A到景點B的位移為AB，那么經(jīng)過這兩次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之間有何關(guān)系？
三、講解新課：
1．向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。表示：
作法：在平面內(nèi)任取一點（如圖（2）），作，，則.

（1）（2）
2．向量加法的法則：
（1）三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。表示：．
（2）平行四邊形法則：以同一點為起點的兩個已知向量，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以為起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。
3．向量的運算律：
交換律：．
結(jié)合律：．
說明：多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行：
例如：；．
四、例題分析：
例1、如圖，一艘船從點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，求船實際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）。

例2、已知矩形中，寬為，長為，，，，
試作出向量，并求出其模的大小。
例3、一架飛機向北飛行千米后，改變航向向東飛行千米，
則飛行的路程為400千米；兩次位移的和的方向為北偏東，
大小為千米．

例4、在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地度過長江，其航向應(yīng)如何確定？

變式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影響，渡船的實際航向如何？

例5、已知兩個力，的夾角是直角，且知它們的合力與的夾角是，
牛，求和的大小

五、課時小結(jié)：
1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；
2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則

向量的數(shù)乘

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，作為教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是小編幫大家編輯的《向量的數(shù)乘》，但愿對您的學習工作帶來幫助。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）
班級：姓名：學號：第學習小組
【學習目標】
1、理解兩個向量共線的含義，并掌握向量共線定理；
2、能運用實數(shù)與向量的積解決有關(guān)問題。
【課前預(yù)習】
1、填空：
（1）；
（2）當時，與方向；當時，與方向；
當時，=；當時，=。
（3）；；。
（4）若向量與方向相反，且，則與的關(guān)系是。
（5）設(shè)是已知向量，若，則。
2、如圖，，分別是的邊、的中點，求證：與共線，
并將用線性表示。

3、共線向量定理：如果存在一個實數(shù)，使，，那么。
反之，如果與是共線向量，那么。
注意：可寫成，但不能寫成或。
4、提問：上述定理中，若無條件，會有什么結(jié)果？

5、向量共線定理如何用來解決點共線或線共點問題。

【課堂研討】
例1、設(shè)是非零向量，若，試問：向量與是否共線？

例2、如圖，中，為直線上一點，，
求證：。

思考：上例證明的結(jié)論表明：起點為，終點為直線上一點的向量可以用表示。那么兩個不共線的向量可以表示平面內(nèi)任一向量嗎？

【學后反思】
共線向量定理及其運用；若，則時，三點共線。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）檢測案
班級：姓名：學號：第學習小組
【課堂檢測】
1、已知向量，求證：與是共線向量。

2、已知向量，求證：三點共線。

3、如圖，在△中，記求證：。

4、如圖，設(shè)點是線段的三等分點，若，試用表示向量

【課后鞏固】
1、點在線段上，且，設(shè)，則（）
A、B、C、D、
2、若是平行四邊形的中心，且，則()
A、B、C、D、
3、已知向量，則與（填“共線”或“不共線”）。
4、給出下列命題：①若，則；②若，則∥；③若，則；④則∥。其中，正確的序號是。
5、若是△的重心，則。
6、已知，則三點共線。
7、已知非零向量和不共線，若和共線，求實數(shù)的值。
8、設(shè)分別是的邊上的點，且，，
。若記，試用表示。

9、如圖，平行四邊形中，是的中點，交于，
試用向量的方法證明：是的一個三等分點。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）
班級：姓名：學號：第學習小組
【學習目標】
1、理解兩個向量共線的含義，并掌握向量共線定理；
2、能運用實數(shù)與向量的積解決有關(guān)問題。
【課前預(yù)習】
1、填空：
（1）；
（2）當時，與方向；當時，與方向；
當時，=；當時，=。
（3）；；。
（4）若向量與方向相反，且，則與的關(guān)系是。
（5）設(shè)是已知向量，若，則。
2、如圖，，分別是的邊、的中點，求證：與共線，
并將用線性表示。

