高中向量的教案
發(fā)表時間：2020-11-12向量的加減法運算。
一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，幫助授課經(jīng)驗少的高中教師教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“向量的加減法運算”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
向量的加減法運算
年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題向量的加減法運算
授課時間撰寫人劉艷宏時間
學(xué)習(xí)重點用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和與差向量
學(xué)習(xí)難點理解向量加減法的定義.
學(xué)習(xí)目標(biāo)⑴掌握向量加法的定義
⑵會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量
⑶理解向量加法的運算律
教學(xué)過程
一自主學(xué)習(xí)
向量的三角形及平行四邊形法則
向量的反向量
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向量加法與減法的幾何意義
二師生互動
例1如圖5，O為正六邊形的中心，試作出下列向量：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）
例2在中，是重心，、、分別是、、的中點，化簡下列兩式：
⑴；
⑵
練習(xí)。設(shè)，，，試用表示.
三鞏固練習(xí)
1.平行四邊形中，，，則等于（）.
A.B.C.D.
2.下列等式不正確的是（）.
A.B.
C.
D.
3.在中，等于（）.
A.B.C.D.
4.=；
=.
5.已知向量、滿足且，則=.
6.在中，，則等于（）.
A.B.C.D.
7.化簡的結(jié)果等于（）.
A.B.C.D.
8.在正六邊形中，，，則=.
9.已知、是非零向量，則時，應(yīng)滿足條件.
四課后反思
五課后鞏固練習(xí)
1.已知是的對角線與的交點，
若，，，
試證明：.
2.在菱形中，，，求的值.
相關(guān)知識
§3.1.1空間向量及加減其運算
§3.1.1空間向量及加減其運算
【學(xué)情分析】：
向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)、工程科學(xué)等方面也有著廣泛的應(yīng)用。在人教A版必修四中，讀者已經(jīng)認(rèn)知了平面向量，現(xiàn)在，學(xué)習(xí)空間向量時要注意與平面向量的類比，體會空間向量在解決立體幾何問題中的作用。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法
（2）過程與方法：通過高一學(xué)習(xí)的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法
（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)，運用向量的概念和運算解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的開拓創(chuàng)新能力。
【教學(xué)重點】：
空間向量的概念和加減運算
【教學(xué)難點】：
空間向量的應(yīng)用
【教學(xué)過程設(shè)計】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖
一．情景引入
（1）一塊均勻的正三角形的鋼板所受重力為500N，在它的頂點處分別受力F，F(xiàn)，F(xiàn)，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運動？這三個力至少多大時，才能提起這塊鋼板？
（2）八抬大轎中每個轎夫?qū)I子的支持力具有怎樣的特點？？從實際生活的例子出發(fā)，使學(xué)生對不共面的向量有一個更深刻的認(rèn)識。說明不同在一個平面內(nèi)的向量是隨處可見的。
二．新舊知識比較讓我們將以前學(xué)過的向量的概念和運算回顧一下，看它們是只限于平面上呢？還是本來就適用于空間中。
請學(xué)生自行閱讀空間向量的相關(guān)概念：空間向量定義、模長、零向量、單位向量、相反向量、相等向量。
請學(xué)生比較與平面向量的異同。
向量概念的關(guān)鍵詞是大小和方向，所以它應(yīng)既適用于平面上的向量，也適合于空間中的向量，二者的區(qū)別僅僅在于：在空間中比平面上有更多的不同的方向。因此平面幾何中的向量概念和知識就可以遷移到空間圖形中。
（1）空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量。通過比較，既復(fù)習(xí)了平面向量的基本概念，又加強(qiáng)了對空間向量的認(rèn)識，注重類比學(xué)習(xí)，提高學(xué)生舉一反三的能力。
三．類比推廣、探求新知如圖，對于空間任何兩個向量，可以從空間任意一點O出發(fā)作，即用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示
（2）在平面圖形中向量加減法的可以通過三角形和平行四邊形法則，同樣對于空間任意兩個向量都看作同一平面內(nèi)的向量，它們的加法、減法當(dāng)然都可以按照平面上的向量的加法和減法來進(jìn)行，不需要補充任何新的知識，具體做法如下：
讓學(xué)生知道，數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，與向量的起點無關(guān)，這是數(shù)學(xué)中向量與物理中矢量的最大區(qū)別。
如圖，可以從空間任意一點O出發(fā)作，并且從出發(fā)作，則.
探索1：空間三個以上的非零向量能否平移至一個明面上？
探索2：多個向量的加法能否由兩個向量的加法推廣？
（3）思考《選2-1》課本P85探究題
歸納：向量加（減）法滿足交換律和結(jié)合律?？臻g三個或更多的向量相加，不能同時將這些向量都用同一個平面上的有限線段來表示，但仍然可以用將它們依次用首尾相接的有向線段來表示，得到它們的和。比如：三個向量的和,一般地,空間中多個依次用首尾相接的有向線段相加的結(jié)果等于起點和終點相連的有向線段。我們常常把向量的這種性質(zhì)簡稱為“封口向量”。
四．練習(xí)鞏固1．課本P86練習(xí)1-3
2．如圖，在三棱柱中，M是的中點，
化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
鞏固知識，注意區(qū)別加減法的不同處.
