高中向量的教案

2.3.3平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的坐標運算。

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標表示
平面向量的坐標運算

預習課本P94～98，思考并完成以下問題
(1)怎樣分解一個向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標求a＋b，a－b，λa的坐標？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標表示
(1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標．
(3)坐標表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點睛](1)平面向量的正交分解實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標運算
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號表示
加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點睛](1)向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．
(2)當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標相同與向量的起點、終點無關(guān)．()
(2)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．()
(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關(guān)．()
(4)點的坐標與向量的坐標相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點M(3,5)，點N(2,1)，用坐標表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標表示

[典例]
如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．
設B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點和向量坐標的常用方法
(1)求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．
(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．

[活學活用]
已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐標；
(2)若B(3，－1)，求的坐標．
解：(1)設點A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標運算
[典例](1)已知三點A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行．

[活學活用]
1．設平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點坐標為______．
解析：設P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32www.lvshijia.net

向量坐標運算的綜合應用
[典例]已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？
[解]因為＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點P在x軸上，點P在y軸上，點P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變設問]本例條件不變，試問四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問題的求解
(1)向量的坐標含有兩個量：橫坐標和縱坐標，如果橫或縱坐標是一個變量，則表示向量的點的坐標的位置會隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達到解題的目的．
層級一學業(yè)水平達標
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標原點，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標原點，點A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐標為________．
解析：設點A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點坐標為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點A的坐標．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設A點坐標為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點坐標為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點M的坐標．
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設B(x1，y1)，
因為＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設BD的中點M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級二應試能力達標
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設點D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點D2，72，故選A.
4．對于任意的兩個向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：
①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求的坐標．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M，N分別為AB，AC的中點，∴F為AD的中點．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設點P的坐標為(x，y)，
因為＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點P的坐標為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設點P的坐標為(x0，y0)，因為A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因為＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因為點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

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平面向量坐標表示

平面向量坐標表示
年級高一學科數(shù)學課題平面向量坐標表示
授課時間撰寫人
學習重點平面向量的坐標運算．

學習難點對平面向量坐標運算的理解
學習目標
1.會用坐標表示平面向量的加減與數(shù)乘運算；
2.能用兩端點的坐標，求所構(gòu)造向量的坐標；

教學過程
一自主學習
思考1：設i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設=(x1,y1)=(x2,y2)則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根據(jù)向量的坐標表示，向量＋，－，λ的坐標分別如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
兩個向量和與差的坐標運算法則：
兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
思考3：已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標如何？

二師生互動
例1已知，，求和.

例2已知平行四邊形的頂點，，，試求頂點的坐標.

變式：若與的交點為，試求點的坐標.

練1.已知向量的坐標，求，的坐標.
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點的坐標，求，的坐標.
⑴
⑵
⑶
⑷

三鞏固練習
1.若向量與向量相等，則（）
A.B.
C.D.
2.已知，點的坐標為，則的坐標為（）
A.B.
C.D.
3.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
4.設點，，且
，則點的坐標為.
5.作用于原點的兩力，，為使它們平衡，則需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，則點B的坐標為__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知點，及，，，求點、、的坐標。

四課后反思

五課后鞏固練習
1.若點、、，且，，則點的坐標為多少？點的坐標為多少？向量的坐標為多少？

2.已知向量，，，試用來表示.