3、共線向量定理：如果存在一個實數(shù)，使，，那么。
反之，如果與是共線向量，那么。
注意：可寫成，但不能寫成或。
4、提問：上述定理中，若無條件，會有什么結(jié)果？

5、向量共線定理如何用來解決點共線或線共點問題。

【課堂研討】
例1、設(shè)是非零向量，若，試問：向量與是否共線？

例2、如圖，中，為直線上一點，，
求證：。

思考：上例證明的結(jié)論表明：起點為，終點為直線上一點的向量可以用表示。那么兩個不共線的向量可以表示平面內(nèi)任一向量嗎？

【學后反思】
共線向量定理及其運用；若，則時，三點共線。

課題:2.2.3向量的數(shù)乘（2）檢測案
班級：姓名：學號：第學習小組
【課堂檢測】
1、已知向量，求證：與是共線向量。

2、已知向量，求證：三點共線。

3、如圖，在△中，記求證：。

4、如圖，設(shè)點是線段的三等分點，若，試用表示向量

【課后鞏固】
1、點在線段上，且，設(shè)，則（）
A、B、C、D、
2、若是平行四邊形的中心，且，則()
A、B、C、D、
3、已知向量，則與（填“共線”或“不共線”）。
4、給出下列命題：①若，則；②若，則∥；③若，則；④則∥。其中，正確的序號是。
5、若是△的重心，則。
6、已知，則三點共線。
7、已知非零向量和不共線，若和共線，求實數(shù)的值。

8、設(shè)分別是的邊上的點，且，，
。若記，試用表示。
9、如圖，平行四邊形中，是的中點，交于，
試用向量的方法證明：是的一個三等分點。

§3.1.2空間向量的數(shù)乘運算

§3.1.2空間向量的數(shù)乘運算
【學情分析】：
本節(jié)，空間向量的數(shù)乘運算共有4個知識點：空間向量的數(shù)乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節(jié)是全章的重點，有了第一節(jié)空間向量加減法的基礎(chǔ)，我們就很容易把平面向量及其運算推廣到空間向量由于本教材學習空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以例習題的編排也主要是立體幾何問題當我們把平面向量推廣到空間向量后，很自然地要認識空間向量的兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然后由這兩個定理推出空間直線和平面的向量表達式有了這兩個表達式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問題
【教學目標】：
（1）知識與技能：掌握空間向量的數(shù)乘運算
（2）過程與方法：進行類比學習，會用空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題
（3）情感態(tài)度與價值觀：會用平面的向量表達式解決共面問題
【教學重點】：
空間向量的數(shù)乘運算及運算律
【教學難點】：
用向量解決立幾問題
【教學過程設(shè)計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設(shè)計意圖
一．溫故知新1、空間向量的數(shù)乘運算，其模長是的倍
（1）當時，與同向
（2）當時，與反向
2、空間向量的數(shù)乘分配律和結(jié)合律
（1）分配律：
（2）結(jié)合律：
3、共線向量或平形向量
類似于平面向量共線，對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使
以數(shù)乘向量及其運算律為突破口，與平面向量進行比較學習，為下面引出共面向量作鋪墊。
二．新課講授1、方向向量
如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式．其中向量叫做直線的方向向量.
在上取，則上式可化為
證明：對于空間內(nèi)任意一點O，三點共線
由此可見，可以利用向量之間的關(guān)系判斷空間任意三點共線，這與利用平面向量判斷平面內(nèi)三點共線是一樣的。
回顧平面向量的基本定理：
共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得，這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。
由此可以得到空間向量共面的證明方法
2、空間平面ABC的向量表示式
空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y使得：，或?qū)臻g任意一點O有：。

方向向量的引入是為了更好的說明三點共線的向量充要條件，作為特色班，可以根據(jù)實際情況補充證明過程。

回顧平面向量的基本定理可以發(fā)現(xiàn)，平面中的基底理論成了空間向量關(guān)系的一種特殊情況——共面的證明方法，這正是由特殊到一般，由簡單到復雜的一種推廣，對今后理解空間向量的基底理論也是有一定輻射作用的。