五．小結(jié)1．空間向量的概念：
2．空間向量的加減運算反思?xì)w納
六．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1，A組第1題（1）、（2）
練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．舉出一些實例，表示三個不在同一平面的向量。
2．說明數(shù)字0與空間向量0的區(qū)別與聯(lián)系。
答：空間向量0有方向，而數(shù)字0沒有方向；空間向量0的長度為0。
3．三個向量a,b,c互相平行，標(biāo)出a+b+c.
‘解：分同向與反向討論（略）。
4．如圖，在三棱柱中，M是的中點，
化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
（中等題）
5．如圖，在長方體中，，點E,F分別是的中點，試用向量表示和
解：
。
6．在上題圖中，試用向量表示和
解：==，
向量的減法
一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“向量的減法”，歡迎您參考，希望對您有所助益！
課時3向量的減法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握向量減法的意義與幾何運算，并清楚向量減法與加法的關(guān)系。
2．能正確作出兩個向量的差向量，并且能掌握差向量的起點和終點的規(guī)律。
3．知道向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法，是加法的逆運算。
4．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，滲透化歸思想和數(shù)形結(jié)合的思想，繼續(xù)培養(yǎng)識圖和作圖的能力及用圖形解題的能力。
【知識梳理】
1．向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。
即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法。
2．用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
【例題選講】
例1．化簡：
例2．如圖，O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，若，試證：+-=
例3．如圖，ABCD是一個梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分別是DC和AB的中點，已知，，試用，表示和
【歸納反思】
1．向量和它的相反向量的和為零向量。
2．向量的減法是加法的逆運算。
3．減去一個向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：
【課內(nèi)練習(xí)】
1．下面有四個等式：①-（-）=；②-=；③+（-）=-；④-=，其中正確的等式為
2．在平行四邊形ABCD中，，，，，則下列等式不成立的是
ABCD
3．若，為非零向量，則在下列命題中真命題為
①=，，同向共線；②=，，反向共線
③=，，有相等的模；④，同向共線
4．已知=10，=8，則的取值范圍為
5．在矩形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，且,,,
證明：
【鞏固提高】
1．下列四式中不能化為的是
AB
CD
2．如圖，在△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、CA的中點，則等于
AB
CD
3．在平行四邊形ABCD中，設(shè)，記，，則為
ABCD
4．正六邊形ABCDEF，若，，則為
ABCD
5．在平面上有三點A、B、C，設(shè)，，若的長度相等，則有
AA、B、C三點在一條直線上B必為等腰三角形且B為頂角
C必為直角三角形且B為直角D必為等腰直角三角形
6．在四邊形ABCD中，，，則四邊形ABCD為形
7．已知向量的終點與向量的起點重合，向量的起點與向量的終點重合，則下列結(jié)論正確的為
①以的起點為終點，的起點為起點的向量為-（+）
②以的起點為終點，的終點為起點的向量為---
③以的起點為終點，的終點為起點的向量為--
8.在中，若，則邊AB與邊AD所夾的角=
9．已知兩個合力的夾角是直角，且知它們的合力與的夾角為，=10N，求的大小。
10．如圖，P、Q是ABC的邊BC上的兩點，且BP=QC，
求證：
11．若，是給定的不共線向量，試求滿足下列條件的向量，使
2-=
并作圖用，表示，
+2=
問題統(tǒng)計與分析
空間向量的坐標(biāo)運算
古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《空間向量的坐標(biāo)運算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間向量的坐標(biāo)運算高考要求
要使學(xué)生理解空間向量、空間點的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點乘的坐標(biāo)表示以及兩點間的距離、夾角公式通過解題，會應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題
知識點歸納
1空間直角坐標(biāo)系：
（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；
（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點叫原點，向量都叫坐標(biāo)向量．通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；
2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：
在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．
3．空間向量的直角坐標(biāo)運算律：
（1）若，，
則，
，
，
，，
．
（2）若，，則．
一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)
4模長公式：若，，
則，．
5．夾角公式：．
6．兩點間的距離公式：若，，
則，
或
題型講解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設(shè)面ABC的法向量，
則⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），單位法向量=±（，－，）
點評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點坐標(biāo)和長度；
（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標(biāo)滿足的條件
解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點，
則=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴點P的坐標(biāo)是（2，1，），
dAB==
（2）設(shè)點P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則=
化簡得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標(biāo)就是方程中x,y,z的系數(shù)），即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件
點評：空間兩點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點為（，，），且|P1P2|=
例3棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)存在點P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即點P與D1重合
∴點P與D1重合時，DB1⊥面PAC
例4在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，連結(jié)SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即為所求
點評：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點、平移、作輔助線、解三角形
例5如圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點
（1）求的長；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點評：①通過建立空間直角坐標(biāo)系，點用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)行向量的運算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線一個需要經(jīng)過嚴(yán)密推理論證的問題就這樣被簡單機(jī)械的運算代替了
②本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個重點去掌握通過坐標(biāo)法計算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點
例7如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側(cè)棱長為a
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，⑴寫出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；⑵求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點在數(shù)軸上或便于計算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點M，
于是M（0，），連結(jié)AM，MC1
則有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一個法向量