平面向量的坐標運算

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“平面向量的坐標運算”，相信能對大家有所幫助。

2.3.2平面向量的坐標運算

一、課題：2.3.2平面向量的坐標運算
二、教學目標：1．掌握兩向量平行時坐標表示的充要條件；
2．能利用兩向量平行的坐標表示解決有關(guān)綜合問題。
三、教學重、難點：1．向量平行的充要條件的坐標表示；
2．應用向量平行的充要條件證明三點共線和兩直線平行的問題。
四、教學過程：
（一）復習：
1．已知，，求，的坐標；
2．已知點，及，，，求點、、的
坐標。
歸納：（1）設點，，則；
（2），，則，
，；
3．向量與非零向量平行的充要條件是：.
（二）新課講解：
1．向量平行的坐標表示：
設，，（），且，
則，∴.
∴，∴.
歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達形式：
①；
②且設，（）

例1已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．

例2已知，，，求證、、三點共線．
證明：，，
又，∴.∵直線、直線有公共點，
∴，，三點共線。
例3已知，，若與平行，求．
解：=
∴，∴，∴.
例4已知，，，，則以，為基底，求.
解：令，則.
，∴，
∴，∴.

例5已知點，，，，向量與平行嗎？直線平
行與直線嗎？
解：∵，=，
又，∴；
又，，，
∴與不平行，
∴、、不共線，與不重合，
所以，直線與平行。

五、小結(jié)：1．熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達形式；
2．會用平面向量平行的充要條件的坐標形式證明三點共線和兩直線平行；
3．明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同。
六、作業(yè)：
補充：1．已知，，，且，，求點，的坐標及向量的坐標；
2．已知，，，試用，表示；
3．設，

平面向量共線的坐標表示

平面向量共線的坐標表示
教學目的：
（1）理解平面向量的坐標的概念；
（2）掌握平面向量的坐標運算；
（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.
教學重點：平面向量的坐標運算
教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1．平面向量的坐標表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得
把叫做向量的（直角）坐標，記作
其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，，，.
2．平面向量的坐標運算
若，，
則，，.
若，，則
二、講解新課：
∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
設=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵∴x2，y2中至少有一個不為0
（2）充要條件不能寫成∵x1，x2有可能為0
(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥()
三、講解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.
例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.
例4若向量=(-1，x)與=(-x，2)共線且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)與=(-x，2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴與不平行
∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
四、課堂練習：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.
6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設計（略）
八、課后記：

平面向量的坐標表示

總課題向量的坐標表示總課時第23課時
分課題平面向量的坐標運算分課時第2課時
教學目標掌握平面向量的坐標表示及坐標運算
重點難點掌握平面向量的坐標表示及坐標運算；平面向量坐標表示的理解
引入新課
1、在直角坐標平面內(nèi)一點是如何表示的？。
2、以原點為起點，為終點，能不能也用坐標來表示呢？例：
3、平面向量的坐標表示。

4、平面向量的坐標運算。
已知、、實數(shù)，那么
；；。
例題剖析
例1、如圖，已知是坐標原點，點在第一象限，，，求向量的坐標。

例2、如圖，已知，，，，求向量，，，的坐標。

例3、用向量的坐標運算解：如圖，質(zhì)量為的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面對物體的摩擦力。

例4、已知，，是直線上一點，且，求點的坐標。
鞏固練習
1、與向量平行的單位向量為（）
、、、或、

2、已知是坐標原點，點在第二象限，，，求向量的坐標。

3、已知四邊形的頂點分別為，，，，求向量，的坐標，并證明四邊形是平行四邊形。
4、已知作用在原點的三個力，，，求它們的合力的坐標。
5、已知是坐標原點，，，且，求的坐標。
課堂小結(jié)
平面向量的坐標表示；平面向量的坐標運算。
課后訓練
班級：高一（）班姓名__________
一、基礎題
1、若向量，，則，的坐標分別為（）
、，、，、，、，
2、已知，終點坐標是，則起點坐標是。
3、已知，，向量與相等.則。
4、已知點，，，則。
5、已知的終點在以，為端點的線段上，則的最大值和最小值分別等于。
6、已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為，，，求第四個頂點的坐標。

7、已知向量，，點為坐標原點，若向量，，求向量的坐標。

8、已知點，及，，求點，和的坐標。

三、能力題
9、已知點，，，若點滿足，
當為何值時：（1）點在直線上？（2）點在第四象限內(nèi)？