推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，則點P與點A，B，C共面的充要條件是
證明：略本探究可以在老師的啟發(fā)下，給學生自己證明，不同層次可以酌情考慮是否證明。
三．典例講練例1．一直平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O做射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，且使，
求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面
分析：欲證E，F(xiàn)，G，H四點共面，只需證明，，共面。下面我們利用，，共面來證明。
證明：因為，所以
，，，，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以，因此，
由向量共面的充要條件知E，F(xiàn)，G，H四點共面
進一步：請學生思考如何證明：面AC//面EG
四．練習鞏固1、如圖，已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結(jié)果的向量。
（1）
（2）
（3）
鞏固知識，注意向量運算律的使用.3、略解：（1）
（2）

2、課本P89練習2-3
3、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用向量方法證明（1）E、F、G、H四點共面（2）AC∥平面EFGH
得EF∥AC，AC平面EFGH，則AC∥平面EFGH
五．小結(jié)1．空間向量的數(shù)乘運算
2．空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題
3．平面的向量表達式解決共面問題歸納知識反思方法，特點。
六．作業(yè)課本P97習題3.1，A組第1題（3）、（4），第2題
練習與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結(jié)果向量：
（1）；AD
（2）；AG
（3）．MG
（中等題）
2、在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）
A．有相同起點的向量B．等長向量C．共面向量D．不共面向量
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）
A．B．C．D．

第6課時2.3.2向量的坐標表示（1）教案

第6課時§2.3.2向量的坐標表示（1）
【教學目標】
一、知識與技能
掌握平面向量的正交分解及其坐標的意義與運算
二、過程與方法
從數(shù)的層面通過坐標來對向量進行考察，體現(xiàn)數(shù)學的簡捷
三、情感、態(tài)度與價值觀
數(shù)形結(jié)合讓學生在學習本塊知識的同時感受到數(shù)學的美，增強數(shù)學學習的興趣
【教學重點難點】坐標的運算、坐標的意義
一、復習
平面向量的基本定理：；
二、創(chuàng)設(shè)情景：
問題1平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)對（它的坐標）惟一表示，對于直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，是否都可以用一對有序?qū)崝?shù)對（它的坐標）表示惟一表示？
問題2若向量以原點為起點，則如何用坐標刻畫向量？若向量不以原點為起點呢？
三、講解新課：
1．向量的坐標表示的定義：
分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對于任一向量，，（），實數(shù)對叫向量的坐標，記作．
其中叫向量在軸上的坐標，叫向量在軸上的坐標。
說明：（1）對于，有且僅有一對實數(shù)與之對應(yīng)；
（2）相等的向量的坐標也相同；
（3），，；
（4）從原點引出的向量的坐標就是點的坐標。
問題3的坐標嗎？
2.由向量運算的結(jié)合律、分配律及數(shù)乘的運算律可得：
(1)兩個向量的和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和（差）
(2)實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標，
(3)一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標。
3．向量的坐標計算公式：
已知向量，且點，，求的坐標．
．
歸納：（1）一個向量的坐標等于表示它的有向線段的終點坐標減去始點坐標；
（2）兩個向量相等的等價條件是這二個向量的坐標相等。
四、例題分析：
例1、如圖，用基底，分別表示向量、、、，并求出它們的坐標。

例2、已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OA，OB，AO，CD的坐標。
問題4：四邊形OCDA是平行四邊形嗎？

例3、已知，，求，，的坐標．

例4、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C、D的坐標分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），試求頂點D的坐標？

例5、（1）已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為．
（2）已知，，，且，求，．

五、課時小結(jié)：
1．正確理解平面向量的坐標意義；
2．掌握平面向量的坐標運算；
3．能用平面向量的坐標及其運算解決一些實際問題
六、反饋練習
8.如圖，已知點A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和BO的交點P的坐標。