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：
=
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°
例8棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點，（1）求EF長度；（2）求；3）求點A到EF的距離
分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點有關(guān)的問題，建立空間直角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫出相關(guān)點的坐標(biāo)及向量然后進(jìn)行運算即可得解
解：以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的數(shù)量cos==
A到EF的距離=
點評：點到直線的距離的向量求法，就是先求出該點與直線上某點連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應(yīng)的距離
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如圖，以A為原點建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
（1）證明：，
，
設(shè)平面AGC的法向量為，
設(shè)平面BGC的法向量為，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
設(shè)平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設(shè)平面BGC的方程為：
則∴平面BGC的法向量為
點評：①平面平行于哪一個軸，其法向量的對應(yīng)坐標(biāo)就是0；
②平面經(jīng)過原點時平面方程中的常數(shù)項等于0；
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結(jié)：
1運用空間向量的坐標(biāo)運算解決幾何問題時，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計算出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論
2本節(jié)知識是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運算分為向量法與坐標(biāo)法兩類，以通過向量運算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點利用兩個向量（非零）垂直數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運用共面向量定理可證點共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點面距、線面角、異面直線的距離等
學(xué)生練習(xí)
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果與為共線向量，則
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）與=（1，－2y，9）共線，故有==
∴x=，y=－應(yīng)選C答案：C
2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P（x，y，z），下列敘述中正確的個數(shù)是①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)是P1（x，－y，z）②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo)是P2（x，－y，－z）③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是P3（x，－y，z）④點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P關(guān)于x軸的對稱點為P1（x，－y，－z），關(guān)于yOz平面的對稱點為P2（－x，y，z），關(guān)于y軸的對稱點為P3（－x，y，－z）故①②③錯誤答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋與2－互相垂直，則k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐標(biāo)系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空間三點A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則與的夾角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則||的值是__________
解析：設(shè)點P（x，y，z），則由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則||==答案：
8設(shè)點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根據(jù)共面向量定理，設(shè)=x+y（x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點確定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立坐標(biāo)系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當(dāng)B1Q⊥D1P時，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）設(shè)BP=t，則CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的頂點是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）試求這個三角形的面積
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S=||||
=||||=
在本題中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11證明正三棱柱的兩個側(cè)面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點O為原點，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因為異面對角線OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
12如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E為AB的中點，F(xiàn)為PD的中點，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
則cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點，
∴E（a，－，0），F(xiàn)（0，，a）
則||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結(jié)PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1則∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小為45°
課前后備注
《向量的線性運算》教學(xué)設(shè)計
《向量的線性運算》教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)目標(biāo)
1．理解向量的線性運算的意義，會化簡線性運算的算式，會畫圖表示簡單的線性運算結(jié)果.
2．知道用兩個不平行的向量表示平面內(nèi)一個向量的表達(dá)式的特征。會在較熟悉的幾何圖形中將一個向量表示為兩個給定的不平行向量的線性組合．
二、教學(xué)重點及難點
1.向量的線性運算的意義，線性組合的概念；
2.線性組合的簡單應(yīng)用。
三、教學(xué)設(shè)計要點
1.情境設(shè)計：鞏固復(fù)習(xí)再引入新課題；
2.教學(xué)內(nèi)容的處理：知識點與具體題目結(jié)合，從而得以使學(xué)生靈活運用知識；
3.教學(xué)方法：合作交流和老師引導(dǎo)相結(jié)合；
四、教具的準(zhǔn)備
粉筆、三角尺、多媒體演示PPT
五、教學(xué)過程
（一）新課導(dǎo)入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量加法、減法以及實數(shù)與向量相乘等運算,并且知道，向量的減法可以轉(zhuǎn)化為加法運算；向量加法以及實數(shù)與向量相乘，有類似于實數(shù)加法和乘法的運算律.這些運算還可以組合起來，如果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.
（二）探索新知
例題1：已知兩個不平行的向量a,b
求作：3a+2b；a-2b
概念：向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算
3a+2b；a-2b；3（a+5b）等，都是向量的線性運算
提問：-2a+（a-2b）是向量的線性運算？
例題2:已知兩個不平行的向量a，b
求作：（a+b)-(7/2a-2b)
強(qiáng)調(diào)：先將算式化簡再選擇適當(dāng)?shù)淖鲌D方法
概念：如果a，b是兩個不平行的向量，c是平面內(nèi)的一個向量，那么c可以用a，b來表示，并且通常將其表達(dá)式整理成：c=xa+yb的形式，其中x，y是實數(shù)。xa+yb叫做a，b的線性組合。
例如：a，b是兩個不平行的向量，向量OE=3a+2b，這時就說，OE可由a，b的線性組合表示。
例題3:如圖，點M是△CAB的邊AB的中點.設(shè)向量CA=a,CB=b,試用a，b的線性組合表示向量CM
（三）鞏固練習(xí):練習(xí)24.7（1）
（四）課堂小結(jié):
（五）作業(yè)布置:練習(xí)冊24.7（1）
