高中向量的教案

向量的減法運算及其幾何意義。

向量的減法運算及其幾何意義
教學目標：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；
3.通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想.
教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.
教學難點：減法運算時方向的確定.
學法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.
教具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學思路：
一、復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運算定律：
例：在四邊形中，.
解：
二、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a
（2）規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互為相反向量，則a=b，b=a，a+b=0
（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

2用加法的逆運算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
3求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法：在平面內取一點O，
作=a，=b
則=ab
即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
注意：1表示ab.強調：差向量“箭頭”指向被減數
2用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)
顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.

2．探究：
１）如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？
三、例題：
例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一點O，作=a，=b，=c，=d，
作，，則=ab，=cd

例二、平行四邊形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四邊形法則得：
=a+b，==ab
變式一：當a，b滿足什么條件時，a+b與ab垂直？（|a|=|b|）
變式二：當a，b滿足什么條件時，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）
變式三：a+b與ab可能是相當向量嗎？（不可能，∵對角線方向不同）
練習：Ｐ98
四、小結：向量減法的定義、作圖法|
五、作業(yè)：P103第4、５題
六、板書設計（略）
七、備用習題：
1.在△ABC中，=a，=b，則等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設=a，=b，=c，=d，則
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
３.如圖，在四邊形ABCD中，根據圖示填空：?
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?
４、如圖所示，O是四邊形ABCD內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.

擴展閱讀

第二章2.22．2.2向量減法運算及其幾何意義講義

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生更容易聽懂所講的內容，幫助教師能夠井然有序的進行教學。你知道怎么寫具體的教案內容嗎？小編為此仔細地整理了以下內容《第二章2.22．2.2向量減法運算及其幾何意義講義》，相信您能找到對自己有用的內容。

2．2.2向量減法運算及其幾何意義

預習課本P85～86，思考并完成以下問題
(1)a的相反向量是什么？
(2)向量的減法運算及其幾何意義是什么？

[新知初探]
1．相反向量
與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[點睛]相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量．
2．向量的減法
(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．
(2)幾何意義：以O為起點，作向量＝a，＝b，則＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．
[點睛]在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的差仍是一個向量．()
(2)向量的減法實質上是向量的加法的逆運算．()
(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向量．()
(4)相反向量是共線向量．()
答案：(1)√(2)√(3)√(4)√
2．非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是()
A．m＝nB．m＝－n
C．|m|＝|n|D．方向相反
答案：A
3．化簡－＋＋的結果等于()
A．B．C．D．
答案：B
4．在平行四邊形ABCD中，向量的相反向量為______．
答案：，

向量的減法運算

[典例]化簡：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
[解](1)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(2)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
(1)向量減法運算的常用方法
(2)向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和；
②起點相同且為差．
做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應用．

[活學活用]
化簡下列各式：
(1)－－；
(2)＋－；
(3)－－.
解：(1)－－＝＋＝.
(2)＋－＝－＝.
(3)－－＝＋＋＝＋＋＝.

向量的減法及其幾何意義

[典例]如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
[解]法一：如圖①所示，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c.
法二：如圖②所示，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c.
求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．
[活學活用]
在本例的條件下作出向量：
①a－b＋c；②a－b－c.
解：如圖所示．
利用已知向量表示未知向量

[典例]如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量，，.
[解]因為四邊形ACDE是平行四邊形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
[一題多變]
1．[變設問]本例條件不變，試用向量a，b，c表示與.
解：＝－＝c－a，
＝－＝c－b.

2．[變條件]
本例中的條件“點B是該平行四邊形ACDE外一點”若換為“點B是平行四邊形ACDE內一點”，其他條件不變，其結論又如何呢？
解：因為四邊形ACDE是平行四邊形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝＋＝b－a＋c.
用幾個基本向量表示其他向量的一般步驟
(1)觀察待表示的向量位置；
(2)尋找相應的平行四邊形或三角形；
(3)運用法則找關系，化簡得結果．

層級一學業(yè)水平達標
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，則＝()
A．a－bB．b－a
C．a＋bD．－a－b
解析：選D＝－＝－－＝－a－b.
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，則|－|的值為()
A．0B．1
C.3D．2
解析：選B|－|＝|＋|＝||＝1.
3．若O，E，F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()
A．＝＋B．＝－
C．＝－＋D．＝－－
解析：選B＝＋＝－.故選B.
4．已知一點O到ABCD的3個頂點A，B，C的向量分別是a，b，c，則向量等于()
A．a＋b＋cB．a－b＋c
C．a＋b－cD．a－b－c

解析：選B如圖，點O到平行四邊形的三個頂點A，B，C的向量分別是a，b，c，結合圖形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
5．下列各式能化簡為的個數是()
①(－)－
②－(＋)
③－(＋)－(＋)
④－－＋
A．1B．2
C．3D．4
解析：選C①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；
②中，－(＋)＝－0＝；
③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；
④中，－－＋＝＋＋＝＋2.
6．下列四個等式：
①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③＋＋＝0；
④a＋(－a)＝0，
其中正確的是______(填序號)．
解析：由向量的運算律及相反向量的性質可知①②④是正確的，③符合向量的加法法則，也是正確的．
答案：①②③④
7．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b為相反向量，則a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a與－b共線，∴|a－b|＝2.
答案：02
8．在△ABC中，D是BC的中點，設＝c，＝b，＝a，＝d，則d－a＝______，d＋a＝______.
解析：根據題意畫出圖形，如圖所示，則d－a＝－＝＋＝＝c；
d＋a＝＋＝＋＝＝b.
答案：cb
9．化簡：
(1)－＋－；
(2)＋＋－.
解：(1)－＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
10．設O是△ABC內一點，且＝a，＝b，＝c，若以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以OC，OD為鄰邊作平行四邊形，其第四個頂點為H.試用a，b，c表示，，.
解：由題意可知四邊形OADB為平行四邊形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四邊形ODHC為平行四邊形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
層級二應試能力達標
1．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則()
A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝0
解析：選B
如圖，a－b＝－＝，c－d＝－＝，又四邊形ABCD為平行四邊形，則＝，即－＝0，所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故選B.
2．平面上有三點A，B，C，設m＝＋，n＝－，若m，n的長度恰好相等，則有()
A．A，B，C三點必在同一直線上
B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角
C．△ABC必為直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必為等腰直角三角形
解析：選C
∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如圖．
即ABCD的對角線相等，
∴ABCD是矩形，∴∠B＝90°，選C.
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，則|＋|＝()
A.3B．23
C.2D．22
解析：選B如圖，設菱形對角線交點為O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD為等邊三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝|AB―→|2－|OB―→|2＝3，
∴||＝2||＝23.
4．已知△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90°，給出下列結論：
(1)|－|＝|＋|；
(2)|－|＝|－|；
(3)|－|＝|－|；
(4)|－|2＝|－|2＋|－|2.
其中正確的個數為()
A．1B．2C．3D．4
解析：選D如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則它是正方形，根據向量加減法的幾何意義可知題中四個結論都正確．
5.如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的中心，其中＝b，＝c，則等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
6．對于向量a，b，當且僅當____________________________________________時，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：當a，b不同向時，根據向量減法的幾何意義，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有兩向量共線且同向時，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a與b同向
7.如圖，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，試用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1)；(2)；(3)＋＋.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
8.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，＝a，＝b，＝c，試作出下列向量，并分別求出其長度：
(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延長AC到E，使||＝||.則a＋b＋c＝，且||＝22.所以|a＋b＋c|＝22.
(2)作＝，連接CF，
則＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.

高二數學向量加法運算及其幾何意義1

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，幫助授課經驗少的教師教學。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？小編為此仔細地整理了以下內容《高二數學向量加法運算及其幾何意義1》，供您參考，希望能夠幫助到大家。

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義
教學目標：
1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；
2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數形結合解決問題的能力；
3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法；
教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.
教學難點：理解向量加法的定義.
教學思路：
一、設置情景：
1、復習：向量的定義以及有關概念
強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景設置：
（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：
（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和：
（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移和：
（4）船速為，水速為，則兩速度和：

二、探索研究：
１、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規(guī)定：a+0-=0+a
探究：（1）兩向量的和與兩個數的和有什么關系？兩向量的和仍是一個向量；
（2）當向量與不共線時，|+|||+||；什么時候|+|=||+||，什么時候|+|=||－||，
當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|||+||；
當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，
當與反向時，若||||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；
若||||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面內取一點，作，則.
４．加法的交換律和平行四邊形法則
問題：上題中+的結果與+是否相同？驗證結果相同
從而得到：１）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）
２）向量加法的交換律：+=+
５．你能證明：向量加法的結合律：(+)+=+(+)嗎？
6．由以上證明你能得到什么結論？多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
三、應用舉例：
例二（P83—84）略
變式1、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行速度的大小為，求水流的速度.
變式2、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和.
練習：P84面1、2、3、4題
四、小結
1、向量加法的幾何意義；２、交換律和結合律；３、|+|≤||+||，當且僅當方向相同時取等號.
五、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)十八。
六、備用習題思考：你能用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？

高一數學向量的減法及其幾何意義030

第3課時
§2.2.2向量的減法運算及其幾何意義
教學目標：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；
3.通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想.
教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.
教學難點：減法運算時方向的確定.
學法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.
教具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學思路：
一、復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則
向量加法的運算定律：
例：在四邊形中，.
解：
二、提出課題：向量的減法
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a
（2）規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互為相反向量，則a=b，b=a，a+b=0
（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法：在平面內取一點O，
作=a，=b
則=ab
即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
注意：1表示ab.強調：差向量“箭頭”指向被減數
2用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)
顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.
4．探究：
１）如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？
三、例題：
例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一點O，作=a，=b，=c，=d，
作，，則=ab，=cd

例二、平行四邊形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四邊形法則得：
=a+b，==ab
變式一：當a，b滿足什么條件時，a+b與ab垂直？（|a|=|b|）
變式二：當a，b滿足什么條件時，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）
變式三：a+b與ab可能是相當向量嗎？（不可能，∵對角線方向不同）
練習：Ｐ98
四、小結：向量減法的定義、作圖法|
五、作業(yè)：P103第4、５題
六、板書設計（略）
七、備用習題：
1.在△ABC中，=a，=b，則等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設=a，=b，=c，=d，則A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
３.如圖，在四邊形ABCD中，根據圖示填空：?
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?
４、如圖所示，O是四邊形ABCD內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.

高一數學向量的加法運算及其幾何意義029

老師職責的一部分是要弄自己的教案課件，大家在認真準備自己的教案課件了吧。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計劃，新的工作才會如魚得水！你們知道適合教案課件的范文有哪些呢？下面是小編幫大家編輯的《高一數學向量的加法運算及其幾何意義029》，歡迎您參考，希望對您有所助益！